螺旋钻机是建筑工程中成孔作业常用的施工机械之一，它作业高效、噪音低且污染少，加之售价低廉，因此备受施工单位青睐，得到广泛应用与快速发展。螺旋钻机的结构如图 1所示，它主要由行走机构、回转机构、变幅机构、钻桅、钻进机构(动力头及钻杆)、机身及配重等组成。变幅机构作为螺旋钻机最重要的部件之一，主要对钻桅起支撑、变幅作用，保证钻进机构正常工作。此外，由于螺旋钻机钻桅工作时竖直起柱的特殊性，活动钻桅的变幅角度必须达到90°，而变幅机构则不需频繁变幅，这与其他工程机械的变幅是有明显区别的。

针对不同工程机械，目前对其变幅机构的研究大多依托ADAMS、AMESim、Simulink和ANSYS软件，研究的方向主要集中在变幅机构运动学及其动力学分析^[1-5]、变幅液压系统稳定性分析与优化^[6-8]、变幅构件强度分析与结构优化^[9-12]等方面，但对变幅机构铰点位置进行优化的研究比较少。事实上，变幅机构作为大部分具有回转、变幅功能的工程机械的必要机构，变幅机构性能的优良与否，跟铰点位置密切相关。由于铰点位置的设计需要综合考量的因素多，对设计者的经验要求非常高，传统设计中设计者不得不依赖大量的试算来确定一组相对合理的铰点位置。这种设计方法不仅存在工作量大、效率低的缺点，而且很有可能丢失铰点位置的最优解。

本文通过对螺旋钻机变幅机构的结构及工作原理进行分析，建立其力学模型，并用粒子群优化(particle swarm optimization, PSO)算法求解更为合理的螺旋钻机变幅机构铰点位置，为变幅机构铰点位置的优化布置提供思路。

1 建立目标函数

螺旋钻机变幅机构示意图如图 2所示，它主要由变幅油缸、固定钻桅、活动钻桅、机身四部分组成。压力油从油泵通过管路进入变幅油缸的进油口后，在压力油的驱动下，活动钻桅开始绕铰点O转动，从水平位置最终转到竖直位置，完成活动钻桅的起柱。由于钻桅整体的刚性较大，建模过程中视之为纯刚体。

为方便变幅机构静力学数学模型的建立和求解，将坐标系的原点设于固定铰点O，坐标轴方向如图 2所示，其中油缸初始长度为L_AB, 变幅油缸的初始变幅角度为θ₀。变幅油缸进油口的进油油量为Q，变幅油缸的缸径为D，伸出速度为v, 则有：

$ v = \frac{{4Q}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{D^2}}} $

(1)

对变幅机构进行简化，如图 3所示。铰点A的坐标为(x₁, y₁)，铰点B的初始坐标为(x_2, y₂)，活动钻桅重心G的初始坐标为(x₃, y₃)。活动钻桅转动β后铰点B的坐标为(x_2β, y_2β)，即为B′；重心G的坐标为(x_3β, y_3β)，即为G′。

则直线AB的初始斜率为：

$ k = \tan {\theta _0} = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} $

(2)

油缸初始长度L_AB为：

$ {L_{AB}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} $

(3)

根据坐标变换可知：

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_{2\beta }} = {x_2}\cos \beta - {y_2}\sin \beta \\ {y_{2\beta }} = {x_2}\sin \beta + {y_2}\cos \beta \\ {x_{3\beta }} = {x_3}\cos \beta - {y_3}\sin \beta \\ {y_{3\beta }} = {x_3}\sin \beta + {y_3}\cos \beta \end{array} \right. $

(4)

即：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{2\beta }}}\\ {{y_{2\beta }}}\\ {{x_{3\beta }}}\\ {{y_{3\beta }}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \cos \beta \\ \sin \beta \\ 0\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} - \sin \beta \\ \cos \beta \\ 0\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0\\ \cos \beta \\ \sin \beta \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0\\ - \sin \beta \\ \cos \beta \end{array} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}}\\ {{x_3}}\\ {{y_3}} \end{array}} \right] $

(5)

其中：0°≤β≤90°。

根据式(5)可知，活动钻桅起柱完成(转动90°)后铰点B的坐标为(-y₂, x₂)，即为B₂，则起柱完成变幅油缸伸到最长时两铰点距离为:

$ {L_{A{B_2}}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {y_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {x_2}} \right)}^2}} $

(6)

则活动转桅的整个起柱时间为:

$ {t_{\rm{s}}} = \frac{{{L_{A{B_2}}} - {L_{AB}}}}{v} = \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {{L_{A{B_2}}} - {L_{AB}}} \right){D^2}}}{{4Q}} $

(7)

活动钻桅转动β时变幅油缸的倾角为θ，则:

$ \theta = \arctan \frac{{{y_{2\beta }} - {y_1}}}{{{x_{2\beta }} - {x_1}}} $

(8)

铰点O到变幅油缸的距离为:

$ d = \frac{{\left| {{x_1}{y_{2\beta }} - {x_{2\beta }}{y_1}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_{2\beta }}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_{2\beta }}} \right)}^2}} }} $

(9)

在整个过程中活动钻桅的起柱非常缓慢，可以忽略活动钻桅的惯性力和各铰点处的摩擦力。根据图 3，按正交分解法建立活动钻桅的力学方程：

$ \left\{ \begin{array}{l} W{x_{3\beta }} - {F_{{\rm{oil}}}}d = 0\\ {F_x} - {F_{{\rm{oil}}}}\cos \theta = 0\\ {F_y} + {F_{{\rm{oil}}}}\sin \theta - W = 0 \end{array} \right. $

(10)

式中：F_x、F_y为铰点为O的铰轴对活动钻桅x、y方向的约束力；F_oil为油缸对活动钻桅的推力；W为活动钻桅的重量。

由于变幅油缸回油口接油箱，回油口压力可忽略不计，变幅油缸进油口油压可近似为变幅油缸油压，由式(10)可以得到：

$ \left\{ \begin{array}{l} {p_{\rm{t}}} = \frac{{4W\left( {{x_3}\cos \beta - {y_3}\sin \beta } \right)}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{D^2}d}}\\ {F_o} = \sqrt {F_x^2 + F_y^2} \end{array} \right. $

(11)

式中：p_t为变幅油缸油压；F_o为F_x、F_y两者合力，即铰点O的受力。

在变幅机构中，变幅油缸最大油压是个很关键的参数，决定了液压系统零部件的选型，且变幅油缸推力、各铰点最大受力都和此参数相关，所以选择p_t作为目标函数，即：

$ {p_{\rm{t}}} = {F_1}\left( {{x_1},{y_1},{x_2},{y_2},\beta } \right) $

(12)

2 确定约束条件

一方面，考虑到螺旋钻机在公路运输时的安全性，固定钻桅的高度不能超限，另一方面，由于螺旋钻机车身附件(如油箱、卷扬设备)安装的限制，固定钻桅的高度又不能过低，所以铰点A的约束条件如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} 800 \le {x_1} \le 1\;300\;{\rm{mm}}\\ - 1400 \le {y_1} \le - 1\;000\;{\rm{mm}} \end{array} \right. $

(13)

对于铰点B，从活动钻桅的结构上看，铰点B和O基本处于同一水平线上，限定约束条件为:

$ - 40 \le {y_2} \le 40\;{\rm{mm}} $

(14)

变幅油缸的初始变幅角度θ₀过小将导致变幅油缸长度过长，制造成本过高，油缸也有压杆失稳的可能，这明显不符合工程实际情况，结合文献[1]及相关设计经验，油缸初始变幅角限定条件为:20°≤θ₀≤60°，根据式(2)有：

$ {\rm{0}}{\rm{.364}} \le \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} \le \sqrt 3 $

(15)

由式(13)至(15)可以推得：

$ 1\;354 \le {x_2} \le 5\;256\;{\rm{mm}} $

(16)

根据油缸的制造工艺要求，油缸初始长度L_AB和伸长时的最大距离L_AB2的比值应在0.65~0.9之间^[13]，即:

$ {\rm{0}}{\rm{.65}} \le \frac{{{L_{AB}}}}{{{L_{A{B_2}}}}} \le 0.9 $

(17)

式(13)至(17)构成了优化的约束条件。

3 粒子群优化算法求解

粒子群优化算法是一种能通过不断迭代搜寻找出最优解的智能优化算法，自1995年由Eberhart和Kennedy首次提出以来，已经广泛应用于函数优化^[14]、神经网络训练^[15]、路径规划^[16]和模糊控制^[17]等。从前文分析可知，变幅机构铰点优化属多变量多约束非线性的优化，很适合利用粒子群优化算法进行求解。粒子优化群算法的速度和位置迭代公式如下^[18]：

$ v_{id}^{k + 1} = \omega v_{id}^k + {c_1}{r_1}\left( {p_{id}^k - X_{id}^k} \right) + {c_2}{r_2}\left( {g_d^k - X_{id}^k} \right) $

(18)

$ X_{id}^{k + 1} = X_{id}^k + v_{id}^{k + 1} $

(19)

式中：ω为惯性权重；k为迭代次数；c₁、c₂为学习因子；r₁、r₂为[0, 1]之间的随机数; v_id^k表示粒子群第i个粒子第k次迭代时d维分量的速度；X_id^k表示粒子群第i个粒子第k次迭代时d维分量的位置；p_id^k示粒子群第i个粒子第k次迭代时搜索到的最优位置的d维分量；g_d^k为整个粒子群第k次迭代时搜索到的最优位置的d维分量。

粒子群优化算法求解流程如图 4所示。

通过前文分析可知，求最佳的铰点位置，实际上就是要求得最佳的A、B两铰点的初始坐标，即(x₁, y₁)、(x₂, y₂)，使得变幅油缸最大油压最小。所以可以把(x₁, y₁, x₂, y₂)作为一个四维变量的粒子，每个粒子对应螺旋钻机变幅机构一组铰点位置。

基于粒子群优化算法的铰点优化步骤如下：

1) 设定粒子群优化算法的参数。

算法参数包括粒子的数量N、粒子的飞行速度v、程序的最大迭代次数k_max和精度阈值ε。粒子的数量N一般根据优化问题的难易程度和求解精度设置，本文选取粒子数N=15；取最大迭代次数k_max=100，精度阈值ε=0.005。粒子的速度既不能过大，也不能过小，这样粒子在搜索时不会错过全局最优解，按每维变化范围的15%选取粒子最大速度v_max，按每维变化范围的5%选取粒子最小速度v_min。

2) 设定粒子的初始位置和初始速度。

在粒子群可行区域内随机初始化粒子的位置，初始速度取粒子群最小速度v_min。初始位置即(x₁, y₁, x₂, y₂)的初始值。

3) 计算粒子的适应度值。

目标函数确定为变幅油缸的油压p_t，优化的目的是使得变幅油缸的最大油压最小，所以适应度函数为:

$ \min \left( {\max {p_{\rm{t}}}} \right) = {F_1}\left( {{x_1},{y_1},{x_2},{y_2},\beta } \right) $

(20)

4) 更新粒子位置和速度。

按式(18)和(19)更新位置和速度。若粒子的速度超差(即速度过大或过小)，则按如下规则调整：若v>v_max，则取v=v_max；若v < v_min，则取v=v_min。

取惯性权重ω_max=1.2, ω_min=0.2，从而惯性权重ω=0.2+rand()，rand()表示[0, 1]的随机数；学习因子c₁=c₂=2。

5) 判断粒子位置是否满足边界约束条件。

按式(13)至(17)判断粒子位置是否满足边界约束条件，如不满足，说明粒子飞出可行域，则重新按式(18)和(19)更新，直到粒子位置落在可行域内。

6) 判断是否满足结束条件。

结合适应度函数，结束条件为：第k次迭代前后的变幅机构的最大油压的最小值变化率不超过设定阈值或迭代次数超限，即：

$ \left| {\frac{{\min \left( {\max p_{\rm{t}}^k} \right) - \min \left( {\max p_{\rm{t}}^{k - 1}} \right)}}{{\min \left( {\max p_{\rm{t}}^{k - 1}} \right)}}} \right| \le \varepsilon \;或\;k > {k_{\max }} $

其他参数根据湖南长河机械有限公司生产的某型号28 m螺旋钻机的参数进行设置，如表 1所示。

4 优化结果与分析

利用上述粒子群优化算法，使用MATLAB计算软件进行数据处理，得到铰点A和铰点B优化前后的2组坐标数据，具体数值见表 2。其中优化前方案是使用传统设计手法反复试算优选出来的。

铰点位置优化前后变幅油缸油压及其各铰点受力曲线如图 5至图 7所示。

对比图 5至图 7，可以得到铰点位置优化前后变幅油缸最大油压p_{t max}、铰点A最大受力F_{oil max}、铰点O最大受力F_{o max}、起柱时间T_s, 如表 3所示。

从表 3可以看出，铰点位置优化后，变幅机构的起柱时间增加了7.5 s，这对螺旋钻机的施工几乎没有影响，而变幅油缸的最大油压和A、B、O铰点的最大受力减小明显。与此同时，从图 5可以看出，优化后变幅油缸整个起柱过程的油压变化变得平缓，这对提高液压系统性能、提高铰点处铰轴和铰座结构强度十分有利。

5 结论

本文通过分析螺旋钻机变幅机构的特点，建立了其力学模型和铰点位置的粒子群优化算法模型，在满足粒子边界约束的前提下，通过粒子群不断迭代寻优，最终逼近最优位置，从而得到了更为合理的铰点位置组。通过分析优化前后的对比数据表明，利用粒子群优化算法取得的优化设计结果使得变幅机构的性能得到明显提升，说明粒子群优化算法在变幅机构铰点优化设计中是一种快捷、行之有效的方法。粒子群优化算法可以推广到所有具有类似结构的工程机械变幅机构的铰点优化中去。

此外值得一提的是，本文的优化是以适当牺牲系统的变幅时间为代价的，这对建筑工程机械螺旋钻机施工几乎没有影响，但对于某些对变幅时间有严格限制或者需要频繁变幅的机械，如云梯消防车等救援设备，则不能忽略该点，此时应将变幅时间设定为优化目标函数的约束条件。