Please wait a minute...
浙江大学学报(理学版)  2022, Vol. 49 Issue (1): 60-65    DOI: 10.3785/j.issn.1008-9497.2022.01.009
数学与计算机科学     
高阶对流Cahn-Hilliard型方程的二阶线性化差分方法
李娟()
南京审计大学金审学院 基础部,江苏 南京 210023
A second-order linearized finite difference method for a higher order convective Cahn-Hilliard type equation
Juan LI()
Department of Basis Course, Nanjing Audit University Jinshen College, Nanjing 210023, China
 全文: PDF(981 KB)   HTML( 5 )
摘要:

高阶对流Cahn-Hilliard型方程是一类空间六阶且具有四阶非线性项的发展方程。首先,给出了线性化差分格式,其第一时间层为2层隐式差分格式,其余时间层为3层隐式差分格式。其次,在差分格式建立过程中,利用中心差商对四阶非线性项进行离散,证明了差分格式解的唯一性和收敛性,并得到其在时间和空间上的收敛阶均为二阶。最后,通过数值算例,验证了差分格式的有效性。

关键词: 高阶对流Cahn-Hilliard型方程线性化差分格式唯一性收敛性非线性问题线性化    
Abstract:

The higher order convective Cahn-Hilliard type equation is a kind of sixth-order evolution equation with fourth-order nonlinearity term.A linearized finite difference scheme is presented by using Taylor formula.The first time level is a two-layers implicit scheme,while the other time levels are three-layers implicit schemes.In the derivation of the scheme,nonlinear terms are discretized by central difference quotient.A theoretical analysis is carried out by the energy argument and mathematical induction. The uniqueness and convergence of the numerical solution are proved in L2 norm rigorously.The convergence order is two in time and space.Some numerical results are presented to demonstrate the efficiency of the difference scheme.

Key words: higher order Cahn-Hilliard type equation    linearized difference scheme    uniqueness    convergence    nonlinear problem    linearization
收稿日期: 2020-07-01 出版日期: 2022-01-18
CLC:  O 241.82  
基金资助: 国家自然科学基金资助项目(11671081);江苏省高校青蓝工程资助项目(苏2017(15))
作者简介: 李娟(1983—),ORCID:https://orcid.org/0000-0003-1815-5708,女,硕士,副教授,主要从事偏微分方程数值解研究,E-mail:juanli2007@126.com.
服务  
把本文推荐给朋友
加入引用管理器
E-mail Alert
RSS
作者相关文章  
李娟

引用本文:

李娟. 高阶对流Cahn-Hilliard型方程的二阶线性化差分方法[J]. 浙江大学学报(理学版), 2022, 49(1): 60-65.

Juan LI. A second-order linearized finite difference method for a higher order convective Cahn-Hilliard type equation. Journal of Zhejiang University (Science Edition), 2022, 49(1): 60-65.

链接本文:

https://www.zjujournals.com/sci/CN/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.01.009        https://www.zjujournals.com/sci/CN/Y2022/V49/I1/60

NH2hτorder1Hhτorder2
202.451×10-41.8711.510×10-41.859
406.703×10-51.8784.162×10-51.872

80

160

1.824×10-5

4.949×10-6

1.882

/

1.137×10-5

3.113×10-6

1.869

/

表1  当T=5,M=2 000,ε=0.5时,差分格式在L2-范数和L∞-范数下的误差和时间收敛阶
MH2hτorder3Hhτorder4
109.914×10-21.8412.245×10-21.855
202.767×10-21.9506.208×10-31.808

40

80

7.160×10-3

1.825×10-3

1.972

/

1.773×10-3

4.559×10-4

1.959

/

表2  当T=5,N=2 000,ε=0.5时,差分格式在L2-范数和L∞-范数下的误差和空间收敛阶
1 SAVINA T V,GOLOVIN A A,DAVIS S H,et al.Faceting of a growing crystal surface by surface diffusion[J].Physical Review E,2003,67(2):021606. DOI:10.1103/PhysRevE.67.021606
doi: 10.1103/PhysRevE.67.021606
2 KORZEC M D,EVANS P L,MüNCH A,et al.Stationary solutions of driven fourth- and sixth-order Cahn-Hilliard-type equations[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,2008,69(2):348-374. DOI:10.1137/070710949
doi: 10.1137/070710949
3 KORZEC M D,RYBKA P.On a higher order convective Cahn-Hilliard type equation[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,2012,72(4):1343-1360. DOI:10.1137/110834123
doi: 10.1137/110834123
4 WISE S M,WANG C,LOWENGRUB J S.An energy-stable and convergent finite-difference scheme for the phase field crystal equation[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis,2009,47 (3):2269-2288. DOI:10.1137/080738143
doi: 10.1137/080738143
5 HU Z,WISE S M,WANG C,et al.Stable and efficient finite-difference nonlinear-multigrid schemes for the phase field crystal equation[J].Journal of Computational Physics,2009,228 (15):5323-5339. DOI:10.1016/j.jcp.2009.04.020
doi: 10.1016/j.jcp.2009.04.020
6 GOMEZ H,NOGUEIRA X.An unconditionally energy-stable method for the phase field crystal equation[J].Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering,2012,249-252:52-61. DOI:10.1016/j.cma.2012.03.002
doi: 10.1016/j.cma.2012.03.002
7 ZHANG Z,MA Y,QIAO Z.An adaptive time-stepping strategy for solving the phase field crystal model[J]. Journal of Computational Physics,2013,249:204-215. DOI:10.1016/j.jcp.2013.04.031
doi: 10.1016/j.jcp.2013.04.031
8 YANG X,HAN D. Linearly first- and second-order,unconditionally energy stable schemes for the phase field crystal model[J].Journal of Computational Physics,2017,330:1116-1134. DOI:10.1016/j.jcp. 2016.10.020
doi: 10.1016/j.jcp. 2016.10.020
9 CAO H,SUN Z.Two finite difference schemes for the phase field crystal equation[J].Science China Mathematics,2015,58(11):2435-2454. DOI:10.1007/s11425-015-5025-1
doi: 10.1007/s11425-015-5025-1
10 李娟.晶体相场方程的线性化Crank-Nicolson格式的误差分析[J].山东大学学报(理学版),2019,54(6):118-126. DOI:10.6040/j.issn.1671-9352.0.2018.146
LI J. Error analysis of a linearized Crank-Nicolson for the phase field crystal equation[J].Journal of Shandong University (Natural Science),2019,54(6):118-126. DOI:10.6040/j.issn.1671-9352.0. 2018.146
doi: 10.6040/j.issn.1671-9352.0. 2018.146
11 孙志忠.偏微分方程数值解法[M]. 2版.北京:科学出版社,2012. doi:10.1002/num.21707
SUN Z Z.The Method to Numerical Solutions of Partial Difference Equations[M].2nd ed.Beijing:Science Press,2012. doi:10.1002/num.21707
doi: 10.1002/num.21707
[1] 金红燕,孙根年,张兴泰. 中国旅游业高质量发展水平的区域差异及收敛性[J]. 浙江大学学报(理学版), 2023, 50(4): 495-507.
[2] 张远鹏, 陈鸿韬, 王伟娜. 基于非凸非光滑变分模型的灰度图像泊松噪声移除算法[J]. 浙江大学学报(理学版), 2023, 50(2): 160-166.
[3] 石金诚,肖胜中. 多孔介质中相互作用的Brinkman方程组与Darcy方程组解的收敛性[J]. 浙江大学学报(理学版), 2022, 49(2): 151-158.
[4] 章茜, 蔡光辉. WOD随机变量序列加权和的完全收敛性[J]. 浙江大学学报(理学版), 2021, 48(4): 435-439.
[5] 宋明珠, 邵静, 刘彩云. END随机变量序列移动平均过程的极限性质[J]. 浙江大学学报(理学版), 2020, 47(5): 559-563.
[6] 高云峰, 邹广玉. NSD序列生成的移动平均过程的矩完全收敛性[J]. 浙江大学学报(理学版), 2020, 47(2): 172-177.
[7] 赵喆, 张天野, 黄彦浩, 郑文庭, 陈为. 面向仿真数据的电网运行方式可视分析[J]. 浙江大学学报(理学版), 2020, 47(1): 36-44.
[8] 章茜, 蔡光辉, 郑钰滟. WOD随机变量序列的完全收敛性[J]. 浙江大学学报(理学版), 2019, 46(4): 412-415.
[9] 林建伟. 在美国破产保护法第十一章下公司债券的定价和最佳破产边界研究[J]. 浙江大学学报(理学版), 2018, 45(3): 320-329.
[10] 章茜. 行为两两NQD随机变量阵列加权和的完全收敛性[J]. 浙江大学学报(理学版), 2017, 44(5): 538-541.
[11] 张理涛, 谷同祥, 孟慧丽. 解非对称鞍点问题的广义交替分裂预处理子的一个注记[J]. 浙江大学学报(理学版), 2017, 44(2): 168-173.
[12] 张理涛. 解鞍点问题的新SOR类迭代法的一个注记[J]. 浙江大学学报(理学版), 2016, 43(3): 292-295.
[13] 宋明珠, 吴永锋, 向亚云. 两两NQD阵列加权和的LP收敛性[J]. 浙江大学学报(理学版), 2016, 43(2): 164-167.
[14] 郭学萍. Banach空间中Newton法的收敛性[J]. 浙江大学学报(理学版), 2000, 27(5): 484-492.
[15] 吴雄伟1,倪仁兴2,邱加蔚3 . 集值映射的 RS集逼近 [J]. 浙江大学学报(理学版), 2000, 27(2): 165-166.