平底推杆较滚子推杆在承载能力、润滑性能、使用寿命和高速性能等方面具有明显优越性,其设计问题长期以来吸引了国内外学者的浓厚兴趣和广泛关注^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]}.

机构综合中,性能评价和尺寸综合是处于机构学前沿、有挑战性的重要课题.性能评价,是机构综合的首要问题,核心是提出描述综合性能的评价指标；尺寸综合,旨在确定运动学参数,目的是揭示多种性能与尺寸型间的映射规律.

以平底直动推杆盘形凸轮机构为研究对象,阐释了形态构成、基本尺寸参数、尺寸综合问题的准确描述以及求解基本思路与步骤；提出3项性能评价指标及解析表达；构建了面向“可视化”问题求解模型,采取“遍历搜索”思想方法,先解决单一约束下边界线/解域、边界面/解空间,继之解决归并约束下边界线/解域、边界面/解空间,成功实现了二维朝三维的可视映射.据此,揭示“最优解/解区间/解集”、“非劣解区间/解域”和“谷底点”等的存在性、重要内涵和相应求解方法,为工程设计机构尺寸综合提供了一种行之有效的通用求解方法.

1 对象机构、尺寸综合问题和求解的基本思路与步骤 1.1 对象机构形态构成、基本尺寸和总体尺寸

如图 1所示,平底直动推杆盘形凸轮机构由盘形凸轮1、平底推杆2和机架0组成.原动凸轮1等速转动,驱动平底G₁G₂沿导路往复移动,实现预期运动输出.

基本尺寸：凸轮基圆半径r₀、平底夹角β和偏距e.

凸轮工作轮廓基圆半径r₀是首要基本尺寸.不仅决定横向和纵向尺寸,而且决定凸轮尺寸、材耗和空间需求等.

平底夹角β是重要基本参数.对机构尺寸影响较小,但决定接触应力、承载能力和运动保真等,对动力学性能亦有重要影响.

偏距e是另一重要基本尺寸.与r₀不同,是相对位置参数,通过与r₀，β复杂的耦合关系,影响机构横向和纵向尺寸.

须强调的是：文中β是有向角.凸轮逆时针转动,规定如下：如图 1所示,β=0,对应G₁G₂‖O₁y,β正向为顺时针方向,β∈(0°,180°).

1.2 对象机构尺寸综合问题的准确描述

对象机构的尺寸综合问题,准确描述如下：

已知：推杆行程为h,往程、返程运动角为Φ_g，Φ_r，位移规律为s_g=s_g(φ)，s_r=s_r(φ),近/远休止角为Φ_s和Φ_s′,往程、返程许用压力角[α]_g和[α]_r,生产阻力Q=Q(φ),推杆-凸轮、推杆-机架摩擦系数为f,上、下支承面间跨距为l_ex,推杆宽度d,悬臂初始长度l₀,凸轮弹性模量E₁、泊松比μ₁,平底弹性模量E₁、泊松比μ₂,凸轮、平底凸轮接触宽度b,往程/返程凸轮-平底许用接触应力[σ_H]_g和[σ_H]_r.

求解：凸轮基圆半径r₀、平底夹角β和偏距e.

1.3 尺寸综合问题求解的基本思路与步骤

求解基本思路与步骤,如下：

1) 构建尺寸坐标系O-r₀βe、尺寸空间Ω(r₀,β,e),离散-网格化处理；2) 提出约束条件Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,推演解析公式；3) 采取遍历方法,实现单一约束向O-r₀βe，Ω(r₀,β,e)映射,得到可视边界线/解域、边界面/解空间；4) 实现归并约束向O-r₀βe，Ω(r₀,β,e)映射,得到可视边界线/解域、边界面/解空间；5) 根据多目标规划、可视映射,揭示最优解存在性等重要结论.

2 3项重要的性能评价指标

研究发现,尺寸综合须满足3项评价指标,或称约束条件^{[8, 9, 10, 11, 12]}.

2.1 约束条件Ⅰ——运动保真条件

ρ>0段，即

$ {\rho _{\rm{g}}} > 0\parallel {\rho _{\rm{r}}} > 0, $

(1)

式中：ρ为凸轮理论轮廓曲率半径；ρ_g，ρ_r分别为往程、返程凸轮理论轮廓曲率半径；本文“║”表达“同时满足”之意.引用文献[4],ρ的计算式为

$ \rho = \rho \left( {{r_0},\beta ,e,s} \right) = {r_0} + \left( {s + s'} \right)\sin \beta , $

(2)

式中,s′=ds/dφ,s″=d²s/dφ².

式(2)通用.式(1)等价于ρ_min>0，即

$ {\rho _{g\min }} > 0\parallel {\rho _{{\rm{rmin}}}} > 0. $

(3)

取定r₀，β和e,ρ=ρ(r₀,β,e,s)转化为φ的一元函数.通过一维搜索,可解得ρ_gmin和ρ_rmin.

2.2 约束条件Ⅱ——传动性能条件

｜α｜≤[α]，即

$ \left| {{\alpha _{\rm{g}}}} \right| \le {[\alpha ]_{\rm{g}}}\parallel \left| {{\alpha _{\rm{r}}}} \right| \le {[\alpha ]_{\rm{r}}}, $

(4)

式中,｜α｜_g，｜α｜_r和[α]_g，[α]_r分别为往程、返程压力角绝对值和许用值.据文献[4],有

$ \left| {{\alpha _{\max }}} \right| = \alpha = \pi - \beta . $

(5)

取定β,｜α｜_max随之确定.

2.3 约束条件Ⅲ——接触强度条件

σ_H≤[σ_H]，即

$ {\sigma _{{\rm{Hg}}}} \le {[{\sigma _{\rm{H}}}{\rm{]}}_{\rm{g}}}\parallel {\sigma _{{\rm{Hr}}}} \le {[{\sigma _{\rm{H}}}{\rm{]}}_{\rm{r}}}, $

(6)

式中,σ_Hg，σ_Hr分别为往程、返程接触应力,[σ_H]_g，[σ_H]_r分别为σ_Hg，σ_Hr许用值.式(6)等价于

σ_Hmax≤[σ_H]，即

$ {\sigma _{{\rm{Hmaxg}}}} \le {[{\sigma _{\rm{H}}}{\rm{]}}_{\rm{g}}}\parallel {\sigma _{{\rm{Hmaxr}}}} \le [{\sigma _{\rm{H}}}{\rm{]}}, $

(7)

式中，σ_Hmaxg，σ_Hmaxr为σ_Hg，σ_Hr最大值.引据文献[5],平底曲率半径近似无穷大,有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _{\rm{H}}} = \left\{ {{F_n}\left( {1/\rho } \right)} \right./\left[ {\pi b\left( {\left( {1 - \mu _1^2} \right)} \right.} \right./{E_1} + }\\ {{{\left. {\left. {\left( {1 - \mu _2^2/{E_2}} \right)} \right]} \right\}}^{1/2}}.} \end{array} $

(8)

式(8)通用,F_n为凸轮与平底间法向力.

F_n是与ρ，r₀，β，e和s，s′(φ)等以及与凸轮、平底材料有关常量b，μ₁，μ₂，E₁和E₂等有关的复杂函数,其解析公式推导如下：

如图 2(a)所示,β∈(0°,90°]形态时,以推杆为对象,作受力分析.力平衡方程为：

$ \sum {{F_x} = 0,F\cos \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right) + } {F_{R1}}\cos {\varphi _{\rm{m}}} - {F_{R2}}\cos {\varphi _{\rm{m}}} = 0, $

(9)

$ \sum {{F_y} = 0,F\sin \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right) - \left( {{F_{R1}} + {F_{R2}}} \right)} \sin {\varphi _{\rm{m}}} - {F_{\sum {} }} = 0, $

(10)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum {{M_b} = 0, - 0.5} {F_{\sum d }} + {F_{R1}}\cos {\varphi _{\rm{m}}}{l_{{\rm{ex}}}} - {F_{R1}}\sin {\varphi _{\rm{m}}}d{\rm{ + }}}\\ {F\sin \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right)\left( {d/2 + L\sin \beta } \right) - F\sin \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right)\left( {{l_0} - s - } \right.}\\ {L\cos \beta ) = 0,} \end{array} $

(11)

式中:F为凸轮与平底间作用力；F_R1,F_R2为下、上支承处作用力；F_∑为推杆受总载荷(包括生产阻力、推杆自重和弹簧压力等)；l_ex为上、下支承点间跨距；d为推杆宽度；φ_m为推杆、机架、平底凸轮间摩擦角；l₀为悬臂初始长度；s=s(φ)为推杆位移；L为接触点K沿G₁G₂距推杆方位线的距离.

$ {\varphi _{\rm{m}}} = \alpha \tan f, $

(12)

$ L = s'\left( \varphi \right)\sin \beta - {r_0} + s\cot \beta /\sin \beta - e/\sin \beta , $

(13)

式中：f为推杆、机架、平底凸轮间摩擦系数；s′(φ)为推杆速度.

推杆受总载荷为

$ {F_{\sum {} }} = [Q + \left( {{m_{\rm{f}}} + {m_{\rm{s}}}} \right)g + {F_{\rm{s}}} + \left( {{m_{\rm{f}}} + {m_{\rm{s}}}/2} \right)\alpha ], $

(14)

式中,Q为工作阻力,m_f为平底推杆质量,m_s为弹簧质量,F_s为弹簧力,a为推杆加速度.

联立式(9)至(14),整理得法向力F_n解析式为

$ {F_{\rm{n}}} = \left( {0.5{F_{\sum {} }}{l_{ex}}/\tan {\varphi _{\rm{m}}}/A} \right)\cos {\varphi _{\rm{m}}}, $

(15)

式中,

$ \begin{array}{*{20}{c}} {A = \{ [sin\left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right)/sin{\varphi _{\rm{m}}} - \cos \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right)/cos{\varphi _{\rm{m}}}]/2\} }\\ {\left( {\cos {\varphi _{\rm{m}}}{l_{ex}} - d\sin {\varphi _{\rm{m}}}} \right) + \sin \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right)\left( {d/2 + } \right.}\\ {\left. {L\sin \beta } \right) - \cos \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right)\left( {{l_0} - s - L\cos \beta } \right).} \end{array} $

(16)

如图 2(b)所示,β∈(90°,180°)形态时,同理,力平衡方程为：

$ {F_{\sum x }} = 0,F\cos \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right) + {F_{{\rm{R1}}}}\cos {\varphi _{\rm{m}}} - {F_{{\rm{R2}}}}\cos {\varphi _{\rm{m}}} = 0, $

(17)

$ {F_y} = 0,F\sin \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right) - \left( {{F_{{\rm{R1}}}} + {F_{{\rm{R2}}}}} \right)\sin {\varphi _{\rm{m}}} - {F_{\sum {} }} = 0, $

(18)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{M_B} = 0, - 0.5{F_{\sum {} }}d + {F_{{\rm{R2}}}}\cos {\varphi _{\rm{m}}}{l_{ex}} - {F_{{\rm{R2}}}}\sin {\varphi _{\rm{m}}}d + }\\ {F\sin \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}} - \pi /2} \right)\left( {d/2 + L\sin \beta } \right) + F\sin \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}} - } \right.}\\ {\left. {\pi /2} \right)\left( {{l_0} - s + L\cos \beta } \right) = 0,} \end{array} $

(19)

式中,φ_m,L,F_∑解析式同式(12)至式(14).

联立式(12)至(14)、(17) 至(19),整理得

$ {F_{\rm{n}}} = \left( {0.5{F_{\sum {} }}{l_{ex}}/\tan {\varphi _{\rm{m}}}/A} \right)\cos {\varphi _{\rm{m}}}, $

(20)

式中,

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {A = \{ [sin\left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right)/sin{\varphi _{\rm{m}}} - \cos \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}}} \right)/cos{\varphi _{\rm{m}}}]/2\} }\\ {\left( {\cos {\varphi _{\rm{m}}}{l_{ex}} - d\sin {\varphi _{\rm{m}}}} \right) - \cos \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}} - \pi /2} \right)}\\ {\left( {d/2 + L\sin \beta } \right) - \sin \left( {\beta - {\varphi _{\rm{m}}} - \pi /2} \right) - sin\left( {\beta - } \right.} \end{array}}\\ {\left. {{\varphi _{\rm{m}}} - \pi /2} \right)\left( {{l_{ex}} + {l_0} - s - L\cos \beta } \right).} \end{array} $

(21)

取定r₀，β和e,σ_H=σ_H(r₀,β,e,s)转化为φ的一元函数.一维搜索,可解得σ_Hmax.

3 单一约束下：边界线(面)、解域(空间)等重要结论

选取r₀，β和e为三坐标轴参数,构造尺寸坐标系O-r₀βe和尺寸空间Ω(r₀,β,e),如图 3所示.

r₀，β和e为基本机构尺寸参数.定义域：r₀∈(0,+∞),β∈(0,180°)和e∈(-∞,+∞).故此,r₀，β两轴仅有正半轴,e轴有正、负半轴.

所谓Ω(r₀,β,e)坐标空间离散化,指分别沿r₀，β和e轴对Ω(r₀,β,e)进行离散-网格化处理^[13].

为清楚呈现边界、解域形态特征,通常取r₀，β和e上限：sup[r₀]=(3～10)h，sup[β]=π(180°)和sup[e]=(1～3)h；e下限inf[e]=-(1～3)h,如图 3所示.

sup[r₀]，sup[e]和inf[e]具体取值需根据情况摸索确定.

沿r₀,β和e轴,任意相邻两线皆取等间隔

$ \vartriangle ={{r}_{0i+1}}-{{r}_{0i}}={{\beta }_{j+1}}-{{\beta }_{j}}={{e}_{k+1}}-{{e}_{k}}={{10}^{-m}}\text{mm}, $

(22)

式中,m=1,2,…,据精度要求定.

$ \begin{matrix} {{i}_{\max }}=\operatorname{int}\{sup[{{r}_{0}}]/\vartriangle \},{{j}_{\max }}=\operatorname{int}\{sup[\beta ]/\vartriangle \}, \\ {{k}_{\max }}=-{{k}_{\min }}=\operatorname{int}\{sup[e]/\vartriangle \}. \\ \end{matrix} $

(23)

任一网格节点(r_0i,β_j,e_k),有:

$ {{r}_{0i}}=i\vartriangle \ \ \ \left( i=1,2,\cdots ,{{i}_{\max }} \right),\ $

(24)

$ {{\beta }_{j}}=i\vartriangle \ \ \ \left( j=1,2,\cdots ,{{j}_{\max }} \right), $

(25)

$ {{e}_{k}}=k\vartriangle \ \ \ \left( k={{k}_{\min }},\cdots ,-1,0,1,\cdots ,{{k}_{\max }} \right). $

(26)

总共有i_max·j_max·(2k_max)个网格节点.

不难理解,将约束条件Ⅰ至Ⅲ映射到O-r₀βe中,对应3个边界面S_Ⅰ至S_Ⅲ,将空间Ω(r₀,β,e)划分成：解空间Ω_Ⅰ至Ω_Ⅲ,非解空间Ω_Ⅰun至Ω_Ⅲun.

三维问题求解复杂棘手，故取截平面e=e_k的“降维”方法,将三维问题简化为二维问题,如图 3(b)所示.

3.1 单一约束条件下的约束条件I—运动保真条件 3.1.1 边界线əΛ_Ⅰek/解域Λ_ⅠGek

遍历网格节点(r_0iek,β_jek),满足式(3)的标示为浅灰色,不满足的标示为深灰色,得到约束边界əΛ_Ⅰek,如图 3(a)所示.据此,可得：

1) 边界线əΛ_Ⅰek,形态特征：正弦曲线；

2) əΛ_Ⅰek将坐标平面分为：解域Λ_ⅠGek,非解域Λ_ⅠRek,如图 4(A)所示.

3.1.2 边界面S_I={əΛ_Ⅰek}/解空间Ω_I={Λ_Gek}

任取截平面e=e_k(k=k_min，…，k_max),数“正弦曲线”堆积成“正弦曲面”——“边界面S_I”，即{əΛ_Ⅰek}.

S_I将尺寸空间分为：解空间Ω_I={Λ_ⅠGek}、非解空间Ω_Iun={Λ_ⅠRek},如图 4(b).

3.2 单一约束条件下的约束条件Ⅱ——传动性能条件 3.2.1 边界线əΛ_Ⅱek/解域əΛ_ⅡGek

同理,据式(4)得两约束边界əΛ_Ⅱek(1)，əΛ_Ⅱek(2),如图 5(a)所示,可知

1) 边界线əΛ_Ⅱek(1)，əΛ_Ⅱek(2),形态特征：与β轴交点分别为π/2+[α]，π/2-[α]的2条关于β=π/2对称的水平线；

2) əΛ_Ⅱek(1)，əΛ_Ⅱek(2)将坐标平面分为：解域Λ_ⅠGek,非解域Λ_ⅡRek(1)，Λ_ⅡRek(2).

取不同[α],əΛ_Ⅱek(1)，əΛ_Ⅱek(2)分布规律：[α]″<[α]′<[α],对应边界线对称分布,逐渐向β=π/2逼近,如图 5(a)所示.

3.2.2 边界面S_Ⅱ={əΛ_Ⅱek}/解空间Ω_Ⅱ={Λ_ⅡGek}

如图 5(b)所示,堆积e=e_k,数平行直线堆积成平行面S_Ⅱ(1),S_Ⅱ(2),即{əΛ_Ⅱek}.

S_Ⅱ(1),S_Ⅱ(2)所夹空间是解空间Ω_Ⅱ={Λ_ⅡGek},此外,非解空间Ω_Ⅱun(1)={Λ_ⅡRek(1)},Ω_Ⅱun(2)={Λ_ⅡRek(2)}.

3.3 单一约束条件下的约束条件Ⅲ——接触强度条件 3.3.1 边界线əΛ_Ⅲek/解域Λ_ⅢGek

据式(7)得到约束边界əΛ_Ⅰek,如图 6(a)所示,可知

1) 边界线əΛ_Ⅲek,形态特征：左端封闭、右端开口的“U”型曲线；

2) əΛ_Ⅲek将坐标平面分成两部分：解域Λ_ⅢGek,非解域Λ_ⅢRek.

3.3.2 边界面S_Ⅲ={əΛ_Ⅲek}/解空间Ω_Ⅲ={Λ_ⅢGek}

堆积e=e_k,数“U”型曲线堆积“U”型曲面——“边界面S_Ⅲ”，即{əΛ_Ⅲek}.

S_Ⅲ内、外：解空间Ω_Ⅲ={Λ_ⅢGek}、非解空间Ω_Ⅲun={Λ_ⅢRek},如图 6(b).

4 归并约束：边界线(面)、解域(空间)等重要结论 4.1 边界线/解域、边界面/解空间 4.1.1 边界线əΛ_∑ek/解域Λ_∑upek

归并约束下的边界线(面)、解域(空间),指满足约束条件Ⅰ至Ⅲ的边界线(面)、解域(空间).

大量算例表明：多数情况下,əΛ_Ⅰek至əΛ_Ⅲek分布规律如图 7(a)所示：əΛ_Ⅰek位居əΛ_Ⅲek右侧,əΛ_Ⅱek(1)，əΛ_Ⅱek(2)分别与əΛ_Ⅰek，əΛ_Ⅲek截交,Λ_∑ek由əΛ_Ⅱek(1)，əΛ_Ⅱek(2)和əΛ_Ⅲek截取而得.

根据3.1至3.3节,得到重要结论：

1) 边界线əΛ_∑ek实际由əΛ_Ⅱek(1)，əΛ_Ⅱek(2)，əΛ_Ⅲek耦合而成.əΛ_∑ek形态特征：“U”型弯折线,左端封闭、右端开口.

2) əΛ_∑ek将坐标平面分为：解域Λ_Ⅰ∑ek,非解域Λ_∑Rek.

4.1.2 边界面S_∑={əΛ_∑ek}/解空间Ω_∑={Λ_∑upek}

堆积e=e_k,“U”型弯折线堆积成“边界面S_∑”,即{əΛ_∑ek}.S_∑内、外两侧分别为：解空间Ω_∑={Λ_∑Gek}、非解空间Ω_∑un={Λ_∑Rek},如图 7(b).

4.2 “最优解区间”和“非劣解区间” 4.2.1 “最优解区间”əΛ_∑ek(1)

如前所述,凸轮基圆半径r₀、压力角等是衡量材耗、传动和承载性能优劣的重要评价指标.

如图 8(a)所示,截平面e=e_k,以P_Aek，P_Bek为节点将əΛ_∑ek分为三部分əΛ_∑ek(1)，əΛ_∑ek(2)和əΛ_∑ek(3),取

$ \alpha ={{\alpha }_{c}}\in [\pi /2-[\alpha ],\pi /2+[\alpha ]]. $

(27)

P_C1→P_C2,α相同,r₀趋劣,P_C1为P_C1P_C2上“最优解”.

故此,任取不同α值,得“最优解区间”为

$ {{\Lambda }_{\sum{ek\left( 1 \right)}}}={{P}_{\text{D}ek}}\left( {{r}_{0i\text{D}}},{{\beta }_{j\text{D}}} \right),\cdots ,{{P}_{\text{A}ek}}\left( {{r}_{0i\text{A}}},{{\beta }_{j\text{A}}} \right),\cdots ,{{P}_{\text{B}ek}}\left( {{r}_{0i\text{B}}},{{\beta }_{j\text{B}}} \right). $

(28)

4.2.2 “非劣解区间”əΛ_∑ek(1)^*

对于“最优解区间”əΛ_∑ek(1),作进一步分析.

沿əΛ_∑ek(1)自P_Dek至P_Bek：α先单调减(P_DekP_Aek段),后单调增(P_AekP_Bek段)；r₀在P_DekP_Bek均单调增.

根据多目标优化理论^[14],“最优解区间”əΛ_∑ek(1)内,存在“非劣解区间”,实际综合时,仅需考虑əΛ_∑ek(1)^*.

əΛ_∑ek(1)^*的解析表达为

$ \partial {{\Lambda }_{\sum{ek\left( 1 \right)}}}*={{P}_{\text{D}ek}}\left( {{r}_{0i\text{D}}},{{\beta }_{j\text{D}}} \right),\cdots {{P}_{\text{A}ek}}\left( {{r}_{0i\text{A}}},{{\beta }_{j\text{A}}} \right). $

(29)

据此,得到重要结论：

1) 满足约束条件Ⅰ至Ⅲ的“r₀最优解”——P_Dek点；

2) 满足约束条件Ⅰ至Ⅲ的“α最优解”——P_Aek点；

3) 如图 1所示对象机构,“非劣解集”əΛ_∑ek(1)^*,恒存在于β为钝角的机构构型.

4.3 “非劣解域”、“最优解集”、“谷底点”和“影像点”等 4.3.1 “非劣解域S_∑back”、“r₀最优解集Г_r0”和“α最优解集Г_α”

遍取不同e=e_k,əΛ_∑ek(1)^*堆积得{əΛ_∑ek(1)^*}——“非劣解域S_∑back”,如图 8(b)深灰色区域所示.

同理,遍取不同e=e_k，则：

P_Dek堆积得{P_Dek}——“r₀最优解集Г_r0”；

P_Aek堆积得{P_Aek}——“α最优解集Г_α”.

Г_r0，Г_α分别是S_∑back的上下边界,Г_r0和Г_α形态：类抛物线,如图 8(b)所示.

显然,机构呈传统形态布局：β=90°(π/2),对象机构具有最佳传动性能.据上,机构呈特殊形态布局：β=120°(2π/3),对象机构具有最优尺寸.

4.3.2 “谷底点”及其“影像点”

据4.3.1,引伸得重要结论：

1) “r₀最优解集Г_r0”类抛物线上,必存在一个“谷底点P_D^**”,取得最小基圆半径r_0D^**、对应平底夹角β_D^**及偏距e_D^**,如图 8(b)所示.其求解方法：沿əΛ_∑ek搜索,通过计算、比较,筛选使满足式(8)的最小的r_0Dek,以及对应β_Dek.

2) “α最优解集Г_α”类抛物线上,必存在一个“谷底点P_A^**”,取得α最优解——基圆半径r_0A^**、平底夹角β_A^**及偏距e_A^**.其求解方法同上,不在赘述.

将“Г_r0”，“Г_α”向O-r₀e坐标平面投影,得到2条平面曲线Г_r0′，Г_α′.“P_D^*”，“P_A^*”即“P_D^**”，“P_A^**”的影像点,如图 9所示.其求解方法同上,不在赘述.

“谷底点P_D^**”的特殊重要涵义：满足归并约束Ⅰ至Ⅲ下,取得最小尺寸的全局最优解.

5 尺寸综合示例

已知：h=50 mm,Φ_g=150°，Φ_r=160°，Φ_s=30°和Φ_s′=20°,往程、返程分别选取3-4-5和摆线运动规律,[α]_g=30°，[α]_r=80°,Q=Q(φ)=8 000 N,n₁=1 200 r/min,f=0.15,l_ex=80 mm,d=50 mm,l₀=160 mm,m_f=0.5 kg,m_s=0.1 kg,s_p=3.5 mm,k=7 N/mm,E₁=2×10⁵ MPa,E₂=2×10⁵ MPa,μ₁=μ₂=0.29,b=50 mm,[σ_H]_g=350 MPa和[σ_H]_r=20 MPa.试求解：

1) 满足聚合约束Ⅰ至Ⅲ下,“谷底点P_D^** (r_0D^**,β_D^**,e_D^**)”及“谷底点P_A^** (r_0A^**,β_A^**,e_A^**)”；

2) 已知条件同上,但其中Q，Φ_g，Φ_r等设为变量(取值见表 1),求机构尺寸最优解(r₀最优).

解：1) 据式(9)取m=2,即Δ=0.01 mm.取sup[r₀]=150 mm,sup[β]=180°,inf[e]=-50 mm,sup[e]=50 mm,据式(12)算得i_max=1.5×10⁴,j_max=1.8×10⁴,k_max=1×10⁴,总共有i_max·j_max·k_max=2.7×10¹²个网格节点.

据4.3.2,搜索求解“谷底点P_D^**”,解得r_0D^**=24.13 mm(i=2 413)，β_D^**=120° (j=12 000),e_D^**=46.25 mm(k=4 625)；搜索求解“谷底点P_A^**”,解得r_0A^**=37.01 mm(i=3 701)，β_A^**=90°(j=9 000),e_A^**=46.25 mm(k=4 625).

同时,根据例题得到：

1) 工作载荷对机构尺寸影响,载荷越大,机构尺寸越大；

2) Φ_g,Φ_r对机构尺寸影响,且Φ_g,Φ_r越大,凸轮机构尺寸越小、越紧凑.

6 结 论

1) 针对平底直动推杆盘形凸轮机构,给出形态构成、尺寸综合问题的科学准确描述和求解基本思路与步骤.

2) 系统提出“运动保真、传动性能和接触强度”等尺寸综合的3项性能评价指标,即3项约束条件.

3) 构建尺寸坐标系O-r₀βe、尺寸空间Ω(r₀,β,e),建立可视映射模型；揭示单一约束和归并约束下的边界线、解域和边界面、解空间,成功实现了朝二维、三维尺寸坐标系的可视映射.

4) 揭示“最优解/解区间/解集”、“非劣解区间/解域”和“谷底点”等存在性和重要意义,给出求解方法.

基于可视映射的思想和手段,构建尺寸坐标系、尺寸空间,实现复杂解析公式的可视映射,系统、全面地解决了平底直动推杆盘形凸轮机构的性能评价、尺寸综合问题,其尺寸综合思想,为解决工程设计机构尺寸综合问题提供了理论依据.