曲面匹配方法在刀具加工轨迹优化中的应用

何改云¹
机构：天津大学机械工程学院机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300350
邮箱：hegaiyun@tju.edu.cn
作者简介：何改云(1965—)，女，天津人，教授，博士生导师，博士，从事现代质量控制和CAD/CAM/CAI集成技术等研究，E-mail:hegaiyun@tju.edu.cn，https://orcid.org/0000-0002-5799-0418
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庞凯瑞¹
机构：天津大学机械工程学院机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300350
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桑一村¹
机构：天津大学机械工程学院机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300350
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刘晨辉²
机构：天津大学数学学院，天津 300350
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王宏亮¹
机构：天津大学机械工程学院机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300350
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1. 天津大学机械工程学院机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300350； 2. 天津大学数学学院，天津 300350

中图分类号: TH 12

DOI:10.3785/j.issn.1006-754X.2019.02.010

Application of surface matching method in tool path optimization

HE Gai-yun¹
Affiliation：Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China
Email：hegaiyun@tju.edu.cn
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PANG Kai-rui¹
Affiliation：Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China
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SANG Yi-cun¹
Affiliation：Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China
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LIU Chen-hui²
Affiliation：School of Mathematics, Tianjin University, Tianjin 300350, China
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WANG Hong-liang¹
Affiliation：Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China
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1. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China； 2. School of Mathematics, Tianjin University, Tianjin 300350, China

CLC: TH 12

DOI:10.3785/j.issn.1006-754X.2019.02.010

全文
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参考文献
作者
出版信息

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摘要

为减小非可展直纹面侧铣过程中产生的原理误差，提出一种新的刀具加工轨迹优化方法，将曲面匹配方法应用于初始刀具加工轨迹的优化过程，并使用序列二次规划算法求解曲面匹配问题。首先，采用现有的刀具加工轨迹生成方法得到刀轴轨迹曲面；其次，对刀轴轨迹曲面进行法向偏移得到对应的刀具加工包络面并进行原理误差计算，使用基于序列二次规划算法的曲面匹配方法对加工包络面与设计曲面进行曲面逼近，得到空间变换矩阵；再次，通过空间变换和法向偏移，得到优化后的刀轴轨迹曲面及其对应的刀具加工包络面，以及对应的优化刀具加工轨迹及加工误差分布数据；最后，使用MATLAB进行仿真，并与基于最小二乘法的曲面匹配方法进行对比验证。仿真结果表明该优化方法有效地减小了初始刀具加工轨迹产生的原理误差，这说明提出的方法能够用于减小非可展直纹面侧铣加工时产生的原理误差。研究成果为提高非可展直纹面侧铣的精度提供了新的技术支持。

Abstract

In order to reduce the principle error generated in the flank milling process of undevelopable ruled surface, a new optimization method for tool path was proposed. Surface matching method was applied to optimize the initial tool path, and the sequential quadratic programming algorithm was used to solve the surface matching problem. Firstly, the existing tool path generation method was used to obtain the tool axis trajectory surface. Secondly, the envelope surface was achieved by offsetting the tool axis trajectory surface along its normal vector, and the principle error was calculated. The surface matching method based on the sequential quadratic programming algorithm was operated to match the envelope surface with the design surface and a spatial transformation matrix was obtained. Thirdly, an optimized tool axis trajectory surface and its corresponding envelope surface were generated, and the corresponding optimized tool path and the error distribution data were obtained. Finally， the simulation was performed by MATLAB and compared with the surface matching method based on least square method. The simulation result showed that the proposed method reduced the principle error of the initial tool path effectively, which indicated that the proposed method could apply to reduce the principle error in the flank milling process of the undevelopable ruled surface. The research results provide a new technical way to improve the accuracy of undevelopable ruled surface flank milling.

关键词

曲面匹配；刀具加工轨迹优化；非可展直纹面；侧铣；序列二次规划算法

Keywords

surface matching; tool path optimization; undevelopable ruled surface; flank milling; sequential quadratic programming algorithm

非可展直纹面由于其良好的几何特性，被广泛应用于模具、发动机叶轮等重要零部件的设计中。在非可展直纹面的侧铣加工过程中会不可避免地产生原理误差^[1]，因此非可展直纹面的侧铣加工刀具路径规划一直是国内外学者关注的热点^[2,3]。Liu^[4]提出了双点偏移法，先在非可展直纹面直纹的四分之一与四分之三处取2个点，然后沿曲面的法线方向偏移一个刀具半径的距离得到刀轴位置。Redonnet等^[5]建立了一个三点相切模型，通过使刀具与非可展直纹面的3个点相切来确定刀轴位置。Tsay等^[6]通过分析扭转角、直纹长度、刀具几何尺寸与原理误差的关系建立了相应的解析模型，并基于该模型对刀具轨迹进行优化。Bedi等^[7]通过使用柱形刀具在非可展直纹面的上下两条准线上滑动，使得刀具与2条准线相切来确定刀轴位置。Menzel等^[8]以文献[7]的方法为基础，提出了三步优化方法，刀具的初始范围不再局限于2条准线而是非可展直纹面的任意位置，该方法虽减小了原理误差，但是其计算过程较复杂。Guan等^[9]以文献[5]的方法为基础，提出了一种改进的刀具定位方法，将三点相切模型中中间位置的切点确定为直纹中间的点，该方法简化了求解方程且提高了求解速度。

上述方法都是根据待加工曲面先确定刀轴位置再形成总体刀路，而这些方法存在较大的原理误差。近年来，许多基于初始刀具路径的刀具加工轨迹整体优化方法被提了出来。Gong等^[10]提出了针对柱形刀具的定位策略，先对初始刀具加工轨迹进行处理，然后对包络面的点云和设计曲面的偏移面进行最小二乘拟合处理以进行优化。Zhu等^[11]提出了针对锥形刀具的刀路全局优化方法，通过设计曲面与包络面之间的有向距离函数，运用最小区域法将包络面逼近设计曲面的点云以达到优化的目的。Tian等^[12]提出用局部优化与全局优化相结合的方法来控制加工误差，首先调整较大的加工误差以得到相对小的误差，然后进行全局优化处理。以上方法的处理过程即加工曲面向设计曲面逼近的优化过程^[13]，也就是加工包络面与设计曲面的曲面匹配过程^[14,15]大都是以最小二乘法为理论基础进行优化。最小二乘法作为一种基本优化方法，其优化效果并不显著，因此，本文提出了一种基于序列二次规划算法的方法来对加工包络面和设计曲面进行曲面匹配，使得初始刀具加工轨迹在优化后产生的理论误差较小。针对某一确定的刀具轨迹面，先得到其加工包络面，然后利用序列二次规划算法对其包络面进行精准的曲面匹配，得到最终的刀具加工轨迹，最后通过仿真实验验证提出方法的有效性。

1 曲面匹配方法的理论基础
1.1 齐次坐标变换理论

曲面匹配过程是指将目标曲面无限逼近理想曲面的过程，该过程需要对目标曲面进行空间变换，齐次变换理论为该过程提供了理论基础。设点 P在三维空间坐标系中的坐标为 $x, y,z$ ，则该点的齐次坐标为 $x,y,z,1T$ 。若该点依次绕x轴旋转角度 $α$ ，绕y轴旋转角度 $β$ ，绕z轴旋转角度 $γ$ ，并沿着 $dxi+dyj+dzk$ 进行平移变换，其中d_x、d_y、d_z分别为沿着3个坐标轴的偏移量，最终变换得到点P′的坐标为 $x',y',z'$ ，其对应的齐次坐标为 $x',y',z',1$ ^T，则该点的空间变换过程可表示为：

$x',y',z',1T=Tα,β,γ,dx,dy,dzx,y,z,1T=Tdx,dy,dzRz,γRy,βRx,αx,y,z,1T$

式中：

$Rx,α$ 为点P绕 $x$ 轴旋转角度 $α$ 的旋转矩阵：

$Rx,α=10000cosα-sinα00sinαcosα00001$

$Ry,β$ 为点P绕 $y$ 轴旋转角度 $β$ 的旋转矩阵：

$Ry,β=cosβ0sinβ00100-sinβ0cosβ00001$

$Rz,γ$ 为点P绕 $z$ 轴旋转角度 $γ$ 的旋转矩阵：

$Rz,γ=cosγ-sinγ00sinγcosγ0000100001$

$Tdx,dy,dz$ 为平移变换矩阵：

$Tdx,dy,dz=100dx010dy001dz0001$

$Tα,β,γ,dx,dy,dz$ 为最终的空间变换矩阵：

$Tα,β,γ,dx,dy,dz=cosβcosγsinαsinβcosγ-cosαsinγcosαsinβcosγ+sinαsinγdxcosβsinγsinαsinβsinγ+cosαcosγcosαsinβsinγ-sinαcosγdy-sinβsinαcosβcosαcosβdz0001$

1.2 刀具加工包络面的计算

将曲面匹配方法应用于刀具加工轨迹优化过程时，需先根据刀轴轨迹曲面获得刀具加工包络面。在实际的自由曲面加工过程中，刀轴的旋转速度远远大于其平动速度，刀具加工包络面可由刀轴运动轨迹曲面的法向偏移曲面表示^[10]。在初始刀具加工轨迹生成之后，便可以确定加工过程中刀轴的位置。加工过程中刀轴线运动曲面为连续曲面，可以用直纹面表示^[16]。如图1所示，设刀轴轨迹面 $St$ 的上下两条准线分别为 $Qu$ 、 $Pu$ ，其中u为沿着准线方向的参数， $u∈[0,1]$ 。

图1 刀具加工包络面示意图

Fig. 1 The envelope surface diagram of tool

刀轴方向向量可以表示为：

$Au=Qu-PuQu-Pu$

则刀轴轨迹面可以表示为：

$St=Pu+vAu,v∈[0,h]$

式中： $v$ 为沿着刀具轴线的参数， $h$ 为刀具的有效长度。

点 $p$ 处的单位法向量 $np$ 可以表示为：

$np=Au×D'uAu×D'u$

式中： $D'u$ 表示点p处沿 $u$ 向的切线，即曲面刀轴运动轨迹在该点沿 $u$ 向的偏微分。

综上，刀具加工包络面S_e可以表示为：

$Se=St+Rnp=Pu+vAu+Rnp,v∈[0,h]$

式中：R为刀具半径。

刀具加工包络面为加工过程中产生的曲面，由于非可展直纹面具有扭转角等其他复杂的几何特征，其加工包络面不可能与设计曲面完全贴合。而且局部调整刀路中刀轴的位置会改变刀具加工轨迹的整体平滑性，从而影响加工质量。对刀具加工轨迹进行整体优化时既要满足减小加工原理误差的需求，也要避免影响加工轨迹的平滑性。

2 曲面匹配方法对刀具加工轨迹的优化
2.1 基于序列二次规划算法的曲面匹配方法

刀具加工轨迹优化的目的是使刀具曲面加工原理误差尽可能小，即刀具加工包络面与设计曲面尽可能贴合。为使目标曲面能够与设计曲面达到最佳匹配，需优化6个旋转、平移参数。序列二次规划算法作为求解约束非线性优化问题最有效的方法之一^[17]，具有较好的收敛性、较高的计算效率和较强的边界搜索能力。序列二次规划算法的基本思想为在每次的迭代中针对当前的迭代点确立一个二次规划子问题，通过求取当前子问题的最优解来确定搜索方向和搜索步长，据此确定新的迭代点，直至所得到的解满足收敛条件^[18]。

设 $sii=1,2,⋯,n$ 为刀具加工包络面上某点的齐次坐标组成的矢量， $si*$ 为设计曲面上的对应点某点的齐次坐标组成的矢量。设 $si$ 经过曲面匹配后变为 $s'i$ ，则加工曲面的加工原理误差变为：

$e=max1≤i≤ndi=max1≤i≤nsi*-s'i=max1≤i≤nsi*-Tsi=max1≤i≤ndiT,i=1,2,⋯,n$

式中： $di$ 为初始包络面上的采样点到设计曲面的最小距离， $T$ 为空间变换矩阵。

则该曲面匹配可转化为非线性约束问题，表示为:

$minf=e=max1≤i≤ndiT,i=1,2,⋯,n$

(1)

序列二次规划算法要求目标函数为二阶连续可微，故引入变量 $ξ$ ，令 $ξ=maxdiT$ ，式（1）可表示为：

$minf=max1≤i≤ndiT⇔minf=ξs.t.-ξ≤diT≤ξ⇔minf=ξs.t.diT+ξ≥0-diT+ξ≥0;i=1,2,⋯,n$

此问题的二次规划子问题为：

$mintk∈R712tkTHktk+∇fXkΤtks.t.gXk+∇gXktk≥0$

式中： $tk$ 表示第k次迭代确定的搜索方向矢量， $Xk=α,β,γ,Δx,Δy,Δz,ξT∈R7$ ，为优化变量， $Hk$ 表示函数的二阶导数矩阵， $∇fXk$ 为目标函数在 $Xk$ 处的梯度向量， $gXk$ 为不等式约束在 $Xk$ 处的值， $∇gXk$ 为不等式约束在 $Xk$ 处的雅克比矩阵。

使用序列二次规划算法解决上述二次规划子问题，具体步骤（见图2虚线框部分）如下：

图2 应用基于序列二次规划算法的曲面匹配方法的刀具加工轨迹优化流程

Fig. 2 Flow of tool path optimization by surface matching method based on sequential quadratic programming algorithm

1）首次迭代时 $k=0$ ，设置收敛条件 $ε$ ，设 $H0=I7×7$ ，I为单位矩阵， $ξ0=maxdiT0$ 表示包络曲面到加工曲面的偏差， $X0=0,0,0,0,0,0,ξ0$ 为优化变量初始值， $q$ 为包络面上点的齐次坐标组成的矢量。

2）求解二次规划子问题，得到搜索方向 $tk$ ，若满足 $tk≤ε$ ，则终止迭代，输出最优解 $X*,k*$ ；若不满足，则执行下一步。

3）更新迭代变量, $Xk+1=Xki+aktk$ ，其中 $ak$ 为移动步长，通过罚函数 $l1$ 和Armijo搜索准则得到，这样便可以根据齐次空间变换得到变换矩阵 $Tk+1$ 。

4）根据空间变换矩阵更新包络面上的点， $qk+1=Tk+1qk$ ，新的偏差 $ξk+1=maxdiTk+1$ ，重复步骤2），直到满足收敛条件为止。

需要注意的是，使用序列二次规划算法会得到优化后的变量 $X*$ 和迭代次数 $k*$ 。 $X*$ 中的参数 $ξ*$ 为从当前点集得到的相应的加工原理误差。在经过空间变换后，加工包络面发生变化，所以选择新的包络面上的分布点云重新计算误差，取该值作为正确的偏差值。

2.2 优化后的误差评定及刀具加工轨迹优化流程

在曲面匹配过程中，需要计算刀具加工包络面上点相对于设计曲面的偏差，即求取包络面上点到设计曲面的最小距离，本文采用分割逼近法来寻找所求点距离设计曲面最近的点^[19]。分割逼近法的基本思想为：对于一个曲面与曲面外一点，将曲面分割为有限个区域，通过求取这些区域边界点到待测点的距离并选择距离值最小的区域，然后按照相同方式继续分割选中区域，直到距离值的2次分割差值小于给定的阈值为止。分割逼近法简便快捷，可操作性强。故本文选用该方法来评定曲面匹配过程中的误差。

应用曲面匹配方法的刀具加工轨迹优化流程如图2所示，具体步骤如下：

1）使用现有的方法生成初始刀具加工轨迹，通过初始刀具加工轨迹构成的刀轴轨迹面得到刀具加工包络面，其中设计曲面为已知曲面。

2）在加工包络面上均匀采点，使用分割逼近法计算包络面相对于设计曲面的偏差，即现有刀具加工轨迹生成方法产生的理论加工误差。

3）结合误差评定模型计算得到的误差值，使用序列二次规划算法对包络面与设计曲面进行曲面匹配，得到优化后的空间变换矩阵。

4）按照优化后的空间变换矩阵对初始刀具加工轨迹进行空间变换，得到优化后的刀具加工轨迹。同时对优化后的刀轴轨迹面进行法向偏置，得到优化后的加工包络面，进而通过误差计算得到优化后的误差分布。

3　刀具加工轨迹优化方法仿真验证

为验证上述方法的可行性，本文使用文献[4]中的非可展直纹面进行仿真分析。该非可展直纹曲面的2条准线为二次B样条曲线，直纹面可表示为：

$Su,v=1-vB0u+vB1u0≤u≤23.014,0≤v≤1$

其中 $B0u$ 与 $B1u$ 为直纹面的2条准线，具体可表示为：

$B0u=u20.4290B1u=u0.0382u233.995$

该直纹面具有较大的扭转角（扭转角最大为60.37°），故在其侧铣加工中会产生较大的原理误差，该直纹面及其扭转角分布如图3所示。为体现本文提出方法的有效性，将它与基于最小二乘法的曲面匹配法进行对比。基于最小二乘法的曲面匹配法通过使曲面各个位置偏差的平方和最小来达到2个曲面逼近的目的，目标函数可表示为：

$f=min∑i=1nsi*-Tsi2,i=1,2,⋯,n$

图3 测试用非可展直纹面及其扭转角分布

Fig. 3 Undevelopable ruled surface for test and its twist angle distribution

采用文献[4]中的刀具加工轨迹生成法来生成初始刀轴轨迹曲面，对于文献中提出的双点偏移刀位生成方法，为了简便计算，将沿着直纹四分之一与四分之三处确定刀轴位置改为沿着直纹的两端点来确定刀轴位置。刀具半径设置为10 mm。

根据初始刀轴轨迹曲面生成的刀具加工包络面的原理误差如图4所示，经过基于最小二乘法的曲面匹配法和基于序列二次规划算法的曲面匹配法优化后，其误差分布分别如图5和图6所示。优化前后刀轴轨迹曲面对应的最大过切值、最大欠切值及总偏差（最大过切值加最大欠切值）如表1所示。

图4 初始刀轴轨迹曲面原理误差分布

Fig. 4 Principle error distribution of initial tool axis trajectory surface

图5 基于最小二乘法的曲面匹配优化后原理误差分布

Fig. 5 Principle error distribution after surface matching optimization based on least square method

图6 基于序列二次规划算法的曲面匹配优化后原理误差分布

Fig. 6 Principle error distribution after surface matching optimization based on sequential quadratic programming algorithm

表1 优化前后刀轴轨迹曲面的偏差比较

Table　1 Deviation comparison of tool axis trajectory surface before and after optimization mm

优化前后	最大欠切值	最大过切值	总偏差
优化前	-1.469 2	0	1.469 2
最小二乘优化法优化后	-0.456 73	0.886 25	1.342 98
本文方法优化后	-0.504 63	0.656 01	1.160 64

优化前后

最大欠

切值

最大过

切值

总偏差

优化前

-1.469 2

1.469 2

最小二乘优化法优化后

-0.456 73

0.886 25

1.342 98

本文方法优化后

-0.504 63

0.656 01

1.160 64

从表1中可以明显看到：基于序列二次规划算法的曲面匹配法相比基于最小二乘方法的曲面匹配法，能显著提高加工曲面的几何精度，前者优化后刀轴轨迹曲面总偏差减小了 $21.0%$ ，后者优化后总偏差仅减小 $8.6%$ 。

需要注意的是，因为本文提出方法对误差的减小效果是与初始刀具加工轨迹生成方法产生的偏差有关的，因此本文将两点偏置法进行了适当修改以满足误差显示结果能够更加明显地体现本方法的有效性。

在运用最小二乘法进行曲面匹配时，设计曲面上的对应点是固定的，故基于最小二乘法的优化是2组点集代表的曲面逼近过程。但是在迭代逼近的过程中，刀具加工包络面上的点在设计曲面上的对应点必然会发生变化，所以必然会产生一定误差，并且该方法也会陷入局部收敛。而使用基于序列二次规划算法的曲面匹配方法可以避免局部收敛，并且设计曲面上的对应点会随着每次迭代发生变化，故该方法具有较好的优化效果。

4　结论

针对不可展直纹面加工过程中产生的原理误差，提出了一种初始刀具加工轨迹的整体优化方法。该方法将曲面匹配用于加工刀具加工轨迹的再次优化并使用序列二次规划来求解曲面匹配问题。
通过MATLAB编程仿真验证了本文提出方法的可行性，并与基于最小二乘法的曲面匹配法进行对比，结果表明本文提出的方法能有效减小原理误差。该方法显著提高了不可展直纹面侧铣加工时的加工精度，并可以用于大部分刀具加工轨迹的再次优化。
参考文献
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基本信息

DOI:10.3785/j.issn.1006-754X.2019.02.010

中图分类号: TH 12

文献标识码: A

引用信息

何改云,庞凯瑞,桑一村等.曲面匹配方法在刀具加工轨迹优化中的应用[J].工程设计学报,2019,26(02):190-196.

HE Gai-yun,PANG Kai-rui,SANG Yi-cun,et al.Application of surface matching method in tool path optimization[J].ELECTRIC DRIVE,2019,26(02):190-196.

基金信息

国家自然科学基金资助项目（51675378）；国家科技重大专项资金资助项目（2014ZX04014-031）

稿件历史

纸刊出版 : 2019-04-28
收稿日期 : 2018-09-12

何改云

机构：天津大学机械工程学院机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300350

Affiliation：Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China

邮箱：hegaiyun@tju.edu.cn

作者简介：何改云(1965—)，女，天津人，教授，博士生导师，博士，从事现代质量控制和CAD/CAM/CAI集成技术等研究，E-mail:hegaiyun@tju.edu.cn，https://orcid.org/0000-0002-5799-0418

庞凯瑞

机构：天津大学机械工程学院机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300350

Affiliation：Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China

桑一村

机构：天津大学机械工程学院机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300350

Affiliation：Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China

刘晨辉

机构：天津大学数学学院，天津 300350

Affiliation：School of Mathematics, Tianjin University, Tianjin 300350, China

王宏亮

机构：天津大学机械工程学院机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300350

Affiliation：Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China

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优化前后	最大欠切值	最大过切值	总偏差
优化前	-1.469 2	0	1.469 2
最小二乘优化法优化后	-0.456 73	0.886 25	1.342 98
本文方法优化后	-0.504 63	0.656 01	1.160 64

优化前后

最大欠

切值

最大过

切值

总偏差

优化前

-1.469 2

1.469 2

最小二乘优化法优化后

-0.456 73

0.886 25

1.342 98

本文方法优化后

-0.504 63

0.656 01

1.160 64

图1 刀具加工包络面示意图

Fig. 1 The envelope surface diagram of tool

图2 应用基于序列二次规划算法的曲面匹配方法的刀具加工轨迹优化流程

Fig. 2 Flow of tool path optimization by surface matching method based on sequential quadratic programming algorithm

图3 测试用非可展直纹面及其扭转角分布

Fig. 3 Undevelopable ruled surface for test and its twist angle distribution

图4 初始刀轴轨迹曲面原理误差分布

Fig. 4 Principle error distribution of initial tool axis trajectory surface

图5 基于最小二乘法的曲面匹配优化后原理误差分布

Fig. 5 Principle error distribution after surface matching optimization based on least square method

图6 基于序列二次规划算法的曲面匹配优化后原理误差分布

Fig. 6 Principle error distribution after surface matching optimization based on sequential quadratic programming algorithm

表1 优化前后刀轴轨迹曲面的偏差比较

Table　1 Deviation comparison of tool axis trajectory surface before and after optimization mm

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无注解

参考文献

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曲面匹配方法在刀具加工轨迹优化中的应用

Application of surface matching method in tool path optimization

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 曲面匹配方法的理论基础

2 曲面匹配方法对刀具加工轨迹的优化

(1)

3 刀具加工轨迹优化方法仿真验证

4 结论

参考文献

基本信息

引用信息

基金信息

稿件历史

参考文献

3　刀具加工轨迹优化方法仿真验证

4　结论