蜂窝夹层结构具有较高的比刚度和比强度，它被广泛应用于航空航天、船舶及其他交通运输领域^[1]。蜂窝夹芯作为影响夹层结构整体力学性能的关键因素，受到国内外研究人员的广泛关注，其中基于六边形蜂窝开展的研究最多^[2-3]。蜂窝夹芯层的等效弹性参数研究是蜂窝夹层结构设计的基础，深入研究夹芯层的力学特性具有重要的应用意义^[4]。Gibson和Burton等^[5-6]采用Euler梁理论，在小变形条件下分别给出了等壁厚和双壁厚六边形蜂窝的等效弹性参数计算公式；王飞和Shi等^[7-8]采用均匀化理论和有限元方法分析了等壁厚和双壁厚六边形蜂窝夹芯面内等效弹性参数，进一步修正并改进了Gibson公式。王颖坚^[9]研究了等壁厚与非等壁厚六边形蜂窝结构在面内剪力作用下的变形模式，并计算了等壁厚与双壁厚蜂窝结构的面内折合剪切模量。孙德强等^[10]考虑了薄壁六边形蜂窝铝孔壁在共面载荷作用下的弯曲、剪切、伸缩等变形，基于Timoshenko梁理论精确推导得到了双壁厚六边形蜂窝夹芯共面弹性模量的计算公式。富明慧等^[4]介绍了蜂窝芯层面内等效参数的研究进展，分别给出了由不同理论推导得到的等壁厚和双壁厚蜂窝夹芯等效弹性参数公式。

目前研究人员已对不同壁厚类型蜂窝芯层的面内等效参数进行了深入对比研究，但在蜂窝夹层结构振动特性方面，并未有学者从蜂窝夹芯壁厚类型角度展开深入讨论，而是从改进现有夹层板理论模型的角度进行对比研究以得到更加精确的振动特性。其中：Liu等^[11]采用半解析法对等壁厚方形蜂窝夹层板的弯曲、屈曲和自由振动进行了详细讨论；任树伟等^[12]以Hoff夹层板理论为基础，采用理论计算与仿真模拟相结合的方法，系统地研究了等壁厚方形蜂窝夹层曲板的振动特性；邸馗等^[13]应用Reddy剪切板理论分析了对边简支负泊松比等壁厚蜂窝夹层板的弯曲自由振动特性；李永强等^[14-15]采用经典叠层板理论、一阶剪切板理论和三阶剪切板理论分别研究了双壁厚六边形蜂窝夹层板在四边简支及四边固支下的弯曲自由振动特性，但在引用修正的Gibson公式时，没有考虑等壁厚与双壁厚夹芯的区别。王盛春等^[16]以四边简支正交各项异性矩形双壁厚六边形蜂窝夹层板为研究对象，应用Reissner-Mindlin夹层板剪切理论，在考虑横向剪切变形的基础上，获得了四边简支矩形蜂窝夹层板弯曲振动固有频率的精确解，但在引用芯层的等效弹性参数时，没考虑等壁厚与双壁厚蜂窝夹芯的区别。

由于类方形蜂窝是凸六边形蜂窝与凹六边形蜂窝的一种过渡形式，研究不同壁厚类型下其夹芯特有的力学性能及其夹层结构的振动特性显得尤为重要。鉴于此，针对四边简支类方形蜂窝夹层结构，本文在深入对比等壁厚与双壁厚六边形蜂窝夹芯等效弹性参数的基础上，推导类方形蜂窝夹芯的等效弹性参数；同时以蜂窝夹层结构的实际构造为基础，根据类方形蜂窝结构与凸六边形蜂窝结构的相似性，引用蜂窝夹层结构的自由振动方程，采用理论计算与仿真模拟相结合的方法，求解四边简支条件下类方形蜂窝夹层结构的振动特性，同时分析夹芯壁厚、夹芯等效密度及等效剪切模量等对四边简支类方形蜂窝夹层结构固有频率的影响。

1 双壁厚与等壁厚类方形蜂窝夹芯的等效弹性参数 1.1 类方形蜂窝夹芯等效弹性参数理论计算

图 1为常见的六边形蜂窝夹芯胞元结构，其中h为直壁板的长度，t为斜壁板的厚度，l为斜壁板的长度，θ为蜂窝特征角。针对六边形蜂窝夹芯面内等效弹性参数的研究已广泛开展，以Gibson提出的胞元材料理论为基础，富明慧等^[4]重新考虑了蜂窝壁板的伸缩变形对面内刚度的影响，对Gibson公式进行了修正，利用修正公式得到的双壁厚和等壁厚六边形蜂窝夹芯的面内等效弹性参数的计算式分别如式(1)和式(2)所示：

$ \left\{ \begin{array}{l} {E_{{\rm{c}}x}} = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\cos \theta }}{{\left( {\beta + \sin \theta } \right){{\sin }^2}\theta }}\left( {1 - {{\cot }^2}\theta \frac{{{t^2}}}{{{l^2}}}} \right)\\ {E_{{\rm{c}}y}} = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\left( {\beta + \sin \theta } \right)}}{{{{\cos }^3}\theta }}\left[ {1 - \left( {\beta {{\sec }^2}\theta + {{\tan }^2}\theta } \right)\frac{{{t^2}}}{{{l^2}}}} \right]\\ {G_{{\rm{c}}xy}} = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\left( {\beta + \sin \theta } \right)}}{{{\beta ^2}\left( {\beta /4 + 1} \right)\cos \theta }} \end{array} \right. $

(1)

$ \left\{ \begin{array}{l} E_{{\rm{c}}x}^ * = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\cos \theta }}{{\left( {\beta + \sin \theta } \right){{\sin }^2}\theta }}\left( {1 - {{\cot }^2}\theta \frac{{{t^2}}}{{{l^2}}}} \right)\\ E_{{\rm{c}}y}^ * = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\left( {\beta + \sin \theta } \right)}}{{{{\cos }^3}\theta }}\left[ {1 - \left( {2\beta {{\sec }^2}\theta + {{\tan }^2}\theta } \right)\frac{{{t^2}}}{{{l^2}}}} \right]\\ G_{{\rm{c}}xy}^ * = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\left( {\beta + \sin \theta } \right)}}{{{\beta ^2}\left( {2\beta + 1} \right)\cos \theta }} \end{array} \right. $

(2)

式中：β=h/l；E_cx、E_cy、E_cx^*、E_cy^*分别表示双壁厚和等壁厚六边形蜂窝夹芯结构的面内等效弹性模量；G_cxy、G_cxy^*分别表示双壁厚和等壁厚六边形蜂窝夹芯结构的面内等效剪切模量。

鉴于实际结构中t $ \ll $ l，将式(1)作进一步变形，得到了文献[17]中采用三明治夹芯理论对夹芯层进行等效推导的双壁厚六边形蜂窝夹芯的等效弹性参数：

$ \left\{ \begin{array}{l} {E_{{\rm{c}}x}} = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\cos \theta }}{{\left( {\beta + \sin \theta } \right)}}\frac{1}{{\left[ {{{\sin }^2}\theta + {{\cos }^2}\theta \left( {{t^2}/{l^2}} \right)} \right]}}\\ {E_{{\rm{c}}y}} = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\left( {\beta + \sin \theta } \right)}}{{{{\cos }^3}\theta }}\frac{1}{{\left[ {1 + \left( {\beta {{\sec }^2}\theta + {{\tan }^2}\theta } \right){t^2}/{l^2}} \right]}}\\ {G_{{\rm{c}}xy}} = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\left( {\beta + \sin \theta } \right)}}{{{\beta ^2}\left( {\beta /4 + 1} \right)\cos \theta }} \end{array} \right. $

(3)

同理可得到等壁厚六边形蜂窝夹芯的等效弹性参数：

$ \left\{ \begin{array}{l} E_{{\rm{c}}x}^ * = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\cos \theta }}{{\left( {\beta + \sin \theta } \right)}}\frac{1}{{\left[ {{{\sin }^2}\theta + {{\cos }^2}\theta \left( {{t^2}/{l^2}} \right)} \right]}}\\ E_{{\rm{c}}y}^ * = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\left( {\beta + \sin \theta } \right)}}{{{{\cos }^3}\theta }}\frac{1}{{\left[ {1 + \left( {2\beta {{\sec }^2}\theta + {{\tan }^2}\theta } \right){t^2}/{l^2}} \right]}}\\ G_{{\rm{c}}xy}^ * = {E_{\rm{s}}}\frac{{{t^3}}}{{{l^3}}}\frac{{\left( {\beta + \sin \theta } \right)}}{{{\beta ^2}\left( {2\beta + 1} \right)\cos \theta }} \end{array} \right. $

(4)

比较图 2的蜂窝夹芯胞元结构可知，当传统的六边形蜂窝特征角θ=0°时，六边形蜂窝夹芯可演变成类方形蜂窝夹芯。类方形蜂窝夹芯胞元结构中的直壁板是斜壁板的2倍，即h=2l。因此可在传统六边形蜂窝夹芯等效弹性参数的基础上，推导得到类方形蜂窝夹芯的等效弹性参数。

对于类方形蜂窝夹芯，有：θ=0°，β=2，将该值分别代入公式(3)、(4)中得到双壁厚和等壁厚类方形蜂窝夹芯的面内等效弹性参数：

$ \left\{ \begin{array}{l} {E_{{\rm{c}}x}} = \frac{{{E_{\rm{s}}}t}}{{2l}}\\ {E_{{\rm{c}}y}} = \frac{{2{E_{\rm{s}}}{t^3}}}{{{l^3} + 2l{t^3}}}\\ {G_{{\rm{c}}xy}} = \frac{{{E_{\rm{s}}}{t^3}}}{{3{l^3}}} \end{array} \right. $

(5)

$ \left\{ \begin{array}{l} E_{{\rm{c}}x}^ * = \frac{{{E_{\rm{s}}}t}}{{2l}}\\ E_{{\rm{c}}y}^ * = \frac{{2{E_{\rm{s}}}{t^3}}}{{{l^3} + 4l{t^2}}}\\ G_{{\rm{c}}xy}^ * = \frac{{{E_{\rm{s}}}{t^3}}}{{10{l^3}}} \end{array} \right. $

(6)

采用文献[18]中求解等效密度的方法，求得双壁厚和等壁厚类方形蜂窝夹芯结构的等效密度分别为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rho _{\rm{c}}} = \frac{{3t}}{{2l}}{\rho _{\rm{s}}}\\ \rho _{\rm{c}}^ * = \frac{t}{l}{\rho _{\rm{s}}} \end{array} \right. $

(7)

根据文献[19]中求解六边形蜂窝夹芯结构面外刚度E_cz的方法，可以得到双壁厚和等壁厚类方形蜂窝夹芯的面外刚度分别为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {E_{{\rm{c}}z}} = \frac{{2t}}{l}{E_{\rm{s}}}\\ E_{{\rm{c}}z}^ * = \frac{t}{l}{E_{\rm{s}}} \end{array} \right. $

(8)

由图 3可知，双壁厚六方形蜂窝夹芯胞元结构只有3边受剪，由此可得图 3所示的胞元结构剪切变形时的总变形能。

双壁厚六边形蜂窝夹芯胞元结构剪切变形时的总变形能为：

$ \begin{array}{l} U = \frac{{{\tau ^2}}}{{2{G_{\rm{s}}}}} \cdot \Delta V = 2 \times \frac{1}{{2{G_{\rm{s}}}}}{\left( {\frac{T}{t}} \right)^2}tl{h_{\rm{c}}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2 \times \frac{1}{{2{G_{\rm{s}}}}}{\left( {\frac{{2T}}{{2t}}} \right)^2}th{h_{\rm{c}}} = \frac{3}{{{G_{\rm{s}}}}}{\left( {\frac{T}{t}} \right)^2}tl{h_{\rm{c}}} \end{array} $

(9)

式中：τ为夹芯胞元结构所受剪应力; G_s为各项同性材料的剪切模量; h_c为夹芯高度。

如果将胞元结构等效成一个等体积均质实心单元，则该等效单元在yoz面内与所取胞元结构有相同的剪切模量。该等效单元在yoz面内所承受的剪应力为：

$ {{\tilde \tau }_{yz}} = \frac{{2 \times Tl\sin \theta + 2Th}}{{\left( {h + l\sin \theta } \right)2l\sin \theta }} $

(10)

对于类方形蜂窝夹芯，有：θ=0°，h=2l，于是可得$ {{\tilde \tau }_{yz}} = \frac{T}{l}$，设等效单元在yoz面内的剪切模量为G_cyz，则等效单元的总变形能为：

$ \tilde U = \frac{{\tilde \tau _{yz}^2}}{{2{G_{{\rm{c}}yz}}}}\left[ {2l\cos \theta \left( {h + l\sin \theta } \right){h_{\rm{c}}}} \right] = \frac{{3{T^2}{h_{\rm{c}}}}}{{3{G_{{\rm{c}}yz}}}} $

(11)

根据假设，等效单元与胞元结构的总变形能应相等，即$ \tilde U = U$，可得：

$ \frac{{3{T^2}{h_{\rm{c}}}}}{{3{G_{{\rm{c}}yz}}}} = \frac{3}{{{G_s}}}{\left( {\frac{T}{t}} \right)^2}tl{h_{\rm{c}}} $

(12)

由式(12)可得：

$ {G_{{\rm{c}}yz}} = \left( {\frac{t}{l}} \right){G_{\rm{s}}} $

(13)

双壁厚六边形蜂窝夹芯胞元结构在xoz面内所受剪切作用与yoz面内求解类似，参考式(10)可得到其等效单元在z方向上所承受的剪应力为：

$ {{\tilde \tau }_{xz}} = \frac{{2 \times Tl\sin \theta }}{{\left( {h + l\sin \theta } \right)2l\sin \theta }} $

(14)

当θ=0°，h=2l时，$ {{\tilde \tau }_{xz}} = \frac{T}{{2l}}$，根据能量守恒定律，可得双壁厚类方形蜂窝夹芯的等效剪切模量G_cxz为：

$ {G_{{\rm{c}}xz}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{t}{l}} \right){G_{\rm{s}}} $

(15)

采用上述方法求解得到等壁厚类方形蜂窝夹芯胞元结构的等效剪切模量G_cxz^*、G_cyz^*为：

$ \left\{ \begin{array}{l} G_{{\rm{c}}xz}^ * = \frac{1}{2}\left( {\frac{t}{l}} \right){G_s}\\ G_{{\rm{c}}yz}^ * = \frac{1}{3}\left( {\frac{t}{l}} \right){G_s} \end{array} \right. $

(16)

综合以上所述得到双壁厚和等壁厚类方形蜂窝夹芯的等效弹性参数分别为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {E_{{\rm{c}}x}} = \frac{{{E_{\rm{s}}}t}}{{2l}}\\ {E_{{\rm{c}}y}} = \frac{{2{E_{\rm{s}}}{t^3}}}{{{l^3} + 2l{t^2}}}\\ {G_{{\rm{c}}xy}} = \frac{{{E_{\rm{s}}}{t^3}}}{{3{l^3}}}\\ {E_{{\rm{c}}z}} = \frac{{2t}}{l}{E_{\rm{s}}}\\ {G_{{\rm{c}}xz}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{t}{l}} \right){G_{\rm{s}}}\\ {G_{{\rm{c}}yz}} = \left( {\frac{t}{l}} \right){G_{\rm{s}}}\\ {\rho _{\rm{c}}} = \frac{{3t}}{{2l}}{\rho _{\rm{s}}} \end{array} \right. $

(17)

$ \left\{ \begin{array}{l} E_{{\rm{c}}x}^ * = \frac{{{E_{\rm{s}}}t}}{{2l}}\\ E_{{\rm{c}}y}^ * = \frac{{2{E_{\rm{s}}}{t^3}}}{{{l^3} + 4l{t^2}}}\\ G_{{\rm{c}}xy}^ * = \frac{{{E_{\rm{s}}}{t^3}}}{{10{l^3}}}\\ E_{{\rm{c}}z}^ * = \frac{t}{l}{E_{\rm{s}}}\\ G_{{\rm{c}}xz}^ * = \frac{1}{2}\left( {\frac{t}{l}} \right){G_{\rm{s}}}\\ G_{{\rm{c}}yz}^ * = \frac{1}{3}\left( {\frac{t}{l}} \right){G_{\rm{s}}}\\ \rho _{\rm{c}}^ * = \frac{t}{l}{\rho _{\rm{s}}} \end{array} \right. $

(18)

由式(17)和(18)可以看出，在蜂窝夹芯基本结构参数相同的条件下，双壁厚类方形蜂窝夹芯的面内等效剪切模量、面外刚度以及等效密度均比等壁厚类方形蜂窝夹芯大。

1.2 等壁厚类方形蜂窝夹芯有限元模拟

为验证上述推导的合理性，运用有限元分析软件，建立等壁厚类方形铝蜂窝夹芯的精细有限元模型，取模型长a=80 mm、宽b=160 mm和高h_c=10 mm，并分别对等壁厚类方形铝蜂窝夹芯施加x和y方向载荷及相应约束，进行数值模拟。在模拟过程中，采用载荷步的方法，对模型进行多次分析，得到等壁厚类方形铝蜂窝夹芯在x和y方向上的应变，经计算得到等壁厚类方形铝蜂窝夹芯的等效弹性参数数值模拟结果，如表 1所示。

从表 1可以看出，等壁厚类方形铝蜂窝夹芯y方向的等效弹性模量E_cy^*的理论值和仿真值吻合较好，x方向的等效弹性模量E_cx^*和面内等效剪切模量G_cxy^*的误差较大，这可能与仿真建模方法有关。但总体来说，理论计算和仿真分析结果基本吻合，这验证了蜂窝夹芯结构力学等效模型的正确性和可靠性。

2 类方形蜂窝夹层结构自由振动基本方程

图 4为一块由厚度均为h_f的上、下面板和厚度为h_c的类方形蜂窝夹芯组成的正交各向异性类方形蜂窝夹层结构，夹层结构边长为a和b。因类方形蜂窝结构由六边形蜂窝演变而来，两者的本质属性相似，所以将采用六边形蜂窝夹层结构的振动方程对类方形蜂窝夹层结构进行求解。

根据经典层合板理论，不考虑层间应力和横向剪切力的影响^[20]，将蜂窝夹芯层等效为一正交异性层，并作以下基本假设：

1) 表层相对芯层较薄，把它们看作普通的薄板；

2) 由于夹芯层较软，忽略夹芯层中平行于xoy平面的应力分量，即假设夹芯层的$ {\sigma _x} = {\sigma _y} = {\tau _{xy}} = 0$ MPa；

3) 考虑夹层板的反对称变形，假设夹芯层的ε_z=0，并假设夹芯层的σ_z很小，即σ_z=0 MPa；

4) 假设夹层结构在自由振动时，其中面内的位移振幅要比横向的挠度振幅小得多，因此忽略夹层结构在中面内运动所产生的惯性力。

类方形蜂窝夹层结构中面的应力-应变关系为：

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{1}{B}\left( {{N_x} - {\mu _{\rm{f}}}{N_y}} \right)\\ \frac{{\partial v}}{{\partial y}} = \frac{1}{B}\left( {{N_y} - {\mu _{\rm{f}}}{N_x}} \right)\\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{{\partial v}}{{\partial x}} = \frac{{1 + {\mu _{\rm{f}}}}}{{2B}}{N_{xy}} \end{array} \right. $

(19)

式中：N_x、N_y和N_xy为中面力；u、v为夹层结构的中面位移；B为夹层结构的平面拉伸刚度。

类方形蜂窝夹层结构的弯矩、横向剪切力和广义位移的关系为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {M_x} = - D\left( {\frac{{\partial {\varphi _x}}}{{\partial x}} + {\mu _{\rm{f}}}\frac{{\partial {\varphi _y}}}{{\partial y}}} \right) - 2{D_{\rm{f}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} + {\mu _{\rm{f}}}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}} \right)\\ {M_y} = - D\left( {\frac{{\partial {\varphi _y}}}{{\partial y}} + {\mu _{\rm{f}}}\frac{{\partial {\varphi _x}}}{{\partial x}}} \right) - 2{D_{\rm{f}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}} + {\mu _{\rm{f}}}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}} \right)\\ {M_{xy}} = - \frac{D}{2}\left( {1 - {\mu _{\rm{f}}}} \right)\left( {\frac{{\partial {\varphi _x}}}{{\partial y}} + {\mu _{\rm{f}}}\frac{{\partial {\varphi _y}}}{{\partial x}}} \right) - 2{D_{\rm{f}}}\left( {1 - {\mu _{\rm{f}}}} \right)\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial x\partial y}} \end{array} \right. $

(20)

$ \left\{ \begin{array}{l} {Q_x} = {C_x}\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}} - {\varphi _x}} \right) - 2{D_{\rm{f}}}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}} \right)\\ {Q_y} = {C_y}\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial y}} - {\varphi _y}} \right) - 2{D_{\rm{f}}}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}} \right) \end{array} \right. $

(21)

式中：M_x、M_y和M_xy分别为蜂窝夹层结构在x、y向上的弯矩和总扭矩；Q_x、Q_y为蜂窝夹层结构总的横向剪切力；w为蜂窝夹层结构的横向挠度；$ {C_x} = {G_{{\rm{c}}xz}}{(\frac{{{h_{\rm{c}}} + {h_{\rm{f}}}}}{{{h_{\rm{c}}}}})^2}、{C_y} = {G_{{\rm{c}}yz}}{(\frac{{{h_{\rm{c}}} + {h_{\rm{f}}}}}{{{h_{\rm{c}}}}})^2}$，分别为蜂窝夹芯在x、y方向上的剪切刚度；${D_{\rm{f}}} = \frac{{{E_{\rm{f}}}h_{\rm{f}}^3}}{{12(1 - \mu _{\rm{f}}^2)}} $，为上、下面板的弯曲刚度；$D = \frac{{{E_{\rm{f}}}{{({h_{\rm{c}}} + {h_{\rm{f}}})}^2}{h_{\rm{f}}}}}{{2(1 - \mu _{\rm{f}}^2)}} $，为蜂窝夹层结构的整体弯曲刚度；φ_x、φ_y分别为变形前垂直于夹层结构xoy面的直线变形后在xoz、yoz平面内的广义位移；μ_f为上、下面板泊松比。

类方形蜂窝夹层结构的运动方程为：

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial {N_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {N_{xy}}}}{{\partial y}} = 0\\ \frac{{\partial {N_{xy}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {N_y}}}{{\partial y}} = 0 \end{array} \right. $

(22)

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial {M_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {M_{xy}}}}{{\partial y}} - {Q_x} = 0\\ \frac{{\partial {M_{xy}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {M_y}}}{{\partial y}} - {Q_y} = 0\\ \frac{{\partial {Q_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {Q_y}}}{{\partial y}} + \rho {{\tilde \omega }^2}w = 0 \end{array} \right. $

(23)

式中：$ \rho = {h_{\rm{c}}}{\rho _{\rm{c}}} + 2{h_{\rm{f}}}{\rho _{\rm{f}}}$，其中ρ_f为面板的体积密度；$ {\tilde \omega }$为夹层结构振动角频率。

引入位移函数ω、f，则得到控制方程中的3个广义位移分别为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\varphi _x} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\\ {\varphi _y} = \frac{{\partial w}}{{\partial y}} - \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\\ w = \omega - \frac{D}{{{C_y}}}{\nabla ^2}\omega \end{array} \right. $

(24)

式中：$ {\nabla ^2} = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}}$。

综合上述力学基本方程可以得到类方形蜂窝夹层结构作自由振动时的基本控制方程为：

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{D}{2}\left( {1 - {\mu _{\rm{f}}}} \right){\nabla ^2}f - {C_y}f = 0\\ \frac{{{C_x}}}{{{C_y}}}D{\nabla ^2}\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}} + {C_x}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} + {\nabla ^2}\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}} - {C_y}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} + \\ 2{D_{\rm{f}}}{\nabla ^4}\omega - \frac{{2D{D_{\rm{f}}}}}{{{C_y}}}{\nabla ^6}\omega - \rho {{\tilde \omega }^2}\left( {\omega - \frac{D}{{{C_y}}}{\nabla ^2}\omega } \right) = 0 \end{array} \right. $

(25)

针对本文研究的四边简支类方形蜂窝的夹层结构，其四边简支边界条件为：

1) x=0，a时：

$ \omega = \frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}} = \frac{{{\partial ^4}\omega }}{{\partial {x^4}}} = 0,\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 0 $

(26)

2) y=0，b时：

$ \omega = \frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}} = \frac{{{\partial ^4}\omega }}{{\partial {y^4}}} = 0,\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 0 $

(27)

在四边简支条件下，f≡0，则简支边界条件可设为：

$ \omega = {A_{mn}}\sin \frac{{m{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{a}\sin \frac{{n{\rm{ \mathsf{ π} }}y}}{b},f \equiv 0 $

(28)

由此得到四边简支类方形蜂窝夹层结构作自由振动时的基本控制方程为：

$ \left\{ \begin{array}{l} D\left( {\frac{{{C_x}}}{{{C_y}}}\frac{{{m^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{n^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{b^2}}}} \right)\left( {\frac{{{m^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{n^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{b^2}}}} \right) + 2{D_{\rm{f}}}{\left( {\frac{{{m^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{n^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{b^2}}}} \right)^2} + \frac{{2D{D_{\rm{f}}}}}{{{C_y}}}{\left( {\frac{{{m^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{n^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{b^2}}}} \right)^3} - \rho {{\tilde \omega }^2}\left[ {1 + \frac{D}{{{C_y}}}\left( {\frac{{{m^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{n^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{b^2}}}} \right)} \right] = 0\\ \frac{{\rho {{\tilde \omega }^2}}}{D}\frac{{{b^4}}}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^4}}} = \frac{{\left( {\frac{{{C_x}}}{{{C_y}}}\frac{{{m^2}{b^2}}}{{{a^2}}} + {n^2}} \right)\left( {\frac{{{m^2}{b^2}}}{{{a^2}}} + {n^2}} \right)}}{{1 + \frac{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{b^2}}}\frac{D}{{{C_y}}}\left( {\frac{{{m^2}{b^2}}}{{{a^2}}} + {n^2}} \right)}} + \frac{{\frac{{2{D_{\rm{f}}}}}{D}{{\left( {\frac{{{m^2}{b^2}}}{{{a^2}}} + {n^2}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{b^2}}}\frac{D}{{{C_y}}}\left( {\frac{{{m^2}{b^2}}}{{{a^2}}} + {n^2}} \right)}} + \frac{{\frac{{2{D_{\rm{f}}}}}{D}\frac{D}{{{C_y}}}\frac{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{b^2}}}{{\left( {\frac{{{m^2}{b^2}}}{{{a^2}}} + {n^2}} \right)}^3}}}{{1 + \frac{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{b^2}}}\frac{D}{{{C_y}}}\left( {\frac{{{m^2}{b^2}}}{{{a^2}}} + {n^2}} \right)}} \end{array} \right. $

(29)

化简后得到：

$ {K_\omega } = \frac{{\left( {\frac{{{C_x}}}{{{C_y}}}{m^2}{\eta ^2} + {n^2}} \right)\left( {{m^2}{\eta ^2} + {n^2}} \right)}}{{1 + {\delta _b}\left( {{m^2}{\eta ^2} + {n^2}} \right)}} + {k_{\rm{f}}}{\left( {{m^2}{\eta ^2} + {n^2}} \right)^2} $

(30)

式中：

$ {K_\omega } = \frac{{\rho {{\tilde \omega }^2}}}{D}\frac{{{b^4}}}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^4}}},{\delta _b} = \frac{{{\pi ^2}D}}{{{b^2}{C_y}}},\eta = \frac{b}{a},{k_{\rm{f}}} = \frac{{2{D_{\rm{f}}}}}{D} $

其中：K_ω为四边简支类方形蜂窝夹层结构振动强度。

3 双壁厚与等壁厚四边简支类方形蜂窝夹层结构固有频率分析 3.1 双壁厚与等壁厚四边简支类方形蜂窝夹层结构有限元振动分析

采用有限元软件ABAQUS建立类方形蜂窝夹层结构精细有限元模型，分别对四边简支条件下双壁厚和等壁厚类方形蜂窝夹层结构进行模态分析。模型尺寸如表 2所示，夹层结构上、下面板及夹芯材料均采用Al6061，在夹层结构的4个边界处分别施加平行边界方向及z向位移约束，模拟简支边界条件；表 3为双壁厚和等壁厚类方形蜂窝夹芯的等效弹性参数。

根据表 2和表 3数据，采用理论计算与有限元仿真模拟的方法，得出了四边简支条件下双壁厚类方形蜂窝夹层结构固有频率的理论计算结果与有限元仿真模拟结果的误差，如表 4所示。表 4表明，通过2种不同方法得到的数据吻合度较好，这说明采用上述蜂窝夹层板理论模型，并代入精确的类方形蜂窝夹芯结构等效弹性参数，可得到较为精确的类方形蜂窝夹层结构固有频率。

为更好地研究双壁厚和等壁厚类方形蜂窝夹层结构在振动特性上的区别，采用上述有限元模型与几何参数，得到四边简支条件下等壁厚类方形蜂窝夹层结构的前10阶固有频率，并与双壁厚类方形蜂窝夹层结构的固有频率结果进行对比，结果如表 5所示。

从表 5可以看出，在低阶振动模态下，双壁厚类方形蜂窝夹层结构的固有频率比等壁厚的固有频率低，两者的固有频率差值比较大；随着阶数的增大，两者差值比呈现减小趋势，且在第9阶和第10阶时，双壁厚蜂窝夹层结构的固有频率较等壁厚的固有频率略高。由表 5还可以看出，2种不同壁厚类方形蜂窝的夹层结构的振动模态也发生较大变化，在前10阶模态中，除1阶、4阶模态没有发生变化，其余模态都发生了变化。结合表 3中的数据可以看出，2种不同壁厚类方形蜂窝夹层结构的主要区别在于夹芯层的面外刚度E_cz，等效剪切模量G_cxy、G_cyz及等效密度ρ_c有较大差异，进一步结合蜂窝夹层结构的振动方程可知，影响2种蜂窝夹层结构固有频率的主要参数为等效剪切模量G_cyz和夹芯等效密度ρ_c，下面分别分析这2个等效弹性参数对2种壁厚类方形蜂窝夹层结构固有频率的影响。

3.2 等效弹性参数对夹层结构固有频率的影响 3.2.1 等效密度对夹层结构固有频率的影响

图 5为类方形蜂窝夹芯壁厚在0.01~0.4 mm内变化时，改变等壁厚类方形蜂窝夹芯等效密度ρ_c^*，得到的四边简支类方形蜂窝夹层结构固有频率变化曲线。从图 5可以看出：不论是双壁厚还是等壁厚类方形蜂窝夹层结构，在不同等效密度下，其固有频率均随壁厚的增大呈现先增大后减小的趋势。当蜂窝夹芯壁厚较小时(t < 0.02 mm)，壁厚t的增大导致蜂窝夹芯层等效弹性模量增大，进而导致整体夹层结构的弯曲刚度增大，且此时壁厚t的增大对夹芯结构的等效密度影响较小，则类方形蜂窝夹层结构固有频率随壁厚增大呈现缓慢上升趋势；当蜂窝夹芯壁厚较大(t>0.02 mm)时，随着壁厚的增大，它对等效密度的影响增强，对弯曲刚度的影响减弱，此时固有频率随壁厚的增大呈下降趋势。

从图 5还可以看出，随着等壁厚类方形蜂窝夹层结构夹芯层等效密度的增大，夹层结构的固有频率呈现明显减小趋势，这与上述描述一致。结合公式(17)和(18)可知，双壁厚类方形蜂窝夹芯等效密度为等壁厚类方形蜂窝夹芯的1.5倍(ρ_c=1.5ρ_c^*)，但当2种壁厚的类方形蜂窝夹芯等效密度相等时，两者夹层结构的固有频率相差较大，随着等壁厚蜂窝夹芯等效密度进一步增大，2种壁厚的类方形蜂窝夹层结构的固有频率越来越接近，由此可知等效密度对蜂窝夹层结构的固有频率的影响比壁厚更大。

3.2.2 等效剪切模量对夹层结构固有频率的影响

图 6为类方形蜂窝夹芯壁厚在0.01~0.4 mm内变化时，改变等壁厚类方形蜂窝夹芯等效剪切模量G_cyz^*，得到的四边简支类方形蜂窝夹层结构固有频率变化曲线。从图 6可见，不论是双壁厚还是等壁厚类方形蜂窝夹层结构，在不同剪切模量下，其固有频率均随着壁厚的增大，呈现先增大后减小的趋势，这与图 5中情况类似。

从图 6可知，在类方形蜂窝夹层结构基本参数相同时，等壁厚类方形蜂窝夹层结构的固有频率相对于双壁厚的要高，由上述振动理论可知等效剪切模量主要影响夹层结构弯曲模量，从而影响夹层结构的固有频率。改变等壁厚类方形蜂窝夹芯的等效剪切模量G_cyz^*时，夹层结构的固有频率发生明显变化；结合公式(17)和(18)可知，当等壁厚类方形蜂窝夹芯的等效剪切模量G_cyz^*增大到原来的3倍时，此时两蜂窝夹层结构在y方向上的剪切刚度一致，2种夹层结构的固有频率差别较小，且随着2种夹层结构的等效剪切模量趋于一致，忽略等效密度的影响，两者的固有频率趋于相等。当壁厚从0.01 mm变化到0.1 mm时，双壁厚与等壁厚类方形蜂窝夹层结构的固有频率变化并不明显，但改变等壁厚类方形蜂窝夹层结构的等效剪切模量G_cyz^*时，其固有频率变化程度显然比壁厚改变时大。

4 结语

针对四边简支类方形蜂窝夹芯夹层结构的振动特性，在六边形蜂窝的研究基础上，分别推导了双壁厚和等壁厚类方形蜂窝夹芯结构影响夹层结构振动特性的等效弹性参数的公式；同时以蜂窝夹层结构的实际构造为基础，根据类方形蜂窝结构与六边形蜂窝结构的相似性，引用蜂窝夹层结构的自由振动方程，采用理论计算与仿真模拟相结合的方法，系统分析了夹芯的壁厚、等效密度及等效剪切模量对四边简支类方形蜂窝夹层结构固有频率的影响，得到如下结论：

1) 采用改进的Gibson公式得到了双壁厚及等壁厚类方形蜂窝夹芯结构的等效弹性参数，发现这2种不同壁厚类方形蜂窝夹芯的面外刚度、yoz面等效剪切模量及等效密度等有较大差异，这为进一步研究类蜂窝夹层板的振动特性奠定了基础。

2) 采用蜂窝夹层板理论计算得到四边简支类方形蜂窝夹层结构的固有频率与有限元模拟结果的一致性较好，进一步证明了采用改进Gibson公式得到的类方形蜂窝夹芯等效弹性参数的正确性，同时证明了将该振动理论运用到一般蜂窝夹层结构研究的可行性，为扩展研究其他类型蜂窝夹层结构振动特性奠定了基础。

3) 在保证四边简支类方形蜂窝夹芯壁长不变情况下，增大类方形蜂窝夹芯壁厚，2种壁厚类型的类方形蜂窝夹层结构的固有频率均呈现先增大后减小的变化趋势；当壁厚t较小时，t对蜂窝夹层结构弯曲刚度作用较等效密度明显，夹层结构固有频率呈上升趋势；当壁厚t增大到较大水平(t>0.02 mm)时，等效密度较弯曲刚度对固有频率影响更显著，此时夹层结构固有频率随壁厚增大而减小。

4) 在保证四边简支类方形蜂窝夹层结构整体参数不变情况下，为弄清影响2种不同壁厚类型类方形蜂窝夹层结构在固有频率及振动模态上的主导因素，分别对这2种壁厚类型蜂窝夹层结构的壁厚、等效密度及等效剪切模量详细讨论，知这3个主要因素对固有频率影响所占权重由大到小依次为：yoz面等效剪切模量、等效密度、壁厚。