使用Chrome浏览器效果最佳，继续浏览，你可能不会看到最佳的展示效果，

确定继续浏览么?

复制成功，请在其他浏览器进行阅读

单级柔顺正交位移放大机构非线性建模与优化

孔垂旺
陈为林
卢清华
罗陆锋
张云志

佛山科学技术学院机电工程学院，广东佛山528000

中图分类号： TH 112

最近更新：2020-03-24

DOI：10.3785/j.issn.1006-754X.2020.00.014

摘要

同时实现操作的灵活性与稳定性是精密工程领域的研究热点。单级柔顺正交位移放大机构可通过正交位移转换实现平行夹持，并通过位移放大提高操作的灵活性，但该机构的传统建模方法主要基于小变形假定并忽略剪切作用，导致模型精度较低。为此，对典型的单力输入单级柔顺正交位移放大机构进行精确的非线性建模与优化。考虑到剪切作用与几何非线性因素，对单级柔顺正交位移放大机构输出位移进行两步法半解析建模，以实现非线性结果的快速预测。第1步，基于能量法与欧拉-伯努利梁理论，建立该机构输出位移的线弹性解析模型，并结合小变形静力学有限元分析，拟合剪切非线性修正系数；第2步，结合几何非线性静力学有限元分析与数值拟合，建立该机构输出位移的几何非线性修正系数模型。为最大化输出位移并抑制几何非线性作用，提出机构平面尺寸和厚度综合优化策略，并利用ANSYS Workbench有限元仿真验证了机构输出位移非线性模型与优化结果的有效性。仿真结果显示，机构输出位移非线性模型的误差小于5%，且可依据不同优化策略显著增大输出位移或将几何非线性程度约束于指定范围内。研究表明利用所提出的方法对单级柔顺正交位移放大机构进行非线性建模与优化，可有效提高压电驱动柔顺微夹钳的位移输出性能与开环控制的精度和实时性，有利于实现稳定灵活的微操作。

关键词

柔顺机构; 位移放大机构; 剪切作用; 几何非线性; 优化

在微血管外科手术、细胞操作、光纤装配、柔性导线理线焊接等精密工程应用中^[

1,2,3,4]，均需利用微夹钳实现微纳尺度物体的夹取、搬运与放置。一方面，柔顺机构具有无间隙、无摩擦、免装配等优点，是微纳操作系统末端执行器的典型实现形式^{[参考文献 5
百度学术}5]；另一方面，压电驱动器响应速度快，分辨率高^{[参考文献 6
百度学术}6]，是微夹钳的常用驱动方式之一。对基于柔顺机构的压电驱动微夹钳而言，同时实现操作的灵活性和稳定性是国内外研究者普遍关注的热点^{[参考文献 7
百度学术}7,8]。

提高输出端行程可有效扩大压电驱动柔顺微夹钳的夹取范围，实现灵活操作。由于典型的压电叠堆驱动器的输出行程仅约为其自身长度的0.1%^[

9]，为提高微夹钳输出端行程，需将驱动器与位移放大机构匹配使用。常用的柔顺位移放大机构包括杠杆放大机构、柔顺正交位移放大机构、Scott-Russell机构等^{[参考文献 10
百度学术}10,11,12,13]。其中，以桥式放大机构、单力输入单级柔顺正交位移放大机构为代表的柔顺正交位移放大机构可以通过压电叠堆驱动器的直线位移输出转换来实现平行夹持，提高微纳操作的稳定性。桥式放大机构结构紧凑且理论位移放大倍数大，有关该机构静力学建模、动力学建模、结构优化等的研究较多^{[参考文献 14
百度学术}14,15,16,17,18,19,20,21,22]，但它仅在双向对称输入力作用下才能实现正交位移转换。对于微纳操作系统中的压电叠堆驱动器，一端固定一端输出的边界条件更有利于其预紧的便捷性与稳定性，但这种边界条件无法与桥式放大机构相匹配。而单力输入单级柔顺正交位移放大机构可以在单向力输入下兼顾紧凑性的同时实现正交位移转换和位移放大。Chen等^{[参考文献 23
百度学术}23]提出了抑制单力输入单级柔顺正交位移放大机构几何非线性作用的约束条件。刘敏等^{[参考文献 24
百度学术}24]提出了单力输入单级柔顺正交位移放大机构的拓扑优化设计方法，并深入研究了弹簧刚度对拓扑优化结果的影响规律。

在上述研究中，对柔顺正交位移放大机构的建模普遍基于2个假设：1) 机构中的柔性单元满足欧拉-伯努利梁假设，且剪切作用可以忽略；2) 柔性单元服从小变形假定。然而，当柔性单元长径比不够大时，剪切作用会引起梁的附加挠度，对机构输出位移产生非线性影响。而且在柔顺正交位移放大机构中，柔性单元处于输入力主导的弯曲变形状态，大变形、应力刚化问题不可忽略。常用的几何非线性分析方法包括椭圆积分法、有限单元法、链式算法、梁约束模型法和半解析非线性建模法等^[

25,26,27,28,29]，其中：椭圆积分法适用于简单柔性单元的几何非线性解析建模；有限单元法、链式算法可用于精确描述复杂柔顺机构的几何非线性行为，但无法获得解析解，且求解时间长；梁约束模型法可用于描述中等变形柔性单元的几何非线性行为，但在大变形条件下模型的精度不足；半解析非线性建模法是将线弹性建模、几何非线性有限元分析与数值拟合相结合，可实现非线性结果的快速、精确预测。

本文拟对单力输入单级柔顺正交位移放大机构进行非线性建模与优化设计。首先，考虑到剪切作用与几何非线性因素，对单级柔顺正交位移放大机构输出位移进行半解析建模，以实现非线性结果的快速预测；然后，综合考虑2种几何非线性因素的影响，对该机构平面尺寸和厚度进行优化设计；最后，利用有限元仿真对机构输出位移非线性模型和优化结果的有效性进行验证。

1机构输入输出关系非线性建模

1.1 　考虑剪切作用的小变形建模

单力输入单级柔顺正交位移放大机构是一种基于三角放大原理的非完全对称型机构^[

12]，如图1所示。该机构厚度均匀，仅关于输入力F_in对称，通过引入含3个待定参数(L_d、B_d、γ)的等截面梁CD实现正交位移转换，梁CD的设计方程参见文献[12]。等截面梁CD的下端与机架固联，使得机构避免采用双向对称输入力。变截面梁AB由柔顺铰链a、b和等截面梁2组成，

$l_{B C_{1}}$ 、

$l_{C C_{1}}$ 表示其输出端结构的平面尺寸。其中，柔顺铰链a、b的结构型式不限，图1(a)中采用的是典型的直梁型柔顺铰链。

图1 单力输入单级柔顺正交位移放大机构和三角放大原理示意图

Fig. 1 Diagram of single-stage compliant orthogonal displacement amplification mechanism with single-force input and triangulation amplification principle

变截面梁AB的受力分析如图2所示，载荷F_xB、F_yB、M_B均作用于B点。变截面梁的位移边界条件为：y_A=0 $μ m$ ，θ_A=0°，x_B=0 $μ m$ ，θ_B=0°，其中θ_A与θ_B表示点A、B处的转角。

图2 变截面梁AB的受力分析

Fig. 2 Force analysis of variable section beamAB

在小变形假定下，采用柔度矩阵法对变截面梁AB中点A、B处的载荷位移关系进行分析，可得：

$[\begin{array}{l} x_{j} \\ y_{j} \\ θ_{j} \end{array}] = [\begin{array}{l} S_{x j - F x j} S_{x j - F y j} S_{x j - M j} \\ S_{y j - F x j} S_{y j - F y j} S_{y j - M j} \\ S_{θ j - F x j} S_{θ j - F y j} S_{θ j - M j} \end{array}] [\begin{array}{l} F_{x j} \\ F_{y j} \\ M_{j} \end{array}] (j = A, B)$

(1)

根据式(1)可得y_B与B点载荷间的关系为：

$y_{B} = S_{y B - F x B} \cdot F_{x B} + S_{y B - F y B} \cdot F_{y B} + S_{y B - M B} \cdot M_{B}$

(2)

式中：S_yB_-_FxB、S_yB_-_FyB、S_yB_-_MB为变截面梁AB的柔度系数。

依据卡式第二定理得：

$\frac{\partial U_{A B}}{\partial F_{y B}} = y_{B}, \frac{\partial U_{A B}}{\partial M_{B}} = θ_{B}$

(3)

假设变截面梁AB为欧拉-伯努利梁，则可忽略剪切作用，其应变能U_AB由轴向分量和弯曲分量组成：

$U_{A B} = \int_{0}^{L_{A B}} \frac{{F_{A B}}^{2}}{2 E A_{A B}} d p + \int_{0}^{L_{A B}} \frac{M_{A B}^{2}}{2 E I_{A B}} d p$

(4)

式中：L_AB、A_AB、I_AB分别为变截面梁AB的长度、横截面积和横截面惯性矩；E为材料弹性模量；F_AB为变截面梁AB轴力，与载荷F_yB无关；M_AB为变截面梁AB的弯矩，是关于载荷F_xB、F_yB、M_B的函数。

联立式(3)和式(4)可推导出S_yB_-_FxB、S_yB_-_FyB、S_yB_-_MB的具体表达式。

图1(b)所示结构呈一次超静定，输入端结构AO由结构AB-BC-CD和移动副支承。由于移动副转动刚度远大于结构AB-BC-CD的转动刚度，若输入端结构具有足够大的刚度，则M_A趋于0，结合式(1)，可将A点处的转角—载荷关系简化为：θ_A=S_θA_-_FxA $\cdot$ F_xA+S_θA_-_FyA $\cdot$ F_yA。结合θ_A=0°和变截面梁AB的载荷平衡方程，可得F_xB与F_yB间的关系为：

$F_{x B} = λ F_{y B} = - \frac{S_{θ A - F y A}}{S_{θ A - F x A}} \cdot F_{y B}$

(5)

依据变截面梁AB在结构和载荷方向上的反对称特征可得点A、B处的柔度系数间的关系为：S_θA_-_FxA=S_θB_-_FxB，S_θA_-_FyA=S_θB_-_FyB。根据边界条件θ_B=0°以及式(1)可得：

$M_{B} = μ_{1} F_{x B} + μ_{2} F_{y B} = - \frac{S_{θ B - F x B}}{S_{θ B - M B}} F_{x B} - \frac{S_{θ B - F y B}}{S_{θ B - M B}} F_{y B}$

(6)

将式(5)、式(6)和 $F_{x B} = \frac{F_{i n}}{2}$ 代入式(2)，得：

$y_{B} = \frac{1}{2} [S_{y B - F x B} + \frac{S_{y B - F y B}}{λ} + S_{y B - M B} (μ_{1} + \frac{μ_{2}}{λ})] F_{i n}$

(7)

y_B的绝对值即为单力输入单级柔顺正交位移放大机构的输出位移e_out，故可将式(7)视为在小变形假定下不考虑剪切作用与几何非线性因素的单力输入单级柔顺正交位移放大机构的输出位移模型。用k_c表示式(7)中F_in的系数，将式(7)中y_B记为y_B_sE，考虑剪切作用对输出位移y_B_sE的影响，进一步构造y_B_sE的修正系数α：

$y_{B s} = α y_{B s E}$

(8)

式中：y_B_s表示机构输出位移的小变形分析值，可通过ANSYS Workbench小变形静力学有限元分析获得。

剪切作用引起的非线性项与机构中柔顺铰链的平面尺寸l、t，厚度h以及表征柔顺铰链间距的参数L、t_r有关，即α为关于l、t、h、L、t_r的函数。随着柔顺铰链长径比l/t的增大，由剪切作用引起的非线性项逐渐减小^[

30]，使得剪切非线性修正系数α减小。对于任意材料与输入力F_in，在不同L/t_r下α随柔顺铰链长径比l/t（通过固定l、改变t获取不同长径比）的变化曲线如图3所示。

图3 不同L/t_r下α随长径比l/t的变化曲线

Fig. 3 Variation curves ofα over aspect ratiol/t under differentL/t_r

由图3可知：在不同L/t_r下，随着h的增大，α均逐渐减小；随着L/t_r的增大，α逐渐增大。此外，图3是通过固定l、改变t获取不同的l/t，通过固定t_r、改变L获取不同的L/t_r的。如果通过固定t、改变l获取不同的l/t，或者通过固定L、改变t_r获取不同的L/t_r，所得到的α的变化曲线会与图3略有区别，由此可见：除了长径比l/t外，t或l均会对α产生独立影响；除了L/t_r外，L或t_r均会对α产生独立影响。

基于上述分析，构造无量纲因子φ。在单因素分析中，将与α成反比的l/t、h看作φ的分母,与α成正比的L/t_r看作φ的分子，可得：

$φ = \frac{{(\frac{L}{t_{r}})}^{m_{1}} {(\frac{1}{L})}^{n_{1}}}{h^{a_{1}} {(\frac{l}{t})}^{b_{1}} {(\frac{1}{t})}^{c_{1}}}$

(9)

式中：m₁、n₁、a₁、b₁、c₁为权重系数，m₁>0，n₁>0，a₁>0，b₁>0，c₁>0。

取m₁=4,则n₁=2,a₁=0.1,b₁=2.5,c₁=2.1。基于图3所示的180组算例，利用式(9)求取φ，得到180组离散结果，如图4所示。图4显示总体上α随φ呈单调递增的趋势，利用最小二乘法拟合得：

$a = - 2.685 φ^{2} + 4.153 φ + 0.761$

(10)

式中：所有常数仅与机构的拓扑结构以及形状有关，与机构的尺寸、材料无关。

图4 α随φ的变化曲线及其最小二乘拟合结果

Fig. 4 Variation curves ofα overφ and its least squares fitting result

1.2 　几何非线性修正系数的确定

几何非线性作用导致y_B偏离小变形分析值y_B_s，为衡量偏离程度，构造y_B_s的无量纲修正系数β：

$y_{B} = β y_{B s} = (1 - Δ β) y_{B s}$

(11)

式中：变化量Δβ表征机构输出位移的几何非线性程度，变化量 $Δ β$ 是关于F_in、柔顺铰链尺寸l、t、h以及材料弹性模量E的函数。随着输入力F_in的增大，单力输入单级柔顺正交位移放大机构输出位移的几何非线性程度提高，即Δβ增大。

取F_in=10 N，选用镁合金(E=45 GPa)、铝合金(E=71 GPa)、钛合金(E=96 GPa)、铜合金(E=110 GPa)和不锈钢(E=193 GPa)五种常见的各项同性材料时，Δβ随柔性铰链长径比l/t的变化曲线如图5所示。

图5 选用不同材料时 $Δ$ β随长径比l/t的变化曲线（F_in=10 N）

Fig. 5 Variation curves of $Δ$ β over aspect ratiol/twhen using different materials （F_in=10 N）

由图5可知，无论选用何种材料，随着l/t的增大，Δβ均逐渐增大；随着h的增大，相同材料下Δβ逐渐减小；随着材料弹性模量E的增大，Δβ逐渐减小。此外，图5是通过固定l、改变t获取不同l/t值的，如果通过固定t、改变l获取不同的l/t值，所得到的Δβ变化曲线与图5略有区别，由此可见除了长径比l/t外，t或l也会分别对Δβ产生独立影响。

基于上述分析，构造无量纲因子ω。在单因素分析中，将与Δβ成正比的F_in、l/t看作ω的分子，与Δβ成反比的E、h看作ω的分母，可得：

$ω = \frac{F_{i n} {(\frac{l}{t})}^{0.5} (\frac{1}{t})}{E h}$

(12)

根据图5所示的180组算例，分别取F_in=1，2，…，10 N，利用式（12）求取 $ω$ ，得到1 800组离散结果，如图6所示。由图6可见总体上Δβ随ω单调递增，利用最小二乘法拟合得：

$Δ β = (4.076 ω^{3} - 35.980 ω^{2} + 205.300 ω + 0.330) \cdot 10^{- 3}$

(13)

式中：所有常数仅与机构的拓扑结构和形状有关，与机构的尺寸、材料无关。

图6 Δβ随ω的变化曲线及其最小二乘拟合结果

Fig. 6 Variation curves of Δβ overω and its least squares fitting result

2机构参数的非线性优化设计

一方面，为了增大单力输入单级柔顺正交位移放大机构的工作空间，选择e_out=|y_B|最大化作为优化目标。综合式(7)、式(8)、式(11)可得：

$y_{B} = (1 - Δ β) α k_{c} F_{i n}$

(14)

另一方面，若Δβ很小(例如 $Δ$ β≤0.02)，则单力输入单级柔顺正交位移放大机构的几何非线性作用几乎被完全抑制。此时，e_out=|y_B|最大化可以简化为αk_c最大化，以减弱输入输出关系的非线性特征，便于后续研究。

依据第1节所述的单力输入单级柔顺正交位移放大机构输入输出关系非线性建模过程，选取设计变量为l、t、L、t_r、h。柔顺铰链的抗弯刚度EI_a应远大于等截面梁2的抗弯刚度EI₂，以保证机构柔度集中于柔顺铰链处；在线弹性解析建模过程中，将柔顺铰链a、b和等截面梁2看作一个整体，限制l/t和L/b₂的下限(b₂为等截面梁宽度)及t_r的上限；考虑到紧凑性和加工能力，应限制l/t的上限以及l、t、h、t_r的下限；考虑到柔性铰链是在平面内转动，应限制铰链宽度t与厚度h。综上分析，建立2种单力输入单级柔顺正交位移放大机构参数优化模型：

1）优化模型1：

$\begin{array}{l} m i n : - | y_{B} | \\ s . t . \\ \{\begin{array}{l} E I_{2} \geq 10 E I_{a} \\ t \leq \frac{h}{2}, h \geq h_{m i n}, t \geq t_{m i n} \\ 2 \leq \frac{l}{t} \leq r_{m a x}, \frac{L}{b_{2}} \geq 2 \\ l_{m i n} \leq l \leq l_{m a x}, L \leq L_{m a x}, t_{r m i n} \leq t_{r} \leq t_{r m a x} \end{array} \end{array}$

2）优化模型2：

$\begin{array}{l} m i n : - α k_{c} \\ s . t . \\ \{\begin{array}{l} Δ β \leq 0.02 (F_{i n} = F_{i n m a x}) \\ E I_{2} \geq 10 E I_{a} \\ t \leq \frac{h}{2}, h \geq h_{m i n}, t \geq t_{m i n} \\ 2 \leq \frac{l}{t} \leq r_{m a x}, \frac{L}{b_{2}} \geq 2 \\ l_{m i n} \leq l \leq l_{m a x}, L \leq L_{m a x}, t_{r m i n} \leq t_{r} \leq t_{r m a x} \end{array} \end{array}$

取初始设计参数为：l_min=1 mm，l_max=3 mm，t_min=0.3 mm，L_max=12 mm，t_{r min}=1 mm，t_{r max}=2 mm，h_min=1.2 mm，铰链最大长径比r_max=8；输出端结构参数 $l_{B C_{1}}$ =1.1 mm， $l_{C C_{1}}$ =0.5 mm，材料设置为铝合金，输入力F_in=10 N。基于优化模型1，利用MATLAB fmincon梯度优化函数对单力输入单级柔顺正交位移放大机构的参数进行优化，结果如表1所示。当采用不同初始值进行测试时，结果均稳定收敛于表1中的优化结果，且优化结果与材料和输入力F_in无关。利用前期研究^[

12]中的设计方程计算出与表1优化结果对应的等截面梁CD的待定结构参数，如表2所示。

表1 基于优化模型1的单力输入单级柔顺正交位移放大机构参数优化结果

Table 1 Parameter optimization results of single-stage compliant orthogonal displacement amplification mechanism with single-force input based on optimization model 1 单位：mm

优化变量	优化结果
l	2.40
t	0.30
L	12.00
t_r	2.00
h	1.20

表2 基于优化模型1的等截面梁CD的待定结构参数

Table 2 Pending structural parameters of constant-section beamCD based on optimization model 1

参数	数值
L_d/mm	7.00
B_d/mm	0.25
γ/ ( ° )	0.76

在不改变初始设计参数的前提下，基于优化模型2，利用MATLAB fmincon梯度优化函数对采用不同材料的单力输入单级柔顺正交位移放大机构的参数进行优化，结果如表3所示。当采用不同初始值进行测试时，结果均稳定收敛于表3中的优化结果，且随着材料弹性模量E增大，柔性铰链的厚度h逐渐减小。与表3优化结果对应的等截面梁CD的待定结构参数均为：L_d=7 mm,B_d=0.25 mm,γ=0.76°。

表3 基于优化模型2的单力输入单级柔顺正交位移放大机构参数优化结果

Table 3 Parameter optimization results of single-stage compliant orthogonal displacement amplification mechanism with single-force input based on optimization model 2 单位：mm

优化变量	优化结果
优化变量	铝合金	镁合金	钛合金	铜合金	不锈钢
l	2.40	2.40	2.40	2.40	2.40
t	0.30	0.30	0.30	0.30	0.30
L	12.00	12.00	12.00	12.00	12.00
t_r	2.00	2.00	2.00	2.00	2.00
h	21.50	13.60	10.08	8.79	5.01

3机构输出位移非线性模型和优化结果的有限元仿真验证

本节通过小变形静力学有限元仿真验证剪切非线性修正系数α拟合结果的准确性，并结合几何非线性静力学有限元仿真验证几何非线性修正系数β拟合结果的准确性，最后通过有限元仿真验证优化结果的有效性。

对材料与结构参数均不同的单力输入单级柔顺正交位移放大机构进行静力学有限元仿真分析，取5组算例，各算例中变截面梁AB的参数设置如表4所示。对于表4中的5组算例，变截面梁AB输出端结构参数 $l_{B C_{1}}$ =1.1 mm， $l_{C C_{1}}$ =0.2 mm，计算得到各算例中等截面梁CD的待定结构参数，如表5所示。在5组算例中，柔性铰链的长径比l/t值分别为5.50，4.00，5.00，4.29，8.00，其中，算例Ⅰ、Ⅳ中变截面梁AB不满足欧拉-伯努利梁假设。

表4 各算例中变截面梁AB的参数设置

Table 4 Parameter setting of variable section beamAB in each example 单位：mm

算例	材料	变截面梁AB的尺寸参数
算例	材料	l	t	L	t_r	h
I	铝合金	2.20	0.40	10.00	1.10	1.20
II	镁合金	1.80	0.45	12.00	1.50	2.00
III	钛合金	2.50	0.50	11.00	1.30	0.90
IV	铜合金	1.50	0.35	10.00	1.00	0.80
V	不锈钢	2.40	0.30	9.00	1.00	1.60

表5 各算例中等截面梁CD的待定结构参数

Table 5 Pending structural parameters of constant-section beamCD in each example

算例	等截面梁CD的待定结构参数
算例	L_d/mm	B_d/mm	γ /(°)
I	12.42	0.40	3.30
II	8.13	0.32	4.17
III	11.17	0.38	3.51
IV	12.28	0.40	3.32
V	5.67	0.19	1.72

3.1 　考虑剪切作用的小变形建模验证

利用ANSYS Workbench小变形静力学有限元仿真分别获取各组算例的y_B_s值，其中输入力F_in=10 N。算例I对应的单力输入单级柔顺正交位移放大机构的小变形静力学有限元仿真结果如图7与图8所示。图7中X正方向与图2中y_B正方向相同。通过对比5组算例的y_B_s的理论值和仿真值可知，两者的相对误差分别为0.01%，5.38%，1.72%，3.42%，3.38%，均小于6.00%，说明剪切非线性修正系数α的拟合结果准确。

图7 算例I对应的单力输入单级柔顺正交位移放大机构的边界条件设置与小变形静力学有限元仿真结果(F_in=10 N)

Fig. 7 Boundary condition setting and small deformation-based static finite element simulation results of single-stage compliant orthogonal displacement amplification mechanism with single-force input corresponding to example I (F_in=10 N)

图8 y_B_s的理论值与小变形静力学有限元仿真值对比

Fig. 8 Comparison of theoretical values and small deflection-based static finite element simulation values ofy_B_s

3.2 　几何非线性修正系数模型验证

对于表4中的5组算例，分别取F_in=1，2，…，10 N，在不同输入力下通过几何非线性静力学有限元仿真（边界条件如图7（a）所示）和小变形静力学有限元仿真分别求出y_B值和y_B_s值，结果如图9所示，进而计算β的仿真值，并与基于式(12)和式(13)求出的理论值进行对比，结果如图10所示。通过对比可知5组算例β的理论值和仿真值的相对误差分别为1.61%，0.89%，2.10%，1.50%，1.51%，均小于2.50%，说明几何非线性修正系数 $β$ 的拟合结果准确。

图9 算例I对应的单力输入单级柔顺正交位移放大机构的几何非线性静力学有限元仿真结果(F_in=10 N)

Fig. 9 Geometrical nonlinear static finite element simulation results of single-stage compliant orthogonal displacement amplification mechanism with single-force input corresponding to example I (F_in=10 N)

图10 β的理论值与有限元仿真值对比

Fig. 10 Comparison of theoretical values and finite element simulation values ofβ

3.3 　非线性优化结果验证

表4中算例I、II、Ⅴ对应的单力输入单级柔顺正交位移放大机构的参数满足优化模型1的约束条件，可将它们设为初始组，表6为初始组与基于优化模型1优化的y_B的有限元仿真值对比。依据基于优化模型1的优化结果，可构造3组具有最大理论位移放大倍数的对照组，分别与算例I、II、V对应，各对照组中变截面梁AB的尺寸参数为：l=2.40 mm，t=0.30 mm，L=12 mm，t_r =1 mm，h=1.2 mm。取输出端结构参数 $l_{B C_{1}}$ =1.1 mm， $l_{C C_{1}}$ =0.2 mm，计算得到相应的梁CD的待定结构参数：L_d=10.75 mm，B_d=0.31 mm，γ=1.98°。相对于初始组，优化组输出位移的几何非线性程度提高，但输出位移显著增大。尽管对照组具有最大理论位移放大倍数，但优化组具有更大的输出位移，说明优化结果有效。

表6 初始组、优化组与对照组的y_B、β的有限元仿真值对比（F_in=10 N）

Table 6 Comparison of finite element simulation values ofy_Bandβ in the initial group, optimal group and control group (F_in=10 N)

组别	y_B/ $μ m$	β
初始组I	24.77	0.86
优化组I	93.34	0.79
对照组I	44.14	0.75
初始组II	16.07	0.90
优化组II	130.68	0.70
对照组II	60.73	0.65
初始组Ⅴ	13.50	0.93
优化组Ⅴ	39.96	0.91
对照组Ⅴ	19.41	0.89

基于优化模型2优化的y_B和β的有限元仿真值如表7所示。在优化组II(镁合金)中，β控制在约束范围内；在其它优化组中，尽管β超出约束范围，但β的有限元仿真值相对于约束条件中β的阈值的误差分别为0.07%，0.05%，0.07%，0.11%，0.20%，均小于0.50%，说明优化结果有效。

表7 基于优化模型2的y_B、β的有限元仿真值（F_in=10 N）

Table 7 Finite element simulation values ofy_B andβ based on optimization model 2 （F_in=10 N）

组别	材料	y_B/µm	β
优化组I	铝合金	8.950	0.979
优化组II	镁合金	8.260	0.981
优化组III	钛合金	8.960	0.979
优化组IV	铜合金	9.200	0.979
优化组Ⅴ	不锈钢	9.550	0.978

4结论

本文对单力输入单级柔顺正交位移放大机构进行了非线性建模与参数优化。通过对机构输入输出关系的两步法半解析建模，实现了非线性结果的快速预测。结合卡式第二定理、有限元仿真法与最小二乘拟合法，建立了剪切非线性修正系数与无量纲尺寸参数因子间的二阶多项式模型。基于有限元仿真法与最小二乘拟合法，建立了几何非线性修正系数与无量纲结构尺寸、载荷参数的三阶多项式拟合模型。通过ANSYS Workbench有限元仿真验证了上述2个模型的准确性，其误差均小于5%。综合考虑输出位移最大化与抑制几何非线性的影响，提出2种平面尺寸和厚度综合优化策略，并利用ANSYS Workbench有限元仿真验证了优化结果的有效性。利用本文方法对单级柔顺正交位移放大机构进行非线性建模与优化，可有效提高压电驱动柔顺微夹钳的位移输出性能与开环控制的精度和实时性，有利于实现稳定灵活的微操作。

参考文献

吴鹏,董正森,陈光斌.结合静脉造影观察研究大鼠深静脉血栓的变化规律[J].医学影像学杂志,2017,27(4):754-758. [百度学术]

WU Peng,DONG Zheng-sen,CHEN Guang-bin.Evaluation of the change regulation of thrombus in rat model of deep vein thrombosis combined with venography[J].Journal of Medical Imaging,2017,27(4):754-758. [百度学术]

HAN K,LEE S H,MOON W,et al.Fabrication of the micro-gripper with a force sensor for manipulating a cell[C] // SICE-ICASE International Joint Conference, Busan, Oct.18-21,2006.doi:10.1109/SICE.2006.315250 [百度学术]

ZHANG J B,LU K K,CHEN W H,et al.Monolithically integrated two-axis microgripper for polarization maintaining in optical fiber assembly[J].Review of Scientific Instruments,2015,86(2):1071-1089.doi:10.1063/1.4907551 [百度学术]

王跃宗,隆超,王军帅,等.柔性导线微夹持系统结构设计[J].北京工业大学学报,2018,44(6):831-836.doi:10.11936/bjutxb2017040046 [百度学术]

WANG Yue-zong,LONG Chao,WANG Jun-shuai,et al.Design for a micro-gripping system applied in handling the flexible wires[J].Journal of Beijing University of Technology,2018,44(6):831-836. [百度学术]

于靖军,郝广波,陈贵敏,等.柔性机构及其应用研究进展[J].机械工程学报,2015,51(13):53-68.doi:10. 3901/JME.2015.13.053 [百度学术]

YU Jing-jun,HAO Guang-bo,CHEN Gui-min,et al.State-of-art of compliant mechanisms and their applications[J].Journal of Mechanical Engineering,2015,51(13):53-68. [百度学术]

GAN J Q,ZHANG X M.Nonlinear hysteresis modeling of piezoelectric actuators using a generalized bouc-wen model[J].Micromachines,2019,10(3):183.doi:10. 3390/mi10030183 [百度学术]

LIANG C M,WANG F J,TIAN Y L,et al.A novel monolithic piezoelectric actuated flexure-mechanism based wire clamp for microelectronic device packaging[J].Review of Scientific Instruments,2015,86(4):045106.doi:10.1063/1.4918621 [百度学术]

CHEN W H,SHI X H,CHEN W J,et al.A two degree of freedom micro-gripper with grasping and rotating functions for optical fibers assembling[J].Review of Scientific Instruments,2013,84(11):115111.doi:10. 1063/1.4832045 [百度学术]

GOLDFARB M,CELANOVIC N.A flexure-based gripper for small-scale manipulation[J].Robotica,1999,17(2):181-188.doi:10.1017/s026357479900096x [百度学术]

卢倩,黄卫清,孙梦馨.基于柔度比优化设计杠杆式柔性铰链放大机构[J].光学精密工程,2016,24(1):102-111.doi:10.3788/OPE.20162401.0102 [百度学术]

LU Qian,HUANG Wei-qing,SUN Meng-xin.Optimization design of amplification mechanism for level flexure hinge based on compliance ratio[J].Optics and Precision Engineering,2016,24(1):102-111. [百度学术]

POKINES B J,GARCIA E.A smart material microamplification mechanism fabricated using LIGA[J].Smart Materials and Structures,1998,7(1):105-112.doi:10.1088/0964-1726/7/1/012 [百度学术]

CHEN W L,ZHANG X M,FATIKOW S.Design, modeling and test of a novel compliant orthogonal displacement amplification mechanism for the compact micro-grasping system[J].Microsystem Technologies,2017,23(7):2485-2498.doi:10.1007/s00542-016-2989-x [百度学术]

CHEN C M,FUNG R F.The effects of geometric offsets on the dynamic responses of a Scott-Russell amplifying mechanism with flexible hinges[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part C: Journal of Mechanical Engineering Science,2009,223(10):2413-2423.doi:10.1243/09544062JMES1357 [百度学术]

QI K,XIANG Y,FANG C,et al.Analysis of the displacement amplification ratio of bridge-type mechanism[J].Mechanism & Machine Theory,2015,87:45-56.doi:10.1016/j.mechmachtheory.2014.12.013 [百度学术]

WEI H X,SHIRINZADEH B,LI W,et al.Development of piezo-driven compliant bridge mechanisms: general analytical equations and optimization of displacement amplification[J].Micromachines,2017,8(8):238.doi:10.3390/mi8080238 [百度学术]

LOBONTIU N,GARCIA E.Analytical model of displacement amplification and stiffness optimization for a class of flexure-based compliant mechanisms[J].Computers & Structures,2003,81(32):2797-2810.doi:10.1016/j.compstruc.2003.07.003 [百度学术]

LING M X.A general two-port dynamic stiffness model and static-dynamic comparison for three bridge-type flexure displacement amplifiers[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2019,119:486-500.doi:10.1016/j.ymssp.2018.10.007 [百度学术]

赖磊捷,梅峻华,朱姿娜.分布柔度桥式位移放大机构静动力学性能研究[J].压电与声光,2018,40(2):251-256.doi:10.11977/j.issn.1004-2474.2018.02.025 [百度学术]

LAI Lei-jie,MEI Jun-hua,ZHU Zi-na.Study on static and dynamic performances of distributed-compliance bridge-type displacement amplification mechanism[J].Piezoelectrics and Acoustooptics,2018,40(2):251-256. [百度学术]

XU Q S,LI Y M.Analytical modeling, optimization and testing of a compound bridge-type compliant displacement amplifier[J].Mechanism and Machine Theory,2011,46(2):183-200.doi:10.1016/j. mechmachtheory.2010.09.007 [百度学术]

DONG W,CHEN F X,YANG M,et al.Development of a highly efficient bridge-type mechanism based on negative stiffness[J].Smart Materials & Structures,2017,26(9):95053.doi:10.1088/1361-665X/aa8102 [百度学术]

陈方鑫,高福天,杜志江,等.基于混合铰链的三维桥式放大机构的建模、分析与试验[J].机械工程学报,2018,54(13):110-116.doi:10.3901/JME.2018.13.110 [百度学术]

CHEN Fang-xin,GAO Fu-tian,DU Zhi-jiang,et al.Modeling, analysis and experiments of a three-dimensional bridge-type mechanism with combined flexure hinges[J].Journal of Mechanical Engineering,2018,54(13):110-116. [百度学术]

胡俊峰,郝亚洲,徐贵阳,等.考虑温度效应的微操作平台的建模与性能分析[J].工程设计学报,2015,22(2):143-149.doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2015.02.007 [百度学术]

HU Jun-feng,HAO Ya-zhou,XU Gui-yang,et al.Modeling and performance analysis of a microm-anipulation stage considering temperature effects[J].Chinese Journal of Engineering Design,2015,22(2):143-149. [百度学术]

CHEN W L,ZHANG X M,LI H,et al.Nonlinear analysis and optimal design of a novel piezoelectric-driven compliant microgripper[J].Mech Mach Theory,2017,118:32-52.doi:10.1016/j. mechmachtheory.2017.07.011 [百度学术]

刘敏,占金青,朱本亮,等.面向单向输入力的柔顺正交位移放大机构拓扑构型设计[J].中国科学:技术科学,2019,49(5):579-588.doi:10.1360/N092018-00020 [百度学术]

LIU Min,ZHAN Jin-qing,ZHU Ben-liang,et al.Topological design of compliant orthogonal displacement amplification mechanism under the unidirectional input force[J].Scientia Sinica Technologica,2019,49(5):579-588. [百度学术]

ZHANG A M,CHEN G M.A comprehensive elliptic integral solution to the large deflection problems of thin beams in compliant mechanisms[J].Journal of Mechanisms and Robotics,2013,5(2):021006.doi:10.1115/DETC2012-70239 [百度学术]

ZHU B L,CHEN Q,WANG R X,et al.Structural topology optimization using a moving morph-able component-based method considering geometrical nonlinearity[J].Journal of Mechanical Design,2018,140(8):081403.doi:10.1115/1.4040547 [百度学术]

CHASE R P,TODD R H,HOWELL L L,et al.A 3-D chain algorithm with pseudo-rigid-body model elements[J].Mechanics Based Design of Structures and Machines,2011,39(1):142-156.doi:10.1080/15397734. 2011.541783 [百度学术]

CHEN G M,MA F L.Kinetostatic modeling of fully compliant bistable mechanisms using timoshenko beam constraint model[J].Journal of Mechanical Design,2015,137(2):22301.doi:10.1115/1.4029024 [百度学术]

陈为林,卢清华,乔健,等.柔顺桥式位移放大机构的非线性建模与优化[J].光学精密工程,2019,27(4):849-859.doi:10.3788/OPE.20192704.0849 [百度学术]

CHEN Wei-lin,LU Qing-hua,QIAO Jian,et al.Nonlinearity modeling and optimization of compliant bridge-type displacement amplification mechanism[J].Optics and Precision Engineering,2019,27(4):849-859. [百度学术]

LOBONTIU N.Compliant mechanism： design of flexure hinges[M].Boca Raton,Florida: CRC Press,2003:50-51. [百度学术]

单级柔顺正交位移放大机构非线性建模与优化

摘要

关键词

1机构输入输出关系非线性建模

1.1 考虑剪切作用的小变形建模

1.2 几何非线性修正系数的确定

2机构参数的非线性优化设计

3机构输出位移非线性模型和优化结果的有限元仿真验证

3.1 考虑剪切作用的小变形建模验证

3.2 几何非线性修正系数模型验证

3.3 非线性优化结果验证