螺栓连接结构简单，受力性能好，被誉为“工业之米”。受外部载荷作用的预紧螺栓连接结构，按照一定的载荷分配比例，将外载荷分配到被连接件和螺栓上。对于同轴紧固且同轴受载的螺栓连接结构，若外载荷作用位置确定，则载荷分配比例取决于螺栓与被连接件之间的轴向相对刚度。
Sawa等将螺栓连接结构分为螺栓头、螺母、螺杆及被连接件，并用等截面的圆柱体和空心圆柱体代替螺栓头和螺母，给出了螺栓各圆柱段轴向变形量的计算公式[1]。VDI(Verein Deutscher Ingenieure, 德国工程师协会)将螺栓视为由长度不同的轴段串联而成的结构，螺栓头和螺母的计算长度与其结构形式、螺栓公称直径有关[2]。
Bickford将被连接件的刚度计算等效为不同形状压缩变形体的刚度计算[3]。Wileman等认为被连接件上垂直于螺栓轴的各截面的压应力均匀分布，且压应力大小与截面位置有关[4]。Maruyama认为螺栓连接结构各接触面上接触压力的分布是不均匀的[5]。Motosh提出被连接件压缩区域内沿径向非均匀分布的压应力满足四次多项式分布形式，被连接件压缩变形体边界处压应力为0 MPa，螺栓孔周围压应力最大[6]。
Rötscher最先提出用半顶角为45°的平头圆锥包络被连接件的压缩变形体，包络线上应力为0 MPa，并给出了被连接件刚度计算公式[7]。Nassar等在压应力非均匀分布的基础上，提出最佳半锥角为36°[8]。杨国庆等提出了与被连接件材料、尺寸相关的压缩变形圆锥体半顶角的解析计算式[9]。
本文基于圆盘形式下单螺栓连接结构的仿真结果，提出被连接件压缩变形体起始直径的修正公式，以及压应力均匀和非均匀分布形式下被连接件轴向压缩变形量的修正解析式。对比由修正前后被连接件压缩变形体的轴向压缩变形量解析式、仿真拟合方程计算所得的螺栓与被连接件间的轴向相对刚度，以验证修正起始直径的准确性，实现螺栓与被连接件间轴向相对刚度较为准确的修正计算。
1 被连接件轴向压缩变形量解析计算被连接件压缩变形体形状可等效为双平头圆锥或平头圆锥与圆柱的结合，如图 1所示[9], 其中：d为螺栓公称直径，dh为螺栓孔直径，dw为螺栓头与螺母支承面直径，θ为平头圆锥半顶角，D′A为被连接件外部直径，L为被连接件总厚度，h为圆锥变形体高度。
|
| 图 1 被连接件压缩变形体等效形状 Fig.1 Equivalent shape of connected part compression deformation body |
文献[2]假设预紧螺栓连接结构被连接件上的压应力在垂直于螺栓轴的各受压层内均匀分布。
当D′A≥Ltanθ+dw时，被连接件压缩变形体形状为双平头圆锥，双平头圆锥变形体各受压层的横截面形状为相同内径、不同外径的圆环。对于图 1(a)中的上部被连接件，垂直于螺栓轴并与螺栓头支承面轴向距离为z的受压层的面积为：
| $ \begin{array}{l} A\left( z \right) = {\rm{ \mathsf{ π} }}[{x^2} - {({d_{\rm{h}}}/2)^2}] = \\ {\rm{ \mathsf{ π} }}\left[ {\left( {z{\rm{tan}}\theta + \frac{{{d_{\rm{w}}} + {d_{\rm{h}}}}}{2}} \right)\left( {z{\rm{tan}}\theta + \frac{{{d_{\rm{w}}} - {d_{\rm{h}}}}}{2}} \right)} \right] \end{array} $ | (1) |
若被连接件材料的弹性模量为E，在单位预紧载荷作用下，将双平头圆锥变形体受压层的轴向平均应变沿z向积分，可得双平头圆锥变形体的轴向总压缩变形量为：
| $ \begin{array}{l} {\delta _z} = 2\int_0^{0.5L} {\frac{1}{{EA\left( z \right)}}} {\rm{d}}z = \\ \frac{2}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E{d_{\rm{h}}}{\rm{tan}}\theta }}{\rm{ln}}\frac{{\left( {{d_{\rm{w}}} + {d_{\rm{h}}}} \right)\left( {L{\rm{tan}}\theta + {d_{\rm{w}}} - {d_{\rm{h}}}} \right)}}{{\left( {{d_{\rm{w}}} - {d_{\rm{h}}}} \right)\left( {L{\rm{tan}}\theta + {d_{\rm{w}}} + {d_{\rm{h}}}} \right)}} \end{array} $ | (2) |
当dw <D′A <Ltanθ+dw时，被连接件压缩变形体形状为平头圆锥与圆柱的结合，平头圆锥与圆柱变形体任一受压层的面积分别为：
| $ \left\{ \begin{array}{l} {A_{\rm{v}}}\left( z \right) = {\rm{\pi }}\left( {z{\rm{tan}}\theta + \frac{{{d_{\rm{w}}} + {d_{\rm{h}}}}}{2}} \right)\left( {z{\rm{tan}}\theta + \frac{{{d_{\rm{w}}} - {d_{\rm{h}}}}}{2}} \right)\\ {A_{\rm{H}}}\left( z \right) = \frac{{{\rm{\pi }}D{\prime _{\rm{A}}}^2 - d_{\rm{h}}^2}}{4} \end{array} \right. $ | (3) |
在单位预紧载荷作用下，将平头圆锥与圆柱变形体受压层的轴向平均应变沿z向积分，可得该变形体轴向总压缩变形量为：
| $ \begin{array}{l} {{\delta '}_z} = {\delta _z}_{\rm{V}} + {\delta _z}_{\rm{H}}=2\int_0^h {\frac{1}{{E{A_{\rm{V}}}\left( z \right)}}} {\rm{d}}z + 2\int_h^{0.5L} {\frac{1}{{E{A_{\rm{H}}}\left( z \right)}}} {\rm{d}}z = \\ \frac{2}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E{d_{\rm{h}}}{\rm{tan}}\theta }}{\rm{ln}}\frac{{\left( {{d_{\rm{w}}} + {d_{\rm{h}}}} \right)\left( {{{D'}_{\rm{A}}} - {d_{\rm{h}}}} \right)}}{{\left( {{d_{\rm{w}}} - {d_{\rm{h}}}} \right)\left( {{{D'}_{\rm{A}}} + {d_{\rm{h}}}} \right)}} + \frac{{4\left( {L - \frac{{\left( {{{D'}_{\rm{A}}} - {d_{\rm{w}}}} \right)}}{{{\rm{tan}}\theta }}} \right)}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E\left( {D{\prime _{\rm{A}}}^2 - d_{\rm{h}}^2} \right)}} \end{array} $ | (4) |
螺栓连接结构中被连接件压缩区域内压应力非均匀分布时，其四次多项解析式为：
| $ {\sigma _z}\left( {x, z} \right) = {B_4}{x^4} + {B_3}{x^3} + {B_2}{x^2} + {B_1}x + {B_0} $ | (5) |
式中：B1、B2、B3、B4分别为四次多项式各次项的系数；B0为常数项系数。
四次多项式曲线方程满足：螺栓孔边缘处压应力一阶导数为0；压缩圆锥变形体边界上压应力为0 MPa，且此处压应力的一、二阶导数均为0。
当D′A≥Ltanθ+dw时，在单位预紧载荷作用下，将双平头圆锥变形体受压层的轴向平均应变沿z向积分，可得双平头圆锥变形体的轴向总压缩变形量为：
| $ \begin{array}{l} {\delta _z} = 2\int_0^{0.5L} {\frac{1}{{{r_z} - 0.5{d_{\rm{h}}}}}} \int_{0.5{d_{\rm{h}}}}^{{r_z}} {\frac{{{\delta _z}}}{E}} {\rm{d}}x{\rm{d}}z = \\ \frac{2}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E{d_{\rm{h}}}{\rm{tan}}\theta }}{\rm{ln}}\frac{{\left( {{d_{\rm{w}}} + 3{d_{\rm{h}}}} \right)\left( {L{\rm{tan}}\theta + {d_{\rm{w}}} - {d_{\rm{h}}}} \right)}}{{\left( {{d_{\rm{w}}} - {d_{\rm{h}}}} \right)\left( {L{\rm{tan}}\theta + {d_{\rm{w}}} + 3{d_{\rm{h}}}} \right)}} \end{array} $ | (6) |
式中：rz为双平头圆锥变形体任一受压层的半径，rz=0.5dw+ztanθ。
当dw <D′A <Ltanθ+dw时，在单位预紧载荷作用下，将圆锥与圆柱变形体受压层的轴向平均应变沿z向积分，可得该变形体轴向总压缩变形量为：
| $ \begin{array}{l} {{\delta '}_z} = {\delta _z}_{\rm{V}} + {\delta _z}_{\rm{H}} = 2\int_0^h {\frac{1}{{{r_z} - 0.5{d_{\rm{h}}}}}} \int_{0.5{d_{\rm{h}}}}^{{r_z}} {\frac{{{\delta _{z{\rm{V}}}}}}{E}} {\rm{d}}x{\rm{d}}z + \\ 2\int_h^{0.5L} {\frac{1}{{0.5{{D'}_{\rm{A}}} - 0.5{d_{\rm{h}}}}}} \int_{0.5{d_{\rm{h}}}}^{0.5{{D'}_{\rm{A}}}} {\frac{{{\delta _{z{\rm{H}}}}}}{E}} {\rm{d}}x{\rm{d}}z = \\ \frac{1}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}E{\rm{tan}}\theta }}\left[ {\frac{2}{{{d_{\rm{h}}}}}} \right.{\rm{ln}}\frac{{\left( {{d_{\rm{w}}} + 3{d_{\rm{h}}}} \right)\left( {{\rm{2}}\mathit{h}{\rm{tan}}\theta + {d_{\rm{w}}} - {d_{\rm{h}}}} \right)}}{{\left( {{d_{\rm{w}}} - {d_{\rm{h}}}} \right)\left( {{\rm{2}}\mathit{h}{\rm{tan}}\theta + {d_{\rm{w}}} + 3{d_{\rm{h}}}} \right)}} + \\ \frac{{8\left( {L{\rm{tan}}\theta - {{D'}_{\rm{A}}} + {d_{\rm{w}}}} \right)}}{{\left( {{{D'}_{\rm{A}}} + 3{d_{\rm{h}}}} \right)\left( {{{D'}_{\rm{A}}} - {d_{\rm{h}}}} \right)}} \end{array} $ | (7) |
根据GB/T 1228—2006[10]、GB/T 1229—2006[11]、JGJ82—2011[12]建立了6个夹紧长度不同的M12等厚圆盘式螺栓连接结构模型，取ak/h=0.7[13]，图 2为M12等厚圆盘式螺栓连接结构模型的参数示意图，表 1为6个螺栓连接结构模型的参数。螺栓连接结构模型各部分均采用钢材，材料特性参数如表 2所示。仿真时采用Solid185单元进行离散，螺母和螺栓杆节点重合；定义3组接触对，设置接触对Ι和接触对Ⅲ的摩擦系数为0.12，接触对Ⅱ的摩擦系数为0.23，采用罚函数接触算法[14]；采用PRETS179单元实现螺栓预紧[15-16]，根据文献[2]，螺栓预紧载荷FM=43 000 N；在COMBIN14单元一端定义模型边界条件[17]；接触对及弹簧、预紧单元如图 3所示。
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| 图 2 M12等厚圆盘式螺栓连接结构模型参数示意图 Fig.2 Parameter schematic diagram of M12 equal thickness disc type bolted joint structure model |
| mm | ||||||
| 参数 | 螺栓连接结构 | |||||
| M12X50 | M12X55 | M12X60 | M12X65 | M12X70 | M12X75 | |
| dw | 19.2 | 19.2 | 19.2 | 19.2 | 19.2 | 19.2 |
| dh | 13.5 | 13.5 | 13.5 | 13.5 | 13.5 | 13.5 |
| h | 10 | 12.5 | 15 | 17.5 | 20 | 22.5 |
| lk | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
| ak | 7 | 8.75 | 10.5 | 12.25 | 14 | 15.75 |
| D′A | 33.2 | 36.7 | 40.2 | 43.7 | 47.2 | 50.7 |
| 参数 | 密度/(kg/m3) | 弹性模量/GPa | 泊松比 |
| 数值 | 7 850 | 206 | 0.3 |
|
| 图 3 螺栓连接结构模型中接触对及弹簧、预紧单元示意图 Fig.3 Diagram of contact pair, spring and preload element in bolted joint structure model |
上文在进行被连接件轴向压缩变形量的解析计算时，将被连接件压缩变形体的起始直径假设为螺栓头与螺母的支承面直径dw[18]。
通过分析有限元结果发现：保持孔径dh=13.5 mm且被连接件压应力相对扩散区域相同(ak/h=0.7)时，夹紧长度lk=20，25，30，35，40，45 mm的6个螺栓连接结构有限元模型，其压缩变形体的起始直径均大于dw，具体数值如表 3所示；各螺栓连接结构x-z平面内轴向平均应力云图如图 4所示，其中圆锥压缩变形体边界应力为0 MPa。
| mm | |||||||
| 参数 | 螺栓连接结构 | ||||||
| M12X50 | M12X55 | M12X60 | M12X65 | M12X70 | M12X75 | ||
| d′w | 26.878 | 28.798 | 30.718 | 32.572 | 34.838 | 36.712 | |
|
| 图 4 螺栓连接结构x-z平面内轴向应力云图 Fig.4 Axial stress cloud graph in x-z plane of bolted joint structure |
根据仿真结果可得压缩变形体修正起始直径d′w与夹紧长度lk、螺栓头与螺母支承面直径dw的线性拟合方程为：
| $ d{\prime _{\rm{w}}} = (0.02{l_{\rm{k}}} + 1){d_{\rm{w}}} $ | (8) |
用修正起始直径d′w替换上文被连接件轴向压缩变形量解析式中的dw，可得压应力均匀分布、非均匀分布时被连接件轴向压缩变形量的修正解析式。
2.2 轴向压缩变形量的仿真及理论修正计算分别提取6个螺栓连接结构x-z平面内上部被连接件(图 5所示区域)轴向平均应力，以压应力为正值，拉应力为负值，作如图 6所示的压应力原始曲线，图中hk为所选区域内各受压层与被连接件结合面的轴向距离，a为受压层内节点与螺栓轴线的距离。
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| 图 5 应力提取区域示意图 Fig.5 Graph of stress extraction area |
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| 图 6 螺栓连接结构x-z平面内上部被连接件轴向压应力原始曲线 Fig.6 Axial compressive stress original curve of upper connected part in x-z plane of bolted joint structure |
对6个螺栓连接结构的压应力原始曲线进行五次多项式拟合，可得压应力仿真拟合方程。此外，根据压应力非均匀分布的边界条件(式(5))、预紧载荷FM=43 000 N、修正起始直径d′w及文献[2]中的半锥角计算公式，可得出各螺栓连接结构在图 5所示同区域内各受压层的压应力理论修正方程，用理论修正方程计算得到的压应力曲线如图 7所示。
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| 图 7 螺栓连接结构x-z平面内上部被连接件轴向压应力理论修正曲线 Fig.7 Axial compressive stress theory modification curve of upper connected part in x-z plane of bolted joint structure |
结合应力应变关系(如式(9))，对压应力仿真拟合方程和理论修正方程进行积分计算，可得被连接件各受压层平均应变的仿真计算值和理论计算值，图 8所示为lk=20 mm时被连接件各受压层平均应变曲线。
| $ {\rm{d}}{{\bar \varepsilon }_z} = \frac{{{\rm{d}}{\delta _z}}}{{{{\rm{d}}_z}}} = \frac{1}{{{r_z} - 0.5{d_{\rm{h}}}}}\int_{0.5{d_{\rm{h}}}}^{{r_z}} {\frac{{{\delta _z}}}{E}} {\rm{d}}x $ | (9) |
|
| 图 8 lk=20 mm时上部被连接件各受压层平均应变曲线 Fig.8 Average strain curves of each compressed layer in upper connected part with lk=20 mm |
分别将各螺栓连接结构上部被连接件各受压层的理论及仿真平均应变沿z向积分，可得上部被连接件压缩变形体在单位预紧载荷作用下的轴向压缩变形量。
在单位预紧载荷作用下，由压应力理论修正方程和仿真拟合方程积分计算得到的上、下两个被连接件压缩变形体的轴向总压缩变形量δP1、δP2如表 4所示。由表 4可知：δP2与δP1的误差不超过2.5%。因此，计入变形体修正起始直径后，可将δP2对应的轴向相对刚度作为准确值。
| 10-7 mm | |||||||
| 参数 | 螺栓连接结构 | ||||||
| M12X50 | M12X55 | M12X60 | M12X65 | M12X70 | M12X75 | ||
| δP1 | 2.089 6 | 2.147 6 | 2.166 3 | 2.161 4 | 2.142 0 | 2.113 6 | |
| δP2 | 2.108 0 | 2.180 1 | 2.219 8 | 2.201 3 | 2.182 8 | 2.150 2 | |
| |δP2-δP1|/δP1 | 0.88% | 1.51% | 2.47% | 1.85% | 1.90% | 1.73% | |
在单位预紧载荷作用下，螺栓与被连接件之间的轴向相对刚度计算公式为：
| $ {k_{zi}} = \frac{{{\delta _{{\rm{P}}i}}}}{{{\delta _{{\rm{S}}i}}{\delta _{{\rm{P}}i}}}}\;\;\;(i = 1, 2, \ldots , 6) $ | (10) |
为描述方便，对单位预紧载荷作用下轴向压缩变形量δ、轴向相对刚度k作如下定义：
δSi(i=1, 2, …，6)：基于文献[2]得到的6个夹紧长度lk不同的M12螺栓的轴向伸长变形量；
δP1：基于压应力理论修正方程积分得到的被连接件压缩变形体轴向压缩变形量；
δP2：基于压应力仿真拟合方程积分得到的被连接件压缩变形体轴向压缩变形量；
δP3、δP5：压应力均匀分布时基于被连接件轴向压缩变形量解析式和修正解析式计算得到的被连接件压缩变形体轴向压缩变形量；
δP4、δP6：压应力非均匀分布时基于被连接件变形量解析式和修正解析式计算得到的被连接件压缩变形体轴向压缩变形量；
kz1：基于压应力理论修正方程积分得到的螺栓与被连接件之间的轴向相对刚度；
kz2：基于压应力仿真拟合方程积分得到的螺栓与被连接件之间的轴向相对刚度；
kz3、kz5：压应力均匀分布时基于被连接件变形量解析式和修正解析式计算得到的螺栓与被连接件之间的轴向相对刚度。
kz4、kz6：压应力非均匀分布时基于被连接件变形量解析式和修正解析式计算得到的螺栓与被连接件之间的轴向相对刚度。
表 5为单位预紧载荷作用下M12螺栓的轴向伸长变形量δSi。表 6为被连接件压缩变形体的轴向压缩变形量δP3、δP4、δP5、δP6，半锥角的计算公式如下[2]：
| $ {\rm{tan}}\theta = 0.362 + 0.032{\rm{ln}}\frac{{{l_{\rm{k}}}}}{{2{d_{\rm{w}}}}} + 0.153{\rm{ln}}\frac{{D{\prime _{\rm{A}}}}}{{{d_{\rm{w}}}}} $ | (11) |
| 10-6 mm | ||||||
| 参数 | 螺栓连接结构 | |||||
| M12X50 | M12X55 | M12X60 | M12X65 | M12X70 | M12X75 | |
| δSi | 1.579 5 | 1.794 1 | 2.008 8 | 2.223 4 | 2.438 0 | 2.652 6 |
| 10-7 mm | ||||||
| 参数 | 螺栓连接结构 | |||||
| M12X50 | M12X55 | M12X60 | M12X65 | M12X70 | M12X75 | |
| δP3 | 3.672 2 | 4.051 2 | 4.332 8 | 4.544 5 | 4.704 8 | 4.826 8 |
| δP4 | 4.199 8 | 4.677 8 | 5.047 4 | 5.336 9 | 5.566 4 | 5.749 8 |
| δP5 | 1.696 9 | 1.707 4 | 1.689 6 | 1.656 7 | 1.616 0 | 1.571 5 |
| δP6 | 2.095 1 | 2.156 8 | 2.179 0 | 2.177 2 | 2.160 7 | 2.134 7 |
表 5中螺栓的轴向伸长变形量是由文献[2]直接计算求得的，与被连接件压应力分布是否均匀、是否引入修正起始直径无关，即：对于同一个螺栓连接结构，δS为定值。因此，由公式(10)可知，螺栓与被连接件间的轴向相对刚度计算结果的准确性取决于被连接件压缩变形体的轴向压缩变形量δP。由上文可知，δP2可作为被连接件压缩变形体的轴向压缩变形量的准确值，则kz2可作为螺栓与被连接件间轴向相对刚度的准确值。
表 7为计算所得的螺栓与被连接件之间轴向相对刚度值及其误差分析。由表 7可知，kz6与kz2的误差均小于2%，验证了计入修正起始直径后，被连接件压缩变形体轴向压缩变形量修正解析式的准确性。同时，可以看出：在修正起始直径为d′w的基础上，基于被连接件各受压层压应力非均匀分布的轴向相对刚度计算结果比基于均匀分布的更准确。
| 参数 | 螺栓连接结构 | |||||
| M12X50 | M12X55 | M12X60 | M12X65 | M12X70 | M12X75 | |
| kz1 | 0.116 8 | 0.106 9 | 0.097 3 | 0.088 6 | 0.080 8 | 0.073 8 |
| kz2 | 0.117 7 | 0.108 3 | 0.099 5 | 0.090 1 | 0.082 2 | 0.075 0 |
| kz3 | 0.188 6 | 0.184 2 | 0.177 4 | 0.169 7 | 0.161 8 | 0.154 0 |
| kz4 | 0.210 0 | 0.206 8 | 0.200 8 | 0.193 6 | 0.185 9 | 0.178 1 |
| kz5 | 0.097 0 | 0.086 9 | 0.077 6 | 0.069 3 | 0.062 2 | 0.055 9 |
| kz6 | 0.117 1 | 0.107 3 | 0.097 9 | 0.089 2 | 0.081 4 | 0.074 5 |
| kz3-kz2/kz2 | 60.24% | 70.08% | 78.29% | 88.35% | 96.84% | 105.33% |
| kz4-kz2/kz2 | 78.42% | 90.95% | 101.81% | 114.87% | 126.16% | 137.47% |
| kz5-kz2/kz2 | 17.59% | 19.76% | 22.01% | 23.09% | 24.33% | 25.47% |
| kz6-kz2/kz2 | 0.51% | 0.92% | 1.61% | 1.00% | 0.97% | 0.67% |
1) 被连接件压缩变形体的实际起始直径大于螺栓头与螺母支承面直径dw，修正后的起始直径d′w与夹紧长度lk、螺栓头与螺母支承面直径dw呈线性关系。
2) 采用压应力仿真拟合方程求解被连接件压缩变形体轴向压缩变形量和螺栓与被连接件间的轴向相对刚度具有较高的精度。
3) 压应力非均匀分布下，用理论修正解析式求解螺栓与被连接件间轴向相对刚度的误差小于2%，说明了计入修正起始直径的准确性，且理论修正解析式能够实现螺栓与被连接件间轴向相对刚度的精确计算。
4) 在计入修正起始直径d′w的基础上，基于被连接件各受压层压应力非均匀分布的轴向相对刚度计算结果比基于均匀分布的更准确。
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