高阶对流Cahn-Hilliard型方程的二阶线性化差分方法

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.01.009

高阶对流Cahn-Hilliard型方程的二阶线性化差分方法

李娟^,^,

南京审计大学金审学院基础部，江苏南京 210023

A second-order linearized finite difference method for a higher order convective Cahn-Hilliard type equation

LI Juan^,^,

Department of Basis Course, Nanjing Audit University Jinshen College, Nanjing 210023, China

收稿日期: 2020-07-01

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 11671081

江苏省高校青蓝工程资助项目（苏2017（15））

Received: 2020-07-01

作者简介 About authors

李娟（1983—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1815-5708，女，硕士，副教授，主要从事偏微分方程数值解研究，E-mail：juanli2007@126.com. , E-mail：juanli2007@126.com

摘要

高阶对流Cahn-Hilliard型方程是一类空间六阶且具有四阶非线性项的发展方程。首先，给出了线性化差分格式，其第一时间层为2层隐式差分格式，其余时间层为3层隐式差分格式。其次，在差分格式建立过程中，利用中心差商对四阶非线性项进行离散，证明了差分格式解的唯一性和收敛性，并得到其在时间和空间上的收敛阶均为二阶。最后，通过数值算例，验证了差分格式的有效性。

关键词： 高阶对流Cahn-Hilliard型方程 ; 线性化差分格式 ; 唯一性 ; 收敛性 ; 非线性问题 ; 线性化

Abstract

The higher order convective Cahn-Hilliard type equation is a kind of sixth-order evolution equation with fourth-order nonlinearity term.A linearized finite difference scheme is presented by using Taylor formula.The first time level is a two-layers implicit scheme,while the other time levels are three-layers implicit schemes.In the derivation of the scheme,nonlinear terms are discretized by central difference quotient.A theoretical analysis is carried out by the energy argument and mathematical induction. The uniqueness and convergence of the numerical solution are proved in L₂norm rigorously.The convergence order is two in time and space.Some numerical results are presented to demonstrate the efficiency of the difference scheme.

Keywords： higher order Cahn-Hilliard type equation ; linearized difference scheme ; uniqueness ; convergence ; nonlinear problem ; linearization

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本文引用格式

李娟. 高阶对流Cahn-Hilliard型方程的二阶线性化差分方法. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(1): 60-65 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.01.009

LI Juan. A second-order linearized finite difference method for a higher order convective Cahn-Hilliard type equation. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(1): 60-65 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.01.009

0　引言

SEVINA等^［1］在描述具有小斜面生长中的晶体表面时提出了一类高阶对流Cahn-Hilliad型方程。考虑高阶对流Cahn-Hilliard型方程的周期初边值问题：

u_{t} - ε u u_{x} - u_{x x x x x x} + (u - u^{3})_{x x x x} = 0

，

x \in

R

，

t > 0

，（1）

u (x, 0) = u_{0} (x)

，

x \in

R

。（2）

其中，x、t分别为空间和时间，u为界面斜率，ε与原子通量的沉积强度成正比，整体对流项εuu_x来自于堆积原子的法向冲击，u_xxxxxx来自于曲率微分正则化，其他项表示表面扩散作用下表面能的各向异性。

高阶对流Cahn-Hilliard型方程在材料模拟中具有重要作用。KORZEC等^［2］研究了该方程的稳态解；KORZEC等^［3］利用Galerkin方法研究了方程弱解的存在性。由于高阶非线性发展方程较难求解析解，故研究数值算法具有一定意义。

因对高阶对流Cahn-Hilliard方程的相关数值研究较少，故本文先探究六阶非线性发展方程相场模型的数值方法。WISE等^［4］和HU等^［5］分别基于凸分解方法讨论了晶体相场模型的时间方向一阶、空间方向二阶的稳定数值格式和二阶非线性三层差分格式；GOMEZ等^［6］和ZHANG等^［7］分别讨论了能量稳定的数值格式和二阶差分格式；由于非线性格式迭代运算耗费时间较多，YANG等^［8］、CAO等^［9］和李娟^［10］分别讨论了晶体相场模型的线性化数值算法。高阶对流Cahn-Hilliard型方程较之于晶体相场模型，前者具有非线性对流项和扩散项，且导数达到四阶，这对模型数值算法的建立及理论分析均带来了实际困难。为解决这些问题，需改写方程中的非线性项。本文利用中心差商对其进行离散，一方面方便差分格式线性化，另一方面，在差分格式的理论分析中避免对非线性项差商的估计，这在一定程度上降低了分析难度。

为丰富高阶非线性发展方程的数值算法，研究了高阶对流Cahn-Hilliard型方程的线性化差分方法。首先，建立二阶收敛的线性化差分格式；其次，利用能量分析方法和数学归纳法对差分格式进行理论分析，证明差分格式解的唯一性和L₂范数下的收敛性。再次，利用数值算例验证差分格式的有效性。最后，给出了小结和展望。

1　差分格式的建立

为建立二阶线性化差分格式，引入以下记号：正整数 $M$ ， $N$ ，时间区间 $[0, T]$ 。记 $h = \frac{L}{M}$ ， $τ =$ $\frac{T}{N}$ ， $x_{i} = i h$ ， $t_{k} = k τ$ ， $Ω_{h} = {x_{i} | 0 \leq$ $i \leq M}$ ， $Ω_{τ} = {t_{k} | 0 \leq$ $k \leq N}$ ， $U_{h} = {v | v = {v_{i}}, v_{i} =$ $v_{i + M}}$ 。对任意网格函数 $v \in U_{h}$ ，记

\nabla_{x} v_{i} = \frac{1}{2 h} (v_{i + 1} - v_{i - 1})

，

δ_{x} v_{i - \frac{1}{2}} = \frac{1}{h} (v_{i} -

v_{i - 1})

，

δ_{x}^{2} v_{i} = \frac{1}{h^{2}} (v_{i + 1} - 2 v_{i} + v_{i - 1})

，

δ_{x}^{4} v_{i} =

δ_{x}^{2} (δ_{x}^{2} v_{i})

，

δ_{x}^{6} v_{i} = δ_{x}^{2} (δ_{x}^{4} v_{i})

。

对定义在 $Ω_{τ}$ 上的网格函数 $w = (w^{0}, w^{1},$ $w^{2}, \dots, w^{N})$ ，记

w^{k + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (w^{k + 1} + w^{k})

，

w^{\bar{k}} = \frac{1}{2} (w^{k + 1} +

w^{k - 1})

，

δ_{t} w^{k + \frac{1}{2}} = \frac{1}{τ} (w^{k + 1} - w {}^{k})

，

\nabla_{t} w^{k} =

\frac{1}{2 τ} (w^{k + 1} - w {}^{k - 1})

。

对式（1）和式（2）在周期 $[0, L]$ 上建立差分格式。用网格函数 $U_{i}^{k}$ 表示问题的精确解在点 $(x_{i}, t_{k})$ 处的值。由泰勒公式，有

u (x_{i}, t_{\frac{1}{2}}) = u (x_{i}, 0) + \frac{τ}{2} u_{t} (x_{i}, 0) + O (τ^{2})

，

1 \leq i \leq M

，（3）

其中， $u_{t} (x_{i}, 0)$ 由式（1）和式（2）确定，并记

{\hat{u}}_{i} = u (x_{i}, 0) + \frac{τ}{2} u_{t} (x_{i}, 0)

，

1 \leq i \leq M

。（4）

因 $u u_{x} = \frac{1}{3} [u u_{x} + (u^{2})_{x}]$ ， $(u - u^{3})_{x x x x} =$ $[(1 - 3 u^{2}) u_{x}]_{x x x}$ ，故式（1）等价于

u_{t} - \frac{ε}{3} [u u_{x} + (u^{2})_{x}] - u_{x x x x x x} + [f (u) u_{x}]_{x x x}

= 0

，

x \in [0, L]

，

0 < t \leq T

，（5）

其中， $f (u) = 1 - 3 u^{2}$ 。分别在点 $(x_{i}, t_{\frac{1}{2}})$ 和 $(x_{i}, t_{k})$ 处对式（5）应用带积分型余项的泰勒公式，可得

δ_{t} U_{i}^{\frac{1}{2}} - \frac{ε}{3} [{\hat{u}}_{i} \nabla_{x} U_{i}^{\frac{1}{2}} + \nabla_{x} ({\hat{u}}_{i} U_{i}^{\frac{1}{2}})] - δ_{x}^{6} U_{i}^{\frac{1}{2}} +

\nabla_{x} δ_{x}^{2} [f ({\hat{u}}_{i}) \nabla_{x} U_{i}^{\frac{1}{2}}] = p_{i}^{0}

，

1 \leq i \leq M

，（6）

\nabla_{t} U_{i}^{k} - \frac{ε}{3} [U_{i}^{k} \nabla_{x} U_{i}^{\bar{k}} + \nabla_{x} (U_{i}^{k} U_{i}^{\bar{k}})] - δ_{x}^{6} U_{i}^{\bar{k}} +

\nabla_{x} δ_{x}^{2} [f (U_{i}^{k}) \nabla_{x} U_{i}^{\bar{k}}] = p_{i}^{k}

，

1 \leq i \leq M

，

1 \leq k \leq N - 1

，（7）

其中， $p_{i}^{k} = O (τ^{2} + h^{2})$ ， $1 \leq i \leq M$ ， $0 \leq k \leq$ $N - 1$ 为截断误差。由初值条件知，

U_{i}^{0} = u_{0} (x_{i})

，

1 \leq i \leq M

。（8）

假设式（1）和式（2）的精确解适当光滑，则存在正常数 $c_{0}$ ，使得

| p_{i}^{k} | \leq c_{0} (τ^{2} + h^{2})

，

1 \leq i \leq M

，

0 \leq k \leq

N - 1

。（9）

在式（6）~式（8）中，用数值解 $u_{i}^{k}$ 代替精确解 $U_{i}^{k}$ ，并略去小量项 $p_{i}^{k}$ ，可得以下线性化隐式差分格式：

δ_{t} u_{i}^{\frac{1}{2}} - \frac{ε}{3} [{\hat{u}}_{i} \nabla_{x} u_{i}^{\frac{1}{2}} + \nabla_{x} ({\hat{u}}_{i} u_{i}^{\frac{1}{2}})] - δ_{x}^{6} u_{i}^{\frac{1}{2}} +

\nabla_{x} δ_{x}^{2} [f ({\hat{u}}_{i}) \nabla_{x} u_{i}^{\frac{1}{2}}] = 0

，

1 \leq i \leq M

，（10）

\nabla_{t} u_{i}^{k} - \frac{ε}{3} [u_{i}^{k} \nabla_{x} u_{i}^{\bar{k}} + \nabla_{x} (u_{i}^{k} u_{i}^{\bar{k}})] - δ_{x}^{6} u_{i}^{\bar{k}} +

\nabla_{x} δ_{x}^{2} [f (u_{i}^{k}) \nabla_{x} u_{i}^{\bar{k}}] = 0

，

1 \leq i \leq M

，

1 \leq k \leq N - 1

，（11）

u_{i}^{0} = u_{0} (x_{i})

，

1 \leq i \leq M

。（12）

综上，对式（1）和式（2）建立了线性化隐式差分格式，即式（10）~式（12）。第0层的数值解由初值条件式（12）给出；式（10）为关于第1层数值解u¹的变系数线性方程组；当u^k^-1，u^k（ $k \geq 1$ ）已知时，式（11）为关于第k+1层数值解u^k⁺¹的变系数非齐次线性方程组，利用线性方程组理论可求得该时间层的数值解。

2　差分格式的理论分析

利用能量分析法讨论差分格式的唯一可解性和收敛性。为便于分析，定义内积和范数，并给出一些引理。

对任意的 $u, v \in U_{h}$ ，定义

(u, v) = h \sum_{i = 1}^{M} u_{i} v_{i}

，

| | v | | = \sqrt[]{(v, v)}

，

(δ_{x} u, δ_{x} v) =

h \sum_{i = 1}^{M} (δ_{x} u_{i - \frac{1}{2}}) (δ_{x} v_{i - \frac{1}{2}})

，

(δ_{x}^{2} u, δ_{x}^{2} v)

= h \sum_{i = 1}^{M} (δ_{x}^{2} u_{i}) (δ_{x}^{2} v_{i})

，

| | δ_{x} v | | = \sqrt[]{(δ_{x} v, δ_{x} v)}

，

| | δ_{x}^{2} v | | = \sqrt[]{(δ_{x}^{2} v, δ_{x}^{2} v)}

，

| | δ_{x} (δ_{x}^{2} v) | | =

\sqrt[]{(δ_{x} (δ_{x}^{2} v), δ_{x} (δ_{x}^{2} v))}

，

| | \nabla_{x} v | | =

\sqrt[]{(\nabla_{x} v, \nabla_{x} v)} = \sqrt[]{h \sum_{i = 1}^{M - 1} (\nabla_{x} v_{i})^{2}}

。

引理1^［11］对任意的 $u, v \in U_{h}$ ，存在

(u, δ_{x} v) = - (δ_{x} u, v)

，

(u, \nabla_{x} v) =

- (\nabla_{x} u, v)

，

| | \nabla_{x} u | | \leq | | δ_{x} u | |

。

由引理1和内积定义，可知

(\nabla_{x} (u v), v) = - (u v, \nabla_{x} v) = - h \sum_{i = 1}^{M - 1} u_{i} v_{i} \nabla_{x} v_{i} = - h \sum_{i = 1}^{M - 1} u_{i} \nabla_{x} v_{i} v_{i} = - (u \nabla_{x} v, v)

，

从而有

引理2 对任意的 $u, v \in U_{h}$ ，有

(u \nabla_{x} v, v) +

(\nabla_{x} (u v), v) = 0

。

引理3^［4］设 $v, δ_{x}^{2} v \in U_{h}$ ，对任意的正数 $α > 0$ ，有

| | δ_{x}^{2} v | |^{2} \leq \frac{1}{3 α^{2}} | | v | |^{2} + \frac{2}{3} α | | δ_{x} (δ_{x}^{2} v) | |^{2}

。

定义误差函数 $e_{i}^{k} = U_{i}^{k} - u_{i}^{k}$ ， $1 \leq i \leq M$ ， $0 \leq k \leq N$ 。用式（6）~式（8）分别减去式（10）~式（12），可得误差方程：

δ_{t} e_{i}^{\frac{1}{2}} - \frac{ε}{3} [{\hat{u}}_{i} \nabla_{x} e_{i}^{\frac{1}{2}} + \nabla_{x} ({\hat{u}}_{i} e_{i}^{\frac{1}{2}})] - δ_{x}^{6} e_{i}^{\frac{1}{2}} +

\nabla_{x} δ_{x}^{2} [f ({\hat{u}}_{i}) \nabla_{x} e_{i}^{\frac{1}{2}}] = p_{i}^{0}

，

1 \leq i \leq M

，（13）

\begin{array}{l} \nabla_{t} e_{i}^{k} - \frac{ε}{3} {[U_{i}^{k} \nabla_{x} U_{i}^{\bar{k}} + \nabla_{x} (U_{i}^{k} U_{i}^{\bar{k}})] - [u_{i}^{k} \nabla_{x} u_{i}^{\bar{k}} + \nabla_{x} (u_{i}^{k} u_{i}^{\bar{k}})]} - δ_{x}^{6} e_{i}^{\bar{k}} + \\ \nabla_{x} δ_{x}^{2} [f (U_{i}^{k}) \nabla_{x} U_{i}^{\bar{k}} - f (u_{i}^{k}) \nabla_{x} u_{i}^{\bar{k}}] = p_{i}^{k}, \end{array}

1 \leq i \leq M

，

1 \leq k \leq N - 1

，（14）

e_{i}^{0} = 0

，

1 \leq i \leq M

。（15）

记

M_{1} = \underset{0 \leq x \leq L, 0 \leq t \leq T}{m a x} (| u (x, t) |)

，

M_{2} = \underset{0 \leq x \leq L, 0 \leq t \leq T}{m a x} (| u_{x} (x, t) |)

，

M_{3} = \underset{0 \leq x \leq L}{m a x} (| u_{t} (x, 0) |)

，

c_{1} = m a x \{\frac{2 ε (M_{1} + M_{2})}{3} + 4 [3 (2 M_{1} + 1) M_{2}]^{2},

\frac{ε M_{2}}{3} + \frac{59}{27} +

{(\frac{ε M_{1}}{6})}^{2} + [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4}\}

，

c = c_{0} e x p (\frac{3 c_{1} T}{2}) \sqrt[]{1 + \frac{1}{c_{1}}}

。

定理1 假设式（1）和式（2）的解适当光滑，则式（10）~式（12）是唯一可解的，且按 $L_{2}$ -范数收敛于问题的精确解，收敛阶为 $O (τ^{2} + h^{2})$ 。即存在正常数 $c$ ，当 $τ \leq \sqrt[]{\frac{1}{2 c}} h^{\frac{1}{4}}$ 时，有

| | e^{k} | | \leq c (τ^{2} + h^{2})

，

0 \leq k \leq N

。（16）

证明数学归纳法。

当 $\frac{M_{3}}{2} τ \leq 1$ 时，由式（4），有

| {\hat{u}}_{i} | \leq M_{1} + 1

，

| f ({\hat{u}}_{i}) | \leq 1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}

，

1 \leq i \leq M

。（17）

第1步 $u^{1}$ 的唯一性。

由式（12）知，第0层的数值解 $u^{0}$ 已唯一确定，此时，式（10）为关于 $u^{1}$ 的线性方程组，欲证其唯一可解性，仅需证其对应的齐次线性方程组

\frac{1}{τ} u_{i}^{1} - \frac{ε}{6} [{\hat{u}}_{i} \nabla_{x} u_{i}^{1} + \nabla_{x} ({\hat{u}}_{i} u_{i}^{1})] - \frac{1}{2} δ_{x}^{6} u_{i}^{1} +

\frac{1}{2} \nabla_{x} δ_{x}^{2} [f ({\hat{u}}_{i}) \nabla_{x} u_{i}^{1}] = 0

，

1 \leq i \leq M

（18）

仅有零解。

用 $u^{1}$ 与式（18）作内积，可得

\begin{array}{l} \frac{1}{τ} (u^{1}, u^{1}) - \frac{ε}{6} ([\hat{u} \nabla_{x} u^{1} + \nabla_{x} (\hat{u} u^{1})], u^{1}) - \\ \frac{1}{2} (δ_{x}^{6} u^{1}, u^{1}) + \frac{1}{2} (\nabla_{x} δ_{x}^{2} [f (\hat{u}) \nabla_{x} u^{1}], u^{1}) = 0 。 \end{array}

（19）

由柯西不等式、引理1、引理2及式（19），知

\begin{array}{l} \frac{1}{τ} | | u^{1} | |^{2} + \frac{1}{2} | | δ_{x} (δ_{x}^{2} u^{1}) | | {}^{2}= \\ \frac{1}{2} (f (\hat{u}) \nabla_{x} u^{1}, \nabla_{x} δ_{x}^{2} u^{1}) \leq \\ \frac{1}{2} [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}] | | \nabla_{x} u^{1} | | \cdot | | \nabla_{x} δ_{x}^{2} u^{1} | | \leq \\ \frac{1}{4} [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{2} | | δ_{x} u^{1} | |^{2} + \\ \frac{1}{4} | | δ_{x} (δ_{x}^{2} u^{1}) | |^{2} 。 \end{array}

（20）

在引理3中，取 $α = 3$ ，可得

| | δ_{x}^{2} u^{1} | |^{2} \leq \frac{1}{27} | | u^{1} | |^{2} +

2 | | δ_{x} (δ_{x}^{2} u^{1}) | |^{2}

，（21）

从而有

\begin{array}{l} \frac{1}{4} [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{2} | | δ_{x} u^{1} | |^{2} = \\ \frac{1}{4} [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{2} | (u^{1}, δ_{x}^{2} u^{1}) | \leq \\ \frac{1}{4} [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{2} | | u^{1} | | \cdot | | δ_{x}^{2} u^{1} | | \leq \\ \frac{1}{8} [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4} | | u^{1} | |^{2} + \frac{1}{8} | | δ_{x}^{2} u^{1} | |^{2} \leq \\ \frac{1}{8} \{[1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4} + \frac{1}{27}\} | | u^{1} | |^{2} + \frac{1}{4} | | δ_{x} (δ_{x}^{2} u^{1}) | |^{2} 。 \end{array}

（22）

将式（22）代入式（20），可得

\frac{1}{τ} | | u^{1} | |^{2} \leq

\frac{27 [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4} + 1}{216} | | u^{1} | |^{2}

，（23）

从而，当 $τ < \frac{216}{27 [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4} + 1}$ 时，有 $| | u^{1} | |^{2} = 0$ ，即第1层数值解是唯一的。

第2步 $u^{1}$ 的收敛性。

用 $e^{\frac{1}{2}}$ 与式（13）作内积，可得

\begin{array}{l} (δ_{t} e^{\frac{1}{2}}, e^{\frac{1}{2}}) - \frac{ε}{3} ([\hat{u} \nabla_{x} e^{\frac{1}{2}} + \nabla_{x} (\hat{u} e^{\frac{1}{2}})], e^{\frac{1}{2}}) - \\ (δ_{x}^{6} e^{\frac{1}{2}}, e^{\frac{1}{2}}) + (\nabla_{x} δ_{x}^{2} [f (\hat{u}) \nabla_{x} e^{\frac{1}{2}}], e^{\frac{1}{2}}) = \\ (p^{0}, e^{\frac{1}{2}}) 。 \end{array}

（24）

由引理1、引理2及当 $α = 3$ 时的引理3，并将式（17）代入式（24），可得

\frac{1}{2 τ} (| | e^{1} | |^{2} - | | e^{0} | |^{2}) + | | δ_{x} (δ_{x}^{2} e^{\frac{1}{2}}) | |^{2} = (f (\hat{u}) \nabla_{x} e^{\frac{1}{2}}, \nabla_{x} δ_{x}^{2} e^{\frac{1}{2}}) + (p^{0}, e^{\frac{1}{2}}) \leq \frac{[1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{2}}{2} | | δ_{x} e^{\frac{1}{2}} | |^{2} + \frac{1}{2} {‖δ_{x} (δ_{x}^{2} e^{\frac{1}{2}})‖}^{2} + \frac{1}{2} | | p^{0} | |^{2} + \frac{1}{2} {‖e^{\frac{1}{2}}‖}^{2} \leq \frac{[1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4}}{4} {‖e^{\frac{1}{2}}‖}^{2} + \frac{1}{4} {‖δ_{x}^{2} e^{\frac{1}{2}}‖}^{2} + \frac{1}{2} {‖δ_{x} (δ_{x}^{2} e^{\frac{1}{2}})‖}^{2} + \frac{1}{2} | | p^{0} | |^{2} + \frac{1}{2} {‖e^{\frac{1}{2}}‖}^{2} \leq \frac{1}{4} \{[1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4} + \frac{55}{27}\} {‖e^{\frac{1}{2}}‖}^{2} + {‖δ_{x} (δ_{x}^{2} e^{\frac{1}{2}})‖}^{2} + \frac{1}{2} | | p^{0} | |^{2} ，

（25）

从而有

\begin{array}{l} \frac{1}{2 τ} | | e^{1} | |^{2} \leq \frac{1}{2} \{\frac{[1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4}}{8} + \frac{55}{216}\} \times \\ | | e^{1} | |^{2} + \frac{1}{2} | | p^{0} | |^{2} 。 \end{array}

（26）

当 $τ \leq \frac{216}{27 [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4} + 271}$ 时，由式（26）可得

| | e^{1} | |^{2} \leq | | p^{0} | |^{2} \leq c_{0}^{2} (h^{2} + τ^{2})^{2}

。（27）

假设对第 $0,1, 2, \dots, l$ 层数值解，定理结论均成立，则当 $h \leq \sqrt[3]{\frac{1}{4 c^{2}}}$ ， $τ \leq \sqrt[]{\frac{1}{2 c}} h^{\frac{1}{4}}$ 时，有

| e_{i}^{k} | \leq h^{- \frac{1}{2}} | | e^{k} | | \leq c h^{- \frac{1}{2}} (h^{2} + τ^{2}) \leq 1

，

1 \leq

i \leq

M

，

从而有

| u_{i}^{k} | \leq | U_{i}^{k} | + | e_{i}^{k} | \leq M_{1} + 1

，

1 \leq i \leq M

。（28）

第3步 $u^{l + 1}$ 的唯一性。

当 $u^{k}$ 、 $u^{k - 1}$ 已知时，式（11）为关于 $u^{k + 1}$ 的线性方程组。欲证其唯一可解性，仅需证其对应的齐次线性方程组

\begin{array}{l} \frac{1}{2 τ} u_{i}^{k + 1} - \frac{ε}{6} [u_{i}^{k} \nabla_{x} u_{i}^{k + 1} + \nabla_{x} (u_{i}^{k} u_{i}^{k + 1})] - \\ \frac{1}{2} δ_{x}^{6} u_{i}^{k + 1} + \frac{1}{2} \nabla_{x} δ_{x}^{2} [f (u_{i}^{k}) \nabla_{x} u_{i}^{k + 1}] = 0, \\ 1 \leq i \leq M \end{array}

（29）

仅有零解。

用 $u^{k + 1}$ 与式（29）作内积，可得

\begin{array}{l} \frac{1}{2 τ} (u^{k + 1}, u^{k + 1}) - \frac{1}{2} (δ_{x}^{6} u^{k + 1}, u^{k + 1}) - \\ \frac{ε}{6} ([u^{k} \nabla_{x} u^{k + 1} + \nabla_{x} (u^{k} u^{k + 1})], u^{k + 1}) + \\ \frac{1}{2} (\nabla_{x} δ_{x}^{2} [f (u^{k}) \nabla_{x} u^{k + 1}], u^{k + 1}) = 0, \\ 1 \leq k \leq l 。 \end{array}

（30）

由引理1、引理2及式（30），可得

\begin{array}{l} \frac{1}{τ} | | u^{k + 1} | |^{2} + | | δ_{x} (δ_{x}^{2} u^{k + 1}) | |^{2} = (f (u^{k}) \nabla_{x} u^{k + 1}, \nabla_{x} δ_{x}^{2} u^{k + 1}) \leq \\ [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}] | | δ_{x} u^{k + 1} | | \cdot | | δ_{x} (δ_{x}^{2} u^{k + 1}) | | \leq \\ \frac{[1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{2}}{2} | | δ_{x} u^{k + 1} | |^{2} + \\ \frac{1}{2} | | δ_{x} (δ_{x}^{2} u^{k + 1}) | |^{2} \leq \frac{[1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4}}{4} | | u^{k + 1} | |^{2} + \\ \frac{1}{4} | | δ_{x}^{2} u^{k + 1} | |^{2} + \frac{1}{2} | | δ_{x} (δ_{x}^{2} u^{k + 1}) | |^{2} ， \\ 1 \leq k \leq l 。 \end{array}

（31）

由当 $α = 3$ 时的引理3及式（31），可得

| | u^{k + 1} | |^{2} \leq

\frac{27 [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4} + 1}{108} τ | | u^{k + 1} | |^{2}

，

1 \leq k \leq l

。（32）

从而，当 $τ < \frac{108}{27 [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4} + 1}$ 时，有 $| | u^{l + 1} | |^{2} = 0$ ，即第 $l + 1$ 层数值解是唯一的。

第4步 $u^{l + 1}$ 的收敛性。

用 $e^{\bar{k}}$ 与式（14）作内积，可得

\begin{array}{l} (\nabla_{t} e^{k}, e^{\bar{k}}) - \frac{ε}{3} ({[U^{k} \nabla_{x} U^{\bar{k}} + \nabla_{x} (U^{k} U^{\bar{k}})] - \\ [u^{k} \nabla_{x} u^{\bar{k}} + \nabla_{x} (u^{k} u^{\bar{k}})]}, e^{\bar{k}}) - (δ_{x}^{6} e^{\bar{k}}, e^{\bar{k}}) + \\ (\nabla_{x} δ_{x}^{2} [f (U^{k}) \nabla_{x} U^{\bar{k}} - f (u^{k}) \nabla_{x} u^{\bar{k}}], e^{\bar{k}}) = \\ (p^{k}, e^{\bar{k}}), \end{array}

1 \leq k \leq l

。（33）

由引理1和式（33），可得

\begin{array}{l} \frac{1}{4 τ} (| | e^{k + 1} | |^{2} - | | e^{k - 1} | |^{2}) + | | δ_{x} (δ_{x}^{2} e^{\bar{k}}) | |^{2} = \\ \frac{ε}{3} ({[U^{k} \nabla_{x} U^{\bar{k}} + \nabla_{x} (U^{k} U^{\bar{k}})] - \\ [u^{k} \nabla_{x} u^{\bar{k}} + \nabla_{x} (u^{k} u^{\bar{k}})]}, e^{\bar{k}}) + \\ (f (U^{k}) \nabla_{x} U^{\bar{k}} - f (u^{k}) \nabla_{x} u^{\bar{k}}, \nabla_{x} δ_{x}^{2} e^{\bar{k}}) + \\ (p^{k}, e^{\bar{k}}), \end{array}

1 \leq k \leq l

。（34）

先估计非线性项：

\begin{array}{l} [U_{i}^{k} \nabla_{x} U_{i}^{\bar{k}} + \nabla_{x} (U_{i}^{k} U_{i}^{\bar{k}})] - \\ [u_{i}^{k} \nabla_{x} u_{i}^{\bar{k}} + \nabla_{x} (u_{i}^{k} u_{i}^{\bar{k}})] = \\ e_{i}^{k} \nabla_{x} U_{i}^{\bar{k}} + \nabla_{x} (e_{i}^{k} U_{i}^{\bar{k}}) + U_{i}^{k} \nabla_{x} e_{i}^{\bar{k}} + \\ \nabla_{x} (U_{i}^{k} e_{i}^{\bar{k}}) - e_{i}^{k} \nabla_{x} e_{i}^{\bar{k}} - \nabla_{x} (e_{i}^{k} e_{i}^{\bar{k}}) ， \end{array}

1 \leq i \leq M

，

1 \leq k \leq l

。（35）

由引理2和柯西不等式，可得

\begin{array}{l} \frac{ε}{3} ({[U^{k} \nabla_{x} U^{\bar{k}} + \nabla_{x} (U^{k} U^{\bar{k}})] - \\ [u^{k} \nabla_{x} u^{\bar{k}} + \nabla_{x} (u^{k} u^{\bar{k}})]}, e^{\bar{k}}) = \frac{ε}{3} [(e^{k} \nabla_{x} U^{\bar{k}}, e^{\bar{k}}) - (e^{k} U^{\bar{k}}, \nabla_{x} e^{\bar{k}})] \leq \\ \frac{ε}{3} (| | \nabla_{x} U^{\bar{k}} | |_{\infty} | | e^{k} | | \cdot | | e^{\bar{k}} | | + \\ | | U^{\bar{k}} | |_{\infty} | | e^{k} | | \cdot | | \nabla_{x} e^{\bar{k}} | |) \leq \\ \frac{ε}{3} (M_{2} | | e^{k} | | \cdot | | e^{\bar{k}} | | + M_{1} | | e^{k} | | \cdot | | δ_{x} e^{\bar{k}} | |) ， \end{array}

1 \leq k \leq l

。（36）

由

\begin{array}{l} f (U_{i}^{k}) \nabla_{x} U_{i}^{\bar{k}} - f (u_{i}^{k}) \nabla_{x} u_{i}^{\bar{k}} = \\ [f (U_{i}^{k}) - f (u_{i}^{k})] \nabla_{x} U_{i}^{\bar{k}} + f (u_{i}^{k}) \nabla_{x} e_{i}^{\bar{k}} = \\ - 3 (u_{i}^{k} + U_{i}^{k}) e_{i}^{k} \nabla_{x} U_{i}^{\bar{k}} + f (u_{i}^{k}) \nabla_{x} e_{i}^{\bar{k}} ， \end{array}

1 \leq i \leq M

，

1 \leq k \leq l

（37）

及引理1和柯西不等式，可知

\begin{array}{l} (f {(U)}^{k} \nabla_{x} U^{\bar{k}} - f (u^{k}) \nabla_{x} u^{\bar{k}}, \nabla_{x} δ_{x}^{2} e^{\bar{k}}) = \\ - 3 ((u^{k} + U^{k}) e^{k} \nabla_{x} U^{\bar{k}}, \nabla_{x} δ_{x}^{2} e^{\bar{k}}) + \\ (f (u^{k}) \nabla_{x} e^{\bar{k}}, \nabla_{x} δ_{x}^{2} e^{\bar{k}}) \leq \\ 3 (2 M_{1} + 1) M_{2} | | e^{k} | | \cdot | | \nabla_{x} δ_{x}^{2} e^{\bar{k}} | | + \\ [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}] | | \nabla_{x} e^{\bar{k}} | | \cdot | | \nabla_{x} δ_{x}^{2} e^{\bar{k}} | | ， \end{array}

1 \leq k \leq l

。（38）

将式（36）、式（38）代入式（34），可得

\begin{array}{l} \frac{1}{4 τ} (| | e^{k + 1} | |^{2} - | | e^{k - 1} | |^{2}) + | | δ_{x} (δ_{x}^{2} e^{\bar{k}}) | |^{2} \leq \frac{ε}{3} (M_{2} | | e^{k} | | \cdot | | e^{\bar{k}} | | + M_{1} | | e^{k} | | \cdot | | δ_{x} e^{\bar{k}} | |) + 3 (2 M_{1} + 1) M_{2} | | e^{k} | | \cdot | | \nabla_{x} δ_{x}^{2} e^{\bar{k}} | | + \\ [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}] | | \nabla_{x} e^{\bar{k}} | | \cdot | | \nabla_{x} δ_{x}^{2} e^{\bar{k}} | | + \\ | | p^{k} | | \cdot | | e^{\bar{k}} | | \leq \{\frac{ε (M_{1} + M_{2})}{6} + [3 (2 M_{1} + 1) M_{2}]^{2}\} | | e^{k} | |^{2} + (\frac{ε M_{2}}{6} + \frac{1}{2}) | | e^{\bar{k}} | |^{2} + \frac{1}{2} | | p^{k} | |^{2} + \frac{1}{2} {(\frac{ε M_{1}}{6})}^{2} | | e^{\bar{k}} | |^{2} + \frac{1}{2} | | δ_{x} (δ_{x}^{2} e^{\bar{k}}) | |^{2} + \\ \frac{1}{2} [1 + 3 (M_{1} {+ 1)}^{2}]^{4} | | e^{\bar{k}} | |^{2} + | | δ_{x}^{2} e^{\bar{k}} | |^{2} ， \end{array}

1 \leq k \leq l

。（39）

在引理3中，取 $α = \frac{3}{4}$ ，有

| | δ_{x}^{2} e^{\bar{k}} | |^{2} \leq

\frac{16}{27} | | e^{\bar{k}} | |^{2} +

\frac{1}{2} | | δ_{x} (δ_{x}^{2} e^{\bar{k}}) | |^{2}

，

将其代入式（39），整理后可得

\begin{array}{l} \frac{1}{4 τ} (| | e^{k + 1} | |^{2} - | | e^{k - 1} | |^{2}) \leq \frac{c_{1}}{4} | | e^{k} | |^{2} + \\ \frac{1}{2} | | p^{k} | |^{2} + \frac{c_{1}}{4} (| | e^{k + 1} | |^{2} + | | e^{k - 1} | |^{2}) ， \end{array}

1 \leq k \leq l

。（40）

记 $E_{k} =$ $| | e^{k} | |^{2} + | | e^{k + 1} | |^{2}$ ，由式（40），有

\frac{1}{4 τ} (E_{k} - E_{k - 1}) \leq

\frac{c_{1}}{4} (E_{k} + E_{k - 1}) +

\frac{1}{2} | | p^{k} | |^{2}

，

1 \leq k \leq l

。（41）

由于当 $β \leq \frac{1}{3}$ 时， $\frac{1 + β}{1 - β} \leq 1 + 3 β$ ， $\frac{1}{1 - β} \leq \frac{3}{2}$ ，故当 $c_{1} τ \leq \frac{1}{3}$ 时，有

\begin{array}{l} E_{k} \leq \frac{1 + c_{1} τ}{1 - c_{1} τ} E_{k - 1} + \frac{2 τ}{1 - c_{1} τ} | | p^{k} | |^{2} \leq \\ (1 + 3 c_{1} τ) E_{k - 1} + 3 τ | | p^{k} | |^{2} ， \end{array}

1 \leq k \leq l

。（42）

由Gronwall不等式、式（9）、式（27）及式（42），可得

\begin{array}{l} E_{k} \leq e x p (3 c_{1} k τ) (E_{0} + \frac{1}{c_{1}} | | p^{k} | |^{2}) \leq \\ c_{0}^{2} e x p (3 c_{1} k τ) (1 + \frac{1}{c_{1}}) (τ^{2} + h^{2})^{2} ， \end{array}

1 \leq k \leq l

，（43）

即

| | e^{k} | |^{2} + | | e^{k + 1} | |^{2} \leq c_{0}^{2} e x p (3 c_{1} k τ) (1 + \frac{1}{c_{1}}) (τ^{2} + h^{2})^{2},

1 \leq k \leq l

，（44）

从而有

| | e^{l + 1} | |^{2} \leq c^{2} (τ^{2} + h^{2})^{2}

，（45）

即对第 $l + 1$ 层数值解，定理成立。

证毕。

3　数值算例

式（10）~式（12）在时间和空间上均为二阶收敛。每个时间层仅需解一个线性方程组。设 ${u_{i}^{k} (h, τ) | 1 \leq i \leq M, 0 \leq k \leq N}$ 为式（10）~式（12）的数值解，为验证数值误差和收敛精度，分别定义 $L_{2}$ -范数和 $L_{\infty}$ -范数下的误差：

H_{2} (h, τ) = \sqrt[]{h \sum_{i = 1}^{M} {[u_{i}^{N} (h, τ) - u_{2 i}^{2 N} (\frac{h}{2}, \frac{τ}{2})]}^{2}}

，

H_{\infty} (h, τ) = \underset{1 \leq i \leq M}{m a x} |u_{i}^{N} (h, τ) - u_{2 i}^{2 N} (\frac{h}{2}, \frac{τ}{2})|

。

对于充分小的空间步长 $h$ ，定义时间收敛阶：

order1 $= l o g_{2} \frac{H_{2} (h, τ)}{H_{2} (h, \frac{τ}{2})}$ ，

order2 $= l o g_{2} \frac{H_{\infty} (h, τ)}{H_{\infty} (h, \frac{τ}{2})}$ 。

对于充分小的时间步长 $τ$ ，定义空间收敛阶：

order3 $= l o g_{2} \frac{H_{2} (h, τ)}{H_{2} (\frac{h}{2}, τ)}$ ，

order4 $= l o g_{2} \frac{H_{\infty} (h, τ)}{H_{\infty} (\frac{h}{2}, τ)}$ 。

KORZEC等^［3］分别研究了参数ε=0.01，0.5，0.7，1，2，3，5时式（1）和式（2）解的演化情况。对参数ε=0.5，初值 $u_{0} (x) =$ $s i n (2 π x / 64)$ ，在周期区间［0，64］，时间区间［0，T］内，利用Matlab编程验证数值解的收敛性。

首先，固定空间步长h，验证时间收敛阶。取空间网格点数M=2 000，时间网格点数N=20，40，80，160，分别计算时刻T=5的误差H₂（h，τ），H_∞（h，τ）和时间收敛阶order1，order2，数值结果见表1。其次，固定时间步长 $τ$ ，验证空间收敛阶。取时间网格点数N=2 000，空间网格点数M=10，20，40，80，分别计算时刻T=5时的误差H₂（h，τ），H_∞（h，τ）和空间收敛阶order3，order4，数值结果见表2。由表1和表2可知，差分格式是二阶收敛的，验证了差分格式的有效性。

表1 当T=5，M=2 000，ε=0.5时，差分格式在L₂-范数和L_∞-范数下的误差和时间收敛阶

Table 1 The errors and temporal convergence orders of the difference scheme in L₂-norm and L_∞-norm when T=5， M=2 000，ε=0.5

H₂（h，τ）

order1

H_∞（h，τ）

order2

2.451×10^-4

1.871

1.510×10^-4

1.859

6.703×10^-5

1.878

4.162×10^-5

1.872

160

1.824×10^-5

4.949×10^-6

1.882

1.137×10^-5

3.113×10^-6

1.869

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表2 当T=5，N=2 000，ε=0.5时，差分格式在L₂-范数和L_∞-范数下的误差和空间收敛阶

Table 2 The errors and spatial convergence orders of the difference scheme in L₂-norm and L_∞-norm when T=5， N=2 000，ε=0.5

H₂（h，τ）

order3

H_∞（h，τ）

order4

9.914×10^-2

1.841

2.245×10^-2

1.855

2.767×10^-2

1.950

6.208×10^-3

1.808

7.160×10^-3

1.825×10^-3

1.972

1.773×10^-3

4.559×10^-4

1.959

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4　结论

研究了高阶对流Cahn-Hilliard型方程的数值方法。建立了二阶收敛的线性化差分格式，利用能量分析方法证明了差分格式的唯一可解性和L₂范数下的收敛性，由数值算例可知，数值解在最大模意义下亦是二阶收敛的。差分格式的研究方法可推广至二维情形。对于高阶对流Cahn-Hilliard型方程的差分格式算法仅研究至二阶，为提高计算精度，后续将研究该问题的高阶线性化数值格式。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.01.009

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... 因对高阶对流Cahn-Hilliard方程的相关数值研究较少，故本文先探究六阶非线性发展方程相场模型的数值方法.WISE等^［4］和HU等^［5］分别基于凸分解方法讨论了晶体相场模型的时间方向一阶、空间方向二阶的稳定数值格式和二阶非线性三层差分格式；GOMEZ等^［6］和ZHANG等^［7］分别讨论了能量稳定的数值格式和二阶差分格式；由于非线性格式迭代运算耗费时间较多，YANG等^［8］、CAO等^［9］和李娟^［10］分别讨论了晶体相场模型的线性化数值算法.高阶对流Cahn-Hilliard型方程较之于晶体相场模型，前者具有非线性对流项和扩散项，且导数达到四阶，这对模型数值算法的建立及理论分析均带来了实际困难.为解决这些问题，需改写方程中的非线性项.本文利用中心差商对其进行离散，一方面方便差分格式线性化，另一方面，在差分格式的理论分析中避免对非线性项差商的估计，这在一定程度上降低了分析难度. ...

... 引理3^［4］设

v, δ_{x}^{2} v \in U_{h}

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