1 主梁尺寸优化算法策略选择
串行算法是指将2种或2种以上不同算法按照一定规则串连，运算过程中遵循“快、准、稳”的求解原则，利用不同算法的优势达到快速求解、获得精确解的目的。串行算法策略如图1所示，分为2种：采用2种以上算法串连求解；采用2种算法，循环执行多次，直到满足输出要求。
1.1 循环策略及算法的选择
串行算法中接入的优化算法越多，求解所需时间越长，因此，根据求解原则中的“快”，设定接入的优化算法个数为2。算法1输出的变量值一般无法作为输入范围直接传入算法2中，通过循环执行算法可获取输入范围，但循环次数的增加会使求解时间大幅度延长，因此本文选择图1（d）所示的循环策略。起重机主梁数学模型为复杂多峰函数，存在个别变量取值范围较小的情况，要求算法可以在较小范围内求得精确解。当AFS
A[10,11] 采用自适应步长和自适应视野（若无特殊说明，文中所述AFSA均为采用自适应步长和自适应视野的改进算法）后，在结果精度和稳定性方面都会得到显著提升[10,11,12,13,14,15] ，且它具有鲁棒性强、收敛性好、对初值要求低的特点，在一定范围可以满足应用要求。此外，经过多次测试发现，除采用自适应步长和自适应视野外，缩小变量范围也可以提高AFSA的求解精度和稳定性。因此图1（d）中的算法2采用改进后的AFSA。串行算法中的算法1应具备快速收敛、全局搜索能力强的优点。AFSA是一种利用种群寻优的启发式算法，类似算法包括蚁群优化算法、遗传算法、粒子群优化（particle swarm optimization，PSO）算法等。ACO适用于解决旅行商问题(traveling salesman problem,TSP )，它主要依靠信息浓度的不断变化来实现寻优，速度较慢；PSO在处理高维度多峰复杂函数时易陷入局部最优；改进遗传算子后的GA前期处理速度较快，且种群间个体差异明显，适合全局寻优（下文所述GA均为改进遗传算子后的改进算法）。综合对比，GA与AFSA的融合度优于其他组合，且GA的全局最优概率最大，不易陷入局部最优，其全局快速收敛功能可以使变量范围迅速缩
小[16] ，因此图1（d）中的算法1采用改进的GA。综上所述，本文串行算法循环策略选择：采用AFSA与GA这2种算法，循环执行多次，直到输出满足要求的结果。
1.2 改进的AFSA和GA简介
1.2.1 改进的AFSA
AFSA的几种典型行
为[10] 如下：1）觅食行为（AF_prey）：设人工鱼当前状态为
式中：
2）聚群行为（AF_swarm）：设人工鱼当前状态为
式中:
若
3）追尾行为（AF_follow）：设当前人工鱼状态为
若
4）随机行为（AF_random）：人工鱼在视野范围内随机选择一个状态并移动，以便在更大范围内寻觅食物或伙伴，该行为为觅食行为的缺省行
为[10] 。1.2.2 改进遗传算子的GA
在GA中，交叉算子提供全局搜索能力，变异算子提供局部搜索能
力[17] 。为解决GA的早收敛现象，本文采用文献[17]提出的改进方法，即改进其遗传算子，具体如下：式中：
1.3 GA循环次数的确定
为满足求解原则中的“准”和“稳”，需对桥式起重机主梁的尺寸范围进行适当缩小，具体流程如图2所示。
通过比较不同循环次数下GA将变量范围缩小至近似相同所需时间来确定本文串行算法中GA的循环次数。在MATLAB中分别对测试函数（式（6））进行5次运算，测试结果如表1,2所示（测试数据只取整数部分）。
表1 循环次数为1时GA缩小变量范围的测试结果1）
Table 1 Test results of reducing variable range based on GA with cycle number of 1
参数 运行次数 1 2 3 4 5 缩小后的变量范围 (－115，102)
(－136，100)
(－107，135)
(－121，155)
(－204，152)
(－201，162)
(－127，109)
(－90，109)
(－111，187)
(－169，170)
(－118，159)
(－185，132)
(－193，33)
(－189，78)
(－179，279)
(－152，138)
(－81，80)
(－258，171)
(－178，150)
(－167，105)
(－49，110)
(－106，102)
(－189，209)
(－85，227)
(－248，133)
(－138，61)
(－66，171)
(－144，139)
(－159，159)
(－93，212)
(－76，161)
(－150，150)
(－66，142)
(－178，157)
(－155，110)
(－178，153)
(－288，186)
(－113，61)
(－140，241)
(－164，84)
(－51，100)
(－113，131)
(85，74)
(－115，139)
(－114，134)
(－47，144)
(－129，55)
(－177，64)
(155，118)
(－121，121)
注：1）测试时变量范围为（－600，600），种群大小为150，迭代次数为100，pc=0.8，pm=0.008，平均运行时间为1.26 s。
表2 循环次数为2时GA缩小变量范围的测试结果1）
Table 2 Test results of reducing variable range based on GA with cycle number of 2
参数 运行次数 1 2 3 4 5 缩小后的变量范围 (－103，179)
(－139，102)
(－109，173)
(－180，127)
(－146，120)
(－153，162)
(－160，63)
(－126，136)
(－77，215)
(－118，146)
(－168，97)
(－177，110)
(－226，223)
(－117，186)
(－110，140)
(－134，207)
(－84，256)
(－79，160)
(－49，201)
(－218，75)
(－170，102)
(－144，131)
(－153，149)
(－118，87)
(－174，120)
(－126，141)
(－121，142)
(－115，101)
(－100，91)
(－92，44)
(－105，45)
(－140，100)
(－173，98)
(－111，105)
(－77，118)
(－187，163)
(－173，116)
(－91，156)
(－98，232)
(－82，123)
(－84，204)
(－37，150)
(－48，184)
(－118，112)
(－74，166)
(－208，161)
(－285，144)
(－116，131)
(－145，34)
(－220，150)
注：1）测试时变量范围为（－600，600），种群大小为20，迭代次数为10，pc=0.8，pm=0.008，平均运行时间为0.11 s。
对比表1和表2数据可知：在变量范围的缩小程度相差无几情况下，循环次数为2时的平均运行时间远小于循环次数为1时的。根据求解原则中的“快”，GA循环次数选为2。
2 AFSA-GA串行算法运行参数选择及其可行性验证
AFSA-GA串行算法运行流程如图3所示，具体步骤如下：
1）确定变量个数，判断给定范围是否满足AFSA所需要求（继续缩小变量范围不会明显提高其求解精度及稳定性），如果满足要求则执行步骤5），如不满足则执行步骤2）。
2）执行缩小变量范围模块，根据变量范围确定模块参数（循环次数、需要达到的目标范围），选择GA参数。
3）执行循环程序，并在公告板中记录每次循环结束后变量的最优值，判断是否满足设定的循环次数要求，如果不满足则继续循环直至达到设定次数。
4）将公告板中记录的最优值按照从小到大的顺序排列，选取最小值、最大值组成新的变量范围，并判断是否满足AFSA要求，若满足则将生成新范围传递给AFSA。
5）在给定的范围内随机生成初始种群，并计算每条人工鱼的目标函数值。执行聚群、追尾、觅食、随机行为，分别生成新个体；计算新个体的目标函数值，判断二者大小并选择目标函数值最小的个体来替换原种群中对应位置的人工鱼。
6）判断新个体是否满足变量条件，如不满足则取相对应变量的上下限替代原有值；若满足则更新全局最优人工鱼状态。
7）判断是否满足迭代要求，如不满足则继续执行步骤5），如满足则输出结果。
2.1 不同变量范围对AFSA计算精度的影响
为分析变量范围对AFSA求解精度及稳定性的影响程度，采用统计分析的方法，选择不同取值范围进行测试，AFSA的运行参数如表3所示。选取式（6）作为测试函数，变量维度为10，该函数为复杂多峰函数，存在多个极小值点，是典型的非线性多模态函数，具有广阔的搜索空间，可用于判断不同变量范围对AFSA计算精度的影响程度。对测试函数（理论极值为0）运行20次，结果如表4所示，其中平均值表示20个解的平均值，最优值表示20次运行中的最优解，标准差值表示该算法的稳定性，值越小表示算法稳定性越好。
表3 AFSA运行参数设置
Table 3 Running parameter settings for AFSA
参数 人工鱼数/条 最大迭代数/次 拥挤度 最大尝试数/次 步长因子（Step） 视野因子（Visual） 数值 200 500 0.6 1 9 2 表4 不同变量范围下用AFSA测试函数的结果
Table 4 Results of function test using AFSA under different variable ranges
比较项 变量范围 （－600，600） （－500，500） （－400，400） （－300，300） （－200，200） （－100，100） （－50，50） （－10，10） 最优值 0.70 0.66 0.34 0.28 0.24 0.22 0.26 0.15 平均值 1.78 0.85 0.51 0.42 0.35 0.30 0.31 0.29 标准差 1.51 0.15 0.11 0.07 0.07 0.06 0.03 0.05 由表4可知：当变量范围从（－600，600）缩小为（－100，100）时，平均值由1.788提高到0.302，说明AFSA的求解精度在逐渐提升；标准差由1.513减小为0.062，说明算法的稳定性得到提升。但当变量范围继续缩小至（－10，10）时，平均值与标准差变化并不大。测试结果表明：在一定范围内缩小变量的取值范围会提升AFSA的求解精度及稳定性。
2.2 GA迭代次数和种群大小确定
2.2.1 迭代次数的选取
为确定不同种群大小下GA完成全局快速收敛所需的迭代次数，在不同种群大小下对式（6）分别运行10次，观察统计用GA完成全局快速收敛所需的迭代次数。桥式起重机主梁截面中上下翼缘板宽及腹板内间距的取值范围较大，为模拟上下翼缘板宽及腹板内间距，取变量范围为（－600，600），测试数据如表5、图4所示，表中：平均迭代时间=（
表5 不同种群大小下GA完成全局快速收敛所需迭代次数
Table 5 The iteration number required to complete global fast convergence under different population sizes
参数 种群大小 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 平均迭代次数 10 14.7 17.4 14.6 15.4 22.3 14.6 13.4 12.6 23.5 最大迭代次数 14 20 26 18 22 28 20 20 18 33 平均迭代时间/s 0.019 0.037 0.061 0.083 0.116 0.149 0.183 0.226 0.278 0.323 从表5可以发现，随着种群大小的增大，GA完成全局快速收敛所需时间逐渐增加，但最大迭代次数无明显差别，有6组处于18~22范围内。从图4的迭代曲线上可以发现：当GA完成全局快速收敛后，变量Y的值也相对较接近。因为GA的初始化种群具有随机性，其变异和交叉过程不可控，且测试数据样本较小，所以应选取最大迭代次数。为简化迭代次数梯度以提高程序可操作性，将种群划分为2个等级：当种群大小处于（0,
2.2.2 种群大小的选取
为确定GA的种群大小，采用不同种群大小对式（6）分别运行10次，迭代次数根据2.2.1节结论确定。根据表4的测试结果可知，变量范围不大于（－100，100）时AFSA的求解精度和稳定性都较高，因此将（－100，100）设为GA缩小变量范围的目标范围。GA的种群大小及种群大小为40时GA缩小变量范围的测试结果如表6,7所示（测试数据只取整数部分，满足条件的结果为加粗显示）。
表6 GA的种群大小测试结果
Table 6 Population size test results for GA
种群大小 满足变量范围要求的个 数1） 运行时间/s 平均值 最优值 10 0 0 0.135 20 1.6 3 0.261 30 6 8 0.41 40 7.8 10 0.599 50 8.1 10 0.808 注：1)表示经GA缩小后的设计变量的变量范围可达到AFSA使用要求的个数。
表7 种群大小为40时GA缩小变量范围的测试结果
Table 7 Test results of reducing variable range based on GA with population size of 40
参数 运行次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 缩小后的
变量范围
(－76，101)
(－44，86)
(－60，75)
(－102，88)
(－95，87)
(－82，93)
(－60，19)
(－66，41)
(－20，65)
(－78，49)
(－61，86)
(－77，53)
(－37，93)
(－51，80)
(－94，91)
(－75，135)
(－101，43)
(－28，92)
(－125，116)
(－70，103)
(－49，65)
(－60，83)
(－88，100)
(－57，76)
(－26，110)
(－27，87)
(－154，104)
(－62，69)
(－51，76)
(－105，122)
(－22，65)
(－88，123)
(－49，98)
(－102，69)
(－89，57)
(－72，84)
(－69，14)
(－116，89)
(－93，49)
(－97，51)
(－64，95)
(－59，97)
(－39，66)
(－39，65)
(－98，70)
(－71，50)
(－100，121)
(－63，63)
(－66，110)
(－86，90)
(－69，74)
(－21，70)
(－43，118)
(－88，151)
(－81，41)
(－81，34)
(－32，39)
(－50，79)
(－88，140)
(－119，83)
(－44，111)
(－83，15)
(－63，52)
(－56，75)
(－67，59)
(－56，98)
(－38，78)
(－63，82)
(－45，124)
(－55，51)
(－122，71)
(－78，135)
(－96，86)
(－55，57)
(－86，80)
(－114，41)
(－37，66)
(－68，64)
(－111，87)
(－63，91)
(－37，41)
(－62，75)
(－64，47)
(－48，21)
(－65，47)
(－57，70)
(－98，114)
(－84，127)
(－73，34)
(－57，80)
(－37，66)
(－51，58)
(－50，54)
(－75，148)
(－101，40)
(－74，53)
(－89，61)
(－89，83)
(－98，71)
(－39，52)
由表6可知，随着种群大小的增大，满足变量范围要求的个数逐渐增加。当种群大小为10和20时，符合变量范围要求的个数远小于预期值，不予考虑；当种群大小为40时，符合要求的变量范围个数平均值为7.8，最优值为10，优于种群大小为30时的结果；继续增大种群大小，符合变量范围要求的个数平均值无明显增长，但所需运行时间增加明显；且表7中未满足要求的变量范围均在（－100，100）附近，所以没有必要继续增大种群大小使变量范围缩小。综合考虑，选定种群大小为40。
2.3 AFSA-GA串行算法可行性验证
为验证AFSA-GA串行算法的稳定性及其计算精度，考虑到起重机箱型梁截面尺寸优化方程为非线性复杂函数，部分变量具有较大搜索空间，因约束条件较多，其搜索方向难辨，从文献[18]中选取3种不同类型测试函数对AFSA-GA串行算法进行测试，测试函数如表8所示。在MATLAB中运行AFSA-GA串行算法，其运行参数设置如表9所示。
表8 用于AFSA-GA串行算法测试的3种不同类型测试函数
Table 8 Three different types of test functions used to AFSA-GA serial algorithm testing
函数名 表达式 搜索空间 性质 Griewank 复杂多峰函数，存在许多极小值点，是典型的非线性多模态函数，具有广阔的搜索空间，用于判断串行算法大范围搜索是否可行 Schaffer 具有强烈震荡性质，用于判断串行算法陷入局部最优值时间 Sphere 复杂单峰函数，用于判断串行算法是否可达到迭代精度 表9 AFSA-GA串行算法运行参数设置
Table 9 Running parameters setting for AFSA-GA serial algorithm
参数 人工鱼数/条 最大迭代数/次 拥挤度 最大尝试数/次 种群
大小
迭代数/次 数值 100 100 0.6 1 40 25 对每个测试函数采用AFSA、GA和AFSA-GA三种不同算法分别运行20次，结果如表10所示，其中平均值表示20个解的平均值，最优值表示20次运行中的最优解，标准差值表示该算法的稳定性，值越小表示算法稳定性越好，时间表示该算法获得20次解所需平均时间。
表10 用AFSA、GA、AFSA-GA串行算法测试函数的结果
Table 10 Results of function test using AFSA, GA, AFSA-GA serial algorithm
比较项 算法 测试函数 f1 f2 f3 平均值 AFSA 0.59 1.11×1 0-4 529.141 GA 14.74 0 4.628 AFSA-GA 0.222 0.010 1 0.036 最优值 AFSA 0.198 0 234.478 GA 5.157 0 0 AFSA-GA 0.05 0.001 0.115 标准差 AFSA 0.066 1.63×1 0-4 236.520 GA 4.745 0 2.661 AFSA-GA 0.112 0.023 6 0.069 5 时间/s AFSA 2.4 1.9 3.2 GA 6.27 0.036 6.26 AFSA-GA 2.5 2.45 3.63 由表10知：在处理复杂非线性函数时，AFSA-GA串行算法的求解精度优于AFSA和GA；虽然AFSA与AFSA-GA串行算法在处理复杂非线性函数时的稳定性方面差别不大，但对于复杂单峰函数，AFSA的稳定性较差；虽然GA也可以全局快速收敛，但GA的求解精度及稳定性都无法达到要求。鉴于起重机上下盖板及腹板选材的要求，选用AFSA-GA串行算法。
3 工程应用
为了验证AFSA-GA串行算法的实用性，以50 t/22.5 m桥式起重机主梁金属结构设计优化作为工程实例。
尺寸是否优化可通过主梁截面面积来评价。将桥式起重机主梁的上下盖板厚度、腹板高度及厚度、上下翼缘长度作为设计变量，如图5所示。在结构满足强度、刚度等约束条件下，以实现轻量化、应力集中最小为目标，得到桥式起重机主梁的最优尺
寸[19] 。桥式起重机主梁的几何约束条件为：
式中：
桥式起重机主梁的刚度约束条件为：
式中：
桥式起重机主梁的强度约束条件为：
式中：
桥式起重机主梁优化设计的目标函数为：
式中：
在满足强度、刚度、几何约束等条件下，要实现尺寸优化目标，则使得
表11 桥式起重机工作参数
Table 11 Working parameters of bridge crane
参数 额定起重量/t 小车自重/t 主梁跨度/mm 主钩起升速度/（m/min） 工作级别 数值 50 15.695 22 500 7.8 A5 在MATLAB中运行AFSA-GA串行算法，得到的桥式起重机主梁尺寸优化结果如表12所示。
表12 桥式起重机主梁尺寸优化结果对比
Table 12 Comparison of size optimization results for main beam of bridge crane
方法 设计变量/mm 目标函数值/ 文献[20] 18 16 6 6 508 1 600 600 600 36 880 本文 10 10 8 8 600 1 450 660 660 36 400 通过与参考文献中数据对比，采用AFSA-GA串行算法优化后上下翼缘板、腹板厚度相差较小，更符合工程实际需求，表明AFSA-GA串行算法可以应用于桥式起重机主梁尺寸优化设计。
4 结论
针对起重机传统设计过程中存在的计算繁杂、自重偏大及结果失调的问题，本文采用AFSA-GA串行算法以快速实现起重机主梁轻量化设计。
1）AFSA-GA串行算法充分利用AFSA和GA的优势，取长补短，在实现快速求解的同时保证优化结果的精确性及稳定性；
2）在起重机主梁工作参数一定的情况下，以主梁截面面积为优化目标函数，运用AFSA-GA串行算法对50 t/22.5 m桥式起重机主梁金属结构进行优化设计，证明该串行算法可以应用于桥式起重机主梁尺寸优化设计。
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摘要
针对传统设计中因采用理论与经验相结合的方法而导致的桥式起重机主梁设计周期长、截面尺寸大、材料利用率低及设计成本与制造成本高等问题，提出以优势互补为理念的串行算法，即采用2种算法循环执行多次，直到满足输出要求。充分利用遗传算法（genetic algorithm,GA）全局快速收敛，人工鱼群算法（artificial fish swarm algorithm,AFSA）在小变量范围中求解精度较高、稳定性好等优势，通过在AFSA中增加缩小变量范围模块来构建AFSA-GA串行算法。选用3种类型测试函数对AFSA-GA进行可行性验证，并将AFSA-GA应用于50 t/22.5 m的桥式起重机主梁轻量化设计，以验证该串行算法的实用性。结果表明AFSA-GA在求解精度、收敛速度、鲁棒性方面满足工程实际要求，且具有适用性。工程实证表明AFSA-GA串行算法可应用于桥式起重机主梁轻量化设计，可达到缩短设计周期、减小截面尺寸及提高材料利用率的目的。
Abstract
The main beam of bridge crane often adopts the method of combining theory and experience in traditional design, which results in the problems of long design period, large section size of main beam and low utilization rate of materials, and also causes the problem of high design cost and manufacturing cost of bridge crane. In view of the above problems, a serial the algorithm based on the concept of complementary advantages is put forward, which uses two algorithms to recycle multiple times, until the output meets the requirements. By making full use of advantages of the global fast convergence of genetic algorithm (GA) and the high solving precision and good stability of artificial fish swarm algorithm (AFSA) in the small variable range, the AFSA-GA serial algorithm was built by adding a module to narrow the scope of variables in AFSA. Three types of test functions were used to verify the feasibility of AFSA-GA, and the AFSA-GA was applied to the lightweight design of main beam for 50 t/22.5 m bridge crane to verify the practicability of the serial algorithm. The results showed that the AFSA-GA serial algorithm satisfied the practical requirements in terms of solving precision, convergence speed and robustness and had applicability. The engineering verification proves that the AFSA-GA serial algorithm can be applied to the lightweight design of the main beam for bridge crane, which can shorten the design period, reduce the section size and improve the material utilization rate.
起重机主梁作为承重的主要构件，其设计参数和结构对整机的性能和制造成本有很大影
然而，单一优化算法往往存在早熟现象明显、收敛速度慢、寻优精度不足以及对初始种群敏感等缺
上述改进均针对算法存在的某一问题，并未对算法的稳定性及求解精度进行深入研究。随着解决问题的变化，各算法优缺点也会发生相互转换，如：早熟现象的存在可以使函数快速收敛至某一范围。在起重机设计过程中，其主梁截面参数一般选择整
