由于地下环境的复杂性，地下工程围岩稳定性受到多种因素的影响，对其进行合理准确的评价一方面是研究工程地质结构特性的重要手段，另一方面为工程设计、灾变预控提供重要参考依据.目前许多理论被用于岩体稳定性评价，如:邬书良等^[1]运用约简概念格与模糊优选评判模型对地下工程岩体质量进行了评价；胡建华等^[2]利用粗糙集和TOPSIS法分析与评价了决定地下工程岩体质量的因素；其他的方法还有可拓学^[3]、未确知测度理论法^[4]等.然而这些方法尚有一些欠缺之处:1) 它们忽略了围岩稳定性评判过程中存在的模糊性与随机性问题，这些问题包括：因评判者知识经验的不同导致指标权重的判别存在差别，指标的实际测量数据存在误差造成指标分级的模糊性，诸多评价因子通常隶属于不同的稳定性等级，导致综合等级的确定存在模糊性；2) 许多方法需要大量的岩体质量数据来进行前期的样本学习，但由于地下工程特有的地质条件复杂性及地质勘察手段局限性，要获得准确全面的数据比较困难；3) 评价指标权重的确定要么偏于主观，要么偏于客观.这些问题都会干扰围岩稳定性的准确评判.

为了解决上述问题，本文运用物元分析并结合专家经验确定地下工程岩体稳定性影响因子，得到各因素的权重，同时根据确定的岩体稳定性评价因子及分级标准，生成各因子隶属于各稳定性级别的云模型，得出因子对应于每个级别的隶属度，最终以最大隶属度为依据评判岩体稳定性所处等级.

1 物元分析理论 1.1 物元分析法的基本思想

物元分析理论由我国学者蔡文提出，其基本思想是用按序组合的三元组来说明事物，即R=(N，C，X)，这里N代表事物，C代表所描述事物的特征，X代表事物特征的量值^[5-7].

1.2 基于物元分析的评价指标权重确定方法

1) 设有m(m≥2) 位专家评判某一含n个指标的问题，每位专家按照“1~9标度法”对所评对象逐一比较得到判断矩阵，第i个专家给出的判断矩阵为A_i (i=1，2，…，m)，计算出A_i的最大特征值向量后，再验证一致性是否达标，若达标则得到每个指标相应的初级权重θ_i1，θ_i2，…，θ_in.将m个专家的权重向量组合成矩阵，获得复合物元R：

$ \boldsymbol{R} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{11}}}&{{\theta _{12}}}& \cdots &{{\theta _{1n}}}\\ {{\theta _{21}}}&{{\theta _{12}}}& \cdots &{{\theta _{2n}}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{\theta _{m1}}}&{{\theta _{m2}}}& \cdots &{{\theta _{mn}}} \end{array}} \right] $

(1)

若未达标，则必须对偏差作修正，常用的方法为偏差最大项修改法.假设某个矩阵A=(a_ij) 没有通过检验，求得其权重向量W=(θ₁，θ₂，…，θ_n)，然后构造一个新的判断矩阵A^*=(a_ij^*)=(θ_i/θ_j)，计算偏差矩阵：

$ \Delta {\rm{ }} = \left( {{\delta _{ij}}} \right) = \left( {|{a_{ij}}-{a_{ij}}^*|} \right) $

把δ_ij中数值最大项对应的a_ij修改为a_ij=a_ij^*，a_ji=a_ji^*，代入原矩阵A得到矩阵A′，再进行一致性检验，直到通过为止.

2) 确定对象的节域物元R_pj、经典域物元R_oj和待评物元R_j^x.节域〈α_j，β_j〉是指所有指标评价量值所在的区域，经典域〈μ_j，μ_j〉是各指标对应的标准取值，θ_ij是待评指标相应的取值.

$ {\boldsymbol{R}_{pj}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\left\langle {{\alpha _j}, {\beta _j}} \right\rangle }\\ {\left\langle {{\alpha _j}, {\beta _j}} \right\rangle }\\ \vdots \\ {\left\langle {{\alpha _j}, {\beta _j}} \right\rangle } \end{array}} \right], {\boldsymbol{R}_{oj}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\left\langle {{u_j}, {u_j}} \right\rangle }\\ {\left\langle {{u_j}, {u_j}} \right\rangle }\\ \vdots \\ {\left\langle {{u_j}, {u_j}} \right\rangle } \end{array}} \right], {\boldsymbol{R}_j}^x = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{1j}}}\\ {{\theta _{2j}}}\\ \vdots \\ {{\theta _{mj}}} \end{array}} \right] $

(2)

式中：${u_j} = \sqrt[m]{{\mathop \Pi \limits_{i = 1}^m {\theta _{ij}}}}$，α_j=min θ_ij，β_j=max θ_ij；i=1，2，…，m；j=1，2，…，n.

3) 由式(1) 和式(2) 得到关联函数复合物元R_o：

$ {\boldsymbol{R}_o} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {K\left( {{\theta _{11}}} \right)}&{K\left( {{\theta _{12}}} \right)}& \cdots &{K\left( {{\theta _{1n}}} \right)}\\ {K\left( {{\theta _{21}}} \right)}&{K\left( {{\theta _{22}}} \right)}& \cdots &{K\left( {{\theta _{2n}}} \right)}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {K\left( {{\theta _{m1}}} \right)}&{K\left( {{\theta _{m2}}} \right)}& \cdots &{K\left( {{\theta _{mn}}} \right)} \end{array}} \right] $

(3)

其中：

$ K({\theta _{ij}}) = \frac{{\left| {{\theta _{ij}}-{u_j}} \right|}}{{\left| {{\theta _{ij}}-1/2({\alpha _j} + {\beta _j})} \right|-1/2({\beta _j} - {\alpha _j}) - \left| {{\theta _{ij}} - {u_j}} \right|}} $

式中：K(θ_ij) 是专家i对指标j的关联函数值，该函数表示R_j^x和R_oj的相近水平.当K(θ_ij)>0时，说明θ_ij属于μ_j，且K(θ_ij) 越大表示θ_ij越接近μ_j；当K(θ_ij) < 0时，说明θ_ij不属于μ_j，K(θ_ij) 越小表示θ_ij离μ_j越远.进而由式(3) 可得专家效度物元R_η：

$ {\boldsymbol{R}_\eta } = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _1}}&{{\gamma _2}}& \cdots &{{\gamma _m}} \end{array}} \right] $

(4)

式中效度系数${\gamma _i} = \frac{1}{{{k_i}}}/\sum\limits_{i = 1}^m {\frac{1}{{{k_i}}}} $，反映了专家对待评目标的价值判断与待评目标客观价值的相近水平，其中离散系数${k_i} = \sum\limits_{j = 1}^n {K\left( {{\theta _{ij}}} \right)} $，该系数的大小与专家对待评目标整体认知程度成正相关.

4) 指标合成权重确定.根据式(4) 可得指标合成权重物元R_ω:

$ {R_\omega } = {R_\eta } \cdot R = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _1}}&{{\omega _2}}& \cdots &{{\omega _m}} \end{array}} \right] $

(5)

式中${\omega _j} = \sum\limits_{i = 1}^m {{\gamma _i}{\theta _{ij}}} $，其中：i=1，2，…，m；j=1，2，…，n.

2 云模型简介 2.1 云模型基本理论

假定U为数域空间里的一个定量论域，定性概念C与其相对应，自然语言值T表征定性概念C.如果某个具体值x∈U，x于C的隶属度C(x)∈[0,1]，为正态随机数，将数据元组(x，C(x)) 定义为云滴，x定义为云滴定量数据，C(x) 定义为云滴隶属度，云滴的具体值x在U上的分布为云分布，并记作：x∈C(x|Ex，En，He)^[8].

Ex，En，He是云模型的数字特征，作为基本元素来描述云，分别代表着期望、熵和超熵，其中：期望Ex表示云滴位于空间U里的中心值，熵En表示云滴的离散程度，超熵He表示熵的不确定程度^[9].假设给定的某评价指标的评价等级区间分别为Ⅰ(0，a)，Ⅱ(a，b) 和Ⅲ(b，+∞)，可按照表 1所示方法得到与每个级别相对应的Ex，En，He的值.

2.2 正向云发生器

正向云发生器是生成云模型的基本算子，可以在定性概念与定量数值之间进行不确定性转换^[10].具体计算过程如下：

1) 将En作为正态分布里的μ，He作为σ，计算得到随机数y_i；

2) 再将Ex作为μ，y_i当作σ，计算得到随机数x_i，即为云滴定量数据;

3) 计算:${z_i} = \exp \left( {-\frac{{{{\left( {{x_i}-Ex} \right)}^2}}}{{2y_i^2}}} \right)$，z_i为x_i于C的确定度或隶属度;

4) 重复前3个过程，直到所得一维云滴满足要求的数量.

3 地下工程围岩稳定性评价模型的建立 3.1 评价指标的确定

鉴于地下工程所处环境的独特性，合理确定围岩稳定性评价指标始终存在困难和争议.本文查阅现有的研究成果，综合考虑各类指标的代表性和相关数据测量的可行性，选用起主导因素作用的、全面概括评价体系的评价指标，主要有岩石质量指标R_QD、岩石单轴饱和抗压强度R_W、岩体完整性系数K_V、结构面强度系数K_f、地下水渗水量w.另外依据相关权威资料^[11]，把岩体稳定性划分成5个级别，如表 2所示.

3.2 评价指标权重的确定

由上述指标权重确定方法计算地下围岩稳定性评价指标的权重，通过咨询岩石力学及安全领域的5位专家，并结合以往研究成果，得到下列判断矩阵：

$ \begin{array}{l} {\boldsymbol{A}_1} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&3&2&{1/2}\\ 1&1&3&1&{1/2}\\ {1/3}&{1/3}&1&{1/2}&{1/4}\\ {1/2}&1&2&1&{1/2}\\ 2&2&4&2&1 \end{array}} \right]\\ {\boldsymbol{A}_2} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1/2}&2&1&{1/3}\\ 2&1&3&1&{1/2}\\ {1/2}&{1/3}&1&{1/2}&{1/3}\\ 1&1&2&1&{1/2}\\ 3&2&3&2&1 \end{array}} \right]\\ {\boldsymbol{A}_3} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&1&{1/2}\\ 1&1&1&{1/2}&{1/3}\\ {1/2}&1&1&2&{1/2}\\ 1&2&{1/2}&1&{1/2}\\ 2&3&2&2&1 \end{array}} \right]\\ {\boldsymbol{A}_4} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1/2}&3&2&1\\ 2&1&4&3&2\\ {1/3}&{1/4}&1&{1/2}&{1/3}\\ {1/2}&{1/3}&2&1&{1/2}\\ 1&{1/2}&3&2&1 \end{array}} \right]\\ {\boldsymbol{A}_5} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&4&2&1\\ 1&1&4&2&1\\ {1/4}&{1/4}&1&{1/2}&{1/4}\\ {1/2}&{1/2}&2&1&{1/2}\\ 1&1&4&2&1 \end{array}} \right] \end{array} $

为了提高计算效率和准确性，以下计算过程皆采用MATLAB R2014a进行编程计算.

1) 检验每个矩阵的一致性，均顺利通过，不需要对偏差修正.将每个矩阵中的最大特征根对应的特征向量按行组合在一起，得到复合物元R：

$ \boldsymbol{R} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{0.2154}&{0.2154}&{0.0725}&{0.1518}&{0.3449}\\ {{c_2}}&{0.1439}&{0.2235}&{0.0877}&{0.1779}&{0.{\rm{3670}}}\\ {{c_3}}&{0.1904}&{0.1312}&{0.1714}&{0.1665}&{0.3406}\\ {{c_4}}&{0.2147}&{0.3760}&{0.0738}&{0.1209}&{0.2147}\\ {{c_5}}&{0.2667}&{0.2667}&{0.0667}&{0.1333}&{0.2667} \end{array}} \right] $

2) 根据式(2) 依次确定R_pj，R_oj和R_j^x，根据式(3) 和(4) 得到关联函数复合物元R_o及专家效度物元R_η：

$ \begin{array}{l} {\boldsymbol{R}_o} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {0.2597}&{0.1192}&{0.7315}&{0.1092}&{0.6657}\\ {1.0000}&{0.0345}&{0.0278}&{1.0000}&{1.0000}\\ {0.1308}&{1.0000}&{1.0000}&{0.6109}&{0.6006}\\ {0.2496}&{1.0000}&{0.6713}&{1.0000}&{1.0000}\\ {1.0000}&{0.2674}&{1.0000}&{0.05523}&{0.3968} \end{array}} \right]\\ {\boldsymbol{R}_\eta } = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} \eta &{0.3080}&{0.1896}&{0.1737}&{0.1481}&{0.1805} \end{array}} \right] \end{array} $

3) 根据式(5) 得指标合成权重物元R_ω：

$ {\boldsymbol{R}_\omega } = \left[{0.2067{\rm{ }}0.2354{\rm{ }}0.0917{\rm{ }}0.1514{\rm{ }}0.3149} \right] $

即R_QD权重为0.206 7，R_W权重为0.235 4，K_V权重为0.091 7，K_f权重为0.151 4，w权重为0.314 9.

3.3 云模型数字特征的确定

根据评价因子以及分级标准，由表 1所述算法得到Ex，En，He的量值，结果见表 3.

3.4 地下工程围岩稳定性评价流程

综合上文所述的评判过程，现将所建模型的算法归纳如下：1) 确定适当的围岩稳定性评价指标，并确定其等级划分标准，构建评价指标体系；2) 应用物元分析法获得每个指标因子的合成权重；3) 选择某一待评因子，根据确定的评价标准，得到各级别对应的评价指标范围(a，b)；4) 计算云模型的Ex，En和He；5) 将广州抽水蓄能电站二期地下工程岩体实测数据导入，得到各指标因子隶属于各稳定性等级的隶属度；6) 计算每一等级隶属度各列值乘以相应权重的加和，获得综合隶属度，隶属度最大值对应的级别即为该围岩稳定性等级.流程图如图 1所示.

4 工程应用

以广州抽水蓄能电站二期部分工程与引水系统(隧洞1洞段) 围岩样本为例，验证该评价模型的实用性和准确性.通过对“进尺(0+000~0+067) 中-弱风化岩”的评价来说明具体评价计算过程.计算工具为MATLAB R2014a，编程代码如下：

Ex=input ('输入期望值Ex:');

En=input ('输入熵值En:');

He=0.01;

n=1000; %重复计算的次数

X=zeros (1，n); %产生一个1*n型矩阵，其元素都为0

Y=zeros (1，n);

X=normrnd (En，He，1，n); %产生一个1*n型正态随机数矩阵，熵En为期望，超熵He为方差

Xi=input ('输入随机数X (1，i):'); %手动输入固定随机数，即样本实测数据

for i=1:n

  Enn=X (1，i);

  X (1，i)=Xi;

  Y (1，i)=exp (-(X (1，i)-Ex)^2/(2*Enn^2))

  MeanY=mean (Y); %求所有云滴在某个固定随机数下的平均隶属度

end

fprintf ('隶属度均值为：%8f\n'，MeanY');

打开MATLAB R2014a，在编辑器中编写上述代码，计算出各实测数据隶属于各稳定性等级的隶属度，结果见表 4.

然后根据式(6) 乘以物元分析所得权重计算出综合隶属度Y_x：

$ {Y_x} = \sum\limits_1^n {{\mu _x}_i} {\omega _i} $

(6)

式中:x=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ; i=1，2, …，n.

得Y_Ⅰ=0×0.2067+0×0.2354+0×0.0917+0×0.1514+0.0107×0.3149=0.003 4，同理, Y_Ⅱ=0.003 4，Y_Ⅲ=0.046 8，Y_Ⅳ=0.073 9，Y_Ⅴ=0.001 8.根据最大隶属度原则得出该处围岩稳定性等级为Ⅳ级，与实际相符.

为了进一步说明该评价模型的准确性和可靠性，将该方法评价结果与约简概念格-模糊优选评判法、RS-TOPSIS法进行对比，结果见表 5.

从表 5中可以看出：利用物元分析与云模型所得的评判结果与约简概念格-模糊优选评判法、RS-TOPSIS法的评判结果相同，表明基于物元分析与云模型的围岩稳定性评价方法用于评价岩体稳定是准确可靠的.同时，该评价模型基于物元分析法，充分考虑了专家的主观认知差异，得到了相对客观的评价指标权重；此外，由于云模型本身具有的优势使得其能够有效地降低分级评价系统中的模糊性与随机性；另外，以最大综合隶属度来确定评价结果，能够降低评价过程中由于单个评价指标所处级别的模糊性而造成的对总体评价结果的影响，例如：“进尺(0+000~0+067) 中-弱风化岩”的岩石质量指标R_QD、岩体完整性系数K_V和结构面强度系数K_f均处于稳定性级别Ⅳ级、岩石单轴饱和抗压强度R_W处于Ⅲ级、地下水渗水量w处于Ⅱ级，5项评价指标处于3个不同级别，从主观上无法直接判断该处围岩的稳定性级别，而运用基于物元分析与云模型的围岩稳定性评价方法，根据最大隶属度原则，就可以直观地确定其稳定性级别为Ⅳ级，与实际状况及参照方法的评价结果相符.

5 结论

1) 采用物元分析法集成专家评判意见，通过计算专家评判矩阵的效度物元及合成权重物元，得到评价指标的合理权重，将专家对待评目标的认知差异性纳入考虑，修正了存在于指标权重确定过程中的片面性与主观随意性，使结果更加可靠.

2) 鉴于地下围岩稳定性评价的模糊性和随机性，采用基于云模型的评价方法，综合考虑地下工程各相关因子对岩体稳定性的作用，结合物元分析所得权重，以最大隶属度为根据判定围岩稳定性等级，可以直观地对围岩的稳定程度进行分析，实现了评价过程中围岩稳定性级别“Ⅰ级”、“Ⅱ级”、“Ⅲ级”、“Ⅳ级”、“Ⅴ级”的定性语言向定量语言的转化即云模型数字特征和隶属度的转换.

3) 将基于物元分析与云模型的评价方法应用于广州抽水蓄能电站二期工程的部分岩体稳定性评判，评判结果与约简概念格-模糊优选法、RS-TOPSIS法所得的评价结果相吻合，表明该评价模型科学有效，具有实际工程应用价值，且该方法不需要搜集大量样本进行评价前的学习，相比之下更加便利实用.