1 轮式爬壁机器人机构设计

轮式爬壁机器人机械部分主要包括永磁吸附机构、驱动车轮、直流电机和激光雷达等，如图1所示，其中：4个驱动车轮与直流电机相连，固定于机器人底盘；永磁吸附机构位于机器人腹部，通过丝杠螺母实现上下调节，为了提高爬壁机器人吸附稳定性，永磁吸附材料选用高磁能积的钕铁硼N52。

图1 轮式爬壁机器人模型

Fig. 1 Model of wheeled wall-climbing robot

注：1—永磁吸附机构； 2—驱动车轮； 3—直流电机； 4—激光雷达

2 轮式爬壁机器人驱动轮速度分析

以X_gO_gY_g为惯性坐标系。假定轮式爬壁机器人的转向过程为三自由度的平面运动^{[7,8,9,10,11]}。以X_RO_RY_R为机器人本体坐标系。

本文所研制机器人顺时针转向如图2所示，其中O_R为机器人的几何中心，爬壁机器人围绕瞬心C顺时针转动，B为爬壁机器人左、右驱动轮中心轴线之间宽度，D为爬壁机器人前后驱动轮中心轴线之间长度。规定前后两驱动轮以相同的转速进行转向；以下标1，2对应前、后右驱动轮，以下标3，4对应前、后左驱动轮。

图2 轮式爬壁机器人转向示意图

Fig. 2 Steering diagram of wheeled wall-climbing robot

如图2所示，四轮爬壁机器人顺时针转向时，左、右驱动轮接地部分相对于惯性坐标系X_gO_gY_g作平面运动，其速度v_R可分解为沿X_R方向的速度v_Rx和沿Y_R方向的速度v_Ry。

取右驱动轮沿X_R中心轴线上的微元dx_R，则右驱动轮沿X_R方向的速度和沿Y_R方向的速度为：

式中：ν_R1、ν_R2（下文ν_R3、ν_R4同）的分速度方向与X_R和Y_R正方向同向；x_R为驱动轮上所取的微元到机器人本体中心轴线的距离；R为转弯半径；ω为轮式爬壁机器人绕着旋转中心C转向的瞬时角速度，规定顺时针为其正方向。

同理，可得左驱动轮沿X_R方向的速度和沿Y_R方向的速度为：

驱动轮速度方向与X_R方向的夹角β称为侧偏角^[2,12]，由图2可知其表达式为：

其中：i=1，2； j=3，4。

3 轮式爬壁机器人静力学建模

机器人以四轮全驱动在壁面上运动，其整体受力如图3所示：机器人本体重力G可分解为沿X_R方向分力G_x和沿Y_R方向分力G_y；机器人4个驱动轮所受到的支持力分别为N₁、N₂、N₃、N₄；机器人所受到的磁吸附力为F_m；右侧电机驱动力矩为T_r，左侧电机驱动力矩为T_l；驱动轮所受横向（沿Y_R方向 ）摩擦力为f_1y、f_2y、 f_3y、 f_4y，纵向摩擦力为f_1x、 f_2x、 f_3x、 f_4x；坐标平面X_RO_RY_R与壁面间的距离（两平行平面之间的距离）为H。

图3 轮式爬壁机器人整体受力示意图

Fig. 3 Schematic diagram of overall mechanical force of the wheeled wall-climbing robot

3.1　轮式爬壁机器人驱动轮支持力分析

磁吸附单元分布于爬壁机器人腹部，以集中力的方式作用于机器人本体。取机器人处于平衡状态时进行分析，可得驱动轮所受力的关系式：

式中：α为X_R正方向与X_g正方向的夹角，F_ZR为Z_R方向上的合力；M_XR为X_R方向上的合力矩。

爬壁机器人在磁吸附力F_m、重力G作用下，各驱动轮支持力满足：

为保证运动过程中爬壁机器人的安全性，须满足minN1,N2,N3,N4>0 N且保证各驱动轮始终与壁面接触。

3.2　轮式爬壁机器人摩擦力分析

根据Hertz接触理论^[13]，轮式爬壁机器人与铅垂壁面为面接触，当一个直径为d₁、长度为L₁的圆柱体（车轮）和一个直径为d₂、长度为L₂的圆柱体（壁面）在磁吸附力F_m作用下发生接触时，其接触区为矩形，其宽度为2b，可得b的表达式为：

由于d₂→∞，L=min（L₁，L₂），E=2×10⁹ Pa,为等效弹性模量^[12]，故公式(6)可简化为：

由于橡胶皮厚度很小，且内轮毂为实心铝棒，因此假定4个驱动轮接触段矩形宽度相等。

基于精准控制考虑，假定爬壁机器人处于纯滚动状态，且在铅垂壁面上转向时单个驱动轮接地部分所受压力在轴线方向上均匀分布^{[14,15,16,17,18,19]}。

因此驱动轮与壁面接触部分的摩擦力与驱动轮速度方向相反，且驱动轮所受压力沿X_R方向的分布为：

前右驱动轮绕着瞬心C作顺时针圆周运动，在其接地部分沿X_R方向中心轴线上取一微元dx_R，则该微元摩擦力df₁大小与q₁成正比，方向与速度v_R1相反，则沿X_R方向分力为：

因此，前右驱动轮的纵向摩擦力为：

其中：

式中：δ为滚动摩阻系数，d为驱动轮直径。

将式（11）进行积分，得：

则前、后右驱动轮的纵向摩擦合力f_rx为：

同理前、后左驱动轮的纵向摩擦力合力f_lx为：

因此纵向摩擦阻力力矩为：Mx=-flx⋅B2+frx⋅B2=-μBFm8bA1-A2-μHGcosα4bA1+A2(16)

爬壁机器人前、后驱动轮沿Y_R方向的横向摩擦力f_qy、f_by可根据汽车轮胎摩擦力学中的简化刷子模型^[12]求出，具体表达式为：

式中：

根据式（17）和式（18）可计算出横向摩擦阻力力矩为：

4 轮式爬壁机器人动力学建模

轮式爬壁机器人的电机轴与驱动轮用紧定螺钉刚性连接，且在铅垂壁面上匀速顺时针转向。在机器人本体坐标系X_RO_RY_R下进行爬壁机器人动力学分析，由牛顿-欧拉公式可得：

式中：M为机器人负载质量;F_l为左侧驱动力，F_r为右侧驱动力，规定沿X_R正方向为正；ν•ox=d2xRdt2，为机器人质心O沿X_R方向的加速度，ν•oy=d2yRdt2，为机器人质心O沿Y_R方向的加速度；ω•=dωdt，为机器人角加速度；I为机器人转动惯量。

由于本文机器人进行匀速圆周转向且沿行进速度方向不打滑，因此有：

将上述所计算的表达式代入式（20），则可得：

5 轮式爬壁机器人动力学仿真

采用MATLAB分析爬壁机器人动力学模型在不同磁吸附力作用下的接地段长度，不同转弯半径所对应的驱动轮速度，以及不同转弯半径、磁吸附力和负载质量所对应的驱动力矩。考虑到爬壁机器人的负载质量，以及底板应能够承压而不出现形变，具体仿真参数设置如表1所示。

图4为在不同吸附力作用下，驱动轮与铅垂壁面接触长度（即接地段长度b）的变化曲线。可以看出，随着磁吸附力F_m增大，接地段长度b逐渐增大。

图4 不同磁吸附力下驱动轮接地段长度的变化曲线

Fig. 4 Variation curve of grounding length of the driving wheel under different magnetic adsorption forces

图5为磁吸附力F_m=1 000 N，负载质量M=21 kg时，不同转弯半径所对应的驱动轮速度，可以看出：右侧驱动轮速度随着转弯半径R的增大而增大；左侧驱动轮速度随着转弯半径R的增大而减小。由图可知原地转向(R=0 m)时，左侧驱动轮速度沿X_R方向的分量v_lx=0.05 m/s，右侧驱动轮速度沿X_R方向的分量v_rx= -0.05 m/s；紧急制动转向(R=B/2=0.15 m，即右侧驱动轮不转动，左侧驱动轮向右转)时，v_lx=0.1 m/s，v_rx=0 m/s；大半径转向(R=0.3 m)时，v_lx=0.075 m/s，ν_rx=0.025 m/s。

图5 磁吸附力F_m=1 000 N，负载质量M=21 kg时不同转弯半径对应的驱动轮速度

Fig. 5 Driving wheel speed corresponding to different turning radii with magnetic adsorption force of 1 000 N and load weight of 21 kg

机器人匀速顺时针转动，其初始位置为α=0°，基于作业的检测效率，机器人工作速度定为ν_R=0.05 m/s。根据上文建立的理论方程，分别计算机器人左、右侧驱动力矩在不同转弯半径、磁吸附力和负载质量作用下的变化曲线。

图6为吸附力F_m=900 N，负载质量M=15 kg时，不同转弯半径所对应的驱动力矩。图6(a）为左侧驱动力矩变化值，可以看出：转弯半径越大，其对应的驱动力矩幅值越大；当R=0.8m时，驱动力矩幅值达到所选电机额定力矩9 N·m。图6(b)为右侧驱动力矩变化值，可以看出右侧驱动力矩变化趋势与左侧的一致。这是因为机器人在铅垂壁面上需要克服重力G进行转向；但当R=0 m时，总体力矩为一定值，这是由于原地转向的驱动力矩差与重力G无关，只与磁吸附力F_m有关。从图6还可以看出：在相同磁吸附力和负载质量情况下，原地转向(R=0 m)所需驱动力矩最小；紧急制动转向(R=B/2=0.15 m，即右侧驱动轮不转动，左侧驱动轮顺时针转动)所需驱动力矩最大且远远超过了电机额定力矩，因此应尽量避免出现。故本文机器人转向方式选为原地转向(R=0 m)。

图6 磁吸附力F_m=900 N，负载质量M=15 kg时不同转弯半径所对应的驱动力矩

Fig. 6 Driving torque corresponding to different turning radii with magnetic adsorption force of 900 N and load weight of 15 kg

图7为转弯半径R=0 m，负载质量M=15 kg时，不同磁吸附力所对应的驱动力矩。从图7(a)可以看出：左侧驱动力矩随着磁吸附力的增大而变大；当磁吸附力F_m=2 000 N时，左侧驱动力矩最大值达到所选电机额定力矩9 N·m；从图7(b)可以看出：随着磁吸附力增大，相同相位下右侧驱动力矩幅值与左侧驱动力矩幅值不同，且差值为定值，这是由于转向过程中在F_m作用下左、右驱动轮的摩擦阻力矩不同。

图7 转弯半径R=0 m，负载质量M=15 kg时不同磁吸附力所对应的驱动力矩

Fig. 7 Driving torque corresponding to different magnetic adsorption forces with turning radius of 0 m and load weight of 15 kg

图8为驱动轮原地转向(R=0 m)，磁吸附力F_m=1 000 N时，不同负载质量M所对应的驱动力矩。从图8(a)可以看出左侧驱动力矩幅值会随着负载质量M的增大而增大，且当M=27 kg时达到所选电机额定驱动力矩9 N·m；从图8(b)可以看出：相同相位下，右侧驱动力矩幅值与左侧驱动力矩不同，这是由于在F_m作用下左、右驱动轮的摩擦阻力矩不同。当α=0°、180°和360°时，两侧驱动力矩均会相交于一点，这是由于该位置横向摩擦力平衡了重力G_y，因此机器人处于该位置时只受F_m的影响。

图8 转弯半径R=0 m，磁吸附力F_m=1 000 N时不同负载质量所对应的驱动力矩

Fig. 8 Driving torque corresponding to different load weights with turning radius of 0 m and magnetic adsorption force of 1 000 N

综上所述，基于驱动力矩最小和续航能力最大，本文选用原地转向方式且最大磁吸附力控制在1 000 N。

6 轮式爬壁机器人转向稳定实验

图9为本文所研制的轮式爬壁机器人样机，其总质量为15 kg；磁吸附材料采用4块50 mm×50 mm×25 mm的矩形NFeB-N52，按N-S-N-S开路方式布置，固定在8 mm厚的矩形DT-4C纯铁板上，形成磁回路。

图9 轮式爬壁机器人样机

Fig. 9 Prototype of wheeled wall-climbing robot

注：1—永磁吸附机构； 2—驱动车轮； 3—直流电机； 4—激光雷达

压力传感器布置在4个轮子下部，通过调节丝杠，使得磁吸附机构上下运动，测出不同空气间隙所对应的磁吸附力F_m，其变化曲线如图10所示，磁吸附力F_m会随着空气间隙增大而减小。由于转向过程力矩值无法直接测得，因此本文基于公式T=9550UIn设计，用电流表测得转弯过程的瞬时电流来间接测得力矩值，其中:U为电压值，I为电流值，n为电机转速。

图10 不同空气间隙对应的磁吸附力

Fig. 10 Magnetic adsorption force corresponding to different air gaps

如图11，爬壁机器人初始位置为α=0°，分别测得转向转弯半径R=0,0.6 m，磁吸附力F_m=1 000,1 500 N，负载质量M=15,21 kg时的左右侧电机瞬时电流。由于没有数据采集卡，无法测得实时转角α所对应的瞬时电流，因此通过测量4个特殊角度（α=0°，90°，180°，270°）所对应的瞬时电流值对数值计算规律进行验证，测量结果如表2至表4所示，其中试验电压值为整个转向过程驱动板的平均电压值，为8.5 V。表中力矩值为正代表机器人顺时针转动。

图11 爬壁机器人转向实验现场

Fig. 11 The steering experiment site of the wall climbing robot

注：1—转向半径为0 m； 2—转向半径为0.6 m； 3—负载质量为21 kg

从表中可以看出，左右侧驱动力矩的测量值与仿真值基本吻合，但存在误差，考虑到测量的误差和公式本身的误差，因此是可以接受的。结果表明：转弯半径R=0 m（原地转向），左、右驱动轮速度为0.05 m/s且方向相反，吸附机构与壁面间隙为8 mm，理论最佳磁吸附力1 000 N能满足爬壁机器人稳定吸附在壁面上，转向时不会出现滑落。当空气间隙为8 mm时，对应吸附机构最佳磁吸附力为1 000 N。

7 结论

1）基于转向过程中四轮爬壁机器人与铅垂壁面相互作用的摩擦力线性积分模型，推导出该过程中驱动轮接触处摩擦力和转向阻力矩方程。

2）研究了大半径转向、小半径和原地转向三种转向方式，基于同等负载质量和磁吸附力条件下电机驱动力矩最小，得出了原地转向为最优方式。

3）通过仿真分析得出了轮式爬壁机器人转向过程中的最佳磁吸附力，与试验样机磁吸附力进行对比，结果表明：当转弯半径R=0 m，左、右驱动轮速度方向相反，大小相同且为0.05 m/s时，所需驱动力矩最小；电机额定驱动力矩为9 N·m时，所对应的吸附力为1 000 N，符合实验样机在空气间隙为8 mm的磁吸附力值。

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