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冗余驱动2SPR-2RPU并联机构的运动静力学及奇异性研究

王晓明 ¹
崔国华 ^1,2
侯红娟 ¹
刘健 ¹

1. 河北工程大学机械与装备工程学院，河北邯郸 056038； 2. 上海工程技术大学智能机器人研发中心，上海 201620

中图分类号： TP 24

最近更新：2019-11-14

DOI：10.3785/j.issn.1006-754X.2019.05.016

目录contents

摘要

针对打磨、抛光等重载机器人的应用需求，提出了一种新型冗余驱动2SPR-2RPU并联机构。运用螺旋理论计算了2SPR-2RPU并联机构的自由度，并求解了其运动学逆解与速度雅克比矩阵。全面考虑2SPR-2RPU并联机构自身重力因素，利用拆杆法对该机构进行静力学分析，并建立了其静力学模型。针对机构驱动冗余的特点，运用拉格朗日乘数法，以驱动力最小为目标构造函数，对驱动力进行分配求解，获得2SPR-2RPU并联机构在给定运动轨迹下的驱动力变化趋势。根据速度雅克比矩阵对2SPR-2RPU并联机构的奇异性进行分析，结果表明该机构没有运动学正解奇异和运动学反解奇异，但具有2个运动学混合奇异，且2个混合奇异位形可通过合理设计机构杆件尺寸进行规避。研究结果可为实际工程应用中冗余驱动并联机构的研究提供一定的理论基础。

关键词

冗余并联机构; 静力学; 驱动力分布; 奇异性

驱动数目多于自由度数目的并联机构被称为冗余驱动并联机构^[

1]，该类机构既具有较大承载能力又可以有效避免奇异位形^{[参考文献 2
Google Scholar 百度学术}2,3,4,5,6,7,8]。大多数并联机构的静力学分析是基于其运动学雅克比矩阵来开展的，没有深入考虑机构自身重力的影响，这导致所建立的静力学数学模型有较大的计算误差^{[参考文献 9
Google Scholar 百度学术}9]。于凌涛等^{[参考文献 10
Google Scholar 百度学术}10]在考虑机构自身重力的前提下建立了3-RPS并联机构的静力学数学模型，并用SimMechanics软件进行了仿真验证。冗余并联机构具有给定所受外部负载驱动力分配不唯一的特点，这就需要根据机构所在工况选择不同的驱动力分配方法，如：Huang等^{[参考文献 11
Google Scholar 百度学术}11]提出一种加权系数法，用于解决冗余驱动机构的驱动力优化分配问题；Liu等^{[参考文献 12
Google Scholar 百度学术}12]采用加权广义逆的方法分别以驱动力/扭矩最小、机构弹性势能最小以及电机输入能量最小为目的，得到冗余驱动并联机构的最优驱动力分配并进行了算例分析；蔡胜利等^{[参考文献 13
Google Scholar 百度学术}13]运用2种驱动力求解方法对平面冗余并联机构的驱动力进行计算，并基于所建数学模型进行数值仿真分析；牛雪梅等^{[参考文献 14
Google Scholar 百度学术}14]运用最小二范数法对冗余驱动并联机构的驱动力进行优化，并分析了机构运动时其构件对驱动力的影响。奇异性分析是并联机构性能研究中的重要部分，李秦川等^{[参考文献 15
Google Scholar 百度学术}15]采用3种运动学奇异分析方法得到了2-PRS-PRRU并联机构的奇异值；张彦斐等^{[参考文献 16
Google Scholar 百度学术}16]从可操作角度计算了冗余驱动并联机构的奇异位形。

本文提出了一种新型冗余驱动2SPR-2RPU并联机构，该机构可用于打磨、抛光机器人等。首先，运用螺旋理论计算2SPR-2RPU并联机构的自由度，并对它进行位置逆解分析，利用微分法得到其速度雅克比矩阵；然后，建立完整的2SPR-2RPU并联机构静力学方程，利用拉格朗日乘数法对其驱动力进行分配求解，得到该并联机构在工作空间内给定运动轨迹下的驱动力变化趋势；最后，根据速度雅克比矩阵，对2SPR-2RPU并联机构的运动学奇异位形进行分析。

1 2SPR-2RPU并联机构的运动学分析

1.1　2SPR-2RPU并联机构原理描述

冗余驱动2SPR-2RPU并联机构的原理图和实物图分别如图1和图2所示。图1中， $A_{i}$ 和 $B_{i}$ 分别为2SPR-2RPU并联机构第 $i$ 根分支杆与动平台和定平台的铰接点。在定平台中心建立固定坐标系 $o - x y z$ ，坐标原点o为正四边形 $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ 对角线的交点，x轴与 $B_{3} B_{4}$ 所在直线共线，y轴与 $B_{1} B {}_{2}$ 所在直线共线， $z$ 轴垂直于定平台向上。在动平台中心上建立动坐标系 $o' - u v w$ ，坐标原点 $o'$ 为正四边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 对角线交点，u轴与 $A_{3} A_{4}$ 所在直线共线，v轴与 $A_{1} A {}_{2}$ 所在直线共线， $w$ 轴垂直于动平台向上。 $B_{3} 、 B_{4}$ 处转动副轴线与y轴平行， $A_{1} 、 A_{2}$ 处转动副轴线平行于u轴， $A_{3} 、 A_{4}$ 处虎克铰的第1轴线平行于u轴，第2轴线平行于v轴。

图1 2SPR-2RPU并联机构原理图

Fig. 1 Schematic diagram of 2SPR-2RPU parallel mechanism

图2 2SPR-2RPU并联机构实物图

Fig. 2 Physical map of 2SPR-2RPU parallel mechanism

1.2　2SPR-2RPU并联机构自由度分析

设球副的3个转动副的轴线方向分别与x、y、z轴平行，在初始位形下，动、定坐标系的坐标轴分别平行。设2根SPR杆分别为杆1、杆2，2根RPU杆分别为杆3、杆4，在定坐标系 $o - x y z$ 下，杆1的运动螺旋系为：

$\{\begin{array}{l} $_{11} = (0 1 0; 0 0 0) \\ $_{12} = (1 0 0; 0 0 - Y_{11}) \\ $_{13} = (0 0 1; \begin{matrix} Y_{11} & 0 & 0 \end{matrix}) \\ $_{14} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \end{matrix}; 0 - Y_{12} Z_{12}) \\ $_{15} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}; 0 - Z_{13} Y_{13}) \end{array}$

(1)

式中： $$_{i j}$ 表示第 $i$ 根分支杆上第 $j$ 个运动副的速度旋量， $Y_{i j}$ 、 $Z_{i j}$ 表示第 $i$ 根分支杆上第 $j$ 个运动副的坐标。

杆1的空间约束反螺旋为：

$$_{r 1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}; \begin{matrix} 0 & 0 & - Y_{11} \end{matrix})$

(2)

式中： $$_{r 1}$ 表示经过 $B_{1}$ 且平行于 $x$ 轴的约束力。

杆2与杆1对称，则杆2的约束空间反螺旋为：

$$_{r 2} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}; \begin{matrix} 0 & 0 & Y_{11} \end{matrix})$

(3)

式中： $$_{r 2}$ 表示经过 $B_{2}$ 且平行于 $x$ 轴的约束力。

杆3的运动螺旋系为：

$\{\begin{array}{l} $_{13} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0; \begin{matrix} 0 & 0 & X_{31} \end{matrix} \end{matrix}) \\ $_{23} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0; \begin{matrix} - X_{32} & 0 & Z_{32} \end{matrix} \end{matrix}) \\ $_{33} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0; \begin{matrix} 0 & - Z_{33} & 0 \end{matrix} \end{matrix}) \\ $_{43} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0; \begin{matrix} Z_{33} & 0 & X_{33} \end{matrix} \end{matrix}) \end{array}$

(4)

杆3的空间约束反螺旋为：

$\{\begin{array}{l} $_{r 3} = (0 1 0; Z_{33} 0 0) \\ $_{r 4} = (0 0 0; 0 0 1) \end{array}$

(5)

式中： $$_{r 3}$ 表示经过 $A_{3}$ 且平行于 $y$ 轴的约束力； $$_{r 4}$ 表示垂直于动平台的约束力偶。

杆4与杆3对称，则杆4的约束空间反螺旋为：

$\{\begin{array}{l} $_{r 5} = (0 1 0; Z_{33} 0 0) \\ $_{r 6} = (0 0 0; 0 0 1) \end{array}$

(6)

式中： $$_{r 5}$ 表示经过A ₄且平行于 $y$ 轴的约束力； $$_{r 6}$ 表示垂直于动平台的约束力偶。

综上，2SPR-2RPU并联机构的约束空间螺旋系为：

$\{\begin{array}{l} $_{r 1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}; \begin{matrix} 0 & 0 & - Y_{11} \end{matrix}) \\ $_{r 2} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}; \begin{matrix} 0 & 0 & Y_{11} \end{matrix}) \\ \begin{array}{l} $_{r 3} = (0 1 0; Z_{33} 0 0) \\ $_{r 4} = (0 0 0; 0 0 1) \end{array} \\ \begin{array}{l} $_{r 5} = (0 1 0; Z_{33} 0 0) \\ $_{r 6} = (0 0 0; 0 0 1) \end{array} \end{array}$

(7)

求式（7）的反螺旋，则可得到并联机构动平台所具有的运动螺旋系为：

$\{\begin{array}{l} $_{m 1} = (1 0 0; 0 - Z_{33} 0) \\ $_{m 2} = (0 0 0; 0 0 1) \\ $_{m 3} = (0 1 0; 0 0 0) \end{array}$

(8)

由式（8）可知2SPR-2RPU并联机构具有3个自由度，分别为绕 $u$ 、y轴的转动与沿z轴的移动。

通过修正的 $G r \ddot{u} b l e r - K u t z b a c h (G - K)$ 公式分析该机构自由度用以验证上述结果的正确性，即：

$E = d (n - g - 1) + \overset{g}{\sum_{j = 1}} e_{j} + v$

(9)

式中：E为机构自由度， $d$ 为机构阶数， $n$ 为连杆数， $g$ 为机构运动副数， $e_{j}$ 为第j个运动副的自由度， $v$ 为机构的冗余约束。

由式（9）可得2SPR-2RPU并联机构的自由度为：

$E = 6 \times (10 - 12 - 1) + 18 + 3 = 3$

经过验证确定2SPR-2RPU并联机构为具有两转一移三自由度的冗余驱动并联机构。

1.3　2SPR-2RPU并联机构位置逆解分析

设各分支移动副的伸缩长度为 $q_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4），并联机构动平台绕 $u$ 轴轴线的转角为 $α$ ，绕 $y$ 轴轴线的转角为 $β$ ，沿 $z$ 轴移动的距离为 $Z$ ，根据1.2节中所求得的自由度可得动坐标系相对于定坐标系的转换矩阵 $T$ 为：

$\begin{array}{l} T = R o t (y, β) T r a n (z, Z) R o t (u, α) = \\ [\begin{matrix} c β & s β s α & s β c α & Z s β \\ 0 & c α & - s α & 0 \\ - s β & c β s α & c β c α & Z c β \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}$

(10)

式中：s表示sin，c表示cos。

令 $o' A_{i} = a$ ， $o B_{i} = b$ 且 $a = 162 m m$ ， $b = 530 m m$ , $a_{i 0} 、 b_{i 0}$ （ $i$ =1,2,3,4）分别为 $A_{i} 、 B_{i}$ 在动坐标系下的矢量坐标, $a_{i} 、 b_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4）分别为 $A_{i} 、 B_{i}$ 在定坐标系下的矢量坐标，令 $a_{i} = R a_{i 0} + P$ ， $P$ 是动平台中心点 $o'$ 在定坐标系下的矢量坐标，其中：

$\{\begin{array}{l} a_{10} = a {[\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \end{matrix}]}^{T} \\ a_{20} = a {[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \end{matrix}]}^{T} \\ a_{30} = a {[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T} \\ a_{40} = a {[\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T} \end{array}$

(11)

$\{\begin{array}{l} b_{1} = b {[\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \end{matrix}]}^{T} \\ b_{2} = b {[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \end{matrix}]}^{T} \\ b_{3} = b {[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T} \\ b_{4} = b {[\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T} \end{array}$

(12)

由式（10）可知：

$P = {[\begin{matrix} Z s β & 0 & Z c β \end{matrix}]}^{T}$

(13)

$R = [\begin{matrix} c β & s β s α & s β c α \\ 0 & c α & - s α \\ - s β & c β s α & c β c α \end{matrix}]$

(14)

则冗余驱动2SPR-2RPU并联机构的伸缩长度为：

$q_{i} = ‖a_{i} - b_{i}‖$

(15)

其中：

$q_{1} = \sqrt[]{{(Z s β - a s β s α)}^{2} + {(b - a c α)}^{2} + {(Z c β - a c β s α)}^{2}}$

$q_{2} = \sqrt[]{{(Z s β + a s β s α)}^{2} + {(b + a c α)}^{2} + {(Z c β + a c β s α)}^{2}}$

$q_{3} = \sqrt[]{{(Z s β + a c β - b)}^{2} + {(Z c β - a s β)}^{2}}$

$q_{4} = \sqrt[]{{(Z s β - a c β - b)}^{2} + {(Z c β + a s β)}^{2}}$

1.4　速度雅可比矩阵的建立

将式（15）左右两边对时间求导，可得：

$N {\dot{q}}_{i} = M \dot{v}$

(16)

式中：

${\dot{q}}_{i} = {[\begin{matrix} {\dot{q}}_{1} & {\dot{q}}_{2} & {\dot{q}}_{3} & {\dot{q}}_{4} \end{matrix}]}^{T}$

$\dot{v} = [\begin{matrix} \dot{α} & \dot{β} & \dot{z} \end{matrix}]$

$N = [\begin{matrix} q_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_{4} \end{matrix}]$

$M = [\begin{matrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \\ M_{41} & M_{42} & M_{43} \end{matrix}]$

其中：

$M_{11} = Z (Z / c β - a s α) t β / c β$

$M_{12} = a (a s α - Z c α / c β)$

$M_{13} = (Z / c β - a s α) / c β$

$M_{21} = Z t β (Z / c β + a s α) / c β$

$M_{22} = a (Z c α / c β + a s α)$

$M_{23} = (Z / c β + a s α) / c β$

$\begin{array}{l} M_{31} = (b - a c β + Z t β) (a s β + Z / c^{2} β) + \\ a (Z + a s β) c β \end{array}$

$M_{32} = 0$

$M_{33} = (b - a c β + Z t β) t β + Z + a s β$

$\begin{array}{l} M_{41} = (a c β + Z t β - b) (Z / c^{2} β - a s β) - \\ a (Z - a s β) c β \end{array}$

$M_{42} = 0$

$M_{43} = (a c β + Z t β - b) t β + Z - a s β$

式中： $t$ 表示 $t a n$ 。

式（16）左右两边左乘 $N^{-}$ ,可得：

${\dot{q}}_{i} = N^{-} M \dot{v}$

(17)

令：

$J = N^{-} M$

(18)

式中： $J$ 为2SPR-2RPU并联机构的 $4 \times 3$ 阶速度雅克比矩阵。

2 2SPR-2RPU并联机构的静力学分析

2.1　RPU分支受力情况分析

利用拆杆法求解2SPR-2RPU并联机构的静力学受力问题，设2根SPR杆分别为杆1、杆2，2根RPU杆分别为杆3、杆4，将每根分支杆分为上下两段，上段为运动杆，其重力为 $G_{i 1}$ （ $i$ =1,2,3,4），下段为固定杆，其重力为 $G_{i 2}$ （ $i$ =1,2,3,4）， $l_{i 1}$ 表示第 $i$ 根分支杆中运动杆的质心 $O_{1}$ 到分支杆与定平台铰接点的距离， $l_{i 2}$ （ $i$ =1,2,3,4）为固定杆的质心 $O_{2}$ 到分支杆与定平台铰接点的距离， $L_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4）为分支杆长度， $f_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4）为连杆提供的驱动力， $μ_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4）为转动副轴线方向的单位方向矢量， $θ_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4）为连杆轴线与重力方向的夹角。在连杆上建立坐标系，分析2SPR-2RPU并联机构PRU分支杆（杆3）的受力情况，结果如图3所示。其中， $F_{R Z 3}$ 和 $F_{U Z 3}$ 分别表示沿连接定、动平台运动副轴线方向分支杆所受的力， $F_{R X 3}$ 和 $F_{U X 3}$ 分别表示平行于分支杆方向的约束力， $F_{R Y 3}$ 和 $F_{U Y 3}$ 分别表示转动副和球副中垂直于分支杆方向的约束力。

图3 2SPR-2RPU并联机构RPU分支杆受力分析示意图

Fig. 3 Force analysis diagram of RPU branch link of 2SPR-2RPU parallel mechanism

驱动力 $f_{i}$ 为分支杆上下两段相互作用内力。以RPU分支杆整体为研究对象，沿分支杆方向和 $μ_{3}$ 方向的力平衡方程分别为：

$F_{U X 3} - F_{R X 3} - (G_{31} + G_{32}) c o s θ_{3} = 0$

(19)

$F_{U Z 3} + F_{R Z 3} = 0$

(20)

以转动副为转轴中心，可得 $F_{U X 3}$ 、 $F_{U Y 3}$ 及 $F_{U Y 3}$ 为：

$\{\begin{array}{l} M_{R Y 3} - F_{U Z 3} L_{3} = 0 \\ F_{U Y 3} L_{3} - (G_{31} l_{31} + G_{32} l_{32}) s i n θ_{3} = 0 \\ F_{U Y 3} - F_{R Y 3} + (G_{31} + G_{32}) s i n θ_{3} = 0 \end{array}$

(21)

取RPU分支杆的上段运动杆为研究对象，有：

$F_{U X 3} + f_{3} = G_{31} c o s θ_{3}$

(22)

联立式(21)、(22)可得：

$\{\begin{array}{l} F_{U Y 3} = \frac{(G_{31} l_{31} + G_{32} l_{32}) s i n θ_{3}}{L_{3}} \\ F_{U X 3} = G_{31} c o s θ_{3} - f_{3} \end{array}$

(23)

其他3根分支杆的受力分析与杆3相似，此处不再赘述，所得结果如下：

$\{\begin{array}{l} F_{R Y 1} = \frac{(G_{11} l_{11} + G_{12} l_{12}) s i n θ_{1}}{L_{1}} \\ F_{R X 1} = G_{11} c o s θ_{1} - f_{1} \end{array}$

(24)

$\{\begin{array}{l} F_{R Y 2} = \frac{(G_{21} l_{21} + G_{22} l_{22}) s i n θ_{2}}{L_{2}} \\ F_{R X 2} = G_{21} c o s θ_{2} - f_{2} \end{array}$

(25)

$\{\begin{array}{l} F_{U Y 4} = \frac{(G_{41} l_{41} + G_{42} l_{42}) s i n θ_{4}}{L_{4}} \\ F_{U X 4} = G_{41} c o s θ_{4} - f_{4} \end{array}$

(26)

式中： $F_{R Y 1}$ 、 $F_{R X 1}$ 分别为第1根分支杆与动平台连接的转动副中心点处垂直于分支杆和平行于分支杆的力， $F_{R Y 2}$ 、 $F_{R X 2}$ 分别为第2根分支杆与动平台连接的转动副中心点处垂直于分支杆和平行于分支杆的力， $F_{U Y 4}$ 、 $F_{U X 4}$ 分别为第4根分支杆与动平台连接的虎克铰中心点处垂直于分支杆和平行于分支杆的力。

2.2　2SPR-2RPU并联机构受力分析

以2SPR-2RPU并联机构动平台为研究对象进行受力分析，设动平台中心所受外界负载合力为 $F$ ，合力矩为 $M$ ，当2SPR-2RPU并联机构保持一固定位姿时，其位姿不会因所受外力而改变，设此时并联机构的4根连杆的长度 $L_{i}$ 固定不变，结合上文分析结果可得动平台静力学平衡方程为：

$\{\begin{array}{l} \begin{array}{l} \overset{2}{\sum_{i = 1}} [F_{R X i} n_{i} + F_{R Z i} s_{i} + F_{R Y i} (n_{i} \times s_{i})] + \overset{4}{\sum_{i = 3}} [F_{U X i} n_{i} + F_{U Z i} s_{i} + F_{U Y i} (n_{i} \times s_{i})] + F = 0 \\ \overset{2}{\sum_{i = 1}} \{F_{R X i} (r_{R i} \times n_{i}) + F_{R Z i} (r_{R i} \times s_{i}) + F_{R Y i} [r_{R i} \times (n_{i} \times s_{i})]\} + \end{array} \\ \overset{4}{\sum_{i = 3}} \{F_{U X i} (r_{U i} \times n_{i}) + F_{U Z i} (r_{U i} \times s_{i}) + F_{U Y i} [r_{U i} \times (n_{i} \times s_{i})]\} + M = 0 \end{array}$

(27)

将式（23）、（24）、（25）、（26）代入式（27），可得2SPR-2RPU并联机构静力学平衡方程的矩阵表达形式：

$[\begin{array}{l} - F \\ - M \end{array}] = C [\begin{array}{l} f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \\ f_{4} \\ F_{R Z 1} \\ F_{R Z 2} \\ F_{U Z 3} \\ F_{U Z 4} \end{array}] + C_{1} [\begin{array}{l} F_{C} \\ F_{R Y 1} \\ F_{R Y 2} \\ F_{U Y 3} \\ F_{U Y 4} \end{array}]$

(28)

式中： $r_{R i}$ （ $i$ =1,2）与 $r_{U i}$ （ $i$ =3,4）分别为第 $i$ 根分支杆连接动平台的运动副中心相对于动坐标系原点 $o'$ 的矢径； $n_{i}$ 与 $s_{i}$ 分别为平行于连杆方向和转动副轴线方向的单位方向矢量，可知 $n_{i} = (a_{i} - b_{i}) / ‖a_{i} - b_{i}‖$ 。

2.3　2SPR-2RPU并联机构驱动力求解

式（27）为超静定方程，根据已知条件无法求解。2SPR-2RPU并联机构自由度数目小于驱动数目，其驱动力有多种分配方法，本文采用拉格朗日乘数法^[

17]，以驱动力最小为目标构建函数并求解该机构驱动力。

式中：

$C = [\begin{matrix} n_{1} & n_{2} & n_{3} & n_{4} & s_{1} & s_{2} & s_{3} & s_{4} \\ r_{R 1} \times n_{1} & r_{R 2} \times n_{2} & r_{U 3} \times n_{3} & r_{U 4} \times n_{4} & r_{R 1} \times s_{1} & r_{R 2} \times s_{2} & r_{U 3} \times s_{3} & r_{U 4} \times s_{4} \end{matrix}]$

$C_{1} = [\begin{matrix} n_{1} & n_{2} & n_{3} & n_{4} & n_{1} \times s_{1} & n_{2} \times s_{2} & n_{3} \times s_{3} & n_{4} \times s_{4} \\ r_{R 1} \times n_{1} & r_{R 2} \times n_{2} & r_{U 3} \times n_{3} & r_{U 4} \times n_{4} & r_{R 1} \times (n_{1} \times s_{1}) & r_{R 2} \times (n_{2} \times s_{2}) & r_{U 3} \times (n_{3} \times s_{3}) & r_{U 4} \times (n_{4} \times s_{4}) \end{matrix}]$

$F_{C} = {[\begin{matrix} G_{11} c o s θ_{1} & G_{21} c o s θ_{2} & G_{31} c o s θ_{3} & G_{41} c o s θ_{4} \end{matrix}]}^{T}$

设 $F_{f} = [\begin{matrix} F_{x} & F_{y} & F_{z} & M_{x} & M_{y} & M_{z} \end{matrix}]$ 为动平台所受负载， $f_{n} = {[\begin{matrix} f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \end{matrix}]}^{T}$ 为并联机构分支杆驱动力组成的矩阵， $G_{f}$ 为并联机构的力雅克比矩阵，且 $G_{f} = {J_{1}}^{T}$ ， $J_{1}$ 为并联机构的驱动雅克比矩阵^[

18]，由文献[18]可知：

$J_{1} = [\begin{matrix} {n_{1}}^{T} & {(a_{1} \times n_{1})}^{T} \\ {n_{2}}^{T} & {(a_{2} \times n_{2})}^{T} \\ {n_{3}}^{T} & {(a_{3} \times n_{3})}^{T} \\ {n_{4}}^{T} & {(a_{4} \times n_{4})}^{T} \end{matrix}]$

(29)

设 $Q = {f_{n}}^{T} W f_{n}$ 为目标函数，其中 $W$ 为对称方阵，约束条件为 $G_{f} f_{n} = F_{f}$ ，则驱动力的求解变成了求使目标函数最小值，引入拉格朗日乘子 $λ$ ，可得：

$\hat{Z} = {f_{n}}^{T} W f_{n} + λ^{T} (F_{f} - G_{f} f_{n})$

(30)

将式（30）分别对 $f_{n}$ 和 $λ$ 求偏导数，可得：

$\frac{\partial \hat{Z}}{\partial f_{n}} = 2 {f_{n}}^{T} W - G_{f} λ^{T}$

(31)

$\frac{\partial \hat{Z}}{\partial λ} = F_{f} - G_{f} f_{n}$

(32)

取 $W$ 为单位矩阵且外载荷 $F_{f}$ 已知时，令等式（31）与（32）左右两边为 $0$ 并整合两式，得驱动力 $f_{n}$ 最优解为：

$f_{n} = {G_{f}}^{T} {(G_{f} {G_{f}}^{T})}^{- 1} F_{f}$

(33)

已知动平台的质量 $m_{1} = 15 k g$ ，每根分支杆的自重相近且 $m_{2} = 10 k g$ ，则 $G_{i 1} = 29.4$ N， $G_{i 2} = 68.6$ N。表1列出了2SPR-2RPU并联机构动平台上施加的外载荷理论值 $F_{f} = [\begin{matrix} F & M \end{matrix}]$ （包括机构自身重力）以及处于不同位姿时并联机构的驱动力，利用ADAMS软件对并联机构进行静力学仿真验证，用 $F_{f}' = [\begin{matrix} F' & M' \end{matrix}]$ 表示外载荷仿真值。表中， $w = [α β Z]$ 为并联机构动平台的位姿矩阵，由表1可以看出本文采用的驱动力分配方法较为正确。

表1 不同位姿下动平台中心受力对比

Table 1 Comparison of force at the center of moving platform with different poses

$w$	$f_{n}$	$F_{f}$	$F_{f}'$
${[\begin{matrix} 0 & 0 & 830 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 273 & 273 & 273 & 273 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 000 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 0 & 0 & - 997 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$
${[\begin{matrix} 0 & 0 & 830 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 394 & 212 & 152 & 334 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 000 & 200 & 100 & 0 \end{matrix}]}^{T}$	$[\begin{matrix} 0 & 0 & - 996 & 197 & 99 & 0 \end{matrix}]$
${[\begin{matrix} 10 & 0 & 830 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 176 & 382 & 142 & 390 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 100 & 30 & - 1 000 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 100 & 32 & - 997 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$
${[\begin{matrix} 10 & 0 & 830 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 323 & 350 & 107 & 430 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 100 & 30 & - 1 000 & 200 & 100 & 0 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 98 & 32 & - 995 & 195 & 97 & 0 \end{matrix}]}^{T}$
${[\begin{matrix} 10 & 10 & 830 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 286 & 242 & 139 & 410 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 000 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 0 & 0 & - 992 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}$
${[\begin{matrix} 10 & 10 & 830 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 382 & 220 & 120 & 450 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 000 & 200 & 100 & 0 \end{matrix}]}^{T}$	${[\begin{matrix} 0 & 0 & - 993 & 193 & 96 & 0 \end{matrix}]}^{T}$

图4（a）为当2SPR-2RPU并联机构动平台转角 $α = 10 °$ 、 $β = 5 °$ 且其中心所受外载荷 $F_{f} = [\begin{matrix} 0 & 0 & - 2 000 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ 时，其驱动力随 $z (0.5 \leq z \leq 1 m)$ 的曲线变化。图4（b）为当并联机构动平台中心所受负载 $F_{f} = [\begin{matrix} 0 & 0 & - 2 000 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ ， $α = 10 °$ ，动平台中心点在 $x o z$ 平面内的变化轨迹为式（34）时，其驱动力随时间的变化曲线，其中动平台变化轨迹为：

$\{\begin{array}{l} x = 0.1 s i n t \\ y = 0 \\ z = 0.7 + 0.1 c o s t \end{array}$

(34)

图4 2SPR-2RPU并联机构驱动力变化曲线

Fig. 4 Driving force change curve of 2SPR-2RPU parallel mechanism

从图4（b）中可以清晰地看出2SPR-2RPU并联机构驱动力在给定轨迹下的变化趋势：杆3和杆4的驱动力波动较小，最大驱动力和最小驱动力均出现在杆2上。该结果可用于实际工程应用中并联机构的整体受力分析。

3 2SPR-2RPU并联机构奇异性分析

当机构处于奇异位形时，机构的工作稳定性变差，运动性能下降，因此分析新型冗余驱动2SPR-2RPU并联机构的奇异性很有必要。

利用代数法对式（16）中系数矩阵 $N$ 与 $M$ 降秩,以求解新型冗余驱动2SPR-2RPU并联机构的奇异性。

3.1　运动学正、反解奇异

当 $|N| \neq 0 、 |M| = 0$ 时，认为机构有正解奇异。对于2SPR-2RPU并联机构，当 $|M| = 0$ 时，有3种情况，分别为 $M_{41} = M_{42} = M_{43} = 0$ 、 $M_{12} = M_{22} = M_{32} = M_{42} = 0$ 、 $M_{31} = M_{32} = M_{33} = 0$ ，经计算可知此3种情况皆与假设相矛盾,因此该机构不存在运动学正解奇异。

当 $|N| = 0 、 |M| \neq 0$ 时，认为机构有反解奇异，由式（16）可知此时机构自由度减少。对于2SPR-2RPU并联机构，当 $|N| = 0$ 时，有4种情况，分别为q ₁=0，q ₂=0，q ₃=0和q ₄=0。但经过计算发现此4种情况的结果都与假设相矛盾，因此该机构不存在运动学反解奇异。

3.2　运动学混合奇异

当 $|N| = 0 、 |M| = 0$ 时，认为机构有混合奇异。此种奇异位形表现为驱动副具有有限运动时动平台没有运动，或所有驱动固定时分支可以承受有限运动。

根据计算可知，当 $|N| = 0 、 |M| = 0$ 时，2SPR-2RPU并联机构的动平台转角 $β = a r c c o s \frac{a}{b}$ ，移动距离 $Z = - \frac{a \sqrt[]{b^{2} - a^{2}}}{b}$ 。图5为2SPR-2RPU并联机构混合奇异位形示意图，此时动平台中心移动距离 $Z = a s i n β$ ，此时并联机构第3根分支杆或者第4根分支杆连接动平台的 $U$ 运动副运动到定平台所在平面。由实际应用情况可知，这种混合奇异位形可以通过合理设计杆件尺寸进行规避。

图5 2SPR-2RPU并联机构混合奇异位形示意图

Fig. 5 Diagram of mixed singularity of 2SPR-2RPU parallel mechanism

4 结论

1）提出一种新型冗余驱动2SPR-2RPU并联机构，运用螺旋理论求解得出该机构具有两转一移三个自由度，并分析计算了该并联机构的位置逆解，用微分法求解了其速度雅克比矩阵。

2）建立了2SPR-2RPU并联机构的静力学方程，利用拉格朗日乘数法对其驱动力进行分配求解，并通过ADAMS软件仿真验证了该驱动力分配方法的正确性，得到了并联机构在给定运动轨迹下的驱动力变化趋势。

3）对2SPR-2RPU并联机构进行了奇异性分析，通过分析可知该并联机构不存在运动学正解奇异与运动学反解奇异，但存在2种运动学混合奇异，这2种混合奇异位形在并联机构第3根分支杆或第4根分支杆连接动平台的U运动副运动到定平台所在平面时出现。可以通过合理设计杆件尺寸来规避这2种混合奇异位形。

参考文献

ZHANG H Q, FANG H R, JIANG B S . Motion force transmissibility characteristic analysis of a redundantly actuated and overconstrained parallel machine[J]. International Journal of Automation and Computing, 2018, 16(2): 150-162. doi:10.1007/s11633-018-1156-5 [百度学术] [Google Scholar]

崔国华，张海强，徐丰，等 .空间3-PUS-UP并联机构运动灵巧性与刚度性能研究[J].农业机械学报,2014, 45(12):348- 354. doi:10.6041/j.issn.1000-1298.2014.12.050 [百度学术] [Google Scholar]

CUI Guo-hua, ZHANG Hai-qiang, XU Feng, et al . Kinematic dexterity and stiffness performance of spatial 3-PUS-UP parallel manipulator[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2014, 45(12): 348-354. [百度学术] [Google Scholar]

周结华，彭侠夫 . 三自由度冗余驱动并联机构的奇异性和工作空间分析[J]. 中国机械工程, 2014, 25(6):751-756. doi:10.3969/j.issn.1004-132X.2014.06.009 [百度学术] [Google Scholar]

ZHOU Jie-hua, PENG Xia-fu . Singularity and workspace analysis of a 3-DOF parallel manipulator with redundant actuation[J]. China Mechanical Engineering, 2014, 25(6): 751-756. [百度学术] [Google Scholar]

王南，周海栋，崔国华，等 . 基于三转动并联机构的茶叶筛分装置运动学性能研究[J]. 工程设计学报, 2014,21(3):266-272. doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2014.03.011 [百度学术] [Google Scholar]

WANG Nan, ZHOU Hai-dong, CUI Guo-hua, et al . Study of kinematic performance of the tea screening plant based on three rotation parallel mechanism[J]. Chinese Journal of Engineering Design, 2014, 21(3): 266-272. [百度学术] [Google Scholar]

STEPHANE C, MOROZ G, GAYRAL T, et al . Singularity analysis of a six-DOF parallel manipulator using Grassmann-Cayley algebra and Gröbner bases[M]//Brain, Body and Machine. Berlin Heidelberg: Springer, 2010: 341-352. doi:10.1007/978-3-642-16259-6_26 [百度学术] [Google Scholar]

李仕华，崔红柳，刘艳敏 . 消除内部奇异的三平移并联机构冗余驱动支链的综合[J]. 机械工程学报,2014, 50(23):36-41. doi:10.3901/JME.2014.23.036 [百度学术] [Google Scholar]

LI Shi-hua, CUI Hong-liu, LIU Yan-min . Synthesis of elimination inner singularity branched link with actuation redundancy for 3-translational parallel mechanisms[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(23): 36-41. [百度学术] [Google Scholar]

KANAAN D, WENGER P, CHABLAT D . Singularity analysis of limited-DOF parallel manipulators using Grassmann-Cayley algebra[M]//Advances in Robot Kinematics: Analysis and Design. Dordrecht: Springer，2008: 59-68. doi:10.1007/978-1-4020-8600-7_7 [百度学术] [Google Scholar]

CHENG Shi-li, WU Hong-tao, WANG Chao-kun, et al . A novel method for singularity analysis of the 6-SPS parallel mechanism[J]. Science China, 2011, 54(5): 1220-1227. doi:10.1007/s11431-011-4323-2 [百度学术] [Google Scholar]

KIM J W, KIM K W, KIM H S, et al . Stiffness analysis and design of a 3-DOF parallel robot with one constraining leg [C]//International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS 2007， Seoul， Oct. 17-20, 2007. doi:10.1109/ICCAS.2007.4406708 [百度学术] [Google Scholar]

于凌涛，张楠，张立勋，等 . 3-RPS并联机器人静力学研究及SimMechanics仿真[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2010,31(8):1061-1064. doi:10.3969/j.issn.1006-7043.2010.08.013 [百度学术] [Google Scholar]

YU Ling-tao, ZHANG Nan, ZHANG Li-xun, et al . A SimMechanics simulation of static forces in a 3-RPS parallel robot[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2010, 31(8): 1061-1064. [百度学术] [Google Scholar]

HUANG Z, ZHAO Y S . The accordance and optimization-distribution equations of the over determinate inputs of walking machines[J]. Mechanism & Machine Theory, 1994, 29(2): 327-332. doi:10.1016/0094-114X(94)90039-6 [百度学术] [Google Scholar]

LIU W, XU Y, YAO J, et al . The weighted Moore–Penrose generalized inverse and the force analysis of overconstrained parallel mechanisms[J]. Multibody System Dynamics, 2017, 39(4): 363-383. doi:10.1007/s11044-016-9500-4 [百度学术] [Google Scholar]

蔡胜利，白师贤 .冗余驱动的平面并联操作手的输入力优化[J].北京工业大学学报,1997,23(2):37-41. [百度学术] [Google Scholar]

CAI Sheng-li, BAI Shi-xian . Optimization of actuating forces of redundantly actuated planar parallel manipulators[J]. Journal of Beijing University of Technology, 1997, 23(2): 37-41. [百度学术] [Google Scholar]

牛雪梅，高国琴，刘辛军，等 . 三自由度驱动冗余并联机构动力学建模与试验[J]. 农业工程学报, 2013, 29(16):31-41. doi:10.3969/j.issn.1002-6819.2013.16.005 [百度学术] [Google Scholar]

NIU Xue-mei, GAO Guo-qin, LIU Xin-jun, et al . Dynamics modeling and experiments of 3-DOF parallel mechanism with actuation redundancy[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering, 2013, 29(16): 31-41. [百度学术] [Google Scholar]

李秦川，孙晓东，陈巧红，等 . 2-PRS-PRRU并联机构运动学与奇异分析[J]. 机械工程学报,2011,47(3): 21-27. doi:10.3901/JME.2011.03.021 [百度学术] [Google Scholar]

LI Qin-chuan, SUN Xiao-dong, CHEN Qiao-hong, et al . Kinematics and singularity analysis of 2-PRS-PRRU parallel mechanism[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(3): 21-27. [百度学术] [Google Scholar]

张彦斐，宫金良，高峰 . 冗余驱动消除并联机构位形奇异原理[J]. 中国机械工程, 2006,17(5):445-448. doi:10.3321/j.issn:1004-132X.2006.05.002 [百度学术] [Google Scholar]

ZHANG Yan-fei, GONG Jin-liang, GAO Feng . Theory of singularity elimination by redundant actuation for parallel mechanism[J]. China Mechanical Engineering, 2006, 17(5): 445-448. [百度学术] [Google Scholar]

程丽 . 五自由度并联机床冗余驱动理论与实验研究[D]. 秦皇岛:燕山大学机械工程学院，2010:1-177. doi:10.1007/978-3-540-88513-9_20 [百度学术] [Google Scholar]

CHENG Li . Theoretical and experimental investigation of 5-DOF parallel machine tool with redundant actuation[D]. Qinhuangdao: Yanshan University， School of Mechanical Engineering, 2010: 1-177. [百度学术] [Google Scholar]

ZHANG H Q, FANG H R . Stiffness characteristics analysis of a novel 3-DOF parallel kinematic machine tool[J]. International Journal of Engineering and Technology, 2018, 10(4): 346-354. doi:10.7763/ijet.2018.v10.1082 [百度学术] [Google Scholar]

冗余驱动2SPR-2RPU并联机构的运动静力学及奇异性研究

摘要

关键词

1 2SPR-2RPU并联机构的运动学分析

1.1 2SPR-2RPU并联机构原理描述

1.2 2SPR-2RPU并联机构自由度分析

1.3 2SPR-2RPU并联机构位置逆解分析

1.4 速度雅可比矩阵的建立

2 2SPR-2RPU并联机构的静力学分析

2.1 RPU分支受力情况分析

2.2 2SPR-2RPU并联机构受力分析

2.3 2SPR-2RPU并联机构驱动力求解