在产品开发过程中，产品开发任务主要是由企业的产品开发部门承担，但产品开发部门并不能单独完成整个产品开发过程，需要其他多个部门共同参与才能完成.对企业来说，缩短产品开发时间是企业提高经济效益的重要方式之一，为了缩短产品开发时间，下游设计活动经常会在上游设计活动还没结束前就与上游设计活动进行信息交流，使下游设计活动能够提前启动[1].但是企业往往忽略了下游设计活动提前启动存在的弊端：1)下游设计活动启动时刻选择不恰当会引起下游设计活动出现较大的迭代返工，使产品开发成本和开发时间不但不能减少反而会增加；2)上游设计活动与下游设计活动间进行的信息交流不够充分，则可能会引起产品开发出现大面积的修改和返工，情况严重时会降低产品开发的质量；3)设计活动间进行的信息交流同样需要一定的时间和成本，信息交流过于频繁则会打乱各设计活动预定的开发计划.由此可以看出，企业内部在进行产品协同开发时，关键是要确定下游设计活动的启动时刻与上下游设计活动间进行信息交流的次数[2].
从产品开发过程来看，设计人员的学习与交流能力等是影响下游活动启动时刻和设计活动间信息交流次数的重要因素.徐亮亮等[3]研究了在产品开发过程中影响产品开发的相关因素及其影响原理，并阐述了设计需求和方案求解协同演化创新设计方法的逻辑过程.王娟茹等[4]的研究说明了开发团队的交流能力对制造业复杂产品的开发成本有影响.贾军、吴庆鸣等[5-6]所作的研究表明产品开发的成本与设计人员的学习能力有关.马文建等[7]的研究表明下游设计活动启动时刻和设计活动间信息交流次数是可以通过计算得出的，并提出要得到最优的产品开发时间就需要考虑下游设计活动启动时刻和设计活动间信息交流次数.刘伟、王志亮等[8-11]针对设计任务的重叠问题以不同的优化目标进行了研究.徐岩、周雄辉等[12-15]研究了如何确定下游活动启动时刻的问题.Sosa，Gokpinar等[16-17]的研究说明了在研究最优研发迭代次数时必须考虑研发团队交流成本这一因素.柴国荣等[18]也提出了能够计算产品开发时间与产品开发成本的数学模型.但这些研究均未具体考虑设计人员的学习与交流能力对下游设计活动的影响.本文拟以设计人员的学习与交流能力为研究对象，通过构建与学习能力有关的学习知识量函数以及与交流能力有关的返工率函数，研究设计人员学习与交流能力对下游设计活动启动时刻和设计活动间信息交流次数的影响，得到对下游设计活动启动时刻与设计活动间信息交流次数的判断条件，从而为确定下游设计活动启动时刻以及设计活动间信息交流次数提供决策参考.
在产品开发过程中，一方面设计人员对所设计产品的相关知识是通过不断学习积累的，而学习知识量与设计人员的学习能力有直接关系，设计人员学习能力的大小决定了学习知识量的大小与累积速度，为了描述学习能力对学习知识量的影响，拟构建学习知识量函数来描述学习能力对学习知识量的影响；另一方面，当下游设计活动启动时以及启动之后，上游设计活动与下游设计活动的设计人员需要进行信息交流并对已经完成的设计活动进行适当返工，设计人员的交流能力越强，则设计活动间的信息交流越充分，使得设计活动的返工率越低，为了描述交流能力对返工率的影响，拟构建出返工率函数来描述设计人员交流能力对返工率的影响.
设计活动启动时刻与设计活动间信息交流次数是影响下游设计活动的关键因素，所以在研究设计人员学习与交流能力对下游设计活动的影响时，可以通过学习与交流能力对下游设计活动启动时刻和设计活动间信息交流次数的影响来体现.在研究设计人员学习与交流能力对并行产品开发下游设计活动的影响时，可以通过构建与设计人员学习、交流能力相应的学习知识量函数与返工率函数，推导出下游设计活动启动时刻与设计活动间信息交流次数的数学模型，进而对数学模型进行分析，得出设计人员学习与交流能力对下游设计活动启动时刻和设计活动间信息交流次数的影响，即设计人员学习与交流能力对下游设计活动的影响.
1 学习知识量函数与返工率函数的构建 1.1 学习知识量函数的构建从产品开发的特征来看，设计人员的学习能力是各个设计活动能否顺利完成的重要影响因素，拟构建设计人员学习知识量函数来描述设计人员学习能力对上游设计活动学习知识量的影响.设计人员的学习能力反映了承担该产品开发设计活动人员的设计能力，对于学习能力不同的设计人员而言，在完成相同设计任务时的难易程度是不同的，设计人员学习能力的不同导致学习知识量的大小与积累速度不同，所对应的设计能力也会不同，最终使得产品开发周期和成本都不相同.文献[7]提出的知识累积率函数中用设计活动的技术创新程度来反映承担设计活动的团队的技术开发能力，设计活动的技术创新程度可以从技术的角度体现团队中设计人员的开发能力，但是团队中设计人员的技术开发能力与设计人员的学习能力有直接关系，且设计人员的学习能力比设计活动的技术创新程度更能体现设计人员在设计活动中的重要作用.参考上游设计活动知识累积率函数，采用学习能力指数λ来描述设计活动与设计人员之间的关系，定义设计活动学习知识量函数f(t)如下：
| $ f\left( t \right) = \lambda \times {\left( {\frac{t}{T}} \right)^\alpha } + \left( {1 - \lambda } \right), $ | (1) |
式中：t为设计活动已经执行的时间；T为设计活动的预计完成时间；λ为设计人员学习能力指数，0 < λ < 1，若λ趋近于0，则表明设计人员学习能力弱，即在任务执行中设计人员不能有效地学到知识，学习的知识量少，若λ趋近于1，则表明设计人员学习能力强，即在任务执行过程中能高效地学到知识，学习的知识量多，因此λ体现出设计人员学习能力对设计活动的影响；(1-λ)表示设计人员对外界提供知识帮助的依赖度，λ越大表明设计人员对外界提供知识帮助的依赖越小，反之则越大；α为设计活动中学习的知识演化路径指数，其大小取决于设计活动的特性.
1.2 返工率函数的构建当上游设计人员学习的知识信息需要传递给下游设计人员时，设计人员间的交流能力越强，则上、下游设计活动之间的信息交流越充分及信息交流率越高，上游设计活动传递的信息对下游设计人员的影响程度就越大，下游设计活动返工率越低；反之，设计人员间的交流能力越弱，则上、下游设计活动之间的信息交流越不充分，下游设计人员在与上游设计人员进行信息交流时，从上游设计活动中获得的信息越少，信息交流率越低，使下游设计人员在完成设计活动时需要作的假设就越多，下游设计活动返工率越高.在文献[7]的下游设计活动返工函数中，用上游设计活动信息对下游设计活动开展的重要度体现设计活动间传递的信息对设计活动的重要性，但设计活动间的信息传递与设计人员的交流能力有直接关系，即设计活动的信息在进行传递时会受到设计人员交流能力的影响，设计人员交流能力越强，则上、下游设计活动间的信息交流就越充分，使得传递的信息越容易被接纳和利用，信息的重要度也越能被体现出来，所以设计人员的交流能力比上游设计活动信息对下游设计活动开展的重要度更能体现设计活动与传递的信息之间的重要关系.参考下游设计活动的返工函数，用设计人员交流能力指数γ来描述设计活动与传递的信息的关系，定义下游设计活动返工率函数g(x)如下：
| $ g\left( x \right) = \frac{1}{\lambda }{\left( {1 - x} \right)^\beta }, $ | (2) |
式中：x为上游设计活动学习知识量，即式(1)中f(t)；γ为设计人员的交流能力指数，0 < γ < 1，当γ趋近0时，表明设计人员的交流能力低，此时下游设计活动具有较高的返工率，当γ趋近1，表明设计人员的交流能力较高，此时下游设计活动具有较低的返工率，因此，γ也体现了设计人员的交流能力对下游设计活动执行的重要度；β为下游设计活动开发团队具有的技术能力指数，β≥0.
2 下游设计活动的数学模型的构建下游设计活动启动时刻和设计活动间信息交流次数是影响下游设计活动的重要因素，因此在构建下游设计活动的数学模型时，主要构建下游设计活动启动时刻和设计活动间信息交流次数的数学模型.
假设一个产品开发项目有多个设计活动，现选取其中2个重要设计活动——产品的结构设计与工艺设计来研究，前者为上游设计活动，后者为下游设计活动.上游设计活动预计完成时间为T1，假设下游设计活动在上游设计活动开始后的t0时刻启动(0≤t0≤T1)，上、下游设计活动在t0～T1时间段内进行n次信息交流(n≥1)，假设每次进行信息交流的时间间隔相同，则相邻两次信息交流的时间间隔Δt=(T1-t0)/(n-1).下游设计活动在每个Δt内的工作分为任务返工和有效工作两部分，则Δt包含了任务返工时间与有效工作时间.
将式(1)代入式(2)，得
| $ g\left( t \right) = \frac{{{\lambda ^\beta }}}{\gamma }{\left[ {1 - {{\left( {\frac{t}{{{T_1}}}} \right)}^\alpha }} \right]^\beta }. $ | (3) |
式(3)描述了下游设计活动启动后其返工率g(t)与时间t的关系，也体现出上游设计活动对下游设计活动影响的连续性，随着上游设计活动学习知识量的不断增加, 下游设计活动的返工率在不断降低.
实际应用中我们为了得到简洁有效的数学模型，参考文献[7]，取α=1，β=1，此时设计活动的学习知识量函数和返工率函数均为线性，则在第ti时刻时：
| $ g\left( {{t_i}} \right) = \frac{\lambda }{\gamma }\left( {1 - \frac{{{t_i}}}{{{T_1}}}} \right), $ | (4) |
式中：ti=t0+(i-1)Δt，i=1，2，…，n-1.
将返工时间视为返工率与工作时间的乘积，根据返工率g(ti)计算得到在第i个时间间隔Δt内，有效的工作时间Twi与返工时间Tri分别为：
| $ {T_{{\rm{w}}i}} = \left[ {1 - g\left( {{t_i}} \right)} \right] \times \Delta t, $ | (5) |
| $ {T_{{\rm{r}}i}} = g\left( {{t_i}} \right) \times \Delta t. $ | (6) |
则总的有效工作时间Tw和总的返工时间Tr为：
| $ {T_{\rm{w}}} = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{T_{{\rm{w}}i}}} = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left[ {1 - g\left( {{t_i}} \right)} \right]} \times \Delta t, $ | (7) |
| $ {T_{\rm{r}}} = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{T_{{\rm{r}}i}}} = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {g\left( {{t_i}} \right)} \times \Delta t. $ | (8) |
视下游设计活动提前启动所得的总收益为总的有效工作时间成本，付出的总成本为总的返工时间与信息交流成本，则下游设计活动提前启动的全局收益π为
| $ \pi = {T_{\rm{w}}}{c_{\rm{t}}} - \left( {{T_{\rm{r}}}{c_{\rm{t}}} + n{c_{\rm{m}}}} \right), $ | (9) |
式中：ct为下游设计活动单位时间成本，cm为下游设计活动与上游设计活动每次进行信息交流的成本，Twct为总收益，Trct+ncm为总成本.
将式(4)至(8)代入式(9)中整理得：在下游设计活动的启动时刻为t0、设计活动间信息交流次数为n时的全局收益π(t0, n)为
| $ {\pi _{\left( {{t_0},n} \right)}} = {c_{\rm{t}}}\left( {{T_1} - {t_0}} \right)\left[ {1 - \frac{{2\lambda n\left( {{T_1} - {t_0}} \right)}}{{\gamma {T_1}\left( {n - 1} \right)}}} \right] - n{c_m}. $ | (10) |
对式(10)求全局收益函数π的无条件极值，可得当λ>0，γ>0，且0 < t0 < T1时，全局收益π存在极大值.在全局收益π取极大值时解得下游设计活动的启动时刻和设计活动间信息交流次数的数学模型为
| $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{t_0} = {T_1} - \frac{{\gamma {T_1}}}{{4\lambda }}\left( {1 - \left){\vphantom{1{\frac{{8\lambda {c_{\rm{m}}}}}{{{T_1}\gamma {c_{\rm{t}}}}}}}}\right. \!\!\!\!\overline{\,\,\,\vphantom 1{{\frac{{8\lambda {c_{\rm{m}}}}}{{{T_1}\gamma {c_{\rm{t}}}}}}}}} \right),}\\ {n = \left){\vphantom{1{\frac{{{T_1}\gamma {c_{\rm{t}}}}}{{8\lambda {c_{\rm{m}}}}}}}}\right. \!\!\!\!\overline{\,\,\,\vphantom 1{{\frac{{{T_1}\gamma {c_{\rm{t}}}}}{{8\lambda {c_{\rm{m}}}}}}}}.} \end{array}} \right\} $ | (11) |
我们在分析学习与交流能力对下游设计活动的影响时，主要分析其对下游设计活动启动时刻以及设计活动间信息交流次数这2个方面的影响.
3.1 对下游设计活动启动时刻的影响分析由式(11)可以看出，学习能力指数λ与交流能力指数γ都能对下游设计活动的启动时刻产生影响，现就3种情况进行讨论.
1)假设上游设计活动完成时或完成之后下游设计活动才开始执行，即
由式(11)可知，当
| $ \frac{\lambda }{\gamma } \ge \frac{{{T_1}{c_{\rm{t}}}}}{{8{c_{\rm{m}}}}}. $ | (12) |
可得当λ与γ满足式(12)时，下游设计活动在上游设计活动完成时或完成之后才开始执行.
2)假设下游设计活动与上游设计活动同时开始执行，即t0=0.但在实际数值计算中可能会出现t0 < 0的情况，此时仍认为下游设计活动与上游设计活动同时开始执行，所以在讨论下游设计活动与上游设计活动同时开始执行的情况时应考虑t0≤0，则由式(11)可知，当
最后得出
| $ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\left){\vphantom{1{\frac{{8\lambda {c_{\rm{m}}}}}{{{T_1}\gamma {c_{\rm{t}}}}}}}}\right. \!\!\!\!\overline{\,\,\,\vphantom 1{{\frac{{8\lambda {c_{\rm{m}}}}}{{{T_1}\gamma {c_{\rm{t}}}}}}}} \le 1 - \frac{{4\lambda }}{\gamma }}\\ {\gamma \ge 4\lambda .} \end{array}} \right\} $ | (13) |
可得当λ与γ满足式(13)时，下游设计活动与上游设计活动同时开始执行.
3)假设下游设计活动在上游设计活动执行过程中开始执行，即0 < t0 < T1.
综合上述情况1)和2)可得，当λ与γ满足下列情况时，下游设计活动在上游设计活动执行过程中开始执行，即在
| $ \left){\vphantom{1{\frac{{8\lambda {c_{\rm{m}}}}}{{{T_1}\gamma {c_{\rm{t}}}}}}}}\right. \!\!\!\!\overline{\,\,\,\vphantom 1{{\frac{{8\lambda {c_{\rm{m}}}}}{{{T_1}\gamma {c_{\rm{t}}}}}}}} > 1 - \frac{{4\lambda }}{\gamma }hhh\frac{\lambda }{\gamma } \ge \frac{{{T_1}{c_{\rm{t}}}}}{{8{c_{\rm{m}}}}}. $ | (14) |
可得当λ与γ满足式(14)时，下游设计活动在上游设计活动执行过程中开始执行.
3.2 对设计活动间信息交流次数的影响分析根据式(11)可以看出，学习与交流能力同样都能对信息交流次数产生影响，与学习与交流能力对下游设计活动启动时刻影响的3种情况同理分析，也可得出学习与交流能力对设计活动间信息交流次数的影响的3种情况：
1)假设上游设计活动完成时或完成之后下游设计活动才开始执行，此时设计人员学习与交流能力满足判断条件：
2)假设下游设计活动与上游设计活动同时开始执行，此时设计人员学习与交流能力满足判断条件为
3)假设下游设计活动在上游设计活动执行过程中开始执行，此时设计人员学习与交流能力满足判断条件
综上所述，得到下游设计活动启动时刻与设计活动间信息交流次数的判断条件如表 1所示.
| 下游设计活动执行模式 | λ与γ满足条件 | 下游设计活动启动时刻t0 | 信息交流次数n |
| 上游设计活动完成时或完成之 后下游设计活动才开始执行 |
1 | ||
| 下游设计活动与上游设计活动 同时开始执行 |
0 | ||
| 下游设计活动在上游设计活动 执行过程中开始执行 |
在并行产品开发中，根据以上判断条件，判断出下游设计活动启动模式，将学习能力指数与交流能力指数以及其他相关参数代入式(11)中，以此确定下游设计活动的启动时刻与设计活动间信息交流次数.
特别地，对学习能力指数λ与交流能力指数γ分别趋近于0时的2种特殊情况进行分析.
由式(11)可得：
1)当λ趋近于0时，由于t0≥0，所以此时t0趋近于0，设计人员的学习能力得不到体现，交流次数n会变得无穷大，上游设计活动的知识累积不能很好地通过设计人员的自主学习获得，要求设计人员的交流能力很强.此时，可采用下游设计活动与上游设计活动同时开始执行的模式.
2)当γ趋近于0时，将t0变形得
现以某企业车载装置开发为例.该企业的产品开发主要由2个部门参与，即产品设计部门与产品制造部门，设计部门的设计人员设计产品的结构、功能等，设计人员工作一段时间后将设计信息传递给制造部门的制造人员，制造人员根据设计人员提供的信息进行制造生产.在产品开发过程中制造人员会与设计人员进行信息交流，设计人员根据制造人员反馈的信息不断进行设计更改，并将更改后的信息再次传递给制造人员，如此反复交流多次后，最终完成整个产品开发过程.产品设计部门与制造部门的人员在产品开发过程中合理地进行信息交流，有效提高了产品开发的速度与效率，将总的成本控制在可以接受的范围内.
通过对产品设计部门与制造部门的人员进行问卷调查或访谈等方式，获得产品设计部门与制造部门人员的交流能力指数γ.产品设计部门与制造部门人员的学习能力指数λ主要根据所需传递信息的信息量大小以及产品设计部门与制造部门人员的文化程度等因素综合考虑，对参与人员进行问卷调查并打分获得.参考文献[5]和[7]中实例，并对实例数据进行优化与假设，得出产品开发相关参数如表 2所示.
| 参数 | 产品设计部门 | 产品制造部门 |
| 人员学习能力指数λ | 0.55 | |
| 人员交流能力指数γ | 0.72 | |
| 信息交流成本cm /(元/次) | 400 | |
| 预计信息交流次数n′/次 | 7 | |
| 设计开发的单位时间成本ct /(元/d) | 1 500 | |
| 设计活动预定的启动时刻t1，t2 /d | 1 | 33 |
| 预计完成所需时间T1，T2 /d | 40 | 45 |
将以上相关参数代入判断条件中计算，得出
| $ \begin{array}{*{20}{l}} {{t_0} = {T_1}-\frac{{\gamma {T_1}}}{{4\lambda }}\left( {1-\left){\vphantom{1{\frac{{8\lambda {c_{\rm{m}}}}}{{{T_1}\gamma {c_{\rm{t}}}}}}}}\right. \!\!\!\!\overline{\, \, \, \vphantom 1{{\frac{{8\lambda {c_{\rm{m}}}}}{{{T_1}\gamma {c_{\rm{t}}}}}}}}} \right) = }\\ {\;\;\;\;\;\;40-\frac{{0.72 \times 40}}{{4 \times 0.55}}\left( {1 - \left){\vphantom{1{\frac{{8 \times 0.55 \times 400}}{{40 \times 0.72 \times 1500}}}}}\right. \!\!\!\!\overline{\, \, \, \vphantom 1{{\frac{{8 \times 0.55 \times 400}}{{40 \times 0.72 \times 1500}}}}}} \right) \approx 29.55\;{\rm{d}}} \end{array} $ |
此时取t0=30 d.
此时，产品开发的总成本C总、总时间T总为：
C总=n×m+(t0+T2)×ct=
400×5+(30+45)×1500=114 500元，
T总=t0+T2=30+45=75 d.
而根据表 2的数据可得，按照该企业的计划执行时需要的总成本C′总、总时间T′总分别为：
C′总=n′×cm+(t2+T2)×ct=
7×400+(33+45)×1500=119 800元，
T′总=t2+T2=33+45=78 d.
产品设计部门的任务预计完成时间为40 d，而产品制造部门的任务启动时刻为第30天，总的交流次数为5次，这就意味着当产品制造部门的任务启动后，产品设计部门和制造部门平均每两天就要进行一次信息交流.产品开发进度表是由产品设计部门和制造部门相互沟通后共同制定出来的，并以设计人员的学习与交流能力指数为参考，计算出下游设计活动的启动时刻与设计活动间信息交流次数后，对在什么时候需要进行信息交流作出调整，并确定每次进行信息交流时要达到的目标.由于有了具体的产品开发进度表，并严格按照进度执行，为成功开发产品提供了保障.
在实际开发中，由于明确了产品设计部门和制造部门之间的信息交流次数，而且每次交流的目的明确，使两部门间的信息交流效率显著提高，避免了在产品开发过程中各部门之间频繁或过少进行信息交流的现象发生，产品制造部门任务启动时刻的确定也减少了因任务提前或滞后启动带来的成本增大.有效的信息沟通和交流以及明确了制造部门任务的启动时刻，使得产品开发任务总的完成时间从计划的78 d减少为75 d；产品实际开发的总成本为114 500元，比企业计划的总成本119 800元降低了4.42%.因此，最终提高了产品开发的速度，减少了成本.
5 结束语本文考虑产品开发设计人员的学习能力和交流能力，提出了与学习能力有关的学习知识量函数以及与交流能力有关的返工率函数，推导出下游设计活动启动时刻和设计活动间信息交流次数的数学模型，研究学习与交流能力对下游设计活动启动时刻及设计活动间信息交流次数的影响，得出对下游设计活动启动时刻和设计活动间信息交流次数的影响情况与判断条件，为确定并行产品开发中下游设计活动的启动时刻与设计活动间信息交流次数，以及减少产品开发成本、提高产品开发效率提供理论参考.实例分析表明，本文得到的下游设计活动启动时刻和设计活动间信息交流次数数学模型与判断条件，对确定合理的下游设计活动启动时刻与设计活动间信息交流次数有一定的参考作用，能够缩短产品开发时间，控制设计活动间信息交流次数，最终减少产品开发成本.
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