随着我国制造业的持续快速发展及“中国制造2025”的提出，各自动化工厂面临着巨大的机遇和挑战。自动导引车(automatic guided vehicle, AGV)是实现工厂自动化的重要一环，对物流业和仓储业的发展起到很大的作用^[1]。目前，全向AGV的导向轮多采用麦克纳姆轮或球形轮^[2-3]，但由于其自身的结构特点，会导致AGV振动、打滑、运动稳定性欠佳及控制精度不高^[4]。为克服这些缺点，本文设计了一种全新的基于轮毂电机的全转向导向机构，它具有直行、横行、两轮转向、四轮转向和零半径转向等多种转向模式，能够在狭小的空间内灵活自由地移动，并可搭载不同类型的搬运机器人以满足工业生产中的不同需求。

1 全转向导向机构的设计

全向AGV是基于四轮独立转向和驱动的方式进行运动的，其导向机构主要由轮毂电机的驱动轮、转向电机、减速器、转向大小齿轮、电磁制动器及基体支架等组成，如图 1所示。全向AGV发生转向时，转向小齿轮绕着固定在车架上的转向大齿轮进行转动，可实现±90°的转向，这样就省去了传统转向拉杆机构，提高了转向平稳性；同时，该导向机构采取的是电磁制动，将刹车片集成到轮毂电机的制动轴上，提高了全向AGV的定位精度。轮毂电机和转向电机内分别装有速度编码器和转角编码器，可对速度和转角进行实时检测和反馈。

2 全向AGV的运动学模型

由于设计的全转向导向机构主要作为搬运机器人的基础部件^[5]，为了不影响机器人的抓取效果及其路径规划的效果，该全转向导向机构的轮胎为刚性轮，且一直在中低速的工况下工作；此外，该导向机构紧固在车架上，并没有悬架结构和机械传动机构，可认为该导向机构不会产生侧偏运动和俯仰运动。假设该全向AGV运动时只有滚动且不会产生打滑的现象，由此可得出基于4WID-4WIS(四轮独立驱动四轮独立转向)的全向AGV的运动学模型。

2.1 四轮转向模式下的运动学模型

当视觉导航系统给定的转向参考角为δ，驱动的参考速度为v时，可得出全向AGV的转向半径为：

$ R = \frac{L}{{2\tan \delta }} $

(1)

式中:L为全向AGV的轴距。

由此可以分别得出左侧车轮和右侧车轮的转向半径R_l、R_r分别为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {R_{\rm{l}}} = \frac{L}{{2\tan \delta }} + \frac{B}{2}\\ {R_{\rm{r}}} = \frac{L}{{2\tan \delta }} - \frac{B}{2} \end{array} \right. $

(2)

式中：B为左轮和右轮之间的轮距。

根据式(1)和式(2)可以得出各个车轮的转角为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\delta _{{\rm{lf}}}} = \arctan \left( {\frac{L}{{L/\tan \delta + B}}} \right)\\ {\delta _{{\rm{rf}}}} = \arctan \left( {\frac{L}{{L/\tan \delta - B}}} \right)\\ {\delta _{{\rm{lr}}}} = {\delta _{{\rm{lf}}}}\\ {\delta _{{\rm{rr}}}} = {\delta _{{\rm{rf}}}} \end{array} \right. $

(3)

基于给定车速，4个轮子的速度分别为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {v_{{\rm{lf}}}} = v{R_1}/\left( {R\cos {\delta _{{\rm{lf}}}}} \right)\\ {v_{{\rm{rf}}}} = v{R_{\rm{r}}}/\left( {R\cos {\delta _{{\rm{rf}}}}} \right)\\ {v_{{\rm{lr}}}} = v{R_1}/R\\ {v_{{\rm{rr}}}} = v{R_{\rm{r}}}/R \end{array} \right. $

(4)

式中：δ_lf为左前轮转角, δ_rf为右前轮转角, δ_lr为左后轮转角, δ_rr为右后轮转角；v_lf为左前轮速度, v_rf为右前轮的速度, v_lr为左后轮的速度, v_rr为右后轮的速度。

2.2 两前轮转向模式下的运动学模型

当全向AGV发生两前轮转向时，其转向半径为：

$ R = \frac{L}{{\tan \delta }} $

(5)

可得出左侧车轮和右侧车轮的转向半径R_l、R_r分别为:

$ \left\{ \begin{array}{l} {R_{\rm{l}}} = \frac{L}{{\tan \delta }} + \frac{B}{2}\\ {R_{\rm{r}}} = \frac{L}{{\tan \delta }} - \frac{B}{2} \end{array} \right. $

(6)

由式(5)和(6)可推出4个轮子的转角分别为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\delta _{{\rm{lf}}}} = \arctan \left( {\frac{L}{{L/\tan \delta + B/2}}} \right)\\ {\delta _{{\rm{rf}}}} = \arctan \left( {\frac{L}{{L/\tan \delta - B/2}}} \right)\\ {\delta _{{\rm{lr}}}} = {\delta _{{\rm{rr}}}} = 0 \end{array} \right. $

(7)

同理基于给定车速，4个轮子的速度可按式(4)计算。

2.3 零半径转向及横向行驶时的运动学模型

当全向AGV发生原地转向时，即AGV绕着自身几何中心点进行转向，4个车轮的转角及速度关系为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\delta _{{\rm{lf}}}} = {\delta _{{\rm{rr}}}} = - \arctan \left( {\frac{L}{B}} \right)\\ {\delta _{{\rm{rf}}}} = {\delta _{{\rm{lr}}}} = \arctan \left( {\frac{L}{B}} \right) \end{array} \right. $

(8)

$ {v_{{\rm{lf}}}} = {v_{{\rm{rf}}}} = {v_{{\rm{lr}}}} = {v_{{\rm{rr}}}} $

(9)

当全向AGV横向行驶时，4个车轮转角为90°，4个车轮的速度均相等。

3 全向AGV运动控制策略

设计的全向AGV是基于视觉导航系统进行上位控制的，根据运动指令和所建立的全向运动算法，可计算得到全向AGV每个轮子的转角和速度。为了快速精确地消除全向AGV的路径偏差，本文利用多步迭代最优控制和模糊控制对AGV路径偏差进行消除。

在全向AGV的路径偏差较小时采取最优控制。传统的最优控制采用LQR(linear quadratic regulator，线性二次型调节器)系统的最优控制器，只能对权矩阵Q、R进行试凑，具有复杂性和不确定性等缺陷^[8-9]，因此本文采用多步预测最优控制来消除较小的路径偏差。利用最优控制的约束条件，对转角和速度进行约束，根据每个轮子的转角和速度的关系，可以同时且快速精确地消除转角和速度偏差，使得实际路径达到期望目标。

在全向AGV路径偏差较大的情况下，由于其线性化模型难以建立，且迭代运算的过程比较复杂，因此采用模糊控制。模糊控制是利用规则库对系统进行控制，不需要建立精确的数学模型^[6]，本文采用的是二维模糊控制器，可保证整个控制系统的动态特性^[7]。利用模糊控制对提高智能全向AGV的运动效率及稳定性有一定的优势。

目前对于全向AGV底层电机控制的研究较少^[10-12]，且多集中在对底层电路的设计上。本文设计的全向AGV是利用转向电机和轮毂电机进行驱动的。根据上层的控制算法可知各车轮的转角和速度之间存在一定的关系，当路况比较复杂时，2个电机的控制精度会受到影响，进而使得2个电机之间产生控制耦合。为提高电机控制精度以及为路径跟踪控制提供充足的纠偏能力，对转向电机和轮毂电机进行底层的解耦控制^[13-14]。本文利用参考模型的解耦思想^[15-16]，在2个电机之间设计了解耦控制器。全向AGV的运动控制策略如图 2所示。

3.1 多步预测最优控制器的设计

对四轮独立控制的全向AGV的运动学误差进行分析，建立偏差较小时的全向AGV运动学模型。车体的位姿偏差可分解为车体的角度偏差e_θ和车体的距离偏差e_d：

$ \left\{ \begin{array}{l} {e_\theta } = \omega + {{\dot \delta }_\theta } = 2v\tan \delta /L + {{\dot \delta }_\theta }\\ {e_d} = - v{e_\theta } - v\tan \delta + {{\dot \delta }_d} \end{array} \right. $

(10)

式中：ω为车体的角速度，ω=2vtan δ/L；$ {\dot \delta _\theta }、{\dot \delta _d}$是路径曲率变化引起的全向AGV的位姿误差。

当全向AGV从某一状态k移动到下一个状态k+1时，其角度偏差和距离偏差可表示为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {e_{{\theta _{k + 1}}}} = {e_{{\theta _k}}} + 2{v_k}{T_{\rm{S}}}\tan \delta /L\\ {e_{{d_{k + 1}}}} = - {T_{\rm{S}}}{v_k}{e_{{\theta _k}}} - {T_{\rm{S}}}{v_k}\tan \delta + {e_{{d_k}}} \end{array} \right. $

(11)

式中：T_S为运动控制的一个周期，v_k为状态k下的驱动速度。

设控制量μ_k=tan δ，将误差偏差模型离散化后可得出：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_{{\theta _{k + 1}}}}}\\ {{e_{{d_{k + 1}}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_{{\theta _k}}}}\\ { - {T_{\rm{S}}}{v_k}{e_{{\theta _k}}} + {e_{{d_k}}}} \end{array}} \right] + \left[ \begin{array}{l} 2{T_{\rm{S}}}{v_k}/L\\ - {T_{\rm{S}}}{v_k} \end{array} \right]{\mu _k} $

(12)

根据多步预测迭代最优控制思想，通过N步迭代可以将角度偏差和距离偏差同时减小为零，即：

$ \left\{ \begin{array}{l} {e_{{\theta _N}}} = 0\\ {e_{{d_N}}} = 0 \end{array} \right. $

(13)

附加约束条件为转角约束和角速度约束：

$ \left\{ \begin{array}{l} \left| {{\mu _k}} \right| \le {\mu _{\max }}\\ \left| {{\omega _k}} \right| = \left| {{\mu _{k + 1}} - {\mu _k}} \right|/{T_{\rm{S}}} \le {\omega _{\max }} \end{array} \right. $

(14)

利用多步迭代最优控制时，可实现最快的纠偏，只需表征控制能量^[17]：

$ J = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {\mu _k^2} $

(15)

将方程(12)引入Lagrange待定数列：

$ {\mathit{\boldsymbol{\lambda }}_{k + 1}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _{1,k + 1}}}&{{\lambda _{2,k + 1}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

(16)

则Hamilton函数为：

$ \begin{array}{l} {H_k} = \frac{1}{2}\mu _k^2 + {\mathit{\boldsymbol{\lambda }}_{k + 1}}^{\rm{T}} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_{{\theta _k}}}}\\ { - {T_{\rm{S}}}{v_k}{e_{{\theta _k}}} + {e_{{d_k}}}} \end{array}} \right] + \left[ \begin{array}{l} \frac{{2{T_{\rm{S}}}{v_k}}}{L}\\ - {T_{\rm{S}}}{v_k} \end{array} \right]{\mu _k}} \right\} \end{array} $

(17)

使目标函数式(15)取得极小值的最优控制序列v_k满足：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\lambda _k} = \frac{{\partial {H_k}}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{X}}_k}}}\\ \frac{{\partial {H_k}}}{{\partial {\mu _k}}} = 0 \end{array} \right. $

(18)

式中：X_k=[e_θk   e_dk]^T。

则由式(18)可推出：

$ {\mu _k} = - \frac{{2C{T_{\rm{S}}}{v_k}}}{L} + {\lambda _{2k}} + \left( {k + 1} \right)C{T_{\rm{S}}}{v_k} $

(19)

式中：λ_2k和C为待定参数。

将式(19)代入式(10)，经迭代变换得到e_θk、e_dk，即位姿偏差之间的关系，然后根据纠偏的目标：e_θN=0，e_dN=0，求解出C和λ_2k，再代入式(18)，则可得到μ_k的控制量表达式为：

$ {\mu _k} = - \frac{{2{L_{{e_{{\theta _0}}}}}}}{{{T_{\rm{S}}}{v_k}N}} + \gamma \left( {k - \frac{{N - 1}}{2}} \right) $

(20)

式中:

$ \gamma = \frac{{\left[ {\frac{{24L{e_{{d_0}}}}}{{{{\left( {{T_{\rm{S}}}{v_k}} \right)}^2}}} + \left( {\frac{{24{L^2}}}{{{{\left( {{T_{\rm{S}}}{v_k}} \right)}^2}}} - \frac{{12LN}}{{{T_{\rm{S}}}{v_k}}} - \frac{{12L}}{{{T_{\rm{S}}}{v_k}}}} \right){e_{{\theta _0}}}} \right]}}{{\left( {7N - {N^3}} \right)}} $

在约束条件下，经过N步迭代的最优控制可以实现最快和精确的纠偏。

3.2 模糊控制器的设计

根据上文的分析可知，AGV的路径偏差可分解为e_d和e_θ，其变化率分别为$ {{\dot e}_d}$和${{\dot e}_\theta } $，反映到四轮独立控制平台上则是距离偏差和转角偏差，通过分析建立2个模糊控制器，即距离模糊控制器和转角模糊控制器，均采取双输入单输出的控制形式^[18]。e_d和e_θ的语言控制量为E_d和E_θ，$ {{\dot e}_d }$和$ {{\dot e}_\theta }$的语言控制量为$ {{\dot E}_d }$和$ {{\dot E}_\theta }$，输出控制量为U_d和U_θ，通过多次行走实验和模糊关系建立模糊规则表。表 1为角度模糊控制规则表，速度模糊控制规则与角度模糊控制规则类似，不再赘述。

3.3 解耦控制器的设计

设转向电机的实际输出和理想输出分别为Y₁、Y_1m，轮毂电机的实际输出和理想输出分别为Y₂、Y_2m，G₁₂是转向电机对轮毂电机的耦合作用，G₂₁是轮毂电机对转向电机的耦合作用，G₁₁、G₂₂分别是两个电机的参考模型，R_n为第n条通道的主输入，由双输入和双输出的参考模型的解耦原理可得^[15]：

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{A}} \times \mathit{\boldsymbol{B}} = \mathit{\boldsymbol{Y}}\\ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_{11}}}&{{G_{12}}}\\ {{G_{21}}}&{{G_{22}}} \end{array}} \right)\\ \mathit{\boldsymbol{B}} = \left( {{B_1},{B_2}} \right)\\ {B_n} = \left( {{R_n} - {Y_n}} \right){C_n} + \left( {{Y_{n\;{\rm{m}}}} - {Y_n}} \right){C_{nn}}\\ \mathit{\boldsymbol{Y}} = \left( {{Y_1},{Y_2}} \right) \end{array} \right. \end{array} $

(21)

式中：n=1, 2。

令$\left| \boldsymbol{A} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_{11}}}&{{G_{12}}}\\ {{G_{21}}}&{{G_{22}}} \end{array}} \right| $，其中A_in为G_in的代数余子式，利用消元的方法可解得：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{Y_1} = \frac{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|\left( {{R_1}{C_1} + {Y_{1{\rm{m}}}}{C_{11}}} \right)}}{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|\left( {{C_1} + {C_{11}}} \right) + {A_{11}}}} - }\\ {\frac{{\sum\limits_{n = 1}^2 {{Y_n}{A_{1n}}} }}{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|\left( {{C_1} + {C_{11}}} \right) + {A_{11}}}}} \end{array} $

(22)

式中：

$ {Y_{1{\rm{m}}}} = \frac{{{R_1}{C_1}{G_{11}}}}{{1 + {C_1}{G_{11}}}},{R_1} = \frac{{{Y_{1{\rm{m}}}}\left( {1 + {C_1}{G_{11}}} \right)}}{{{C_1}{G_{11}}}} $

(23)

C₁₁为设计的解耦控制器, C₁表示主控制器参数。

将式(23)代入式(22)可得：

$ \begin{array}{l} {Y_{1{\rm{m}}}} + {Y_{1{\rm{m}}}}\frac{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right| - {G_{11}}{A_{11}}}}{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|{G_{11}}\left( {{C_1} + {C_{11}}} \right) + {G_{11}}{A_{11}}}} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{G_{11}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^2 {{Y_n}{A_{1n}}} - {A_{11}}{Y_1}} \right)}}{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|{G_{11}}\left( {{C_1} + {C_{11}}} \right) + {G_{11}}{A_{11}}}} = {Y_1} \end{array} $

(24)

同理可解得Y₂。

在实际的控制系统中不考虑|A|=0的情况，当|A|≠0时，由式(24)可得出：只要满足其第2项和第3项的值趋于零，就能使实际输出趋于理想输出。合理地设计控制器就能实现系统的解耦控制，使得转向电机和轮毂电机具有良好的输入输出响应。

4 实验验证及结果分析

为了验证本文所提出的运动控制策略的有效性及可靠性，开发了AGV样机进行实验, 该全向AGV的中心轴距为1 420 mm，左右车轮之间的轮距为1 026 mm，其运动控制方式为四轮独立转向和四轮独立驱动，车载视觉系统安装在车体的上方，主运动控制器采取自主研发的嵌入式系统。AGV样机如图 3所示。

对解耦控制后的转向电机和轮毂电机进行实验，对转向电机进行阶跃速度响应实验，对轮毂电机进行加速、减速的变速实验，结果如图 4和图 5所示。在四轮转向模式下，利用工业PC(personal computer，个人计算机)连接运动控制器以输入不同的参考角度，通过转向传感器和速度传感器进行反馈，得出各轮转角的实验数据如图 6所示。在额定转角为0.174 rad时输入不同参考速度，得出各轮速度的实验数据如图 7所示。同时，对全向AGV进行直线跟踪实验，以1.8 km/h为输入速度，0 rad/s为转角输入速度，使得全向AGV位置的初始误差为：X_e=50 cm，Y_e=60 cm，θ_e=0.785 rad，以(0，0) cm为起点时的跟踪结果如图 8所示；当跟踪轨迹为半径为4 m的圆时，以(0，0) cm为起点的跟踪效果如图 9所示。

通过上述实验数据分析可得出，全向AGV的电机能够提供良好的输出响应，其转角和速度的误差也在理想的控制范围内，AGV在有路径偏差的情况下，具有良好的路径跟踪纠偏能力。

5 结论

1) 设计了一种基于轮毂电机的全向AGV的导向机构，它能够使全向AGV在狭小的空间内灵活运动；基于4WID-4WIS控制方式建立了全向AGV的运动学模型并进行了运动学分析。

2) 针对该全向AGV设计了合理的偏差消除方案，在大偏差时采用模糊控制，在小偏差时采用多步预测最优控制；为了消除控制耦合的影响，在转向电机和轮毂电机间进行了解耦控制，使它们具有良好的输入输出响应，保证了控制精度。

3) 通过实验验证了该全向AGV具有良好的运行效果，满足工业使用要求，可为工业领域的应用提供一些借鉴和参考。