具有时变系数和吸收项的非线性非局部反应扩散系统解的爆破

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.01.004

具有时变系数和吸收项的非线性非局部反应扩散系统解的爆破

欧阳柏平^,^,

广州华商学院数据科学学院，广东广州 511300

Blow-up of solutions to a nonlinear nonlocal reaction-diffusion system with time-dependent coefficients and inner absorption terms

OUYANG Baiping^,^,

College of Data Science，Guangzhou Huashang College，Guangzhou 511300，China

收稿日期: 2020-12-15

基金资助:

国家自然科学基金资助项目.  11371175
广东省普通高校创新团队项目.  2020WCXTD008
广东财经大学华商学院校内项目.  2020HSDS01
广州市哲学社会科学发展“十三五”规划课题.  2019G2GJ209

Received: 2020-12-15

作者简介 About authors

欧阳柏平（1979—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-6464-1489，男，硕士，讲师，主要从事偏微分方程研究，E-mail：oytengfei79@tom.com. , E-mail：oytengfei79@tom.com

摘要

研究了非线性边界条件下具有时变系数和吸收项的非线性非局部反应扩散系统解的全局存在性和爆破问题。采用Sobolev不等式及其他微分不等式方法，构造能量表达式，在一定条件下得到了其所满足的微分不等式，进而推出了解的全局存在性和爆破发生时解的爆破时间下界估计。

关键词： 全局存在性 ; 爆破 ; 反应扩散系统 ; 时变系数 ; 吸收项

Abstract

Global existence and blow-up of solutions to a nonlinear nonlocal reaction-diffusion system with time-dependent coefficients and inner absorption terms under nonlinear boundary conditions are studied.Energy expressions are formulated.By using the technique of Sobolev inequalities and other differential ones,the energy satisfying a differential inequality under certain conditions is deduced.Finally,the global existence and lower bound estimates of blow up time are obtained respectively.

Keywords： global existence ; blow-up ; reaction-diffusion system ; time-dependent coefficient ; absorption term

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本文引用格式

欧阳柏平. 具有时变系数和吸收项的非线性非局部反应扩散系统解的爆破. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(1): 27-35 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.01.004

OUYANG Baiping. Blow-up of solutions to a nonlinear nonlocal reaction-diffusion system with time-dependent coefficients and inner absorption terms. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(1): 27-35 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.01.004

0　引言

近年来，已有很多研究针对局部和非局部抛物方程和抛物系统解的全局存在性和爆破问题。一般而言，解的全局存在性和爆破取决于方程的非线性、空间维数、初始数据以及边界条件。文献［1-6］考虑了三维空间中解在齐次边界条件（Dirichlet条件和Neumann条件）和Robin边界下的全局存在性和爆破问题。文献［7-17］研究了高维空间中解在非线性边界条件下的全局存在性和爆破问题。文献［18-25］对具有时变或空变系数的局部和非局部抛物方程和抛物系统解的全局性和爆破进行了研究。文献［26-28］考虑了其他偏微分方程解的爆破问题。从某种程度上，非局部的数学模型比局部的数学模型更具实际应用价值，因而探讨非局部的抛物方程和抛物系统解的全局存在性和爆破有较强的理论价值和实际意义。由于局部数学模型的理论和数学方法不适用于非局部数学模型，因此对于非局部数学模型的研究有较大的挑战。目前，关于爆破发生时解的爆破时间上下界估计的研究，考虑上界的方法较多，而考虑下界的较少。

文献［17］研究了具有时变系数的反应扩散系统爆破问题：

\{\begin{matrix} u_{t} = ∆ u + k_{1} (t) f_{1} (v), (x, t) \in Ω \times (0, t^{*}), \\ v_{t} = ∆ v + k_{2} (t) f_{2} (u), (x, t) \in Ω \times (0, t^{*}) ， \end{matrix}

在齐次Dirichlet边界条件下，得到解在有限时间内爆破的条件。同时推出了解的爆破时间上界估计和在二维和三维空间中解的爆破时间下界估计。

文献［19］研究了具有时变系数的局部反应扩散系统爆破问题：

\{\begin{matrix} u_{t} = ∆ u + k_{1} (t) u^{p} v^{q}, (x, t) \in Ω \times (0, t^{*}), \\ v_{t} = ∆ v + k_{2} (t) v^{r} u^{s}, (x, t) \in Ω \times (0, t^{*}) ， \end{matrix}

在齐次Dirichlet边界条件下，得到解的爆破条件以及在2种测度下解在高维空间中爆破时间下界估计。

文献［25］研究了具有空变系数的非局部反应扩散系统爆破问题：

\{\begin{matrix} u_{t} = d i v (a (x) \nabla u) + \int_{Ω}^{} u^{p} v^{q} d x, (x, t) \in Ω \times (0, t^{*}), \\ v_{t} = d i v (b (x) \nabla v) + \int_{Ω}^{} v^{r} u^{s} d x, (x, t) \in Ω \times (0, t^{*}), \end{matrix}

其中， $a (x) 和 b (x)$ 是光滑有界正函数。采用微分不等式方法，得到全空间中解的爆破时间下界估计。

文献［17］研究了具有吸收项的半线性抛物问题：

u_{t} = ∆ u - f (u), (x, t) \in Ω \times (0, t^{*}) ，

在齐次Neumann边界条件下，采用微分不等式方法和某些假设条件，得到解的全局存在性和爆破时间上界估计以及三维空间中爆破发生时解的爆破时间下界估计。

受以上文献启发，本文研究非线性边界条件下具有时变系数和吸收项的非线性非局部反应扩散系统解的全局存在性和爆破问题：

\{\begin{array}{l} u_{t} = ∆ u + k_{1} (t) u^{p} \int_{Ω}^{} v^{q} d x - u^{α}, (x, t) \in Ω \times (0, t^{*}), \\ v_{t} = ∆ v + k_{2} (t) v^{r} \int_{Ω}^{} u^{s} d x - v^{β}, (x, t) \in Ω \times (0, t^{*}), \\ \frac{\partial u}{\partial n} = g_{1} (u), \frac{\partial v}{\partial n} = g_{2} (u), (x, t) \in \partial Ω \times (0, t^{*}), \\ u (x, 0) = u_{0} (x) \geq 0, v (x, 0) = v_{0} (x) \geq 0, x \in Ω, \end{array}

（1）

其中， $Ω$ 是高维空间 $R^{n} (n \geq 3)$ 中的有界凸区域， $∆$ 表示拉普拉斯算子 $。 \partial Ω$ 是区域 $Ω$ 的边界， $t^{*}$ 表示可能的爆破时间。 $\frac{\partial u}{\partial n} 和 \frac{\partial v}{\partial n}$ 分别是 $u 、 v$ 在边界 $\partial Ω$ 上的外法向量的导数，假设其足够光滑。

目前，尚未发现关于式（1）的解的全局存在性和爆破问题的文献研究。其困难在于如何处理高维空间、非局部项、吸收项以及非线性边界条件对解的全局存在性和爆破影响。采用高维空间中的Sobolev嵌入不等式以及相关的微分不等式方法，得到高维空间中非线性边界条件下解的全局存在性和爆破发生时解的爆破时间的下界估计。

1　全局存在性

引理1^［16］设 $Ω$ 是 $R^{n} (n \geq 3)$ 上的有界凸区域，则对于 $u \in C^{1} (Ω), s > 0,$ 有

\int_{\partial Ω}^{} u^{s} d A \leq \frac{n}{ρ_{0}} \int_{Ω}^{} u^{s} d x + \frac{s d}{ρ_{0}} \int_{Ω}^{} u^{s - 1} | \nabla u | d x

，（2）

其中，

ρ_{0} = \underset{x \in \partial Ω}{m i n} (x ∙ n), d = \underset{x \in Ω}{m a x} | x | 。

引理2^［29］ Sobolev不等式：

\int_{Ω}^{} u^{\frac{σ n}{n - 2}} d x \leq C^{\frac{2 n}{n - 2}} 2^{\frac{n}{n - 2} - 1} [{(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{\frac{n}{n - 2}} + {(\int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x)}^{\frac{n}{n - 2}}]

，（3）

\int_{Ω}^{} v^{\frac{σ n}{n - 2}} d x \leq C^{\frac{2 n}{n - 2}} 2^{\frac{n}{n - 2} - 1} [{(\int_{Ω}^{} v^{σ} d x)}^{\frac{n}{n - 2}} + {(\int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x)}^{\frac{n}{n - 2}}]

，（4）

其中， $C = C (n, Ω)$ 是与 $n$ 和 $Ω$ 有关的Sobolev嵌入常数。

定理1 假设

0 \leq g_{i} (ξ) \leq b_{i} ξ^{s_{i}}, ξ > 0

，

b_{i} > 0, s_{i} > 1

，

p ， q ， r ， s > 1, α > m a x {p + q, r + s, 2 s_{1} - 1},

\begin{array}{l} β > m a x \{p + q, r + s, 2 s_{2} - 1\}, \frac{k_{i}' (t)}{k_{i} (t)} \leq - l_{i}, \\ l_{i} > 0 (i = 1,2), k_{i} (t) > 0, t \geq 0, \end{array}

（5）

则在任何有限时间式（1）的解均有界，即式（1）是全局存在的。

证明首先，定义辅助函数：

φ (t) = k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ} d x + k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ} d x

，（6）

其中， $σ > 1 。$

运用散度定理，对式（6）求导数，结合式（5），得

\begin{array}{l} φ' (t) = k_{1}' (t) \int_{Ω}^{} u^{σ} d x + σ k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ - 1} u_{t} d x + \\ k_{2}' (t) \int_{Ω}^{} v^{σ} d x + σ k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ - 1} v_{t} d x \leq - l φ (t) + σ k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ - 1} ∆ u d x + \\ σ {k_{1}}^{2} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p - 1} d x \int_{Ω}^{} v^{q} d x - \\ σ k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + σ k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ - 1} ∆ v d x + \\ σ {k_{2}}^{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r - 1} d x \int_{Ω}^{} u^{s} d x - \\ σ k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x, \end{array}

（7）

其中， $l = m i n {l_{1}, l_{2}}$ 。

对于式（7）右边第2项，由散度定理和式（2），有

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} u^{σ - 1} ∆ u d x = \int_{\partial Ω}^{} u^{σ - 1} \frac{\partial u}{\partial n} d A - \int_{Ω}^{} \nabla u ∙ \nabla u^{σ - 1} d x \leq b_{1} \int_{\partial Ω}^{} u^{σ + s_{1} - 1} d A - \frac{4 (σ - 1)}{σ^{2}} \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x \leq \\ \frac{n b_{1}}{ρ_{0}} \int_{Ω}^{} u^{σ + s_{1} - 1} d x + \\ \frac{(σ + s_{1} - 1) d b_{1}}{ρ_{0}} \int_{Ω}^{} u^{σ + s_{1} - 2} | \nabla u | d x - \\ \frac{4 (σ - 1)}{σ^{2}} \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x 。 \end{array}

（8）

对于式（8）右边第2项，由Hölder不等式和Young不等式，得

\int_{Ω}^{} u^{σ + s_{1} - 2} |\nabla u| d x \leq \frac{1}{2 ε_{1}} \int_{Ω}^{} u^{σ + 2 s_{1} - 2} d x + \frac{2 ε_{1}}{σ^{2}} \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x,

（9）

其中 $， ε_{1}$ 为正数。于是，由式（8）和式（9），得到

\begin{array}{l} σ k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ - 1} ∆ u d x \leq r_{1} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + s_{1} - 1} d x + r_{2} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + 2 s_{1} - 2} d x + \\ r_{3} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x \end{array}

，（10）

其中， $r_{1} = \frac{σ n b_{1}}{ρ_{0}}, r_{2} = \frac{σ (σ + s_{1} - 1) d b_{1}}{ρ_{0}} \frac{1}{2 ε_{1}}, r_{3} = \frac{(σ + s_{1} - 1) d b_{1}}{ρ_{0}} \frac{2 ε_{1}}{σ} - \frac{4 (σ - 1)}{σ} 。$

对于式（7）右边第5项，重复式（8）~式（10）的推导，可得

\begin{array}{l} σ k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ - 1} ∆ v d x \leq λ_{1} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + s_{2} - 1} d x + λ_{2} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + 2 s_{2} - 2} d x + \\ λ_{3} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x \end{array}

，（11）

其中， $λ_{1} = \frac{σ n b_{2}}{ρ_{0}}, λ_{2} = \frac{σ (σ + s_{2} - 1) d b_{2}}{ρ_{0}} \frac{1}{2 ε_{2}}, λ_{3} = \frac{(σ + s_{2} - 1) d b_{2}}{ρ_{0}} \frac{2 ε_{2}}{σ} - \frac{4 (σ - 1)}{σ}$ ， $ε_{2}$ 为正数。

对于式（7）右边第3项，由Hölder不等式和Young不等式，有

\begin{array}{l} σ {k_{1}}^{2} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p - 1} d x \int_{Ω}^{} v^{q} d x \leq σ | Ω | {k_{1}}^{2} (t) {(\int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x)}^{\frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1}} \times {(\int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x)}^{\frac{q}{σ + p + q - 1}} \leq \tilde{k} (t) \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x + \\ \tilde{k} (t) \frac{q}{σ + p + q - 1} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x, \end{array}

（12）

其中， $\tilde{k} (t) = σ | Ω | {k_{1}}^{2 - \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1}} (t) {k_{2}}^{- \frac{q}{σ + p + q - 1}} (t) 。$

同样，对于式（7）右边第6项，由Hölder 不等式和Young不等式，有

\begin{array}{l} σ {k_{2}}^{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r - 1} d x \int_{Ω}^{} u^{s} d x \leq σ | Ω | {k_{2}}^{2} (t) {(\int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x)}^{\frac{σ + r - 1}{σ + r + s - 1}} \times {(\int_{Ω}^{} u^{σ + r + s - 1} d x)}^{\frac{s}{σ + r + s - 1}} \leq \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{σ + r - 1}{σ + r + s - 1} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x, \end{array}

（13）

其中， $\tilde{\tilde{k}} (t) = σ | Ω | {k_{2}}^{2 - \frac{r + s - 1}{σ + r + s - 1}} (t) {k_{1}}^{- \frac{s}{σ + r + s - 1}} (t)$ 。

联立式（7）、式（10）~式（13），有

\begin{array}{l} φ^{'} (t) \leq - l φ (t) + r_{1} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + s_{1} - 1} d x + r_{2} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + 2 s_{1} - 2} d x + r_{3} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + \tilde{k} (t) \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x + \\ \tilde{k} (t) \frac{q}{σ + p + q - 1} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x - \\ σ k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + λ_{1} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + s_{2} - 1} d x + \\ λ_{2} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + 2 s_{2} - 2} d x + \\ λ_{3} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{σ + r - 1}{σ + r + s - 1} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + r + s - 1} d x - \\ σ k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x 。 \end{array}

（14）

选取合适的 $ε_{1} ， ε_{2}$ ，使得 $r_{3} \leq 0 ， λ_{3} \leq 0$ ，于是，式（14）可化为

\begin{array}{l} φ^{'} (t) \leq - l φ (t) + r_{1} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + s_{1} - 1} d x + r_{2} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + 2 s_{1} - 2} d x + \tilde{k} (t) \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x + \tilde{k} (t) \frac{q}{σ + p + q - 1} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x - \\ σ k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + λ_{1} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + s_{2} - 1} d x + \\ λ_{2} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + 2 s_{2} - 2} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{σ + r - 1}{σ + r + s - 1} k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + r + s - 1} d x - \\ σ k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x 。 \end{array}

（15）

由Hölder不等式和Young不等式，得

\int_{Ω}^{} u^{σ + s_{1} - 1} d x \leq \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} u^{σ + 2 s_{1} - 2} d x + \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} u^{σ} d x,

（16）

\int_{Ω}^{} u^{σ + 2 s_{1} - 2} d x \leq \frac{2 s_{1} - 2}{α - 1} ε_{3} \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + \frac{α - 2 s_{1} + 1}{α - 1} {ε_{3}}^{- \frac{2 s_{1} - 2}{α - 2 s_{1} + 1}} \int_{Ω}^{} u^{σ} d x,

（17）

\int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x \leq \frac{p + q - 1}{α - 1} ε_{4} \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + \frac{α - p - q}{α - 1} {ε_{4}}^{- \frac{p + q - 1}{α - p - q}} \int_{Ω}^{} u^{σ} d x,

（18）

\int_{Ω}^{} u^{σ + r + s - 1} d x \leq \frac{r + s - 1}{α - 1} \overset{̌}{ε} \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + \frac{α - r - s}{α - 1} {\overset{̌}{ε}}^{- \frac{r + s - 1}{α - r - s}} \int_{Ω}^{} u^{σ} d x,

（19）

\int_{Ω}^{} v^{σ + s_{2} - 1} d x \leq \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} v^{σ + 2 s_{2} - 2} d x + \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} v^{σ} d x,

（20）

\int_{Ω}^{} v^{σ + 2 s_{2} - 2} d x \leq \frac{2 s_{2} - 2}{β - 1} ε_{5} \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x + \frac{β - 2 s_{2} + 1}{β - 1} {ε_{5}}^{- \frac{2 s_{2} - 2}{β - 2 s_{2} + 1}} \int_{Ω}^{} v^{σ} d x,

（21）

\int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x \leq \frac{r + s - 1}{β - 1} ε_{6} \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x + \frac{β - r - s}{β - 1} {ε_{6}}^{- \frac{r + s - 1}{β - r - s}} \int_{Ω}^{} v^{σ} d x,

（22）

\int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x \leq \frac{p + q - 1}{β - 1} \tilde{ε} \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x + \frac{β - p - q}{β - 1} {\tilde{ε}}^{- \frac{p + q - 1}{β - p - q}} \int_{Ω}^{} v^{σ} d x,

（23）

其中， $ε_{3} ， ε_{4} ， ε_{5} ， ε_{6} ， \overset{̌}{ε} ， \tilde{ε}$ 为正数。联立式（15）~式（23），有

\begin{array}{l} φ^{'} (t) \leq （ - l + r_{4} + λ_{4} ） φ (t) + \\ （ r_{5} - σ ） k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + \\ (λ_{5} - σ) k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x, \end{array}

（24）

其中，

r_{4} = \frac{1}{2} r_{1} + \frac{α - 2 s_{1} + 1}{α - 1} {ε_{3}}^{- \frac{2 s_{1} - 2}{α - 2 s_{1} + 1}} (r_{2} + \frac{1}{2} r_{1}) + \frac{α - p - q}{α - 1} {ε_{4}}^{- \frac{p + q - 1}{α - p - q}} \tilde{k} (t) \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1} + \frac{α - r - s}{α - 1} {\overset{̌}{ε}}^{- \frac{r + s - 1}{α - r - s}} \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} ，

λ_{4} = \frac{1}{2} λ_{1} + \frac{β - 2 s_{2} + 1}{β - 1} {ε_{5}}^{- \frac{2 s_{2} - 2}{β - 2 s_{2} + 1}} (\frac{1}{2} λ_{1} + λ_{2}) + \frac{β - r - s}{β - 1} {ε_{6}}^{- \frac{r + s - 1}{β - r - s}} \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} + \frac{β - p - q}{β - 1} {\tilde{ε}}^{- \frac{p + q - 1}{β - p - q}} \tilde{k} (t) \frac{q}{σ + p + q - 1}

，

r_{5} = \frac{2 s_{1} - 2}{α - 1} ε_{3} (r_{2} + \frac{1}{2} r_{1}) + \frac{p + q - 1}{α - 1} ε_{4} \tilde{k} (t) \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1} + \frac{r + s - 1}{α - 1} \overset{̌}{ε} \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1}

，

λ_{5} = \frac{2 s_{2} - 2}{β - 1} ε_{5} (\frac{1}{2} λ_{1} + λ_{2}) +

\frac{r + s - 1}{β - 1} ε_{6} \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} + \frac{p + q - 1}{β - 1} \tilde{ε} \tilde{k} (t) \frac{q}{σ + p + q - 1}

。

由Hölder不等式，可知

\int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x \geq {(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{\frac{σ + α - 1}{σ}} | Ω |^{\frac{1 - α}{σ}}

，（25）

\int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x \geq {(\int_{Ω}^{} v^{σ} d x)}^{\frac{σ + β - 1}{σ}} | Ω |^{\frac{1 - β}{σ}} 。

（26）

联立式（24）~式（26），得

\begin{array}{l} φ^{'} (t) \leq （ - l + r_{4} + λ_{4} ） φ (t) - \\ （ σ - r_{5} ） [k_{1} {(t ）]}^{\frac{1 - α}{σ}} {[k_{1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ} d x]}^{\frac{σ + α - 1}{σ}} \times \\ {|Ω|}^{\frac{1 - α}{σ}} - （ σ - λ_{5} ） [k_{2} {(t)]}^{\frac{1 - β}{σ}} \times {[k_{2} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ} d x]}^{\frac{σ + β - 1}{σ}} {|Ω|}^{\frac{1 - β}{σ}} 。 \end{array}

（27）

选取合适的 $ε_{3} ， ε_{4} ， ε_{5} ， ε_{6} ， \overset{̌}{ε} ， \tilde{ε}$ ，使得 $σ - r_{5} > 0, σ - λ_{5} > 0$ 。

设 $K_{1} = m i n {σ - r_{5}, σ - λ_{5}}$ ，

K_{2} = m i n \{[k_{1} {(t)]}^{\frac{1 - α}{σ}} | Ω |^{\frac{1 - α}{σ}}, [k_{2} {(t ）]}^{\frac{1 - β}{σ}} | Ω |^{\frac{1 - β}{σ}}\}

，

K_{3} = m i n \{\frac{α - 1}{σ}, \frac{β - 1}{σ}\}

，

由式（27），可得

φ^{'} (t) \leq （ - l + r_{4} + λ_{4} ） φ (t) - C K_{1} K_{2} φ {(t)}^{1 + K_{3}} = φ (t) [- l + r_{4} + λ_{4} - C K_{1} K_{2} φ {(t)}^{K_{3}}]

，（28）

其中 $， C$ 为正常数。

式（28）表明， $u$ 在 $φ (t)$ 测度下对于任意的 $t (t > 0)$ 都不会爆破。事实上，如果在某个时间 $t^{*}$ 爆破，即

\underset{t \to (t^{*})^{-}}{l i m} φ (t) = + \infty 。

由式（28），对任意的 $t \in [t_{0}, t^{*})$ ，有 $φ^{'} (t) \leq 0$ ，从而 $φ (t) \leq φ (t_{0})$ 。当 $t \to (t^{*})^{-}$ 时，取极限，有

\underset{t \to (t^{*})^{-}}{l i m} φ (t) = + \infty \leq φ (t_{0}),

矛盾。定理1得证。

2　解的爆破时间的下界

假设

0 \leq g_{i} (ξ) \leq b_{i} ξ^{s_{i}}, ξ > 0

，

b_{i} > 0, s_{i} > 1

，

α > m a x {p + q, r + s, 2 s_{1} - 1}, p ， q ， r ， s > 1,

\begin{array}{l} β > m a x {p + q, r + s, 2 s_{2} - 1}, \frac{k_{i}' (t)}{k_{i} (t)} \leq a_{i}, \\ a_{i} > 0 (i = 1,2), k_{i} (t) > 0, t \geq 0 。 \end{array}

（29）

构造辅助函数：

ϕ (t) = {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ} d x + {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ} d x

，（30）

其中 $， σ > \{\frac{n (p + q - 1)}{2}, \frac{n (r + s - 1)}{2}\}, δ > 1$ 。

有如下定理：

定理2 假设 $u (x, t)$ ， $v (x, t)$ 是式（1）、式（29）在有界凸区域 $Ω$ 的经典非负解，则式（30）中定义的能量满足：

ϕ^{'} (t) \leq K_{7} ϕ (t) + 2 K_{5} (t) ϕ {(t)}^{ξ_{1}} + 2 K_{6} (t) ϕ {(t)}^{ξ_{2}},

因此，爆破时间 $t^{*}$ 的下界为

t^{*} \geq Θ^{- 1} (S),

Θ^{- 1} 是 Θ 的 反 函 数

。

证明运用散度定理，对式（30）求导数，由式（29），得

\begin{array}{l} ϕ' (t) = δ {k_{1}}^{δ - 1} (t) k_{1}' (t) \int_{Ω}^{} u^{σ} d x + σ {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ - 1} u_{t} d x + δ {k_{2}}^{δ - 1} (t) k_{2}' (t) \times \int_{Ω}^{} v^{σ} d x + σ {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ - 1} v_{t} d x \leq δ a ϕ (t) + σ {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ - 1} ∆ u d x + \\ σ {k_{1}}^{δ + 1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p - 1} d x \int_{Ω}^{} v^{q} d x - \\ σ {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + σ {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ - 1} ∆ v d x + \\ σ {k_{2}}^{δ + 1} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r - 1} d x \int_{Ω}^{} u^{s} d x - \\ σ {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x, \end{array}

（31）

其中， $a = m a x {a_{1}, a_{2}}$ 。于是，由式（8）和式（9），得

\begin{array}{l} σ {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ - 1} ∆ u d x \leq r_{1} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + s_{1} - 1} d x + r_{2} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + 2 s_{1} - 2} d x + \\ r_{3} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x \end{array}

，（32）

同理，可得

\begin{array}{l} σ k_{2}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ - 1} ∆ v d x \leq λ_{1} k_{2}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + s_{2} - 1} d x + λ_{2} k_{2}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + 2 s_{2} - 2} d x + \\ λ_{3} k_{2}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x \end{array}

，（33）

对于式（31）右边第3项，由Hölder不等式和Young不等式，有

\begin{array}{l} σ {k_{1}}^{δ + 1} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p - 1} d x \int_{Ω}^{} v^{q} d x \leq σ | Ω | {k_{1}}^{δ + 1} (t) {(\int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x)}^{\frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1}} \times {(\int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x)}^{\frac{q}{σ + p + q - 1}} \leq \tilde{k} (t) \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x + \\ \tilde{k} (t) \frac{q}{σ + p + q - 1} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x ， \end{array}

（34）

其中， $\tilde{k} (t) = σ | Ω | {k_{1}}^{δ + 1 - \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1}} (t) {k_{2}}^{- \frac{q}{σ + p + q - 1}} (t)$ 。

同样，对于式（31）右边第6项，由Hölder 不等式和Young不等式，有

\begin{array}{l} σ {k_{2}}^{δ + 1} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r - 1} d x \int_{Ω}^{} u^{s} d x \leq σ | Ω | {k_{2}}^{δ + 1} (t) {(\int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x)}^{\frac{σ + r - 1}{σ + r + s - 1}} \times {(\int_{Ω}^{} u^{σ + r + s - 1} d x)}^{\frac{s}{σ + r + s - 1}} \leq \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{σ + r - 1}{σ + r + s - 1} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + r + s - 1} d x, \end{array}

（35）

其中， $\tilde{\tilde{k}} (t) = σ | Ω | {k_{2}}^{δ + 1 - \frac{r + s - 1}{σ + r + s - 1}} (t) {k_{1}}^{- \frac{s}{σ + r + s - 1}} (t)$ 。

联立式（31）、式（33）~式（35），有

\begin{array}{l} ϕ^{'} (t) \leq δ a ϕ (t) + r_{1} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + s_{1} - 1} d x + r_{2} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + 2 s_{1} - 2} d x + r_{3} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + \tilde{k} (t) \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x + \tilde{k} (t) \frac{q}{σ + p + q - 1} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x - σ {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + λ_{1} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + s_{2} - 1} d x + λ_{2} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + 2 s_{2} - 2} d x + \\ λ_{3} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{σ + r - 1}{σ + r + s - 1} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + r + s - 1} d x - \\ σ {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x 。 \end{array}

（36）

由Hölder 不等式，可得

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} u^{σ + 2 s_{1} - 2} d x \leq {(ε_{7} \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x)}^{x_{10}} {({ε_{7}}^{- \frac{x_{10}}{x_{20}}} \int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{x_{20}} \leq \\ x_{10} ε_{7} \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + x_{20} {ε_{7}}^{- \frac{x_{10}}{x_{20}}} \int_{Ω}^{} u^{σ} d x ， \end{array}

（37）

\int_{Ω}^{} v^{σ + 2 s_{2} - 2} d x \leq {(ε_{8} \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x)}^{y_{10}} {({ε_{8}}^{- \frac{y_{10}}{y_{20}}} \int_{Ω}^{} v^{σ} d x)}^{y_{20}} \leq y_{10} ε_{8} \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x + y_{20} {ε_{8}}^{- \frac{y_{10}}{y_{20}}} \int_{Ω}^{} v^{σ} d x ，

（38）

其中， $x_{10} = \frac{2 s_{1} - 2}{α - 1}, x_{20} = \frac{α + 1 - 2 s_{1}}{α - 1}, y_{10} = \frac{2 s_{2} - 2}{α - 1}, y_{20} = \frac{α + 1 - 2 s_{2}}{α - 1}, ε_{7}, ε_{8}$ 为常数。

由式（16）、式（20）、式（36）~（38），可得

\begin{array}{l} ϕ^{'} (t) \leq (δ a + K_{1} + K_{2}) ϕ (t) + \tilde{k} (t) \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x + \tilde{k} (t) \frac{q}{σ + p + q - 1} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x + [(\frac{1}{2} r_{1} + r_{2}) x_{10} ε_{7} - σ] {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + α - 1} d x + \\ r_{3} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + λ_{3} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{σ + r - 1}{σ + r + s - 1} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + r + s - 1} d x + [(\frac{1}{2} λ_{1} + λ_{2}) y_{10} ε_{8} - σ] {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + β - 1} d x ， \end{array}

（39）

其中， $K_{1} = \frac{1}{2} r_{1} + (\frac{1}{2} r_{1} + r_{2}) x_{20} {ε_{7}}^{- \frac{x_{10}}{x_{20}}},$

K_{2} = \frac{1}{2} λ_{1} + y_{20} {ε_{8}}^{- \frac{y_{10}}{y_{20}}} (\frac{1}{2} λ_{1} + λ_{2})

。

选取合适的 $ε_{7}, ε_{8}$ ，使得 $(\frac{1}{2} r_{1} + r_{2}) x_{10} ε_{7} - σ \leq 0,$ $(\frac{1}{2} λ_{1} + λ_{2}) y_{10} ε_{8} - σ \leq 0$ 。于是，

\begin{array}{l} ϕ^{'} (t) \leq (δ a + K_{1} + K_{2}) ϕ (t) + \tilde{k} (t) \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x + \tilde{k} (t) \frac{q}{σ + p + q - 1} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x + r_{3} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + λ_{3} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{σ + r - 1}{σ + r + s - 1} \times \\ {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ + r + s - 1} d x 。 \end{array}

（40）

由Hölder不等式和式（3），有

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} u^{σ + p + q - 1} d x \leq {(\int_{Ω}^{} u^{\frac{σ n}{n - 2}} d x)}^{x_{11}} {(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{x_{21}} \leq {(C^{\frac{2 n}{n - 2}} 2^{\frac{n}{n - 2} - 1})}^{x_{11}} [{(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{\frac{n x_{11}}{n - 2}} + {(\int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x)}^{\frac{n x_{11}}{n - 2}}] {(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{x_{21}} \leq \\ r_{4} {(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{\frac{n x_{11}}{n - 2} + x_{21}} + r_{4} {(\int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x)}^{\frac{n x_{11}}{n - 2}} \times {(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{x_{21}} \leq r_{4} {(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{\frac{n x_{11}}{n - 2} + x_{21}} + r_{5} \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + r_{6} {(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{\frac{(n - 2) x_{21}}{n - 2 - n x_{11}}} ， \end{array}

（41）

其中， $x_{11} = \frac{（ p + q - 1 ） (n - 2)}{2 σ}, x_{21} = \frac{2 σ - （ p + q - 1 ） (n - 2)}{2 σ},$ $r_{4} = {(C^{\frac{2 n}{n - 2}} 2^{\frac{n}{n - 2} - 1})}^{x_{11}},$ $r_{5} = r_{4} \frac{n x_{11}}{n - 2} ε_{9},$ $r_{6} = r_{4} \frac{n - 2 - n x_{11}}{n - 2} {ε_{9}}^{- \frac{n x_{11}}{n - 2 - n x_{11}}}, ε_{9}$ 为常数。

类似于式（41）的推导，由Hölder不等式、式（3）~式（4），可得

\int_{Ω}^{} u^{σ + r + s - 1} d x \leq r_{7} {(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{\frac{n x_{12}}{n - 2} + x_{22}} + r_{8} \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + r_{9} {(\int_{Ω}^{} u^{σ} d x)}^{\frac{(n - 2) x_{22}}{n - 2 - n x_{12}}}

，（42）

\int_{Ω}^{} v^{σ + p + q - 1} d x \leq λ_{4} {(\int_{Ω}^{} v^{σ} d x)}^{\frac{n y_{11}}{n - 2} + y_{21}} + λ_{5} \int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + λ_{6} {(\int_{Ω}^{} v^{σ} d x)}^{\frac{(n - 2) y_{21}}{n - 2 - n y_{11}}}

，（43）

\int_{Ω}^{} v^{σ + r + s - 1} d x \leq λ_{7} {(\int_{Ω}^{} v^{σ} d x)}^{\frac{n y_{12}}{n - 2} + y_{22}} + λ_{8} \int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + λ_{9} {(\int_{Ω}^{} v^{σ} d x)}^{\frac{(n - 2) y_{22}}{n - 2 - n y_{12}}}

，（44）

其中，

\begin{array}{l} x_{12} = \frac{(r + s - 1) (n - 2)}{2 σ}, \\ x_{22} = \frac{2 σ - (r + s - 1) (n - 2)}{2 σ}, \\ r_{7} = {(C^{\frac{2 n}{n - 2}} 2^{\frac{n}{n - 2} - 1})}^{x_{12}}, r_{8} = r_{7} \frac{n x_{12}}{n - 2} ε_{10}, \\ r_{9} = r_{7} \frac{n - 2 - n x_{12}}{n - 2} {ε_{10}}^{- \frac{n x_{12}}{n - 2 - n x_{12}}}, \end{array}

\begin{array}{l} y_{11} = \frac{(p + q - 1) (n - 2)}{2 σ}, \\ y_{21} = \frac{2 σ - (p + q - 1) (n - 2)}{2 σ}, \\ λ_{4} = {(C^{\frac{2 n}{n - 2}} 2^{\frac{n}{n - 2} - 1})}^{y_{11}}, λ_{5} = λ_{4} \frac{n y_{11}}{n - 2} ε_{11}, \\ λ_{6} = λ_{4} \frac{n - 2 - n y_{11}}{n - 2} {ε_{11}}^{- \frac{n y_{11}}{n - 2 - n y_{11}}}, \\ y_{12} = \frac{(r + s - 1) (n - 2)}{2 σ}, \\ y_{22} = \frac{2 σ - (r + s - 1) (n - 2)}{2 σ}, \end{array}

\begin{array}{l} λ_{7} = {(C^{\frac{2 n}{n - 2}} 2^{\frac{n}{n - 2} - 1})}^{y_{12}}, λ_{8} = λ_{7} \frac{n y_{12}}{n - 2} ε_{12}, \\ r_{9} = λ_{7} \frac{n - 2 - n y_{12}}{n - 2} {ε_{12}}^{- \frac{n y_{12}}{n - 2 - n y_{12}}}, \end{array}

$ε_{10}, ε_{11}, ε_{12}$ 为常数。联立式（40）~式（44），得

ϕ^{'} (t) \leq (δ a + K_{1} + K_{2}) ϕ (t) + K_{3} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + K_{4} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + \tilde{k} (t) r_{4} {k_{1}}^{- \frac{2 x_{11}}{n - 2} δ} (t) {[{k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ} d x]}^{\frac{n x_{11}}{n - 2} + x_{21}} + \tilde{k} (t) r_{6} {k_{1}}^{- \frac{2 x_{11}}{n - 2 - n x_{11}} δ} (t) {[{k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ} d x]}^{\frac{(n - 2) x_{21}}{n - 2 - n x_{11}}} + \tilde{\tilde{k}} (t) r_{7} {k_{1}}^{- \frac{2 x_{12}}{n - 2} δ} (t) {[{k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ} d x]}^{\frac{n x_{12}}{n - 2} + x_{22}} + \tilde{\tilde{k}} (t) r_{9} {k_{1}}^{- \frac{2 x_{12}}{n - 2 - n x_{12}} δ} (t) {[{k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} u^{σ} d x]}^{\frac{(n - 2) x_{22}}{n - 2 - n x_{12}}} + \tilde{k} (t) λ_{4} {k_{2}}^{- \frac{2 y_{11}}{n - 2} δ} (t) {[{k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ} d x]}^{\frac{n y_{11}}{n - 2} + y_{21}} + \tilde{k} (t) λ_{6} {k_{2}}^{- \frac{2 y_{11}}{n - 2 - n y_{11}} δ} (t) {[{k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ} d x]}^{\frac{(n - 2) y_{21}}{n - 2 - n y_{11}}} + \tilde{\tilde{k}} (t) λ_{7} {k_{2}}^{- \frac{2 y_{12}}{n - 2} δ} (t) {[{k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ} d x]}^{\frac{n y_{12}}{n - 2} + y_{22}} + \tilde{\tilde{k}} (t) λ_{9} {k_{2}}^{- \frac{2 y_{12}}{n - 2 - n y_{12}} δ} (t) {[{k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} v^{σ} d x]}^{\frac{(n - 2) y_{22}}{n - 2 - n y_{12}}} \leq K_{7} ϕ (t) + K_{3} {k_{1}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla u^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + K_{4} {k_{2}}^{δ} (t) \int_{Ω}^{} {|\nabla v^{\frac{σ}{2}}|}^{2} d x + 2 K_{5} (t) ϕ {(t)}^{ξ_{1}} + 2 K_{6} (t) ϕ {(t)}^{ξ_{2}},

（45）

其中，

K_{3} = r_{3} + \tilde{k} (t) \frac{σ + p - 1}{σ + p + q - 1} r_{5} + \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{s}{σ + r + s - 1} r_{8},

\begin{array}{l} K_{4} = λ_{3} + \tilde{k} (t) \frac{q}{σ + p + q - 1} λ_{5} + \\ \tilde{\tilde{k}} (t) \frac{σ + r - 1}{σ + r + s - 1} λ_{8}, \end{array}

K_{5} (t) = \tilde{k} (t) r_{4} {k_{1}}^{- \frac{2 x_{11}}{n - 2} δ} (t) + \tilde{\tilde{k}} (t) r_{7} {k_{1}}^{- \frac{2 x_{12}}{n - 2} δ} (t) + \tilde{k} (t) λ_{4} {k_{2}}^{- \frac{2 y_{11}}{n - 2} δ} (t) + \tilde{\tilde{k}} (t) λ_{7} {k_{2}}^{- \frac{2 y_{12}}{n - 2} δ} (t)

，

ξ_{1} = m a x \{\frac{n x_{11}}{n - 2} + x_{21}, \frac{n x_{12}}{n - 2} + x_{22}, \frac{n y_{11}}{n - 2} + y_{21}, \frac{n y_{12}}{n - 2} + y_{22}\} > 1

，

K_{6} (t) = \tilde{k} (t) r_{6} {k_{1}}^{- \frac{2 x_{11}}{n - 2 - n x_{11}} δ} (t) + \tilde{\tilde{k}} (t) r_{9} {k_{1}}^{- \frac{2 x_{12}}{n - 2 - n x_{12}} δ} (t) + \tilde{k} (t) λ_{6} {k_{2}}^{- \frac{2 y_{11}}{n - 2 - n y_{11}} δ} (t) + \tilde{\tilde{k}} (t) λ_{9} {k_{2}}^{- \frac{2 y_{12}}{n - 2 - n y_{12}} δ} (t)

，

K_{7} = δ a + K_{1} + K_{2}

，

ξ_{2} = m a x \{\frac{(n - 2) x_{21}}{n - 2 - n x_{11}}, \frac{(n - 2) x_{22}}{n - 2 - n x_{12}}, \frac{(n - 2) y_{21}}{n - 2 - n y_{11}}, \frac{(n - 2) y_{22}}{n - 2 - n y_{12}}\} > 1 。

选取合适的 $ε_{1}, ε_{2}, ε_{9}, ε_{10}, ε_{11}, ε_{12}$ ，使得 $K_{3} \leq 0 ，$ $K_{4} \leq 0$ 。于是，式（45）可化为

\begin{array}{l} ϕ^{'} (t) \leq K_{7} ϕ (t) + 2 K_{5} (t) ϕ {(t)}^{ξ_{1}} + \\ 2 K_{6} (t) ϕ {(t)}^{ξ_{2}}, \end{array}

（46）

设 $Θ (t^{*}) = \int_{0}^{t^{*}} K (τ) d τ$ ，

其中， $K (t) = 1 + K_{5} (t) + K_{6} (t)$ 。对式（46）从 $0$ 到 $t^{*}$ 积分，有

Θ (t^{*}) \geq \int_{ϕ (0)}^{\infty} \frac{1}{K_{7} η + 2 η^{ξ_{1}} + 2 η^{ξ_{2}}} d η = S 。

（47）

因为 $ξ_{i} > 1 (i = 1,2)$ ，所以式（47）右边积分存在。易知， $Θ (t^{*})$ 是单调递增函数，于是有

t^{*} \geq Θ^{- 1} (S),

（48）

其中 $， Θ^{- 1} 是 Θ 的反函数$ 。

定理2得证。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.01.004

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... 近年来，已有很多研究针对局部和非局部抛物方程和抛物系统解的全局存在性和爆破问题.一般而言，解的全局存在性和爆破取决于方程的非线性、空间维数、初始数据以及边界条件.文献［1-6］考虑了三维空间中解在齐次边界条件（Dirichlet条件和Neumann条件）和Robin边界下的全局存在性和爆破问题.文献［7-17］研究了高维空间中解在非线性边界条件下的全局存在性和爆破问题.文献［18-25］对具有时变或空变系数的局部和非局部抛物方程和抛物系统解的全局性和爆破进行了研究.文献［26-28］考虑了其他偏微分方程解的爆破问题.从某种程度上，非局部的数学模型比局部的数学模型更具实际应用价值，因而探讨非局部的抛物方程和抛物系统解的全局存在性和爆破有较强的理论价值和实际意义.由于局部数学模型的理论和数学方法不适用于非局部数学模型，因此对于非局部数学模型的研究有较大的挑战.目前，关于爆破发生时解的爆破时间上下界估计的研究，考虑上界的方法较多，而考虑下界的较少. ...

Robin边界条件下更一般化的非线性抛物问题全局解的存在性和爆破

2018

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一类具有时变系数梯度源项的弱耦合反应-扩散方程组解的爆破分析

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非线性边界条件下高维抛物方程解的全局存在性及爆破现象

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非线性边界条件下高维抛物方程解的全局存在性及爆破现象

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... 引理1^［16］设

Ω

是

R^{n} (n \geq 3)

上的有界凸区域，则对于

u \in C^{1} (Ω), s > 0,

有 ...

Blow-up phenomena for a semilinear heat equation with nonlinear boundary condition，Ⅰ

2010

... 文献［17］研究了具有时变系数的反应扩散系统爆破问题： ...

... 文献［17］研究了具有吸收项的半线性抛物问题： ...

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... 文献［19］研究了具有时变系数的局部反应扩散系统爆破问题： ...

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A blow-up result for the semilinear Moore-Gibson-Thompson equation with nonlinearity of derivative type in the conservative case

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... 引理2^［29］ Sobolev不等式： ...

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