赛车车架是整车的承载基体，车架的性能直接影响着赛车的性能，车架的轻量化设计不仅能大幅减轻整车质量，而且能很好地改善赛车的操纵性^[1].结构的拓扑优化是轻量化设计方法中最重要的方法之一，被广泛地应用到结构设计的初期阶段，在整车的轻量化设计中发挥了重要的作用^[2].然而，在实际行驶过程中车架会受到各种工况的考验，因此车架结构的拓扑优化设计是一个多工况下的拓扑优化问题.

对于多工况下的拓扑优化设计，一般的处理方法是采用线性加权方法将多工况这个多目标问题转化为单目标问题求解，扶原放等^[3-4]采用线性加权方法将各个工况下车架刚度最大转化为各工况的加权柔度最小的单一目标问题.但是如果目标函数中至少有2个目标存在不一致性，线性加权方法就不能确保得到所有的Pareto最优解^[5].而折衷规划法就能够很好地解决上述问题，其思想是将多目标的折衷解视为距每一个目标函数的理想解距离最小的矢量，因而实现了单一目标的转化.兰凤崇等^[5-7]运用折衷规划法定义了整车各个工况下车身结构静态刚度和动态振动频率最大化的综合目标函数，并在此基础上完成了车身结构的优化设计，验证了折衷规划法的有效性.但是，无论采用哪种方法进行多目标转化，都会遇到如何分配各个工况权重比值的问题，这个问题的解决与否直接影响着最终优化结果的质量.

代理模型结合遗传算法寻找最优解的方法，是一种通过构造数学模型来代替原有有限元模型并能充分利用遗传算法全局搜索的优越性的方法，在结构的多目标优化中被广泛应用.该方法一方面可以大大提高优化效率，另一方面，相当精度的代理模型能够很好地保证优化结果有较高的精度.陈国栋等^[8]采用代理模型结合遗传算法的方法对车身结构进行优化，验证了该方法在多目标优化中的高效性；洪煌杰等^[9-10]将该方法应用到空投气囊和飞机飞翼这种更复杂的结构的多目标优化设计中，结果显示，该方法能够很好地解决多目标优化寻优问题，结果满足设计要求.

基于此，通过借助折衷规划法构建多个工况下的车架拓扑优化综合目标函数模型，以各个工况的权重比为变量，以综合目标函数最优为优化目标，并引入代理模型和遗传算法(NSGA-Ⅱ)对目标函数模型中的各个工况的权重比进行最优搜索.将多目标优化方法中的代理模型结合遗传算法的方法巧妙地应用于多工况拓扑优化中各个工况权重比寻优的问题中，不仅验证了所采用方法的有效性，同时很好地解决了多目标转化过程中各个工况权重比的分配这一优化难题.

1 车架多工况下拓扑优化设计 1.1 设计问题描述

在进行结构优化设计之前，需参考赛车车身结构模型进行设计区域的填充.构建拓扑空间，并在考虑方程式赛车车架设计规范的基础上^[11]，在拓扑优化中的模型设定了不可设计区域，如图 1所示.

车架的前后悬架采用双横臂悬架，车架材料弹性模量为210 GPa，泊松比为0.3，密度为7.85 g/cm³.为了提高计算精度，有限元模型网格采用退化的四面体单元即十节点四面体单元.为保证车身结构设计的对称性，在Hypermesh中对模型进行了纵向对称设置.同时，为了避免最终拓扑结构中出现细小的传力路径，保证结构最小尺度不至于太小，设置最小拓扑结构为20 mm，最大拓扑结构为60 mm.

1.2 多工况分析

选取赛车在实际使用过程中常遇到的工况进行分析, 即：弯曲工况、扭转工况、加速工况、制动工况、转弯工况.为了简化计算，取悬架上下安装点的中点为简化点，前后悬架安装点简化为4个，分别在简化点施加约束与载荷^[11-12].成员和发动机的重量通过RBE3单元分别加载在座椅安装处和6个发动机安装点处，各个工况下约束和加载情况如表 1所示，边界条件设置如图 2和图 3所示.同时，赛车设计规则明确规定：车架主环最高位置处最大位移不得超过25 mm，车架重要安装硬点的变形范围要控制在合理的范围内.在此，限制赛车手质量加载点处总位移上限为5 mm，发动机安装点处总位移上限为3 mm，车架顶端总位移约束为25 mm^[13].约束设置中1，2，3分别代表x，y，z方向的平动自由度.

1.3 多工况拓扑优化数学模型

在静态问题中，结构的拓扑优化问题是通过最小化结构的平均柔度l(u)来实现的，由总应变能通过下式定义^[14]：

${{F}_{s}}\left( \upsilon \right)=\frac{1}{2}a\left( \upsilon ,\upsilon \right)-l\left( \upsilon \right),\ \ \ \ \forall \upsilon \in K.$

(1)

式(1)等同于以下表达式：

${{F}_{s}}\left( u \right)=\frac{1}{2}a\left( u,u \right)-l\left( u \right)=-\frac{1}{2}l\left( u \right),$

(2)

式中:K为可行解组成的空间，l(v)为负载的线性形式，a(v, v)表示单元由虚位移v在v方向产生的能量，a(u, u)表示单元由虚位移u在u方向产生的能量.通过式(1)和式(2)可得，结构的平均柔度最小的问题等价于结构的应变能最大的问题.

在实现过程中，将车架的结构刚度问题转化为结构的平均柔度(compliance)问题，即单元的总应变能问题.借助折衷规划法及功效函数法建立以结构体积分数上限为0.3为约束、以柔度最小为目标的多刚度拓扑优化综合目标函数模型^[5]：

$\left. \begin{align} & \underset{\mathit{\pmb{\rho}} ={{\left( {{\mathit{\pmb{\rho}} }_{1}},\cdots ,{{\rho }_{n}} \right)}^{\text{T}}}}{\mathop{\min C\left( \rho \right)}}\,={{\left[ \sum\limits_{i=1}^{l}{\omega _{i}^{p}}{{\left( \frac{{{C}_{i}}\left( \mathit{\pmb{\rho}} \right)-C_{i}^{\min }}{C_{i}^{\max }-C_{i}^{\min }} \right)}^{p}} \right]}^{\frac{1}{p}}}, \\ & \text{s}\text{.t}\text{.}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{0<}{{\rho }_{j}}<1, \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ V\left( \mathit{\pmb{\rho}} \right)-\bar{V}\le 0, \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,2,\cdots ,l;j=1,2,\cdots ,n. \\ \end{align} \right\}$

(3)

式中：ρ₁, ρ₂, …, ρ_n为设计变量；n为单元总数；l为载荷工况总数；ω_i为第i个工况的权重比；p为惩罚因子，p≥2；C_i(ρ)为第i个工况的柔度目标函数；V为结构的体积分数要求；C_i^max及C_i^min为第i个工况柔度目标函数的最大值和最小值，分别通过对填充拓扑空间的结构和对优化前原始结构进行分析得到.

1.4 各个工况权重比分配优化方法

从式(3)可以看到各个工况下的柔度权重比ω_i(第i个工况的柔度权重比)直接影响着综合目标函数值，不同的方法会得到不同的分配结果，这就导致优化具有很大的自由度.因此，如何恰当地选取各个工况的权重比是获得更优综合目标函数值中急需解决的问题.

针对此问题，通过结合径向基代理模型和遗传算法对多工况下拓扑优化中各个工况权重比的分配问题进行研究.首先，对多目标问题进行合理转化，采用折衷规划法建立同时考虑多个工况下车架刚度的拓扑优化综合目标函数模型；然后，考虑到实际有限元模型的复杂性及计算的低效性，构造径向基函数代理模型代替复杂的有限元模型，并结合遗传算法(NSGA-Ⅱ)进行最佳工况权重比组合的寻找，获得各个工况的最佳权重比；最后，将获得的各个工况的最佳权重比代入有限元模型中进行拓扑优化计算.在上述流程计算结果的基础上，将各个工况下车架柔度计算结果与参考方法进行比较验证.主要过程流程图如图 4所示.

2 各工况权重比优化 2.1 最优拉丁超立方采样

最优拉丁超立方试验设计(optimal latin hypercube design，OLHD)是在LHD的基础上增加了优化准则，能较好地满足样本采集的投影均匀性和空间均布性^[8].因此，采用最优拉丁超立方试验设计方法，将5个工况的权重比作为取样对象，样本数为25，并将采样结果进行归一化处理.最后将5个工况的权重比代入拓扑模型中进行计算，获得各个取值样本点的综合目标函数值，样本点及输出目标值如表 2所示.

2.2 构建代理模型

采用径向基函数根据相应样本点所构建的代理模型是一种能够很好地平衡精度和计算效率的代理模型^[8]，因此采用径向基函数构建代理模型，其中近似模型如下：

$\hat{y}\left( x \right)=\sum\limits_{j=1}^{N}{{{\lambda }_{j}}\varphi }\left( {{\left\| x-{{x}_{j}} \right\|}^{2}} \right),$

(4)

式中：N为差值样本点的个数；λ_j为通过差值确定的系数；φ是径向距离r=‖x-x_j‖²的函数，取常用的Multi-quadric函数：

$\varphi \left( r \right)=\sqrt{{{r}^{2}}+{{c}^{2}}},$

(5)

其中c为光滑参数，且0 < c < 5，通过寻找最佳的光滑参数c值来建立精确的代理模型，最终得到c′=2.265 678 055.

代理模型构建完后必须验证模型的精度，RBF是一种插值模型，样本点处误差为零，不能像多项式拟合那样通过样本点误差来评价整个代理模型的误差，必须通过额外的测试点来评价，所以本文采用平均相对误差RAAE(即样本点处相对误差的平均值)来评价模型的精度.

$\text{RAAE=}\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{\downarrow }}}{\left| {{f}_{i}}-{{{\tilde{f}}}_{j}} \right|}}{{{n}_{i}}\times \text{STD}},$

(6)

$\text{STD=}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{i}}-1}\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{i}}}{\left( {{f}_{i}}-{{{\tilde{f}}}_{i}} \right)}},$

(7)

式中：n_i是测试点的个数；f_i，${{\tilde{f}}_{i}}$分别表示测试点响应的真实值、响应的近似值；STD表示标准偏差；RAAE越小表示代理模型精度越高.最终通过采取6个样本点，求得RAAE=0.029 505 475，可知代理模型拟合精度很高，符合精度要求，可以用于优化设计.

2.3 拓扑计算结果

采用NSGA-Ⅱ方法计算得到各个工况的最佳权重比分别为0.13，0.07，0.30，0.32，0.18，将各个工况最佳权重比代入有限元模型中进行计算.借助高效并被广泛使用的SIMP法即密度法进行拓扑优化计算，经过64次迭代后结束，车架最终的拓扑结构清晰、合理，如图 5所示.拓扑结构显示，车架结构整体上呈左右对称分布，车架的底部及侧部出现了较多的三角形结构，车架发动机安装处的结构比较合理，这些结构对车架的刚度提高有很好的参考价值.

综合目标函数的迭代过程如图 6所示.由图可知综合目标函数值逐渐减小并最终达到稳定值，迭代过程经历了3个阶段，这是由于在计算过程中，为避免结构中出现半密度单元而引入惩罚系数，因此出现了模型再次计算的过程^[5]，直至满足精度要求，迭代过程停止.

柔度目标的迭代过程如图 7所示.由图可得：在整个拓扑优化迭代过程中，5个工况下车架结构的柔度随着迭代的进行不断减小，其中扭转工况下的车架柔度优化后较优化前变化最大，表明车架扭转工况下的刚度有了很大程度的提高；各个工况的柔度曲线波动趋势相近，并最终达到稳定状态.

2.4 结果分析

为了验证本文采用方法的有效性及优越性，将本文确定各个工况权重比的方法设为方案1，按照正交试验和层次分析法拟定了2组不同的权重比组合，分别为表 2中的方案2、方案3.基于正交试验确定权重比的方法参考文献[15]，基于层次分析法确定权重比的方法参考文献[16-18].对3种方案分别进行相同的拓扑优化计算，各个方案的目标函数迭代过程如图 8所示，权重比组合方案及各个方案各工况柔度最终优化值如表 3和表 4所示.

根据图 8可发现：3种方案的目标函数的迭代过程都经历了3个过程，目标函数值不断减小并最终收敛；方案1中目标函数的收敛曲线始终是最低的，也就是说方案1中车架的综合柔度值是最小的；虽然方案1迭代次数最多，但是方案1中目标函数在开始迭代时是下降最快的.此外，方案1中目标函数的最终迭代值为0.062 765 7，通过代理模型计算得到的目标函数值为0.063 957 4，计算误差为1.86%，可以认为代理模型精度可靠.

通过表 4比较3个方案的加权柔度数值$\sum\limits_{i=1}^{5}{{{\omega }_{i}}}\times {{C}_{i}}$(其中ω_i是对应工况下的权重，C_i为第i个工况的柔度)，分别为29.05，29.64，113.05 N^-1·mm，可见方案1中各个工况下车架的加权柔度也是最小的；同时方案1的计算结果中除了转弯工况下车架柔度相对较高外，其他几个工况的车架柔度都比其他两个方案的小，尤其对于弯曲工况、扭转工况这种最能考验车架基本性能的工况^[8]，方案1得到的结果都是优于其他两种方案的.通过分析结果并比较3种方案所采用的方法可知，方案1之所以具有优越性，是因为方案1采用的方法(NSGA-Ⅱ)具有很好的全局搜索能力，能够在约束的空间内寻找所有解，并在所有解中给出使目标最优的最佳解；此外，由分析层次分析法和正交试验法的特点可知，方案1很好地摆脱了设计者主观因素的影响.

3 总结

针对多工况下结构拓扑优化过程中遇到的各个工况权重比分配的问题进行了研究，采用代理模型与遗传算法相结合的方法很好地解决了该问题，并通过方程式赛车车架多工况下拓扑优化这一实例进行了验证.对结果分析比较发现，与参考方法相比，本文采用的方法具有明显的优越性.同时，本文采用的方法在解决各个工况权重比分配问题的过程中，借助遗传算法NSGA-Ⅱ求解最佳权重比过程是连续的，可以在优化总目标的同时针对性地寻找重点工况下车架的最优柔度值，因此更具有灵活性.此外，研究不仅解决了多工况下车架拓扑优化各工况权重比分配的问题，而且对其他同类型的权重比分配问题也具有很好的参考价值.