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蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度分析

陶小会
李国龙
徐凯
李传珍

重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆400044

中图分类号： TH 161

最近更新：2020-03-24

DOI：10.3785/j.issn.1006-754X.2020.00.005

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摘要

为识别影响蜗杆砂轮磨齿机空间精度的关键几何误差项，提出一种基于旋量理论和Sobol法的几何误差敏感度分析方法。以YW7232型蜗杆砂轮磨齿机为研究对象，首先，基于旋量理论建立机床的几何误差模型；然后，采用Sobol法计算机床磨削过程中各几何误差项对空间误差分量的敏感度系数，并识别出关键几何误差项；最后，对机床的关键几何误差项进行修正，通过仿真分析对比修正前后机床的空间误差分量以及3种测量模式下球杆仪的杆长。仿真结果表明所提出的方法可有效识别出机床磨削过程中的关键几何误差，这可为提高机床精度提供理论指导。

关键词

蜗杆砂轮磨齿机; 旋量理论; 几何误差; 敏感度分析; Sobol法

随着制造业的快速发展，对数控机床加工精度的要求越来越高。影响数控机床加工精度的因素包括几何误差、热误差、力误差和伺服误差等，其中几何误差所占比例较高。提高数控机床加工精度的方法有精度设计和误差补偿^[

1]，但蜗杆砂轮磨齿机等机床的结构复杂，误差种类多，盲目进行精度设计和误差补偿的成本高、效率低且难以取得较好的效果。因此，通过建立机床几何误差模型，识别影响机床空间精度的关键几何误差项，对机床精度设计和误差补偿有理论指导意义。

常用的机床几何误差建模理论包括多体系统理论^[

2,3,4]、刚体运动学理论^{[参考文献 5
百度学术}5]和齐次坐标变换理论^{[参考文献 6
百度学术}6,7,8]等，但基于上述理论的几何误差建模过程较复杂，需要在每个运动轴上建立局部坐标系。旋量理论^{[参考文献 9
百度学术}9,10]可以在全局坐标系下描述刚体运动，简化了建模过程，被广泛应用于机器人领域，但较少用于机床运动学建模。对于几何误差的敏感度分析，国内外许多学者进行了研究，例如：黄强等^{[参考文献 11
百度学术}11]对影响滚齿机加工精度的关键误差源进行了识别；程强等^{[参考文献 12
百度学术}12]利用矩阵微分法识别出机床的关键几何误差；Chen等^{[参考文献 13
百度学术}13]利用矩阵微分法对五轴数控机床的37个几何误差进行了敏感度分析；Cheng等^{[参考文献 14
百度学术}14]基于Sobol法识别了立式加工中心的关键几何误差；Zou等^{[参考文献 15
百度学术}15]采用基于方差的敏感度分析方法，研究了三轴金刚石车床中每个误差源对加工误差的影响；廖琳^{[参考文献 16
百度学术}16]利用敏感度分析理论分析了影响机床姿态误差的主要几何误差；Guo等^{[参考文献 17
百度学术}17]通过扩展傅里叶振幅敏感度测试（extended Fourier amplitude sensitivity test，EFAST）法确定了每个几何误差对机床空间精度的影响；Cheng等^{[参考文献 18
百度学术}18]提出了一种基于指数螺旋理论和Morris法的误差敏感度分析方法，并将它用于机床加工精度全局敏感度分析;夏长久等^{[参考文献 19
百度学术}19]建立了几何误差-齿面误差模型，并基于Morris法识别了影响磨齿机精度的关键几何误差。综上所述，目前几何误差敏感度研究主要针对通用机床，而较少关注蜗杆砂轮磨齿机。

为此，笔者提出一种基于旋量理论和Sobol法的蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度分析方法。首先，基于旋量理论建立蜗杆砂轮磨齿机几何误差模型；然后，采用Sobol法对蜗杆砂轮磨齿机磨削过程进行几何误差敏感度分析；最后，修正蜗杆砂轮齿磨机的关键几何误差项，通过仿真分析对比修正前后机床的空间误差分量和3种测量模式下球杆仪的杆长，以验证敏感度分析结果的正确性和有效性。

1蜗杆砂轮磨齿机几何误差建模

1.1 　旋量理论

根据Chasles定理，任意刚体的运动都可以通过绕某一轴的转动加上沿该轴的移动来实现，该组合运动称为旋量运动。假设运动旋量 $ξ = {[\begin{matrix} v & w \end{matrix}]}^{T}$ ，其中 $w = {[\begin{matrix} w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{matrix}]}^{T}$ 为旋转方向的单位向量， $v = {[\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}]}^{T}$ 为移动方向的单位向量，运动位移为 $θ$ ，则刚体运动变换矩阵可以用运动旋量的指数表示：

$g = e^{\hat{ξ} θ}$

（1）

式中：

$\hat{ξ} = {[\begin{matrix} v \\ w \end{matrix}]}^{\land} = [\begin{matrix} \hat{w} & v \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

$\hat{w} = [\begin{matrix} 0 & - w_{3} & w_{2} \\ w_{3} & 0 & - w_{1} \\ - w_{2} & w_{1} & 0 \end{matrix}]$

其中： $\hat{w}$ 为 $w$ 的反对称矩阵。

对于平动轴，当 $w = 0$ 时，有：

$e^{\hat{ξ} θ} = [\begin{matrix} I_{3 \times 3} & θ v \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

（2）

对于旋转轴，当 $w \neq 0$ 时，有：

$e^{\hat{ξ} θ} = [\begin{matrix} e^{\hat{w} θ} & (I_{3 \times 3} - e^{\hat{w} θ}) (w \times v) + w w^{T} θ \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

（3）

式中： $e^{\hat{w} θ} = I_{3 \times 3} + \hat{w} s i n θ + {\hat{w}}^{2} (1 - c o s θ)$ 。

运动链中的刚体经过一定转动和移动之后，第 $n$ 个刚体相对于基座标系的运动变换矩阵可表示为：

$g_{b n} (θ) = e^{{\hat{ξ}}_{1} θ_{1}} e^{{\hat{ξ}}_{2} θ_{2}} \dots e^{{\hat{ξ}}_{n} θ_{n}} g_{b n} (0)$

（4）

式中： $g_{b n} (0)$ 为初始位置时第 $n$ 个刚体相对于基座标系的运动变换矩阵； $ξ_{i} (i = 1,2, \dots, n)$ 和 $θ_{i} (i = 1,2, \dots, n)$ 分别表示第 $i$ 个刚体的运动旋量和运动位移。

1.2 　蜗杆砂轮磨齿机几何误差分析

YW7232型蜗杆砂轮磨齿机如图1所示。由于制造缺陷和装配误差，蜗杆砂轮磨齿机工作时会产生几何误差，这些几何误差可分为位置相关几何误差和位置无关几何误差。蜗杆砂轮磨齿机有3个直线轴（X轴、Y轴、Z轴）和3个旋转轴（A轴、B轴、C轴），其中：B轴为电主轴，精度高，可忽略其几何误差；其余每轴运动时均会产生6项位置相关几何误差。以X轴为例，X轴运动时会产生沿X方向的定位误差 $δ_{x} (x)$ ，滚转误差 $ε_{x} (x)$ ，沿Y、Z方向的直线度误差 $δ_{y} (x)$ 、 $δ_{z} (x)$ ，俯仰误差 $ε_{y} (x)$ 以及偏转误差 $ε_{z} (x)$ 。同时，蜗杆砂轮磨齿机还存在11项位置无关几何误差，包括直线轴间的3项垂直度误差（ $φ_{z y}$ 、 $φ_{x y}$ 、 $φ_{x z}$ ）以及旋转轴的8项安装误差（ $δ_{y a}$ 、 $δ_{z a}$ 、 $φ_{y a}$ 、 $φ_{z a}$ 、 $δ_{x c}$ 、 $δ_{y c}$ 、 $φ_{x c}$ 、 $φ_{y c}$ ）。综上，蜗杆砂轮磨齿机共有41项几何误差，具体误差项及对应编号如表1所示。

图1 YW7232型蜗杆砂轮磨齿机示意图

Fig. 1 Schematic diagram of YW7232 worm wheel gear grinding machine

表1 蜗杆砂轮磨齿机几何误差及对应编号

Table 1 Geometric errors and corresponding numbers of worm wheel gear grinding machine

运动轴	位置相关几何误差	位置无关几何误差	误差编号
X	$δ_{x} (x)$ 、 $δ_{y} (x)$ 、 $δ_{z} (x)$ 、 $ε_{x} (x)$ 、 $ε_{y} (x)$ 、 $ε_{z} (x)$		1，2，3，4，5，6
Y	$δ_{x} (y)$ 、 $δ_{y} (y)$ 、 $δ_{z} (y)$ 、 $ε_{x} (y)$ 、 $ε_{y} (y)$ 、 $ε_{z} (y)$	$φ_{z y}$ 、 $φ_{x y}$	7，8，9，10，11，12，13，14
Z	$δ_{x} (z)$ 、 $δ_{y} (z)$ 、 $δ_{z} (z)$ 、 $ε_{x} (z)$ 、 $ε_{y} (z)$ 、 $ε_{z} (z)$	$φ_{x z}$	15，16，17，18，19，20，21
A	$δ_{x} (a)$ 、 $δ_{y} (a)$ 、 $δ_{z} (a)$ 、 $ε_{x} (a)$ 、 $ε_{y} (a)$ 、 $ε_{z} (a)$	$δ_{y a}$ 、 $δ_{z a}$ 、 $φ_{y a}$ 、 $φ_{z a}$	22，23，24，25，26，27，28，29，30，31
C	$δ_{x} (c)$ 、 $δ_{y} (c)$ 、 $δ_{z} (c)$ 、 $ε_{x} (c)$ 、 $ε_{y} (c)$ 、 $ε_{z} (c)$	$δ_{x c}$ 、 $δ_{y c}$ 、 $φ_{x c}$ 、 $φ_{y c}$	32，33，34，35，36，37，38，39，40，41

1.3 　基于旋量理论的几何误差建模

蜗杆砂轮磨齿机的拓扑结构如图2所示，主要由2个分支组成：刀具分支和工件分支。其中，刀具分支由机床床身、X轴、Z轴、A轴、Y轴、B轴和刀具组成；工件分支由机床床身、C轴和工件组成。

图2 蜗杆砂轮磨齿机拓扑结构

Fig. 2 Topology structure of worm wheel gear grinding machine

注：

0—床身；1—C轴；2—工件；3—X轴；4—Z轴；5—A轴；6—Y轴；

7—B轴；8—刀具。

蜗杆砂轮磨齿机有3个移动轴和3个旋转轴，理想情况下，机床的旋量运动为沿X轴移动 $x$ 、沿Y轴移动 $y$ 、沿Z轴移动 $z$ 、绕A轴转动角度 $a$ 、绕B轴转动角度 $b$ 、绕C轴转动角度 $c$ 。以A轴为例分析误差运动旋量，A轴的位置无关几何误差运动可以用2组旋量运动表示：沿Y轴移动 $δ_{y a}$ ，绕Y轴转动角度 $φ_{y a}$ ，记为 $ξ_{y a}^{e}$ ；沿Z轴移动 $δ_{z a}$ ，绕Z轴转动角度 $φ_{z a}$ ，记为 $ξ_{z a}^{e}$ 。A轴的位置相关几何误差运动可以用3组旋量运动表示：沿X轴移动 $δ_{x} (a)$ ，绕X轴转动角度 $ε_{x} (a)$ ，记为 $ξ_{x (a)}^{e}$ ；沿Y轴移动 $δ_{y} (a)$ ，绕Y轴转动角度 $ε_{y} (a)$ ，记为 $ξ_{y (a)}^{e}$ ；沿Z轴移动 $δ_{z} (a)$ ，绕Z轴转动角度 $ε_{z} (a)$ ，记为 $ξ_{z (a)}^{e}$ 。蜗杆砂轮磨齿机各轴的理想运动旋量 $ξ_{j}^{i}$ 和误差运动旋量 $ξ_{j}^{e}$ 如表2所示，其中 $j = x, y, z, a, b, c$ 。

表2 蜗杆砂轮磨齿机各轴的运动旋量

Table 2 Motion screw of each axis of worm wheel gear grinding machine

运动轴	理想运动旋量 $ξ_{j}^{i}$	误差运动旋量 $ξ_{j}^{e}$
运动轴	理想运动旋量 $ξ_{j}^{i}$	位置相关	位置无关
X	${[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} δ_{x} (x) & 0 & 0 & ε_{x} (x) & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & δ_{y} (x) & 0 & 0 & ε_{y} (x) & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & 0 & δ_{z} (x) & 0 & 0 & ε_{z} (x) \end{matrix}]}^{T}$
Y	${[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} δ_{x} (y) & 0 & 0 & ε_{x} (y) & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & δ_{y} (y) & 0 & 0 & ε_{y} (y) & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & 0 & δ_{z} (y) & 0 & 0 & ε_{z} (y) \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & φ_{x y} & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & φ_{z y} \end{matrix}]}^{T}$
Z	${[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} δ_{x} (z) & 0 & 0 & ε_{x} (z) & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & δ_{y} (z) & 0 & 0 & ε_{y} (z) & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & 0 & δ_{z} (z) & 0 & 0 & ε_{z} (z) \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & φ_{x z} & 0 \end{matrix}]}^{T}$
A	${[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} δ_{x} (a) & 0 & 0 & ε_{x} (a) & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & δ_{y} (a) & 0 & 0 & ε_{y} (a) & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & 0 & δ_{z} (a) & 0 & 0 & ε_{z} (a) \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 0 & δ_{y a} & 0 & 0 & φ_{y a} & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & 0 & δ_{z a} & 0 & 0 & φ_{z a} \end{matrix}]}^{T}$
B	${[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]}^{T}$
C	${[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} δ_{x} (c) & 0 & 0 & ε_{x} (c) & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & δ_{y} (c) & 0 & 0 & ε_{y} (c) & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & 0 & δ_{z} (c) & 0 & 0 & ε_{z} (c) \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} δ_{x c} & 0 & 0 & φ_{x c} & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$ ${[\begin{matrix} 0 & δ_{y c} & 0 & 0 & φ_{y c} & 0 \end{matrix}]}^{T}$

由旋量理论可知，工件相对于机床的运动变换矩阵可表示为：

$g_{b w} (θ) = e^{{\hat{ξ}}_{c} θ_{c}} g_{b w} (0)$

（5）

式中： $g_{b w} (0) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ 。

刀具相对于机床的运动变换矩阵可表示为：

$g_{b t} (θ) = e^{{\hat{ξ}}_{x} θ_{x}} e^{{\hat{ξ}}_{z} θ_{z}} e^{{\hat{ξ}}_{a} θ_{a}} e^{{\hat{ξ}}_{y} θ_{y}} e^{{\hat{ξ}}_{b} θ_{b}} g_{b t} (0)$

（6）

式中： $g_{b t} (0) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & R \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ ，其中 $R$ 为砂轮半径。

则刀具相对于工件的运动变换矩阵为：

$\begin{array}{l} g_{w t} (θ) = {(g_{b w} (θ))}^{- 1} \cdot g_{b t} (θ) = \\ {(g_{b w} (0))}^{- 1} \cdot e^{- {\hat{ξ}}_{c} θ_{c}} e^{{\hat{ξ}}_{x} θ_{x}} e^{{\hat{ξ}}_{z} θ_{z}} e^{{\hat{ξ}}_{a} θ_{a}} e^{{\hat{ξ}}_{y} θ_{y}} e^{{\hat{ξ}}_{b} θ_{b}} g_{b t} (0) \end{array}$

（7）

理想情况下，刀具相对于工件的运动变换矩阵为：

$g_{_{w t}}^{i} (θ) = {(g_{b w} (0))}^{- 1} \cdot e^{- {\hat{ξ}}_{c}^{i} θ_{c}^{i}} e^{{\hat{ξ}}_{x}^{i} θ_{x}^{i}} e^{{\hat{ξ}}_{z}^{i} θ_{z}^{i}} e^{{\hat{ξ}}_{a}^{i} θ_{a}^{i}} e^{{\hat{ξ}}_{y}^{i} θ_{y}^{i}} e^{{\hat{ξ}}_{b}^{i} θ_{b}^{i}} g_{b t} (0)$

（8）

式中： $θ_{j}^{i}$ 表示理想情况下 $j$ 轴的运动位移； $e^{{\hat{ξ}}_{j}^{i} θ_{j}^{i}}$ 表示理想情况下j轴的运动变换矩阵。

实际情况下，刀具相对于工件的运动变换矩阵为：

$g_{_{w t}}^{r} (θ) = {(g_{b w} (0))}^{- 1} \cdot e^{- {\hat{ξ}}_{c}^{r} θ_{c}^{r}} e^{{\hat{ξ}}_{x}^{r} θ_{x}^{r}} e^{{\hat{ξ}}_{z}^{r} θ_{z}^{r}} e^{{\hat{ξ}}_{a}^{r} θ_{a}^{r}} e^{{\hat{ξ}}_{y}^{r} θ_{y}^{r}} e^{{\hat{ξ}}_{b}^{r} θ_{b}^{r}} g_{b t} (0)$

（9）

式中： $θ_{j}^{r}$ 表示实际情况下j轴的运动位移； $e^{{\hat{ξ}}_{j}^{r} θ_{j}^{r}}$ 表示实际情况下j轴的运动变换矩阵，以A轴为例，实际情况下A轴的运动变换矩阵 $e^{{\hat{ξ}}_{a}^{r} θ_{a}^{r}} = e^{{\hat{ξ}}_{y a}^{e}} e^{{\hat{ξ}}_{z a}^{e}} e^{{\hat{ξ}}_{x}^{i} θ_{x}^{i}} e^{{\hat{ξ}}_{x (a)}^{e}} e^{{\hat{ξ}}_{y (a)}^{e}} e^{{\hat{ξ}}_{z (a)}^{e}}$ 。

实际情况下刀具相对于工件的运动变换矩阵 $g_{_{w t}}^{r} (θ)$ 可以表示为误差矩阵 $E$ 与理想情况下刀具相对于工件的运动变换矩阵 $g_{_{w t}}^{i} (θ)$ 的乘积，即：

$g_{_{w t}}^{r} (θ) = E \cdot g_{_{w t}}^{i} (θ)$

（10）

则误差矩阵 $E$ 可表示为：

$E = g_{_{w t}}^{r} (θ) {(g_{_{w t}}^{i} (θ))}^{- 1}$

（11）

基于六自由度理论和小误差假设理论， $E$ 又可表示为：

$E = [\begin{matrix} 1 & - Δ γ & Δ β & Δ x \\ Δ γ & 1 & - Δ α & Δ y \\ - Δ β & Δ α & 1 & Δ z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

式中： $Δ x$ 、 $Δ y$ 、 $Δ z$ ， $Δ α$ 、 $Δ β$ 、 $Δ γ$ 分别表示刀具相对于工件沿 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 方向的位置误差分量和角度误差分量，统称为空间误差分量。

2蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度系数计算

2.1 　Sobol法

Sobol法是基于方差分解的改进蒙特卡洛方法。采用Sobol法对模型 $Y = f (x)$ 进行敏感度分析，其中 $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{l})$ 表示 $l$ 个输入参数。在蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度分析中，以X方向的位置误差分量 $Δ x$ 为例进行分析， $Δ x$ 与几何误差的关系可表示为：

$Δ x = f (e)$

（12）

式中： $e = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{41})$ ，表示输入的41项几何误差。

根据Sobol法的基本原理，对式（12）进行分解，可得：

$\begin{array}{l} Δ x = Δ x_{0} + \overset{41}{\sum_{p = 1}} Δ x_{p} (e_{p}) + \overset{41}{\sum_{p = 1}} \overset{41}{\sum_{q > p}} Δ x_{p, q} (e_{p}, e_{q}) + \dots + \\ Δ x_{1,2, \dots, 41} (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{41}) \end{array}$

(13)

式中： $Δ x_{0}$ 是基于输入量的X方向的位置误差分量 $Δ x$ 的期望值，为常数； $Δ x_{p} (e_{p})$ 表示输入量 $e_{p}$ 作用下对应的X方向的位置误差分量； $Δ x_{p, q} (e_{p}, e_{q})$ 表示输入量 $e_{p}$ 和 $e_{q}$ 共同作用下对应的X方向的位置误差分量，其余高阶项以此类推。

式（12）所示模型输出项的总方差和偏方差分别为：

$D_{x} = V a r [Δ x] = \int Δ x^{2} d e - Δ x_{0}^{2}$

（14）

$D_{x 1,2, \dots, s} = \int \dots \int Δ x_{1,2, \dots, s}^{2} (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{s}) d (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{s})$

（15）

式中： $1 \leq s \leq 41$ 。

总方差可分解为：

$D_{x} = \overset{41}{\sum_{p = 1}} D_{x p} + \overset{41}{\sum_{1 \leq p \leq q \leq 41}} D_{x p, q} + \dots + D_{x 1,2, \dots, 41}$

（16）

令：

${S_{x}}_{1, 2, \dots, s} = \frac{{D_{x}}_{1, 2, \dots, s}}{D_{x}}$

（17）

式(16)左右两边同时除以 $D_{x}$ ，可得：

$1 = \overset{41}{\sum_{p = 1}} S_{x p} + \overset{41}{\sum_{1 \leq p \leq q \leq 41}} S_{x p, q} + \dots + {S_{x}}_{1, 2, \dots, 41}$

（18）

式中： $S_{x p}$ 是输入量 $e_{p}$ 对X方向位置误差分量的一阶敏感度系数，表示单个几何误差对X方向位置误差分量的影响； $S_{x p, q}$ 是输入量 $e_{p}$ 和 $e_{q}$ 对X方向位置误差分量的二阶敏感度系数，表示 $e_{p}$ 和 $e_{q}$ 共同作用对X位置误差分量的影响；其余高阶项同理。

在进行蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度分析时，通常只分析其一阶敏感度和全局敏感度，则输入量 $e_{p}$ 对X方向位置误差分量的一阶敏感度系数可表示为：

$S_{x p} = \frac{D_{x p}}{D_{x}}$

（19）

输入量 $e_{p}$ 对X方向位置误差分量的全局敏感度系数可表示为：

$S_{T x p} = 1 - \frac{D_{\sim x p}}{D_{x}}$

（20）

其中：

$D_{\sim x p} = D_{x} - D_{x p} - \overset{41}{\sum_{1 \leq p \leq 41,1 \leq q \leq 41, q \neq p}} D_{x p, q} - D_{x 1, 2, \dots, 41}$

2.2 　蒙特卡洛估算

在计算蜗杆砂轮磨齿机几何误差对空间误差分量的敏感度系数前，需通过蒙特卡洛采样方法对输入参数进行采样，生成2个相对独立的采样矩阵。仍以X方向的位置误差分量 $Δ x$ 为例进行分析，其期望值、方差、偏方差、 $D_{\sim x p}$ 的估算公式为：

$\overset{\land}{Δ x_{0}} \approx \frac{1}{k} \overset{k}{\sum_{m = 1}} Δ x (G_{m})$

（21）

${\hat{D}}_{x} \approx \frac{1}{k} \overset{k}{\sum_{m = 1}} Δ x^{2} (G_{m}) - \overset{\land}{Δ x_{0}^{2}}$

（22）

${\hat{D}}_{x p} = \frac{1}{k} \overset{k}{\sum_{m = 1}} Δ x (G_{_{(\sim p) m}}^{(1)}, g_{_{p m}}^{(1)}) Δ x (G_{_{(\sim p) m}}^{(2)}, g_{_{p m}}^{(1)}) - \overset{\land}{Δ x_{0}^{2}}$

（23）

${\hat{D}}_{\sim x p} = \frac{1}{k} \overset{k}{\sum_{m = 1}} Δ x (G_{_{(\sim p) m}}^{(1)}, g_{_{p m}}^{(1)}) Δ x (G_{_{(\sim p) m}}^{(1)}, g_{_{p m}}^{(2)}) - \overset{\land}{Δ x_{0}^{2}}$

（24）

式中： $k$ 代表每个输入量的采样个数；上标 $(1)$ ， $(2)$ 表示2个采样矩阵的编号； $G_{m}$ 表示从采样空间取得的第 $m$ 个采样集； $g_{p m}$ 表示采样点集中第 $m$ 个采样点的第 $p$ 个几何误差的值。

将式(21)至(24)代入式(19)、(20）中，即可计算出蜗杆砂轮磨齿机几何误差对X方向位置误差分量的一阶敏感度系数和全局敏感度系数。

3蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度分析实例

3.1 　指令位置分析及几何误差采样

蜗杆砂轮磨齿机为专用机床，磨削齿轮时其运动轨迹单一。以YW7232型蜗杆砂轮磨齿机为研究对象，分析其磨削过程中各几何误差对空间误差分量的敏感度。

蜗杆砂轮磨齿机磨削齿轮时，齿轮参数和蜗杆砂轮参数如表3所示，其中，齿轮和砂轮的旋向均为右旋。蜗杆砂轮磨削运动包括4个运动过程：砂轮和齿轮的旋转运动、砂轮径向进给运动、砂轮轴向冲程运动和砂轮窜刀运动。在磨削之前，蜗杆砂轮磨齿机B轴和C轴的初始角度为0°，A轴旋转角度由齿轮和砂轮的螺旋角确定；在磨削过程中，X轴进给到指定位置后保持静止，Y轴和A轴静止不动，由B轴、C轴和Z轴联动完成磨削过程。B轴、C轴的转动角度以及Z轴的位置都与时间 $t$ 有关：

$θ_{B} = n_{w} \cdot t$ ，

$θ_{C} = n_{g} \cdot t$ ，

$z = z_{0} - v_{f} \cdot t$

式中： $n_{g} = \frac{N_{g}}{N_{w}} \cdot n_{w}$ ，为齿轮转速； $z_{0}$ 为Z轴的初始位置； $v_{f}$ 为砂轮轴向冲程速度, $v_{f} = 3 m m / s$ 。

表3 齿轮和蜗杆砂轮参数

Table 3 Parameters of gear and worm wheel

齿轮参数	数值	蜗杆砂轮参数	数值
齿数 $N_{g}$ /个	60	砂轮头数 $N_{w}$ /头	3
法向模数 $m_{n}$ /mm	3	法向模数 $m_{n}$ /mm	3
基圆半径 $r_{b}$ /mm	87.19	砂轮半径 $r_{w}$ /mm	125
压力角 $α / (°)$	20	压力角 $α / (°)$	20
螺旋角 $β_{g} / (°)$	15	螺旋角 $λ_{w} / (°)$	2.06
齿宽 $B_{g}$ /mm	20	砂轮转速 $n_{w} / r \cdot m i n^{- 1}$	3 000

根据经验,取 $x = 260 m m$ ， $z_{0} = 280 m m$ ，假定Y轴在单次磨削过程中保持静止，但为了保证砂轮能在整个刀具长度方向被充分利用，在多次磨削后砂轮会发生沿Y轴的窜刀运动，因此分别对 $y = - 60, - 20,20,60 m m$ ， $t = 0,4, 8,12,16,20 s$ 时对应的24个机床指令位置处的几何误差项对空间误差分量的敏感度进行分析。

使用Renishaw XL-80激光干涉仪和QC20-W球杆仪对蜗杆砂轮磨齿机进行多次重复实验，测得机床的几何误差范围，对该范围进行合理缩放后得到：位置误差范围为 $0 ~ 20$ μm，角度误差范围为 $0'' ~ 10''$ ，且几何误差元素符合正态分布。

3.2 　敏感度分析结果

分别计算24个指令位置处各几何误差项对 $Δ x$ 、 $Δ y$ 、 $Δ z$ 、 $Δ α$ 、 $Δ β$ 、 $Δ γ$ 的一阶敏感度系数和全局敏感度系数，再通过式（25）和式（26）对24个指令位置处的敏感度系数求平均数，可以得到机床磨削过程中各几何误差项对空间误差分量的敏感度系数，结果如图3至图8所示。

$S_{p} = \frac{1}{24} \overset{24}{\sum_{h = 1}} S_{h p}$

（25）

$S_{T p} = \frac{1}{24} \overset{24}{\sum_{h = 1}} S_{T h p}$

（26）

式中： $S_{p}$ 和 $S_{T p}$ 分别表示第 $p$ 项几何误差的一阶敏感度和全局敏感度系数， $S_{h p}$ 和 $S_{T h p}$ 分别表示第 $p$ 项几何误差在位置 $h$ 处的一阶敏感度系数和全局敏感度系数。

图3 YW7232型蜗杆砂轮磨齿机几何误差对X方向位置误差分量的敏感度系数

Fig. 3 Sensitivity coefficient of geometric errors toX-direction position error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

图4 YW7232型蜗杆砂轮磨齿机几何误差对Y方向位置误差分量的敏感度系数

Fig. 4 Sensitivity coefficient of geometric errors toY-direction position error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

图5 YW7232型蜗杆砂轮磨齿机几何误差对Z方向位置误差分量的敏感度系数

Fig. 5 Sensitivity coefficient of geometric errors toZ-direction position error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

图6 YW7232型蜗杆砂轮磨齿机几何误差对X方向角度误差分量的敏感度系数

Fig. 6 Sensitivity coefficient of geometric errors toX-direction angular error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

图7 YW7232型蜗杆砂轮磨齿机几何误差对Y方向角度误差分量的敏感度系数

Fig. 7 Sensitivity coefficient of geometric errors toY-direction angular error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

图8 YW7232型蜗杆砂轮磨齿机几何误差对Z方向角度误差分量的敏感度系数

Fig. 8 Sensitivity coefficient of geometric errors toZ-direction angular error component of YW7232 worm wheel gear grinding machine

基于以上一阶敏感度系数以及全局敏感度系数计算结果，可以得出如下结论：

1）将敏感度系数大于0.05的几何误差项作为关键几何误差项，根据图3至图8可得蜗杆砂轮磨齿机磨削过程中对 $Δ x$ 、 $Δ y$ 、 $Δ z$ 、 $Δ α$ 、 $Δ β$ 、 $Δ γ$ 影响较大的关键几何误差项，如表4所示。

表4 YW7232型蜗杆砂轮磨齿机的关键几何误差项

Table 4 Key geometric error terms of YW7232 worm wheel gear grinding machine

空间误差分量	关键几何误差
$Δ x$	$ε_{z} (x)$ 、 $ε_{y} (y)$ 、 $ε_{z} (y)$ 、 $φ_{x y}$ 、 $ε_{x} (z)$ 、 $ε_{y} (z)$ 、 $ε_{x} (c)$ 、 $ε_{y} (c)$ 、 $φ_{x c}$ 、 $φ_{y c}$
$Δ y$	$ε_{z} (x)$ 、 $ε_{x} (y)$ 、 $ε_{y} (y)$ 、 $ε_{z} (y)$ 、 $φ_{z y}$ 、 $φ_{x y}$ 、 $ε_{x} (z)$ 、 $ε_{y} (z)$ 、 $ε_{x} (c)$ 、 $ε_{y} (c)$ 、 $φ_{x c}$ 、 $φ_{y c}$
$Δ z$	$ε_{y} (x)$ 、 $ε_{y} (y)$ 、 $ε_{y} (z)$ 、 $φ_{x z}$ 、 $ε_{y} (c)$ 、 $φ_{y c}$
$Δ α$	$ε_{x} (x)$ 、 $ε_{y} (x)$ 、 $ε_{x} (y)$ 、 $ε_{y} (y)$ 、 $φ_{z y}$ 、 $ε_{x} (z)$ 、 $ε_{y} (z)$ 、 $φ_{x z}$ 、 $ε_{x} (a)$ 、 $φ_{z a}$ 、 $φ_{y a}$ 、 $ε_{x} (c)$ 、 $ε_{y} (c)$ 、 $φ_{y c}$
$Δ β$	$ε_{x} (x)$ 、 $ε_{y} (x)$ 、 $ε_{y} (y)$ 、 $ε_{z} (y)$ 、 $φ_{x y}$ 、 $ε_{x} (z)$ 、 $ε_{y} (z)$ 、 $φ_{x z}$ 、 $ε_{y} (a)$ 、 $φ_{y a}$ 、 $φ_{z a}$ 、 $ε_{x} (c)$ 、 $ε_{y} (c)$ 、 $φ_{y c}$
$Δ γ$	$ε_{x} (x)$ 、 $ε_{y} (x)$ 、 $ε_{z} (x)$ 、 $ε_{z} (y)$ 、 $φ_{x y}$ 、 $ε_{x} (z)$ 、 $ε_{y} (z)$ 、 $φ_{x z}$ 、 $ε_{z} (a)$ 、 $φ_{y a}$ 、 $φ_{z a}$ 、 $ε_{x} (c)$ 、 $φ_{y c}$

2）由表4可知，对蜗杆砂轮磨齿机空间误差分量影响较大的几何误差为 $ε_{x} (x)$ 、 $ε_{y} (x)$ 、 $ε_{z} (x)$ 、 $ε_{x} (y)$ 、 $ε_{y} (y)$ 、 $ε_{z} (y)$ 、 $ε_{x} (z)$ 、 $ε_{y} (z)$ 、 $φ_{x z}$ 、 $φ_{z y}$ 、 $φ_{x y}$ 、 $ε_{x} (a)$ 、 $ε_{y} (a)$ 、 $ε_{z} (a)$ 、 $φ_{z a}$ 、 $φ_{y a}$ 、 $ε_{x} (c)$ 、 $ε_{y} (c)$ 、 $φ_{x c}$ 、 $φ_{y c}$ ，共20项。

3）由图3至图8可知，几何误差对 $Δ x$ 、 $Δ y$ 、 $Δ z$ 的全局敏感度系数和一阶敏感度系数大致相同，而对 $Δ α$ 、 $Δ β$ 、 $Δ γ$ 的全局敏感度系数和一阶敏感度系数有差别，说明几何误差之间的耦合作用对位置误差分量的影响比对角度误差分量的影响小。

4）对空间误差分量影响较大的是角度误差，而定位误差和直线度误差对空间误差分量的影响较小，与角度误差相比可以忽略不计，但角度误差比定位误差和直线度误差更难补偿，因此，在机床设计和制造阶段识别关键几何误差是很有必要的，可以从根本上提高机床的精度。

4蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度分析结果验证与讨论

为了验证蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度分析结果的正确性，对机床关键几何误差进行修正，并对比修正前后机床空间误差分量以及机床联动运动轨迹。首先，对比关键几何误差修正前后机床空间误差分量，把影响某一空间误差分量的关键几何误差项修正为0，其他误差项保持不变，对比修正前后X、Y、Z三个方向的位置误差分量和角度误差分量，修正后空间误差分量越小，表明修正的几何误差对空间误差分量的影响越大。

以 $y = 20 m m$ 为例，计算在 $t =$ 1-20 s时关键几何误差修正前后蜗杆砂轮磨齿机的空间误差分量，结果如图9至图14所示。

图9 关键几何误差修正前后蜗杆砂轮磨齿机X方向位置误差分量

Fig. 9 X-direction position error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

图10 关键几何误差修正前后蜗杆砂轮磨齿机Y方向位置误差分量

Fig. 10 Y-direction position error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

图11 关键几何误差修正前后蜗杆砂轮磨齿机Z方向位置误差分量

Fig. 11 Z-direction position error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

图12 关键几何误差修正前后蜗杆砂轮磨齿机X方向角度误差分量

Fig. 12 X-direction angular error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

图13 关键几何误差修正前后蜗杆砂轮磨齿机Y方向角度误差分量

Fig. 13 Y-direction angular error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

图14 关键几何误差修正前后蜗杆砂轮磨齿机Z方向角度误差分量

Fig. 14 Z-direction angular error component of worm wheel gear grinding machine before and after key geometric error correction

由图9至图14可知，对影响蜗杆砂轮磨齿机空间误差分量的关键几何误差项进行修正后，蜗杆砂轮磨齿机X、Y、Z方向的位置误差分量和角度误差分量都明显减小，且接近于0，说明修正的几何误差项对蜗杆砂轮磨齿机空间误差分量的影响很大，证明了敏感度分析结果的正确性。

其次，对比关键几何误差修正前后机床联动运动轨迹。对20项关键几何误差进行修正后，在机床常用的加工区间内通过仿真模拟球杆仪的3种测量模式：X-Y-C联动测量模式、X-Z联动测量模式和Y-Z联动测量模式，并对比修正前后的球杆仪的杆长。3种测量模式示意图及关键几何误差修正前后球杆仪的杆长对比如图15至图17所示。图中标准圆的半径为球杆仪的标准长度，记为100 mm，图中一个刻度代表0.01 mm。

(a) X-Y-C联动测量模式

(b) X-Y-C联动测量模式下的杆长

图15 X-Y-C联动测量模式及该模式下球杆仪的杆长

Fig. 15 X-Y-C linkage measurement mode and rod length of ballbar in this mode

(a) X-Z联动测量模式

(b) X-Z联动测量模式下的杆长

图16 X-Z联动测量模式及该模式下球杆仪的杆长

Fig. 16 X-Z linkage measurement mode and rod length of ballbar in this mode

(a) Y-Z联动测量模式

(b) Y-Z联动测量模式下的杆长

图17 Y-Z联动测量模式及该模式下球杆仪的杆长

Fig. 17 Y-Z linkage measurement mode and rod length of ballbar in this mode

由图15至图17可知，对关键几何误差进行修正后，蜗杆砂轮磨齿机的联动精度明显改善，这说明通过敏感度分析结果对机床进行精度设计和误差补偿，可以高效快速地提高机床空间精度。

5结论

本文针对蜗杆砂轮磨齿机结构复杂、几何误差种类多引起的建模困难、几何误差测量及补偿复杂的问题，提出了一种基于旋量理论和Sobol法的蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度分析方法。

1）基于旋量理论，建立了蜗杆砂轮磨齿机几何误差模型。

2）基于Sobol法，计算了蜗杆砂轮磨齿机磨削过程中各几何误差对空间误差分量的敏感度系数，识别出影响机床空间误差分量的关键几何误差项。

3）通过仿真分析，对比了关键几何误差修正前后蜗杆砂轮磨齿机的空间误差分量和3种测量模式下球杆仪的杆长，验证了敏感度分析结果的有效性。

4）根据敏感度分析结果，对机床进行误差测量和补偿，可高效快速地提高机床空间精度；将敏感度分析结果用于指导机床设计与装配，可从根源上改善机床空间精度。

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蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度分析

摘要

关键词

1蜗杆砂轮磨齿机几何误差建模

1.1 旋量理论

1.2 蜗杆砂轮磨齿机几何误差分析

1.3 基于旋量理论的几何误差建模

2蜗杆砂轮磨齿机几何误差敏感度系数计算

2.1 Sobol法

2.2 蒙特卡洛估算