圆弧齿轮是一种较新型的机械传动副, 由日本学者长谷川吉三郎等人于20世纪80年代提出, 它具有接触线长、重合度大、传动平稳、无退刀槽、无轴向力等特点, 能够取代传统的渐开线直齿轮、斜齿轮及人字齿轮^[1-2].

由于圆弧齿轮的齿面是一种曲面, 传统的渐开线直齿、斜齿、人字齿的加工方法不能用于加工此种新型齿轮.国内外学者对圆弧齿轮的加工方式进行了深入的研究, 比较有代表性的加工方式有：旋转刀盘法、大刀盘分度切齿法、三刀头旋转切制法、数控滚切法、挤齿法、圆拉法和平行连杆加工法等^[3-6].

虚拟轴机床是一种具有运动精度高、刚度大、负载能力强、结构紧凑、抗振性强、运动惯性小、切削稳定性好等特点的机床^[7].考虑到圆弧齿轮的齿面精度会影响其性能, 本文利用虚拟轴机床来实现圆弧齿轮的齿面加工；利用虚拟轴机床加工圆弧齿轮可以提高其曲面的精度, 从而提高圆弧齿轮的性能.而虚拟轴机床加工曲面的精度与机床杆的位置精度息息相关, 目前国内外学者对于直线伺服电机的位置控制算法研究较多, 主要包括PID控制^[8-9]、迭代控制^[10-11]和滑模控制^[12-13]等.

本文以虚拟轴机床的直线伺服电机为研究对象, 提出了一种基于干扰观测器的滑模控制算法来控制虚拟轴机床各杆的位置；同时为了进一步抑制滑模控制中存在的抖动现象, 减小抖动现象对控制的精度和稳定性的影响, 对提出的基于干扰观测器的滑模控制算法进行了改进；为了验证所提算法的有效性, 在MATLAB中进行了仿真, 仿真结果表明：所设计的控制算法能够有效地对虚拟轴机床各杆的干扰进行观测, 改善了虚拟轴机床的轨迹跟踪性能, 同时滑模控制中的抖动现象也得到了改善.

1 基于改进干扰观测器的滑模控制器设计 1.1 系统描述

考虑干扰后, 虚拟轴机床伺服电机的状态方程可以表示为

$ x\left( k+1 \right)=[\boldsymbol{A}+\vartriangle A]x\left( k \right)+\boldsymbol{b}u\left( k \right)+f\left( k \right). $

(1)

定义1：系统(1)中的参数必须满足$ \vartriangle A=b\widetilde{A}, f=b\widetilde{f} $；

假设1：系统是可控的；

假设2：系统满足定义中的匹配条件.

根据定义1、假设1和假设2, 系统(1)的离散形式可以改写为

$ x\left( k+1 \right)=\boldsymbol{A}x\left( k \right)+\boldsymbol{b}\left[u\left( k \right)+d\left( k \right) \right], $

(2)

式中：d(k)为系统中存在的不确定因素ΔA和f(k)的函数，$ d\left( k \right)=\widetilde{A}x\left( k \right)+\widetilde{f}\left( k \right) $.

1.2 基于改进干扰观测器的滑模变结构控制器设计

以虚拟轴机床各轴的轨迹跟踪问题为研究对象, 各轴的理想轨迹可用向量x_r表示, x_r=[x_r1 x_r2 x_r3 x_r4 x_r5 x_r6]^T, 各轴的实际轨迹用向量x_a表示, x_a=[x_a1 x_a2 x_a3 x_a4 x_a5 x_a6]^T, 则系统各轴的跟踪误差为

$ e\left( k \right)={{x}_{\text{a}}}\left( k \right)-{{x}_{\text{r}}}\left( k \right). $

(3)

则滑模面函数可定义为

$ s\left( k \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}e\left( k \right). $

(4)

为了分析在滑模面函数值等于零时的动态情况, 结合式(2)、式(3)和式(4), 则

$ \begin{matrix} s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}e\left( k+1 \right)= \\ {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\left[\boldsymbol{A}x\left( k \right)+\boldsymbol{b}u\left( k \right)+\boldsymbol{b}d\left( k \right)-{{x}_{\text{r}}}\left( k+1 \right) \right]. \\ \end{matrix} $

(5)

根据上式可以得到系统的控制律为

$ u\left( k \right)=-d\left( k \right)-{{\left( {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b} \right)}^{-1}}{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\left[\boldsymbol{A}x\left( k \right)-{{x}_{\text{r}}}\left( k+1 \right) \right]. $

(6)

根据式(4)和式(6), 可得：

$ \begin{matrix} e\left( k+1 \right)=\left[I-\boldsymbol{b}{{\left( {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b} \right)}^{-1}}{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}} \right]Ae\left( k \right)- \\ \left[I-\boldsymbol{b}{{\left( {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b} \right)}^{-1}}{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}} \right]\left[{{x}_{\text{r}}}\left( k+1 \right)-\boldsymbol{A}x\left( k \right) \right]. \\ \end{matrix} $

(7)

为了保证所设计的滑模控制器能够使得系统的跟踪误差收敛于零, 根据假设1, 式(7)可以简化为(证明略)

$ e\left( k+1 \right)=\left[I-\boldsymbol{b}{{\left( {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b} \right)}^{-1}}{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}} \right]Ae\left( k \right). $

(8)

对于如式(2)所示的虚拟轴机床电机伺服系统而言, 引入干扰观测后, 本文设计的控制律和干扰观测律分别为：

$ \begin{matrix} u\left( k \right)=-\widehat{d}\left( k \right)+{{\left( {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b} \right)}^{-1}}[{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}{{x}_{\text{r}}}\left( k+1 \right)-\\ {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{A}x\left( k \right)+qs\left( k \right)-\eta sgn \left( s\left( k \right) \right)], \\ \end{matrix} $

(9)

$ \begin{matrix} \widehat{d}\left( k \right)=\widehat{d}\left( k-1 \right)+{{\left( {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b} \right)}^{-1}}g[s\left( k \right)-\\ qs\left( k-1 \right)-\eta sgn \left( s\left( k-1 \right) \right)], \\ \end{matrix} $

(10)

式中$ \widehat{d}\left( k \right) $为干扰的估计值.

为了进一步提高系统的抗抖动能力, 本文采用饱和函数来代替式(9)和式(10)中的符号函数, 则式(9)和式(10)改写为：

$ \begin{matrix} u\left( k \right)=-\widehat{d}\left( k \right)+{{\left( {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b} \right)}^{-1}}[{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}{{x}_{\text{r}}}\left( k+1 \right)-\\ {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{A}x\left( k \right)+qs\left( k \right)-\eta \operatorname{sat}\left( \frac{s\left( k \right)}{\phi } \right)], \\ \end{matrix} $

(11)

$ \begin{matrix} \widehat{d}\left( k \right)=\widehat{d}\left( k-1 \right)+{{\left( {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b} \right)}^{-1}}g[s\left( k \right)-\\ qs\left( k-1 \right)-\eta \operatorname{sat}\left( \frac{s\left( k-1 \right)}{\phi } \right)]. \\ \end{matrix} $

(12)

推论1:滑模及干扰估计误差的动态必须满足以下特性：

1) $s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)-\eta \operatorname{sat}\left( \frac{s\left( k \right)}{\phi } \right). $

证明：由式(2)至(4)和式(11)，有

$ \begin{matrix} s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}e\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}x\left( k+1 \right)-{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}{{x}_{\text{r}}}\left( k+1 \right)= \\ \begin{matrix} {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\left\{ \boldsymbol{A}x\left( k \right)+\boldsymbol{b}\left[u\left( k \right)+d\left( k \right) \right] \right\}-{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}{{x}_{\text{r}}}\left( k+1 \right)= \\ {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{A}x\left( k \right)+{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}u\left( k \right)+{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}d\left( k \right)-{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}{{x}_{\text{r}}}\left( k+1 \right)= \\ \end{matrix} \\ {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{A}x\left( k \right)+{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\{-\widehat{d}\left( k \right)+{{\left( {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b} \right)}^{-1}}[{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}{{x}_{\text{r}}}\left( k+1 \right)-\\ \begin{matrix} {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{A}x\left( k \right)+qs\left( k \right)-\eta \operatorname{sat}\left( \frac{s\left( k \right)}{\phi } \right)]\}+{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}d\left( k \right)-\\ {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}{{x}_{\text{r}}}\left( k+1 \right). \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} $

定义:

$ \widetilde{d}\left( k \right)=d\left( k \right)-\widehat{d}\left( k \right), $

$ s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)-\eta \operatorname{sat}\left( \frac{s\left( k \right)}{\phi } \right). $

2) $ \widetilde{d}\left( k+1 \right)=\left( 1-g \right)\widetilde{d}\left( k \right)+d\left( k+1 \right)-d\left( k \right). $

证明：

$ \widetilde{d}\left( k+1 \right)=d\left( k+1 \right)-\widehat{d}\left( k+1 \right), $

$ \begin{matrix} \widetilde{d}\left( k+1 \right)=d\left( k+1 \right)-\widehat{d}\left( k+1 \right)-{{\left( {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b} \right)}^{-1}}g[s\left( k+1 \right)-\\ qs\left( k \right)+\eta \operatorname{sat}\left( \frac{s\left( k \right)}{\phi } \right)]. \\ \end{matrix} $

因为

$ s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)-\eta \operatorname{sat}\left( \frac{s\left( k \right)}{\phi } \right). $

所以

$ \begin{matrix} \widetilde{d}\left( k+1 \right)=d\left( k+1 \right)+\widehat{d}\left( k \right)-d\left( k \right)-g\widetilde{d}\left( k \right)= \\ d\left( k+1 \right)-d\left( k \right)+\left( 1-g \right)\widetilde{d}\left( k \right). \\ \end{matrix} $

推论2：当

$ \eta >{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\frac{m}{g}, \eta >\left| {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right) \right|, 0<q<1, \frac{\eta }{\phi }<q, $

则

$ \left| s\left( k \right) \right|<\phi, 0<\phi <1. $

证明：

①当s(k)≥ϕ, 因为$ \eta >{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\frac{m}{g}>{{C}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right) $, 则

$ s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)-\eta <qs\left( k \right)<s\left( k \right). $

$ \begin{matrix} s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)-\eta \ge \\ q\phi-\eta +{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)>{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)>-\phi . \\ \end{matrix} $

结论：当s(k)≥ϕ时, s(k+1)逐渐减小, 直到进入边界层.

②当s(k)≤-ϕ, 则

$ \begin{matrix} s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)+\eta > \\ qs\left( k \right)>s\left( k \right), \\ \end{matrix} $

$ \begin{matrix} s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)+\eta \le-q\phi +\eta + \\ {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right). \\ \end{matrix} $

又$ \phi >\eta >{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right) $, 则

$ \begin{matrix} s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)+\eta \le-q\phi +\eta + \\ \phi <\phi . \\ \end{matrix} $

结论：当s(k)≤-ϕ时, s(k+1)逐渐减小, 直到进入边界层.

③当|s(k)| < ϕ, 则

$ s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)-\eta \frac{s\left( k \right)}{\phi }. $

当ϕ>s(k)≥0, 则

$ \begin{matrix} s\left( k+1 \right)<{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+\left( q-\frac{\eta }{\phi } \right)\phi =q\phi-\eta + \\ {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)<\phi . \\ \end{matrix} $

当-ϕ < s(k) < 0，则

$ \begin{matrix} s\left( k+1 \right)>{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+\left( q-\frac{\eta }{\phi } \right)\left(-\phi \right)=-q\phi + \\ \eta +{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)>-\phi . \\ \end{matrix} $

结论：当|s(k)| < ϕ时, s(k+1)将保持在边界层之内.因此, 推论2成立.

1.3 稳定性分析

根据推论2可知, 当|s(k)| < ϕ时, s(k+1)将保持在边界层之内；那么只需要讨论当|s(k)|≥ϕ时控制器的稳定情况.分2种情况讨论.

1) 当s(k)≥ϕ时：

因为

$ s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)-\eta <qs\left( k \right)<s\left( k \right), $

所以

$ s\left( k+1 \right)-s\left( k \right)<0. $

又

$ \begin{matrix} s\left( k+1 \right)+s\left( k \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+\left( 1+q \right)s\left( k \right)-\eta > \\ \left( 1+q \right)\phi-\eta +{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)> \\ \eta +{{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)>0, \\ \end{matrix} $

所以

$ \left[s\left( k+1 \right)-s\left( k \right) \right]\left[s\left( k+1 \right)+s\left( k \right) \right]<0. $

因此控制器是稳定的.

2) 当s(k)≤-ϕ时：

因为

$ s\left( k+1 \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+qs\left( k \right)+\eta >qs\left( k \right)>s\left( k \right), $

所以

$ s\left( k+1 \right)-s\left( k \right)>0. $

又

$ \begin{matrix} s\left( k+1 \right)+s\left( k \right)={{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)+\left( 1+q \right)s\left( k \right)+ \\ \eta \le-\left( 1+q \right)\phi +\eta + \\ {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)<-\eta + \\ {{\boldsymbol{C}}^{\text{T}}}\boldsymbol{b}\widetilde{d}\left( k \right)<0, \\ \end{matrix} $

所以

$ \left[s\left( k+1 \right)-s\left( k \right) \right]\left[s\left( k+1 \right)+s\left( k \right) \right]<0. $

因此控制器是稳定的.

根据上述分析和推论2可知, 当|s(k)| < ϕ时, s(k+1)将保持在边界层之内；当|s(k)|≥ϕ时, 控制器是稳定的, 因此系统也是稳定的.

2 数字仿真

为了验证本文所提出算法的有效性, 在MATLAB中采用该算法控制虚拟轴机床的伺服电机, 电机离散后的方程为

$ x\left( k+1 \right)=\boldsymbol{A}x\left( k \right)+\boldsymbol{b}\left[u\left( k \right)+f\left( k \right) \right]. $

式中, $ \boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix} 1 & 0.0010 \\ 0 & 0.9753 \\ \end{matrix} \right] $, $ \boldsymbol{b}=\left[\begin{matrix} 0.001 & 0 \\ 0.131 & 4 \\ \end{matrix} \right] $, d(k)表示系统不确定因素.

仿真过程中主要仿真参数为：d(k)=2sin(4πt), x_r(k)=sin(4πt), 控制器参数C^T=[15 1], 仿真结果如图 1至图 4所示, 图 1，2分别为改进前、后的位置跟踪效果, 图 3，4为改进前、后的滑模面相轨迹.

从图 1，2可知, 引入改进干扰观测器后, 控制器能够有效地对系统中存在的不确定性因素进行观测, 从而抑制了不确定性因素对位置跟踪性能的影响, 系统具有良好的抗干扰能力；从图 3，4可以看出, 利用饱和函数替代原控制律中的符号函数后, 从其放大部分可以看出系统的抖动现象得到了明显的抑制.

3 结论

本文以一种圆弧齿轮加工用虚拟轴机床为研究对象, 为提高虚拟轴机床的加工精度和抑制滑模控制中的抖动现象, 提出了基于改进干扰观测器的滑模变结构控制算法来控制虚拟轴机床的伺服电机.仿真结果表明：提出的基于改进观测器的滑模变结构控制算法能够有效地观测系统中存在的不确定性因素, 从而抑制了不确定性因素对位置跟踪性能的影响, 系统具有良好的抗干扰能力；同时滑模控制中的抖动现象也得到了明显改善.