齿轮是工业关键基础零部件,齿轮传动是最常用的传动形式之一.对新型齿轮的研究,主要是针对其齿线的改进和新齿廓的设计.齿线和齿廓的研究,均具有重要的理论和工程价值.

在曲线齿线圆柱齿轮的研究中,国内外许多学者已做了十分有意义的工作.王少江和肖华军等^[1-2]通过圆弧齿线圆柱齿轮的研究,发现圆弧齿线圆柱齿轮具有接触线较长、齿线关于中截面对称、传动平稳、承载能力高、润滑性能好和无轴向分力等优点.吴伟伟和宋爱平等^[3-6]对弧齿圆柱齿轮的齿面方程、啮合机理进行了研究,并提出了一种弧齿圆柱齿轮平动加工装置^[7].狄玉涛和陈明等^[8-9]对圆弧齿线圆柱齿轮的承载接触进行了研究.Tseng等^[10-12]采用坐标变换法推导了弧齿圆柱齿轮的齿面方程并分析了其接触特征.苏进展和方宗德等^[13]在推导三次样条齿线圆柱齿轮数学模型的基础上,开展了三次样条齿线圆柱齿轮数控滚切加工研究和齿面几何接触分析.虽然在各种曲线齿线圆柱齿轮的研究中,对圆弧齿轮齿线的研究最为广泛；但是,在一定的条件下,可考虑采用正弦机构、椭圆机构或者双曲线机构来研究开发新型的曲线齿线圆柱齿轮.

本文参考圆弧齿线圆柱齿轮齿面方程的齿面组成特点和推导方法,介绍了一类曲线齿线圆柱齿轮的齿面组成特点；并根据齿面组成特点,运用微分几何的坐标变换法和包络法推导了曲线齿线圆柱齿轮的齿面方程.以圆弧齿线圆柱齿轮的齿面推导为算例,验证了该推导方法的正确性.按照本文推导思路,可以得到各种不同的齿廓沿基圆齿线平行运动形成的齿面.

1 曲线齿线圆柱齿轮的几何描述

本文讨论的曲线齿线圆柱齿轮具有以下几何特征：1) 曲线齿线圆柱齿轮的基圆齿线是一条光滑的简单空间曲线；2) 曲线齿线圆柱齿轮的基圆齿线落在基圆圆柱面上；3) 曲线齿线圆柱齿轮的齿面由齿廓沿基圆齿线平行运动形成；4) 曲线齿线圆柱齿轮沿任意与端面平行的截面齿廓形状相同.

为了对曲线齿线圆柱齿轮的基圆齿线和齿面进行描述,设齿轮的齿宽为B,在齿轮的中截面建立如图 1所示的坐标系S₁(O₁-X₁Y₁Z₁)和坐标系s₁(L₁-x₁y₁z₁).图 1中：轴O₁Z₁通过齿轮中心沿齿胚母线方向,轴O₁X₁与基圆齿线相交于L₁点,O₁Y₁,O₁X₁与O₁Z₁组成右手系；s₁(L₁-x₁y₁z₁)的坐标原点为L₁点,它的3个坐标轴与S₁(O₁-X₁Y₁Z₁)的3个坐标轴同向,且$\overline{{{L}_{1}}{{O}_{1}}}={{R}_{b}}$.将基圆齿线随柱面展开,则空间曲线C₁可展开为平面y₁L₁z₁中的平面曲线C′₁.

基圆齿线C₁落在基圆圆柱面上,取沿轴OZ₁方向的参数Z₁为基圆齿线方程的表示参数,则基圆齿线C₁的方程可表示为

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{R}_{C1}}={{X}_{C1}}{{i}_{1}}+{{Y}_{C1}}{{j}_{1}}+{{Z}_{C1}}{{k}_{1}}, \\ {{X}_{C1}}={{X}_{C1}}\left( {{Z}_{1}} \right), \\ {{Y}_{C1}}={{Y}_{C1}}\left( {{Z}_{1}} \right), \\ {{Z}_{C1}}={{Z}_{1}}, \\ \end{array} \right\}$

(1)

式中X_C1,Y_C1,Z_C1满足：X_C1(Z₁)²+Y_C1(Z₁)²=R_b²,即基圆齿线落在同一个圆柱面上.

若已知展开曲线C′₁在展开平面y₁L₁z₁中的方程为z₁=f₁(y₁),由于C′₁为简单曲线,故可以通过如下计算得到空间曲线C₁的方程.假设M(X_C1,Y_C1,Z_C1)点为空间曲线C₁上的任意一点,当C₁展开为C′₁时,点M在平面曲线C′₁上的对应点M₁在s₁(L₁-x₁y₁z₁)中的坐标为M₁(0,y₁,z₁).点M在平面X₁O₁Y₁中的投影点为M_y,点M₁在L₁y₁轴上的投影为M_1y.由几何关系可得

$\overset\frown{{{L}_{1}}{{M}_{y}}}=\overline{{{L}_{1}}{{M}_{1y}}}.$

(2)

记弧$\overset\frown{{{L}_{1}}{{M}_{y}}}$对应的角度为ψ,则有

$\psi =\frac{\overset\frown{{{L}_{1}}{{M}_{y}}}}{{{R}_{b}}}=\frac{\overline{{{L}_{1}}{{M}_{1y}}}}{{{R}_{b}}}=\frac{{{y}_{1}}}{{{R}_{b}}}.$

(3)

于是M(X_C1,Y_C1,Z_C1)与M₁(0,y₁,z₁)的坐标的对应关系可表示为

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{X}_{C1}}={{R}_{bcos}}~\psi ={{R}_{bcos}}\frac{{{y}_{1}}}{{{R}_{b}}}, \\ {{Y}_{C1}}={{R}_{bsin}}~\psi ={{R}_{bsin}}\frac{{{y}_{1}}}{{{R}_{b}}}, \\ {{Z}_{C1}}={{z}_{1}}. \\ \end{array} \right\}$

(4)

2 齿面方程

在坐标系S₁(O₁-X₁Y₁Z₁)中,平面X₁O₁Y₁即轮齿形成的齿廓曲线T₁,齿面∑可以认为是由某一平行于端面的截面齿廓T沿基圆圆柱齿线C₁做平动运动形成的.如图 2所示,建立坐标系S_h(O_h-X_hY_hZ_h),Z_h轴与Z₁轴同向,平面X_hO_hY_h与平面X₁O₁Y₁相距h,O_hX_h与基圆齿线相交于L_h点.X_h轴与X₁轴相比,绕Z_h轴与Z₁轴转过方位角β.

图 3所示为任意与X₁O₁Y₁平行的平面XOY与齿轮形成的截面,其中OX与基圆齿线相交于L点.根据端面齿廓的不同,截面齿面齿廓T也将呈现不同的形状,拥有不同的截面齿廓方程.若齿廓方程采用参数表示法,选取极角θ作为齿廓曲线参数,则齿廓方程在S(O-XYZ)内可以表示为

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} R=Xi+Yj+Zk, \\ X=X\left( \theta \right), \\ Y=Y\left( \theta \right), \\ Z=0. \\ \end{array} \right\}$

(5)

由式(5) 可知,与平面X₁O₁Y₁相距h的平面X_hO_hY_h与轮齿形成的截面齿廓T_h的方程可以表示为

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{R}_{h}}={{X}_{h}}{{i}_{h}}+{{Y}_{h}}{{j}_{h}}+{{Z}_{h}}{{k}_{h}}, \\ {{X}_{h}}={{X}_{h}}\left( \theta \right), \\ {{Y}_{h}}={{Y}_{h}}\left( \theta \right), \\ {{Z}_{h}}=0. \\ \end{array} \right\}$

(6)

由齿轮啮合的一般原理^[14-15]可知,式(5) 或式(6) 通过坐标变换即可求出齿面∑₁的方程,即

${{R}_{1}}={{M}_{1h}}{{R}_{h}},$

(7)

式中M_1h为由坐标系S_h(O_h-X_hY_hZ_h)到坐标系S₁(O₁-X₁Y₁Z₁)的坐标变换矩阵,

${{M}_{1h}}=\left[ \begin{matrix} cos\text{ }{{\beta }_{h}} & -sin\text{ }{{\beta }_{h}} & 0 & 0 \\ sin\text{ }{{\beta }_{h}} & cos\text{ }{{\beta }_{h}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & h \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right],$

(8)

式中β_h为X₁轴绕Z_h(Z₁)轴转到X_h轴的方位角.

图 4所示为将坐标系S_h(O_h-X_hY_hZ_h)和坐标系S₁(O₁-X₁Y₁Z₁)沿Z_h(Z₁轴)投影到同一平面的投影几何关系示意图.其中L_h点为O_hX_h与基圆齿线的交点,L₁点为O₁X₁轴与基圆齿线的交点,β_h为X_h轴与X₁轴间的夹角.L_h点在坐标系S_h(O_h-X_hY_hZ_h)中的坐标表示为L_h^(h)(R_b,0,0) ,在坐标系S₁(O₁-X₁Y₁Z₁)中的坐标表示为L_h⁽¹⁾ (R_bcos β_h,R_bsin β_h,0) .当式(1) 中的参数Z₁=h时,L_h点的坐标在S₁(O₁-X₁Y₁Z₁)中的坐标可由式(1) 表示为L_h⁽¹⁾ (X_C1(h),Y_C1(h),h).向量O_hL_h在S₁(O₁-X₁Y₁Z₁)中表示为O_hL_h⁽¹⁾ =(X_C1(h),Y_C1(h),0) .向量O_hL_h与O_hX_h轴方向相同,与向量O₁X₁的夹角即为方位角β_h,由于O₁X₁⁽¹⁾ =(R_b,0,0) ,故有：

$\begin{align} & cos\text{ }{{\beta }_{h}}=\frac{{{O}_{h}}{{L}_{h}}^{\left( 1 \right)~}\cdot {{O}_{1}}{{X}_{1}}^{\left( 1 \right)~}}{\left| {{O}_{h}}{{L}_{h}}^{\left( 1 \right)~} \right|\left| {{O}_{1}}{{X}_{1}}^{\left( 1 \right)~} \right|}= \\ & \begin{array}{*{35}{l}} \frac{{{X}_{C1}}\left( h \right){{R}_{b}}}{\sqrt{{{\left[ {{X}_{C1}}\left( h \right) \right]}^{2}}+{{\left[ {{Y}_{C1}}\left( h \right) \right]}^{2}}}\cdot {{R}_{b}}}= \\ \frac{{{X}_{C1}}\left( h \right)}{{{R}_{b}}}, \\ \end{array} \\ \end{align}$

(9)

$tan\text{ }{{\beta }_{h}}=\frac{{{Y}_{C1}}\left( h \right)}{{{X}_{C1}}\left( h \right)}.$

若β为任意截面XOY中OX轴与O₁X₁轴的夹角,则有

$cos\text{ }\beta =\frac{{{X}_{C1}}({{Z}_{1}})}{{{R}_{b}}},tan\text{ }\beta =\frac{{{Y}_{C1}}({{Z}_{1}})}{{{x}_{C1}}\left( z \right)}.$

(10)

若要表示出齿轮(Ⅰ)的另一侧齿面∑′₁,则只需选取坐标系重复∑₁的齿面方程的推导过程即可.

3 共轭齿面方程

在第2节中推导了齿轮(Ⅰ)的齿面方程∑₁,在实际齿轮啮合过程中,总是一对齿轮满足啮合条件进行传动.由文献^[14-16]可知,当知道一对齿轮的一个齿轮的齿面方程时,有多种方法可以求得其共轭齿面方程,其中较常用的有运动学法和包络法.运动学法是根据齿轮啮合关系式n·v₍₁₂₎ =0进行推导的,而包络法则是一种数学解法：当齿面∑₁随齿轮(Ⅰ)以参数φ₁转动时,将会形成曲面族∑_φ,而齿轮(Ⅱ)上的齿面∑_与曲面族∑_φ中的曲面都是相切接触的,故齿面∑₂就是曲面族∑_φ的包络面.

3.1 曲面族方程

建立如图 5所示的圆柱齿轮副传动模型及其相应坐标系,其中：坐标系S₁(O₁-X₁Y₁Z₁)与齿轮(Ⅰ)固连,且其为随齿轮(Ⅰ)以参数φ₁逆时针转动的运动坐标系；坐标系S₂(O₂-X₂Y₂Z₂)和齿轮(Ⅱ)固连,且其为随齿轮(Ⅱ)以参数坐标系φ₂顺时针转动的运动坐标系；坐标系S_p(O_p-X_pY_pZ_p)和机架固连,轴O_pZ_p与轴O₁Z₁重合,坐标系原点O_p与O₁重合,为静止坐标系；坐标系S_g(O_g-X_gY_gZ_g)和机架固连,轴O_gZ_g与轴O₂Z₂重合,坐标系原点O_g与O₂重合,为静止坐标系；齿轮中心距O₁,O₂的距离$\overline{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}$=A.

由式(10) 可知,方位角β是截面Z₁=h的函数,即

$\beta =\beta \left( h \right),$

(11)

由坐标变换式(7) 可知

${{R}_{1}}={{R}_{1}}\left( \theta ,\beta \right)={{R}_{1}}\left( \theta ,h \right).$

(12)

由齿面∑₁在坐标系S₁(O₁-X₁Y₁Z₁)中的方程,通过坐标变换即可求出齿面∑₁在运动参数φ₁,φ₂下曲面族∑_φ在坐标系S₂(O₂-X₂Y₂Z₂)中的表示,参数φ₁,φ₂的关系为^[14-15]

${{\varphi }_{2}}=f({{\varphi }_{1}})={{\int }_{0}}^{{{\varphi }_{1}}}\frac{1}{{{i}_{12}}}d{{\varphi }_{1}},$

(13)

式中i₁₂是齿轮(Ⅰ)与齿轮(Ⅱ)之间的传动比,i₁₂=ω₁/ω₂.曲面族∑_φ的表达式可写为

${{R}_{2}}={{M}_{21}}{{R}_{1}}={{M}_{2g}}{{M}_{gp}}{{M}_{p1}}{{R}_{1}},$

(14)

式中M_2g,M_gp,M_p1为坐标变换矩阵,且有：

${{M}_{p1}}=\left[ \begin{matrix} cos\text{ }{{\varphi }_{1}} & -sin\text{ }{{\varphi }_{1}} & 0 & 0 \\ sin\text{ }{{\varphi }_{1}} & cos\text{ }{{\varphi }_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right],$

(15)

${{M}_{gp}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & A \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right],$

(16)

${{M}_{2g}}=\left[ \begin{matrix} cos\text{ }{{\varphi }_{2}} & -sin\text{ }{{\varphi }_{2}} & 0 & 0 \\ sin\text{ }{{\varphi }_{2}} & cos\text{ }{{\varphi }_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right].$

(17)

由式(15) 至式(17) 可得,变换矩阵M₂₁为

$\begin{align} & {{M}_{21}}={{M}_{2g}}{{M}_{gp}}{{M}_{p1}}= \\ & \left[ \begin{matrix} cos\left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) & -sin\left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) & 0 & -Acos\text{ }{{\varphi }_{2}} \\ sin\left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) & cos\left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) & 0 & -Asin\text{ }{{\varphi }_{2}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]. \\ \end{align}$

(18)

M₂₁的逆矩阵M₁₂为

${{M}_{12}}=\left[ \begin{matrix} cos\left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) & sin\left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) & 0 & Acos\text{ }{{\varphi }_{1}} \\ -sin\left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) & cos\left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) & 0 & -Asin\text{ }{{\varphi }_{1}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right].$

(19)

3.2 包络共轭齿面方程的形成

在3.1节中通过坐标变换的方法将齿面∑₁形成的曲面族∑_φ的方程表示为式(14) ,由包络条件即可求得齿面∑₂的方程为

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{R}_{2}}={{R}_{2}}\left( \theta ,h,{{\varphi }_{1}} \right), \\ \Phi =\frac{\partial {{R}_{2}}\left( \theta ,h,{{\varphi }_{1}} \right)}{\partial \left( \theta ,h,{{\varphi }_{1}} \right)}=0. \\ \end{array} \right\}$

(20)

或

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{R}_{2}}={{R}_{2}}\left( \theta ,h,{{\varphi }_{1}} \right), \\ \left( \frac{\partial {{R}_{2}}}{\partial \theta },\frac{\partial {{R}_{2}}}{\partial h},\frac{\partial {{R}_{2}}}{\partial {{\varphi }_{1}}} \right)=0. \\ \end{array} \right\}$

(21)

4 算例

以文献^[3-7]中提到的圆弧齿线圆柱齿轮的齿面方程和啮合方程的推导为例,验证上述齿面方程推导过程的适用性.文献^[3-7]中的圆弧齿线圆柱齿轮为本文所述曲线齿线圆柱齿轮的一个特例.在圆弧齿线圆柱齿轮中,齿线为圆弧,齿廓为渐开线.在圆弧齿线圆柱齿轮齿面方程的推导过程中,坐标系和各点的设置与曲线齿线圆柱齿轮的设置一致,坐标系和变量均在下标的最后一位加“C”表示.

如图 6所示为圆弧齿线圆柱齿轮及其基圆齿线展开线的示意图.在右侧示意图中,基圆圆弧齿线的半径为R_TC.根据第1节中的推导,圆弧曲线C_1C在展开平面y_1CL_1Cz_1C中的方程为

${{({{y}_{1C}}-{{R}_{TC}})}^{2}}+{{z}_{1C}}^{2}={{R}_{TC}}^{2},$

(22)

若取z_1C=h为参数,表示为参数方程的形式,则

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1C}}=0, \\ {{y}_{1C}}={{R}_{TC}}-\sqrt{{{R}_{TC}}^{2}-{{h}_{C}}^{2}}, \\ {{z}_{1C}}={{h}_{C}}. \\ \end{array} \right\}$

(23)

4.1 圆弧齿线渐开线齿廓圆柱齿轮齿面方程

由式(23) ,当取截面z_1C=h_C时,由式(3) 可以得出

${{\psi }_{C}}=\frac{{{y}_{1C}}}{{{R}_{bC}}}={{R}_{TC}}-\frac{\sqrt{{{R}_{TC}}^{2}-{{h}_{C}}^{2}}}{{{R}_{bC}}}.$

(24)

由图 1和图 2中的几何关系可知,ψ_C和式(8) 中提到的方位角β_C为同一个角,即β_C=ψ_C.

z_1C=h_C为截面时,齿廓渐开线在平面x_hCO_hCy_hC中的几何关系如图 7所示.

由图 7,渐开线在x_hCO_hCy_hC中的方程为

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{r}_{hC}}={{x}_{hC}}{{i}_{hC}}+{{y}_{hC}}{{j}_{hC}}+{{z}_{hC}}{{k}_{hC}}, \\ {{x}_{hC}}={{R}_{bC}}cos\text{ }{{\alpha }_{C}}+{{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}sin\text{ }{{\alpha }_{C}}, \\ {{y}_{hC}}={{R}_{bC}}sin\text{ }{{\alpha }_{C}}-{{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}cos\text{ }{{\alpha }_{C}}, \\ {{z}_{hC}}=0. \\ \end{array} \right\}$

(25)

由变换矩阵M_h1C和变换式

${{r}_{1C}}={{M}_{1hC}}{{r}_{hC}},$

(26)

可得齿轮(Ⅰ)的齿面∑_1C的方程为

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{r}_{1C}}={{x}_{1C}}{{i}_{1C}}+{{y}_{1C}}{{j}_{1C}}+{{z}_{1C}}{{k}_{1C}}, \\ {{x}_{1C}}={{R}_{bC}}cos\left( {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}} \right)+{{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}sin\left( {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}} \right), \\ {{y}_{1C}}={{R}_{bC}}sin\left( {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}} \right)-{{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}cos\left( {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}} \right), \\ {{z}_{1C}}={{h}_{C}}. \\ \end{array} \right\}$

(27)

4.2 圆弧齿线圆柱齿轮共轭齿面方程

由式(18) 所示的变换矩阵,可知

${{M}_{21C}}=\left[ \begin{matrix} cos({{\varphi }_{1C}}+{{\varphi }_{2C}}) & -sin({{\varphi }_{1C}}+{{\varphi }_{2C}}) & 0 & -{{A}_{C}}cos\text{ }{{\varphi }_{2C}} \\ sin({{\varphi }_{1C}}+{{\varphi }_{2C}}) & cos({{\varphi }_{1C}}+{{\varphi }_{2C}}) & 0 & 0-{{A}_{C}}sin\text{ }{{\varphi }_{2C}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right].$

(28)

通过坐标变换式(29) ,求曲面∑_1C在与齿轮(Ⅱ)固联的坐标系中形成的曲面族∑_φC.

${{r}_{2C}}={{M}_{21C}}{{r}_{1C}}.$

(29)

由式(27) ,(28) 和(29) 可得,曲面族∑_φC的方程为

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{r}_{2C}}={{x}_{2C}}{{i}_{2C}}+{{y}_{2C}}{{j}_{2C}}+{{z}_{2C}}{{k}_{2C}}, \\ {{x}_{2C}}={{R}_{bC}}cos\left( {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}}+{{\varphi }_{1C}}+{{\varphi }_{2C}} \right)+ \\ {{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}sin\left( {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}}+{{\varphi }_{1C}}+{{\varphi }_{2C}} \right)- \\ Acos\text{ }{{\varphi }_{2C}}, \\ {{y}_{2C}}={{R}_{bC}}sin\left( {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}}+{{\varphi }_{1C}}+{{\varphi }_{2C}} \right)- \\ {{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}cos\left( {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}}+{{\varphi }_{1C}}+{{\varphi }_{2C}} \right)- \\ Asin\text{ }{{\varphi }_{2C}}, \\ {{z}_{2C}}={{h}_{C}}. \\ \end{array} \right\}$

(30)

式中φ_1C,φ_2C中只有一个是独立的,满足关系式(13) .在圆弧齿线圆柱齿轮中,由于传动比固定,可得

${{i}_{12C}}={{\omega }_{1C}}/{{\omega }_{2C}}={{\varphi }_{1C}}/{{\varphi }_{2C}}.$

(31)

式(30) 即为曲面族∑_φC在与齿轮(Ⅱ)固连坐标系中的表示,把式(24) ,(31) 代入式(30) ,方程可写为

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{r}_{2C}}={{x}_{2C}}{{i}_{2C}}+{{y}_{2C}}{{j}_{2C}}+{{z}_{2C}}{{k}_{2C}}, \\ {{x}_{2C}}={{R}_{bC}}cos\left[ {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}}+\left( 1+1/{{i}_{12C}} \right){{\varphi }_{1C}} \right]+ \\ {{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}sin\left[ {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}}+\left( 1+1/{{i}_{12C}} \right){{\varphi }_{1C}} \right]- \\ Acos\left[ \left( 1/{{i}_{12C}} \right){{\varphi }_{1C}} \right], \\ {{y}_{2C}}={{R}_{bC}}sin\left[ {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}}+\left( 1+1/{{i}_{12C}} \right){{\varphi }_{1C}} \right]- \\ {{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}cos\left[ {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}}+\left( 1+1/{{i}_{12C}} \right){{\varphi }_{1C}} \right]- \\ Asin\left[ \left( 1/{{i}_{12C}} \right){{\varphi }_{1C}} \right], \\ {{z}_{2C}}=\sqrt{{{\beta }_{C}}\left( 2{{R}_{bC}}-{{\beta }_{C}}{{R}_{bC}} \right)}. \\ \end{array} \right\}$

(32)

记${{\Pi }_{1}}={{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}}+(1+1/{{i}_{12C}}){{\varphi }_{1C}},{{\Pi }_{2}}=(1/{{i}_{12C}}){{\varphi }_{1C}},Q=1+1/{{i}_{12C}},{{i}_{12C}}={{i}_{21C}}$.由式(20) ,(21) 和(32) 知：

$\frac{\partial {{r}_{2}}}{\partial {{\alpha }_{C}}}={{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}cos({{\Pi }_{1}}){{i}_{2C}}+{{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}sin({{\Pi }_{1}}){{j}_{2C}},$

(33)

$\begin{array}{*{35}{l}} \frac{\partial {{r}_{2}}}{\partial {{\beta }_{C}}}=\left[ -{{R}_{bC}}sin\left( {{\Pi }_{1}} \right)+{{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}cos\left( {{\Pi }_{1}} \right) \right]{{i}_{2C}}+ \\ \left[ {{R}_{bC}}cos\left( {{\Pi }_{1}} \right)+{{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}sin\left( {{\Pi }_{1}} \right) \right]{{j}_{2C}}+ \\ \frac{{{R}_{bC}}}{\sqrt{{{\beta }_{C}}{{R}_{bC}}\left( 2-{{\beta }_{C}}{{R}_{bC}} \right)}}{{k}_{2C}}, \\ \end{array}$

(34)

$\begin{array}{*{35}{l}} \frac{\partial {{r}_{2}}}{\partial {{\varphi }_{1C}}}=[-{{R}_{bC}}Qsin\left( {{\Pi }_{1}} \right)+{{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}Qcos\left( {{\Pi }_{1}} \right)+ \\ A{{i}_{21C}}sin\left( {{\Pi }_{2}} \right)\left] {{i}_{2C}}+ \right[{{R}_{bC}}Qcos\left( {{\Pi }_{1}} \right)+ \\ {{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}Qsin\left( {{\Pi }_{1}} \right)-\text{ }A{{i}_{21C}}cos\left( {{\Pi }_{2}} \right)]{{j}_{2C}}. \\ \end{array}$

(35)

由式(32) 至(35) 和式(20) 及(21) 可知圆弧齿线圆柱齿轮副齿轮(Ⅱ)的齿面∑_2C的方程为

$\left. \begin{array}{*{35}{l}} {{r}_{2C}}={{r}_{2C}}\left( {{\alpha }_{C}},{{\beta }_{C}},{{\varphi }_{1C}} \right), \\ \left( \frac{\partial {{r}_{2C}}}{\partial {{\alpha }_{C}}},\frac{\partial {{r}_{2C}}}{\partial {{\beta }_{C}}},\frac{\partial {{r}_{2C}}}{\partial {{\varphi }_{1C}}} \right)=0. \\ \end{array} \right\}$

(36)

其中,包络条件可表示为

$\begin{align} & \left( {{\frac{\partial {{r}_{2C}}}{\partial \alpha }}_{C}},\frac{\partial {{r}_{2C}}}{\partial {{\beta }_{C}}},\frac{\partial {{r}_{2C}}}{\partial {{\varphi }_{1C}}} \right)= \\ & \left[ \begin{matrix} cos\left( {{\Pi }_{1}} \right) & sin\left( {{\Pi }_{1}} \right) & 0 \\ -sin\left( {{\Pi }_{1}} \right)+{{\alpha }_{C}}cos\left( {{\Pi }_{1}} \right) & cos\left( {{\Pi }_{1}} \right)+{{\alpha }_{C}}sin\left( {{\Pi }_{1}} \right) & \frac{1}{\sqrt{{{\beta }_{C}}{{R}_{bC}}\left( 2-{{\beta }_{C}}{{R}_{bC}} \right)}} \\ -{{R}_{bC}}Qsin\left( {{\Pi }_{1}} \right)+{{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}Qcos\left( {{\Pi }_{1}} \right)+A{{i}_{21C}}sin\left( {{\Pi }_{2}} \right) & {{R}_{bC}}Qcos\left( {{\Pi }_{1}} \right)+{{\alpha }_{C}}{{R}_{bC}}Qsin\left( {{\Pi }_{1}} \right)-A{{i}_{21C}}cos\left( {{\Pi }_{2}} \right) & 0 \\ \end{matrix} \right] \\ & ={{R}_{bC}}Q-A{{i}_{21C}}cos\left( {{\alpha }_{C}}+{{\beta }_{C}}+{{\varphi }_{1C}} \right)=0. \\ \end{align}$

(37)

联立式(32) 与式(37) ,消去运动包络参数φ_1C,即可得圆弧齿线圆柱齿轮副齿轮(Ⅱ)的齿面∑_2C的方程.

4.3 齿面方程对比

在参考文献^[3]和^[5]中,坐标系的设置与本文算例的坐标轴方向设置一致,且同样满足本文第1节中阐述的4个基本特征.将本文中式(27) 表示的圆弧齿线圆柱齿轮的齿面方程与文献^[3]中的式(4) 进行对比,可发现齿面方程推导一致；与文献^[5]中的式(1) 进行对比,可发现齿面方程推导基本一致,唯一区别在于：本文式(27) 中的α_C在文献^[5]式(1) 中表示为“α₁-θ₁”(其中θ₁为常数且θ₁=0.015 rad).经由以上对比可发现本文所述方法的推导结果与现有结果一致.

4.4 齿轮建模实例

以第4节中的圆弧齿线圆柱齿轮为建模实例进行建模,建模参数如表 1所示.

在UG中对参数为表 1数值的齿轮进行建模,所建模型如图 8.

将齿轮从端面、中间截面和两者的中间截开,并进行观察,可发现齿轮每一个截面的2条齿廓均是渐开线,如图 9(a)、(b)、(c)所示.

5 结论

本文阐述了曲线齿线圆柱齿轮的概念和齿面组成特点,并根据坐标变换和微分几何的方法,给出了曲线齿线圆柱齿轮齿面方程的一般推导方法.

以圆弧齿线圆柱齿轮的齿面方程的推导为例,推导了圆弧齿线圆柱齿轮空间啮合数学模型,对圆弧齿线圆柱齿轮进行了建模并分析了各个截面的形状,验证了曲线齿线圆柱齿轮齿面方程推导方法的正确性.本文的结果对于新型齿线圆柱齿轮的设计、齿面方程的推导和加工等研究提供了理论基础.