叶排间的转静干涉对压气机内部的气动特性有着重要的影响，已成为航空发动机叶盘转子系统动力学研究的核心问题之一。转静干涉效应不仅影响叶轮机械的工作性能，还会使压气机叶片承受由流体诱发的非定常气动力。非定常气动力是叶片高周疲劳的主要振动源，直接影响着压气机叶片的疲劳强度，故开展转静干涉效应对压气机叶片非定常气动载荷影响的研究，对于改善压气机叶片的疲劳强度和可靠性具有重要意义。

关于叶排间转静干涉的研究，可以追溯到1977年，Slutsky等^[1]利用理论分析方法对静止和旋转叶栅的跨音速非定常流场进行了计算。之后，Gundy-burlet^[2]采用不同的方案研究了多级涡轮机二维及三维流场的非定常扰动；陈矛章等^[3]提出了一种扰动涡方法，探究了动、静叶排的相互作用过程。随着研究的开展，越来越多的学者开始关注叶排间转静干涉引起的非定常流动，而实验测量仪器和手段的发展使得转静干涉试验得以实现^[4]。Sentker等^[5]利用裂膜探针技术研究了压气机非定常流场尾迹干涉的变化。Gorrell等^[6]借助压气机级间匹配设备分析了不同叶排间隙下的动静干涉特性。Guo等^[7]开展了叶栅风洞试验，验证了吸力面边界层的抽吸有助于改善压气机大倾角叶栅的气动性能。

随着流体力学和计算机硬件的发展，越来越多的学者开始借助数值仿真技术来研究压气机内部的复杂流场特性^[8-9]。与试验研究相比，数值仿真技术不仅能够获取更丰富的流场细节，还可以开展各种理想条件下的数值实验，能够在更大的参数范围内展开研究^[10]。Kulisa等^[11]采用数值方法计算了叶排流道周期性尾迹的非定常效应。汪松柏等^[12]对压气机转子叶片的变形过程进行了数值模拟，分析了设计工况下叶片的变形特征和气动性能。Gnesin等^[13]探讨了叶片振动和叶片弯曲对压气机内部非定常流场特性的影响。Beheshti等^[14]讨论了不同叶顶间隙和泄漏情况下压气机叶片的非定常气动特性。Mischo等^[15]通过研究发现在叶顶设置凹槽结构可改善压气机气动载荷的气动稳定性。

综上所述，很多学者研究了压气机内部的非定常流场特性，但针对转静干涉效应对压气机叶片气动载荷影响的研究仍有不足。本文以某型压气机叶盘转子为研究对象，考虑叶排间的转静干涉效应，对压气机内部的三维旋转流场进行模拟，分析叶片气动载荷的非定常特性，并讨论不同压比、转速对压气机叶片气动载荷的影响规律。

1 压气机流场的控制方程和物理模型 1.1 控制方程

压气机内部流体的运动为复杂的、高度非线性的三维黏性湍流运动^[16-17]，它满足基本的守恒定律，即质量、动量和能量守恒定律。连续性方程可以用来描述流动过程中的质量守恒性质，表示为：

$ \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left( {\rho u} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {\rho v} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \left( {\rho w} \right)}}{{\partial z}} = 0 $

(1)

动量方程是分析微小控制体受力和运动情况的牛顿第二定律表达式，它反映了流动过程中的动量守恒性质。动量方程表示为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{div}}\left( {\rho u\mathit{\boldsymbol{v}}} \right) = {\rm{div}}\left( {\mu \cdot {\rm{grad}}\;u} \right) - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} - \left[ {\frac{{\partial \left( {\rho {{u'}^2}} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {\rho u'v'} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \left( {\rho u'w'} \right)}}{{\partial z}}} \right] + {S_u}\\ {\rm{div}}\left( {\rho v\mathit{\boldsymbol{v}}} \right) = {\rm{div}}\left( {\mu \cdot {\rm{grad}}\;v} \right) - \frac{{\partial p}}{{\partial y}} - \left[ {\frac{{\partial \left( {\rho u'v'} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {\rho {{v'}^2}} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \left( {\rho v'w'} \right)}}{{\partial z}}} \right] + {S_v}\\ {\rm{div}}\left( {\rho w\mathit{\boldsymbol{v}}} \right) = {\rm{div}}\left( {\mu \cdot {\rm{grad}}\;w} \right) - \frac{{\partial p}}{{\partial z}} - \left[ {\frac{{\partial \left( {\rho u'w'} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {\rho v'w'} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \left( {\rho {{w'}^2}} \right)}}{{\partial z}}} \right] + {S_w} \end{array} \right. $

(2)

能量方程表示为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{div}}\left( {\rho \mathit{\boldsymbol{v}}T} \right) = {\rm{div}}\left( {\frac{K}{c}{\rm{grad}}\;T} \right) + }\\ {\left[ { - \frac{{\partial \left( {\rho u'T'} \right)}}{{\partial x}} - \frac{{\partial \left( {\rho v'T'} \right)}}{{\partial y}} - \frac{{\partial \left( {\rho w'T'} \right)}}{{\partial z}}} \right] + {S_T}} \end{array} $

(3)

式中：速度v在x、y、z方向的速度分量分别为u、v、w；ρ为流体密度；μ为流体的动力黏滞系数；p为气体压力；S_u、S_v和S_w为动量守恒方程的广义源项；T为热力学温度；c为比热容；K为流体的传热系数；S_T为黏性耗散项; u′、v′、w′和T′分别表示各速度分及温度关于时间t的一阶导数。

方程(1)至(3)包含u、v、w、p、T、ρ和Reynolds应力等未知量。为了求解上述方程组，还需要进一步补充气体状态方程和湍流模型。

对于理想气体，其状态方程为：

$ p = \rho RT $

(4)

式中：R为摩尔气体常数。

在数值计算中，选用标准k-ε湍流模型^[18]，表示为：

$ \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho k} \right) + \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {\rho k{u_i}} \right) = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left[ {\left( {\mu + \frac{{{\mu _{\rm{t}}}}}{{{\sigma _k}}}} \right)\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}}} \right] + {G_k} - \rho \varepsilon $

(5)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho \varepsilon } \right) + \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {\rho \varepsilon {u_i}} \right) = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left[ {\left( {\mu + \frac{{{\mu _{\rm{t}}}}}{{{\sigma _\varepsilon }}}} \right)\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {x_j}}}} \right] + }\\ {{C_1}\frac{\varepsilon }{k}{G_k} - {C_2}\rho \frac{{{\varepsilon ^2}}}{k}} \end{array} $

(6)

式中：k为湍流能；ε为湍流耗散率；μ_t=ρC_μk²/ε，为湍流黏度；G_k表示由层流速度梯度引起的湍流动能；C₁=1.44，C₂=1.92，C_μ=0.09，σ_k=1.0，σ_ε=1.3。

由于压气机的进口气流是轴向亚音速来流，假定流动参数沿周向不变，给定进口的总温、总压，出口通常为静压；设置无滑移和绝热物面条件，即壁面压力和温度梯度等于零。根据等熵关系，设置系统的边界条件。

1) 进口边界：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{T_0} = {T_0}\left( {x,y,z} \right),{p_0} = {p_0}\left( {x,y,z} \right),}\\ {\alpha = \alpha \left( {x,y,z} \right),\gamma = \gamma \left( {x,y,z} \right)}\\ {{\rm{d}}\left( {w - \frac{{2a}}{{\chi - 1}}} \right) = 0} \end{array} $

(7)

2) 出口边界：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {p = p\left( {x,y,z} \right),{\rm{d}}p - {a^2}{\rm{d}}p = 0,}\\ {{\rm{d}}u - \left( {{\omega ^2}r - 2\omega v} \right){\rm{d}}t = 0,}\\ {{\rm{d}}v + 2\omega u{\rm{d}}t = 0,}\\ {{\rm{d}}\left( {\omega + \frac{{2a}}{{\chi - 1}}} \right) = 0} \end{array} $

(8)

3) 壁面边界：

$ \frac{{\partial T}}{{\partial n}} = 0,\;\;\;\frac{{\partial p}}{{\partial n}} = 0 $

(9)

式中：$a = \sqrt {\chi \left( {p/\rho } \right)} $，为音速；T₀和p₀为给定的进口总温和进口总压；α、γ分别为沿圆周和子午线的进气角；χ为比热容比；ω为转动角速度；n为壁面外法线方向。

1.2 物理模型及边界条件

以某型压气机叶盘转子为研究对象，选定其单扇区通道作为计算区域，包含静、动叶流场两部分区域。利用CFD(computational fluid dynamics，计算流体动力学)前处理软件Gambit进行有限元建模，得到的有限元模型如图 1所示。流场区域的单元总数为106 758个，其中动叶区域的单元数为31 046个，静叶区域的单元数为75 712个。经检验，网格长宽比小于5，正交性大于10，延展比小于1 000，表明该有限元模型质量良好。

已知：压气机转速为11 383 r/min；进口总压p_in=1.00×10⁵ Pa，进口温度T_in=300 K；出口静压p_out=1.08×10⁵ Pa，出口温度T_out=300 K。叶盘转子叶排轴向长度C_x=0.037 31 m，节距L_b=0.043 69 m。设置固壁为绝热壁面，定义可压缩理想空气介质，如图 2所示。

2 压气机叶片气动载荷的数值仿真分析 2.1 计算收敛性的判定

以定常计算获得的稳定流场作为初始条件，采用滑移网格技术和隐式耦合求解算法对非定常流场进行进一步分析。为保证计算效率，设置时间步长为T_b/60(约为2.31×10^-6 s，T_b为转静干涉周期)，虚拟迭代步数为20，计算总时间步为2 280。

为判定计算是否收敛，对压气机残差曲线以及叶片表面力矩系数、阻力系数和升力系数的曲线进行监测，结果如图 3所示。

从图 3可以看出：经过约0.003 s后，各曲线开始趋于震荡收敛，这种周期性震荡正是压气机内部流场的非定常性所导致的。

此外，还可以依据进、出口流量之差来判定计算的收敛性。表 1给出了计算后的进、出口流量值及其偏差。

根据表 1数据可知：流量守恒，进、出口流量偏差仅为0.002 3 kg·s^-1，这进一步验证了计算已收敛。

2.2 叶片气动载荷的非定常特性

由图 3各曲线的初步分析可知：转静干涉引起的非定常叶片气动激励是周期性的^[19-20]。利用傅里叶级数将非定常气动激励展开为多个简谐激振力的组合，可得：

$ F\left( t \right) = {F_0} + \sum\limits_{r = 1}^{ + \infty } {{F_r}\sin \left( {r{\omega _0}t + {\varphi _r}} \right)} $

(10)

$ {\omega _0} = \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{T_0}}},{F_0} = \frac{{{a_0}}}{2},{F_r} = \sqrt {a_r^2 + b_r^2} ,{\varphi _r} = \arctan \frac{{{a_r}}}{{{b_r}}} $

(11)

$ \left\{ \begin{array}{l} {a_r} = \frac{2}{{{T_0}}}\int_0^{{T_0}} {F\left( t \right)\cos r{\omega _0}t{\rm{d}}t} ,r = 0,1,2, \cdots \\ {b_r} = \frac{2}{{{T_0}}}\int_0^{{T_0}} {F\left( t \right)\sin r{\omega _0}t{\rm{d}}t} ,r = 1,2, \cdots \end{array} \right. $

(12)

式中：ω₀为激振力基频，F₀为定常激振力幅值，F_r和φ_r为第r阶谐波分量的幅值和初相位，a₀、a_r和b_r为傅里叶变换系数。

进一步简化(10)式，可得：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {F\left( t \right) = {F_0} + {F_1}\sin \left( {{\omega _0}t + {\varphi _1}} \right) + {F_2}\sin \left( {2{\omega _0}t + } \right.}\\ {\left. {{\varphi _2}} \right) + \cdots + {F_r}\sin \left( {r{\omega _0}t + {\varphi _r}} \right)} \end{array} $

(13)

式中：F₁sin (ω₀t+φ₁)为第1阶谐波激振力，F₂sin (2ω₀t+φ₂)为第2阶谐波激振力，F_rsin (rω₀t+φ_r)为第r阶谐波激振力。

由于第1阶谐波激振力幅值要远大于其它各阶，且激振力的幅值随着阶次的增加而减小，故可将气动激励简化为正弦激振力：

$ F\left( t \right) = {F_0} + {F_1}\sin \left( {{\omega _0}t + {\varphi _1}} \right) $

(14)

式中：F₁为叶片受到的气动激振力的脉动幅值，φ₁为气动激振力的初相位。

转子每转一周，受到N₀次转静干涉的非定常干扰(N₀为转子叶片数，N₀=38)，则气动激振力的基频ω₀可以表示为：

$ {\omega _0} = {N_0}n/60 $

(15)

式中：n为转子转速。

另外，还可以对某一时刻叶片表面的压强进行积分得到气动激振力，即：

$ F\left( t \right) = \oint_\Omega {P\left( t \right){\rm{d}}s} $

(16)

式中：Ω表示沿着整个叶片外表面的矢量积分，P(t)为t时刻叶片的气动压强分布。

由于叶片外表面恒定不变，故可以用其表面压强P(t)的变化来反映动叶表面所受到的气动载荷的变化情况。

为了进一步探究压气机叶片气动载荷的分布特性，对叶片压力面和吸力面的气动压强进行监测，获得了叶片气动载荷的变化曲线，如图 4所示。

从图 4的气动载荷变化曲线可得，压气机内部流场收敛后叶片的气动载荷也趋于平稳。图 4(a)为压气机叶片压力面和吸力面气动载荷的时域曲线，能够发现2条时域曲线在达到平稳后皆处于震荡收敛状态，并呈现出正、余弦变化规律，且变化周期等于转静干涉周期T_b，由此可知压气机叶片压力面和吸力面所受到的气动载荷均为非定常脉动压强。同时，还可以发现叶片压力面气动载荷的收敛值(1.09×10⁵ Pa)要明显大于叶片吸力面气动载荷的收敛值(0.86×10⁵ Pa)，且压力面气动载荷的脉动幅值要远大于吸力面的。图 4(b)为压气机叶片压力面和吸力面气动载荷的频域曲线，由该曲线可知压气机叶片气动载荷主要受转静干涉的影响。叶片压力面和吸力面的气动载荷波动峰值所对应的频率相同，皆为转静干涉的倍频，其中一倍频(1×f₀)分量占有主导地位，而二倍频(2×f₀)及更高倍频分量处的气动载荷峰值较小。同时，还可以看出叶片压力面气动载荷的频谱峰值要远大于吸力面气动载荷的频谱峰值，可见压力面气动载荷的非定常性比吸力面的更强。

通过上述研究已经基本掌握了压气机叶片的气动载荷特性，为了进一步探究叶片气动载荷的分布细节，绘制了叶片压力面和吸力面在转静干涉周期T_b内的气动载荷变化曲线和等值线图。

图 5为压气机叶片压力面和吸力面在转静干涉周期T_b内的气动载荷变化曲线。从图 5可以发现：叶片压力面的气动载荷在$\frac{5}{7}{T_{\rm{b}}}$时刻附近取得极小值，在T_b时刻附近取得极大值，但吸力面的气动载荷是在$\frac{1}{2}{T_{\rm{b}}}$时刻附近取得极大值，在T_b时刻取得极小值。除了气动载荷极值点出现的时刻稍有不同外，叶片压力面和吸力面的气动载荷在干涉周期T_b内的变化规律呈相反趋势。

图 6为压气机叶片压力面气动载荷的等值线图，可以发现叶片压力面的气动载荷从$\frac{1}{8}{T_{\rm{b}}}$时刻至$\frac{1}{2}{T_{\rm{b}}}$时刻逐渐减小，在$\frac{5}{8}{T_{\rm{b}}}$时，压力面的气动载荷取得极小值，随后压力面的气动载荷开始回升并逐渐增大，至T_b时刻左右取得极大值，这与图 5(a)所示的压力面气动载荷变化曲线的变化规律是一致的。从图中还可以发现:在转静干涉周期T_b内，叶片表面的压力涡存在周期性的迁移与耗散，叶片前缘激起的压力涡从压力面底部运动至顶部(⑤⑥⑦⑧位置)，到达顶部后等值线梯度达到最大，气动载荷取得极大值；之后压力涡又从前缘运动至尾缘(①②③④位置)，最终脱离叶片压力面流向出口区域，等值线梯度变平缓，气动载荷取得极小值。可见压力涡的变化过程与非定常气动载荷的变化规律是相吻合的。

图 7为压气机叶片吸力面气动载荷的等值线，与压力面相比，叶片吸力面气动载荷的变化有很大差异。从图中可以很清楚地看到，在吸力面前缘存在一条低压带，且它在整个转静干涉周期内一直存在，这是因为吸力面前缘受到来流的冲击及叶片旋转拖拽效应的作用，迫使在吸力面前缘产生了较为明显的低压区。吸力面中后部位置的气动载荷梯度的变化比较明显，从图中可以看到吸力面气动载荷从$\frac{1}{8}{T_{\rm{b}}}$时刻至$\frac{1}{2}{T_{\rm{b}}}$时刻内逐渐增大，在$\frac{1}{2}{T_{\rm{b}}}$时刻时，吸力面的气动载荷取得极大值，随后开始逐渐降低，在T_b时刻附近取得极小值，这与图 5(b)所示的吸力面气动载荷的变化曲线的变化规律是一致的。另外，与压力面一样，吸力面也存在压力涡的迁移与耗散，但主要集中于吸力面的中后部区域，相比压力面而言, 其压力涡强度小很多。

2.3 性能参数对气动载荷的影响

压比和转速作为重要的性能参数，对转静干涉效应有直接影响。在保证叶片基本几何参数(包括转子叶片数N₀)不变的情况下，讨论不同压比π^*和转速n对叶片气动载荷的影响规律(这里气动载荷的大小指的是气动载荷的收敛值，其脉动幅值即为气动载荷周期性波动的幅值)。

2.3.1 压比对气动载荷的影响

在同一转速(转速为11 383 r/min)下，假定进口总压p_in=1.00×10⁵ Pa并保持不变，改变出口静压p_out，分别为1.05×10⁵，1.08×10⁵和1.10×10⁵ Pa，得到不同的压比π^*(π^*=p_out/p_in)，并计算了不同压比下叶片表面气动载荷的分布情况，结果如图 8和图 9所示。

图 8为压比对叶片气动载荷时域特性的影响曲线，其中a和b分别表示压力面和吸力面气动载荷的变化量。从图中可以发现：压比对压力面和吸力面气动载荷的影响规律一致；随着压比π^*的增大，压力面和吸力面的气动载荷均逐渐增大，且压力面和吸力面气动载荷的增幅相等，即a=b=5 000 Pa。另外，还可以发现，在不同压比下，压力面和吸力面气动载荷的脉动幅值基本没有变化，这说明压比对压力面和吸力面气动载荷特性的影响强度是相当的。

从图 9所示的不同压比下叶片表面气动载荷的频域曲线可以看出，气动载荷波动峰值的主导频率并未因压比π^*的变化而改变，主要还是出现在转静干涉频率f₀的倍频处，尤其在1×f₀位置，并且随着压比π^*的增加，频谱峰值的大小基本不变，可见压比对转静干涉非定常扰动强度的影响较小。

2.3.2 转速对气动载荷的影响

保证压比(π^*=1.08)条件不变，计算不同转速下压气机叶片的气动载荷特性，如图 10至图 12所示。

图 10为转速对叶片气动载荷时域特性的影响曲线。从图中可以看出：随着转速的升高，叶片压力面气动载荷未发生明显变化，而吸力面气动载荷逐渐减小。在转速从10 000 r/min增至11 383 r/min过程中，压力面和吸力面气动载荷的脉动幅值均逐渐升高。当转速n=11 383 r/min时，压力面和吸力面气动载荷的脉动幅值趋于稳定。当转速继续增加至13 000 r/min时，压力面和吸力面气动载荷的脉动幅值不再出现明显变化。由此可见，转速的变化直接影响吸力面气动载荷的大小，且在一定转速范围内对气动载荷的脉动幅值有一定影响。

图 11为转速对叶片气动载荷时域特性影响曲线的展开图，可以发现同一转速下压力面和吸力面气动载荷的脉动周期数相等。当转速不同时，气动载荷的脉动周期数随着转速的升高而增加，如：转速n=10 000，11 383和13 000 r/min时，在0.004-0.005 s内气动载荷的脉动周期数分别为6、7和8，这说明转速的升高使叶片气动载荷的非定常性增强。

图 12为转速对叶片气动载荷频域特性的影响曲线，其中f_i=N₀×n/60。从图中可以发现：随着转速的升高，压力面和吸力面气动载荷波动峰值的主导频率均发生右移，逐渐增大。这是因为转速的升高使得转静干涉的频率增大，而叶片气动载荷的波动峰值主要出现在转静干涉频率的倍频处，故波动峰值的主导频率发生了右移。同时，气动载荷峰值的大小随着转速的升高逐渐增大，但当转速升高至11 383 r/min后，其峰值不再出现明显变化，这与转速对脉动幅值的影响规律一致。

3 结论

研究表明叶片压力面和吸力面气动载荷波动峰值的主导频率皆为转静干涉频率f₀的倍频。在转静干涉周期T_b内，叶片表面压力涡发生周期性的迁移与耗散。随着压比的增加，叶片气动载荷逐渐增大，但压比对脉动幅值和频谱峰值的影响较小。转速的升高使转静干涉的频率增大，增强了压气机叶片气动载荷的非定常特性。研究结果能够应用于叶盘结构的气动优化设计，可为高性能航空发动机压气机的研制提供支持和参考。