在装备系统研制中, 常采用“用一备一”或“用一备多”的冷贮备结构改进系统可靠性、提高装备可用度、降低系统成本。考虑到不同系统结构、不同部件的重要性和使用维修费用不同，确定关键部件在使用与维修上的优先权是有一定实际意义的。因此具有使用与维修优先权的冷贮备可修系统^[1]作为可靠性理论中的经典模型，广泛应用于工程实践。

Zhang等^[2]研究了不完全维修情况下具有使用优先权的冷贮备系统；Leung等^[3]利用完全维修模型、几何过程维修模型研究了具有维修优先权的冷贮备系统；曹晋华等^[4]假设寿命与维修时间服从指数分布，对具有使用与维修优先权的两部件可修系统进行了研究，得到了一系列可靠性指标；Nakagawa等^[5]采用马尔科夫更新理论研究了重要部件具有使用与维修优先权的冷贮备系统可靠性模型，其中重要部件的工作时间与维修时间服从一般分布，不具有优先权部件的工作时间与维修时间均服从指数分布；贾鹏茹等^[6]研究了由2个不同类型部件和2个维修设备组成的具有使用与维修优先权的冷贮备系统，建立了部件和开关工作时间与维修时间均服从指数分布的可靠性模型。

在上述可靠性建模过程中，一般采用指数分布、正态分布等典型分布描述系统中各部件的工作时间与维修时间。但在工程实践当中，大多冷贮备系统包含不同类型的部件，这些部件的寿命规律存在一定的差异，相对应的维修活动也不尽相同。若在可靠性建模时采用指数分布、正态分布等典型分布来描述系统中的随机变量，会加大模型的解析难度。

为提升模型的适用性，同时保持指数分布易于计算的特性，Netus等^[7]在1975年提出了PH(phase-type)分布并将它应用于可靠性建模。PH分布能够较好地拟合可靠性工程中的实验数据和描述复杂分布，并具有良好的解析特性，可拓宽模型的应用范围，它在可靠性领域中应用广泛。Faddy^[8]利用PH分布表示部件的工作时间，通过更新过程得到了单部件系统的可靠性规律；Montoro-cazorla等^[9]研究了部件工作时间、维修时间均服从PH分布的由2个部件和1个维修设备构成的冷贮备系统的可靠性模型；Liu等^[10]考虑维修工的多重休假，假设部件运行时间、维修时间、维修工休假时间均服从PH分布，建立了多部件冷贮备系统可靠性模型；陈童等^[11]研究了n中取k系统，采用PH分布描述系统的工作状态、储备状态和维修状态，得到了系统稳态可用度、工作时间、平均故障间隔时间等可靠性指标的解析表达式；Riascos-ochoa等^[12]假设冲击到达间隔时间与冲击的强度服从PH分布，研究得到了累积冲击模型的可靠性参数；狄鹏^[13]应用PH分布描述部件在不同状态下的停留时间、维修时间，建立了舰船装备单一工作部件多状态系统可靠性模型。

基于上述研究，本文针对具有使用和维修优先权的多部件冷贮备系统可靠性模型的假设条件过于严格、模型适用性不高的问题，引入PH分布描述部件的寿命分布以及维修时间，建立了一种适用性更强的可靠性模型，并推导了系统可靠度函数、稳态可用度等工程实践中常用可靠性指标的解析表达式。

1 连续phase-type分布

定义1^[14]:假设连续时间马尔科夫链$\left\{ {X\left( t \right)} \right\}_{t \ge 0}^\blacksquare $的状态空间S是有限的，状态空间S由瞬时状态S_t={1, 2，…，n}和一个吸收状态n+1构成，δ=(δ₁, δ₂, …, δ_n), 为瞬时状态的初始概率，δ₀为吸收状态n+1的初始概率，且满足δe+δ₀=1。则该马尔科夫链的无穷小生成元Q为：

$ \mathit{\boldsymbol{Q}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{D}}&{{\mathit{\boldsymbol{D}}_0}}\\ {\bf{0}}&0 \end{array}} \right) $

(1)

其中:e为所有元素均为1的n维列向量；n阶矩阵D描述瞬时状态之间的转移；n×1阶矩阵D₀描述瞬时状态至吸收状态的转移，且D，D₀满足：

$ \mathit{\boldsymbol{De}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_0} = {\bf{0}} $

其中：

$ \mathit{\boldsymbol{D}}\left( {i,i} \right) \le 0,\mathit{\boldsymbol{D}}\left( {i,j} \right) \ge 0\left( {i \ne j} \right) $

$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_0}\left( i \right) \ge 0,\sum\limits_{j \in {S_{\rm{t}}}} {\mathit{\boldsymbol{D}}\left( {i,j} \right) \le 0} $

矩阵Q中n维行向量0表示从吸收状态至瞬时状态的转移没有发生；“0”表示离开吸收状态的转移速率。

将从连续时间马尔科夫链$\left\{ {X\left( t \right)} \right\}_{t \ge 0}^\blacksquare $的瞬时状态S_t进入吸收状态的时间分布定义为phase-type(PH)分布，n阶PH分布表示为(δ, D)，其分布函数为：

$ F\left( t \right) = 1 - \delta \exp \left( {\mathit{\boldsymbol{D}}t} \right)\mathit{\boldsymbol{e}},t \ge 0 $

(2)

定义2^[15]:设A为m×n阶矩阵，B为p×q阶矩阵，则A与B的Kronecker积为：

$ \mathit{\boldsymbol{A}} \otimes \mathit{\boldsymbol{B}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {a_{11}}\mathit{\boldsymbol{B}}\\ \cdots \\ {a_{m1}}\mathit{\boldsymbol{B}} \end{array}&\begin{array}{l} \cdots \\ \\ \cdots \end{array}&\begin{array}{l} {a_{1n}}\mathit{\boldsymbol{B}}\\ \cdots \\ {a_{mn}}\mathit{\boldsymbol{B}} \end{array} \end{array}} \right) $

(3)

定义3^[15]:设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵，则A与B的Kronecker和为：

$ \mathit{\boldsymbol{A}} \oplus \mathit{\boldsymbol{B}} = \mathit{\boldsymbol{A}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n} + {\mathit{\boldsymbol{I}}_m} \otimes \mathit{\boldsymbol{B}} $

(4)

其中I_n和I_m分别表示n阶和m阶单位矩阵。

2 冷贮备系统的描述与假设

假设某冷贮备系统由k个部件与1个维修设备组成，其中1个部件工作，剩余部件冷贮备，下面对问题作进一步假设：

1) 当t=0时，工作部件1和冷贮备部件i(i=2, 3，…, k)均完好。

2) 工作部件1的寿命服从m阶PH分布，用(α, Τ)表示。

3) 冷贮备部件i(i=2, 3，…, k)均相同，且寿命均服从l阶PH分布，用(γ, L)表示。

4) 工作部件1为重要部件，即工作部件1具有使用与维修优先权，当工作部件1维修完成时，若非重要部件i处于工作状态，则替换部件i重新进入工作状态；当工作部件1发生故障，部件i处于维修状态时，则部件i由维修状态转为待修状态，维修设备转而为工作部件1进行维修。

5) 部件经过维修设备维修后恢复如新。其中工作部件1的维修时间服从n阶PH分布，用(β, S)表示；部件i(i=2, 3，…, k)按照先坏先修的原则进行维修，维修时间服从g阶PH分布，用(θ, U)表示。

6) 上述所有的随机变量均相互独立。

7) 备用部件替换故障部件的更换时间忽略不计。

3 冷贮备系统可靠性模型构建 3.1 系统状态空间

令K(t)表示系统内故障部件的数量，(K(t)=0, 1, …, k)；J(t)={j₁(t), j₂(t), …, j_k(t)}表示系统内重要部件与非重要部件所处工作相位；I(t)={i₁(t), i₂(t)}表示重要部件与非重要部件维修工作所处相位，则{K(t), J(t), I(t)}表示一个多维巴尔科夫链。

系统的状态空间可以表示为Ω=H₀∪H_0^*∪…∪H_p∪H_p^*∪…∪H_k-1∪H_(k-1)^*，其中：

H₀={0, j₁(t)}，表示重要部件1完好，系统正常运行，工作部件1处于相位j₁(t)，1≤j₁(t)≤m，系统内部无故障。

H_0^*={1, j₂(t), i₁(t)}，表示重要部件1故障，系统正常运行，工作部件1处于相位j₂(t)，其余部件冷贮备，维修设备正在对工作部件1进行维修，维修工作处于相位i₁(t)，其中1≤j₂(t)≤l, 1≤i₁(t)≤n。

H_p={p, j₁(t), i₂(t)}, 表示重要部件1完好，系统正常运行，工作部件1处于相位j₁(t)，维修设备正在依次对p个故障部件进行维修，维修工作处于相位i₂(t), 其中1≤j₁(t)≤m，1≤i₂(t)≤g。

H_p^*={p+1, j_p+2(t), i₁(t)}，表示重要部件1故障，系统正常运行，工作部件处于相位j_p+2(t)，维修设备正在对重要部件1进行维修，其余p个非重要部件正等待维修，维修工作处于相位i₁(t)，其中1≤j_p+2(t)≤l，1≤i₁(t)≤n。

H_k-1={k-1, j₁(t), i₂(t)}，表示重要部件1完好，工作部件1处于相位j₁(t)，系统正常运行，维修设备正在依次对k-1个故障部件进行维修，维修工作处于相位i₂(t)，其中1≤j₁(t)≤m，1≤i₂(t)≤g。

H_(k-1)^*={k, i₁(t)}表示重要部件1故障，系统停机，维修设备正在对重要部件1进行维修，其余(k-1)个非重要部件正等待维修，维修工作处于相位i₁(t)，其中1≤i₁(t)≤n。

3.2 状态转移矩阵

1) H₀内部转移。K(t)=0，表示系统正常运行且无故障，此时只有工作部件1自身的相位转移，可以用T表示。

2) H_0^*内部转移。K(t)=1，表示非重要部件i(i=2, 3，…, k)工作，重要部件1故障，在同一时刻，工作部件i(i=2, 3，…, k)与部件1的维修过程不能够发生相位转移，因此它们的状态转移矩阵为L $ \oplus $ S。

3) H_p内部转移。K(t)=p，表示重要部件1工作，维修设备对故障部件i(i=2, 3，…, p+1)进行维修，在同一时刻，工作部件1与其余部件的维修过程不能够发生相位转移，因此它们的状态转移矩阵为T$ \oplus $U。

4) H_p^*内部转移。K(t)=p+1，表示非重要部件i(i=p+2, p+3, …, k)工作，重要部件1故障，在同一时刻，工作部件i(i=p+2, p+3, …, k)与部件1维修工作的相位不能够同时改变，因此它们的转移矩阵为L$ \oplus $S。

5) H_(k-1)内部转移。K(t)=k-1，表示重要部件1工作，维修设备对故障部件i(i=2, 3，…, k)进行维修，在同一时刻，工作部件1与其余部件的维修工作的相位不能够同时改变，因此它们的状态转移矩阵为T$ \oplus $U。

6) H_(k-1)^*内部转移。K(t)=k，表示维修设备对重要部件1进行维修，其余部件等待维修，此时只有故障部件1维修工作自身的相位转移，可表示为S。

同理，可以得到宏状态与宏状态之间的状态转移矩阵。得到该马尔科夫链的无穷小生成元Q，如式(5)所示。

$ \mathit{\boldsymbol{Q}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{00}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{00}^ * }}}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{0^ * }0}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{0^ * }{0^ * }}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{0^ * }{1^ * }}}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{10}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{11}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{11}^ * }}}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{1^ * }1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{1^ * }{1^ * }}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{1^ * }{2^ * }}}}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{21}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{22}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{22}^ * }}}}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{\left( {k - 2} \right)}^ * }\left( {k - 2} \right)}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{\left( {k - 2} \right)}^ * }{{\left( {k - 2} \right)}^ * }}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{\left( {k - 2} \right)}^ * }{{\left( {k - 1} \right)}^ * }}}}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\left( {k - 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\left( {k - 1} \right)\left( {k - 1} \right)}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\left( {k - 1} \right){{\left( {k - 1} \right)}^ * }}}}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{\left( {k - 1} \right)}^ * }\left( {k - 1} \right)}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{\left( {k - 1} \right)}^ * }{{\left( {k - 1} \right)}^ * }}}} \end{array}} \right) $

(5)

矩阵Q中各分块矩阵具体表示为:

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{00}} = \mathit{\boldsymbol{T}} $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{00}^ * }}} = {\mathit{\boldsymbol{T}}_0}\beta \otimes \gamma $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{0^ * }0}} = {\mathit{\boldsymbol{S}}_0}\alpha \otimes {\mathit{\boldsymbol{e}}_l} $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{10}} = {\mathit{\boldsymbol{U}}_0} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_m} $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{i{i^ * }}} = {\mathit{\boldsymbol{T}}_0}\beta \otimes {\mathit{\boldsymbol{e}}_g}\gamma ,\;\;\;\;\;\;1 \le i \le k - 2 $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{i^ * }i}} = {\mathit{\boldsymbol{S}}_0}\alpha \otimes {\mathit{\boldsymbol{e}}_l}\theta ,\;\;\;\;\;\;1 \le i \le k - 1 $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{i^ * }{i^ * }}} = \mathit{\boldsymbol{L}} \oplus \mathit{\boldsymbol{S}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le i \le k - 2 $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{i^ * }{{\left( {i + 1} \right)}^ * }}} = {\mathit{\boldsymbol{L}}_0}\gamma \oplus {\mathit{\boldsymbol{I}}_n},\;\;\;\;0 \le i \le k - 3 $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{i\left( {i - 1} \right)}} = {\mathit{\boldsymbol{U}}_0}\theta \oplus {\mathit{\boldsymbol{I}}_m},\;\;\;\;\;2 \le i \le k - 1 $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{ii}} = \mathit{\boldsymbol{T}} \oplus \mathit{\boldsymbol{U}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 \le i \le k - 1 $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{\left( {k - 2} \right)}^ * }{{\left( {k - 1} \right)}^ * }}} = {\mathit{\boldsymbol{L}}_0} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n} $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\left( {k - 1} \right){{\left( {k - 1} \right)}^ * }}} = {\mathit{\boldsymbol{T}}_0}\beta \otimes {\mathit{\boldsymbol{e}}_g} $

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{\left( {k - 1} \right)}^ * }{{\left( {k - 1} \right)}^ * }}} = \mathit{\boldsymbol{S}} $

3.3 系统稳态概率向量

当系统经过长时间运行进入稳定状态时，各状态在转移过程中停留在各个状态对应的概率构成了稳态概率向量π=(π₀, π_0^*, …, π_(k-1), π_(k-1)^*)，且满足以下条件：

$ \left\{ \begin{array}{l} \pi \mathit{\boldsymbol{Q}} = {\bf{0}}\\ \pi \mathit{\boldsymbol{e}} = 1 \end{array} \right. $

(6)

对上述方程进行求解，可计算出系统稳态概率向量π。

4 冷贮备系统可靠性指标 4.1 系统可靠度函数

系统可靠度函数表示系统在[0, t]内不发生故障的概率。对本文模型而言，系统可靠度是指系统在[0, t]内处于状态集H₀∪H_0^*∪…∪H_(k-1)的概率，将系统中的故障状态H_(k-1)^*合并为吸收状态；令$ \tilde K\left( t \right)(\tilde K\left( t \right) = 0, 1, \ldots , k - 1)$表示在时刻t时系统内故障部件的数量; 则$ \{ \tilde K\left( t \right), J\left( t \right), I(t)\} $就构成了一个新的多维马尔科夫链，对应的系统转移矩阵如式(7)所示。

$ \mathit{\boldsymbol{O}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{00}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{00}^ * }}}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{0^ * }0}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{0^ * }{0^ * }}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{0^ * }{1^ * }}}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{10}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{11}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{11}^ * }}}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{1^ * }1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{1^ * }{1^ * }}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{1^ * }{2^ * }}}}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{21}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{22}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{22}^ * }}}}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{\left( {k - 2} \right)}^ * }\left( {k - 2} \right)}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{\left( {k - 2} \right)}^ * }{{\left( {k - 2} \right)}^ * }}}}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\left( {k - 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\left( {k - 1} \right)\left( {k - 1} \right)}}} \end{array}} \right) $

(7)

令W_i(t)表示系统处于状态H_i(i=0, 0^*, …, k-1)的概率；且W_i(t)，O满足下列微分方程：

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{W'}}\left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{W}}\left( t \right)\mathit{\boldsymbol{O}}\\ \mathit{\boldsymbol{O}}\left( 0 \right) = \eta \end{array} \right. $

(8)

解微分方程组，可得R(t)=ηexp(Ot)e，其中W(t)=(W₀(t), W_0^*(t), …, W_k-1(t))；η=(0, 0, ..., 0, α $ \otimes $ θ, 0)为(m+mg(k-1)+ln(k-1))维行向量；e为所有元素均为1的(m+mg(k-1)+ln(k-1))维列向量。

4.2 系统平均故障间隔时间

系统平均故障间隔时间是指从系统故障状态离开又重新回到故障状态的间隔时间。对本文模型而言，当系统离开故障状态H_(k-1)^*时，系统正常运行，当系统再次进入状态H_(k-1)^*时，系统故障。由PH分布定义可知，系统平均故障间隔时间服从(m+mg(k-1)+ln(k-1))阶PH分布，用(η, O)表示，则可得系统平均故障间隔时间(mean time between failures，MTBF)为：

$ {\rm{MTBF}} = - \eta {\mathit{\boldsymbol{O}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{e}} $

(9)

4.3 系统稳态可用度

系统稳态可用度表示系统经过长时间运行后处于工作状态下的概率，即系统处于状态空间H₀∪H_0^*∪…∪H_(k-1)的概率。故系统稳态可用度可表示为：

$ A = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{\pi _i}\mathit{\boldsymbol{e}}} + \sum\limits_{i = {0^ * }}^{{{\left( {k - 2} \right)}^ * }} {{\pi _i}\mathit{\boldsymbol{e}}} = 1 - {\pi _{{{\left( {k - 1} \right)}^ * }}}\mathit{\boldsymbol{e}} $

(10)

4.4 系统稳态故障频率

系统稳态故障频率表示系统进入故障状态H_(k-1)^*的概率。根据系统状态转移矩阵Q，系统只能从状态H_(k-2)^*和H_(k-1)进入故障状态H_(k-1)^*，则有：

$ M = {\pi _{{{\left( {k - 2} \right)}^ * }}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{{\left( {k - 2} \right)}^ * }{{\left( {k - 1} \right)}^ * }}}\mathit{\boldsymbol{e}} + {\pi _{\left( {k - 1} \right)}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\left( {k - 1} \right){{\left( {k - 1} \right)}^ * }}}\mathit{\boldsymbol{e}} $

(11)

系统平均开工时间(mean up-time, MUT)、平均停工时间(mean down-time, MDT)和平均周期(mean cycle time, MCT)分别为：

$ {\rm{MUT}} = \frac{A}{M} $

(12)

$ {\rm{MDT}} = \frac{{1 - A}}{M} $

(13)

$ {\rm{MCT}} = \frac{1}{M} $

(14)

5 算例分析

假设某冷贮备系统由3个部件和1个维修设备组成，其中部件1具有使用与维修优先权，其寿命分布服从参数为0.05的指数分布，用PH分布表示为：α=1，T=-0.05，部件1的维修时间服从一般分布，用PH分布表示为：

$ \beta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right) $

$ \mathit{\boldsymbol{S}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&1\\ 2&{ - 5} \end{array}} \right) $

机械部件2，3冷贮备，其寿命分布均服从形状参数为3.4、尺度参数为0.26的Weibull分布，利用工具EMpht^[16]将它表示为PH分布：

$ \gamma = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0 \end{array}} \right) $

$ \mathit{\boldsymbol{L}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.8682}&0&0\\ 0&{ - 0.8682}&{0.8682}\\ {0.8682}&0&{ - 0.8682} \end{array}} \right) $

部件2，3的维修时间服从形状参数为4、尺度参数为1.5的Weibull分布，将它表示为PH分布：

$ \theta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0 \end{array}} \right) $

$ \mathit{\boldsymbol{U}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5.7572}&0&0\\ 0&{ - 5.7572}&{5.7572}\\ {5.7572}&0&{ - 5.7572} \end{array}} \right) $

由上文分析可得到系统处于稳态时的可靠性参数，以及当冷贮备系统只由部件1和部件2两部件与1个维修设备构成时的可靠性参数，所得结果如图 1和表 1所示。

通过本算例的结果分析，说明本模型能够适应不同类型分布的输入，解析特性较强，有效扩大了模型的适用范围。

6 结论

本文主要研究了在重要部件具有使用与维修优先权的情况下，由多个部件和1个维修设备组成的冷贮备系统的可靠性模型。利用PH分布的稠密性与良好的解析特性，获得了适用性更强的可靠性模型；通过具体算例验证了模型的适用性，讨论了贮备部件数量对系统可靠性指标的影响。同时，本文所得模型主要涉及矩阵计算，在工程实践中具有良好的应用价值。