考虑概率-区间混合不确定性的RV减速器可靠性评估方法

doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2026.05.192

考虑概率-区间混合不确定性的RV减速器可靠性评估方法

谢红娟^,^,¹, 雷华金², 王嘉¹

1.河北工业大学电气工程学院，天津 300401

2.中国航空工业集团航宇救生装备有限公司，湖北襄阳 441003

Reliability assessment method for RV reducers considering probability-interval hybrid uncertainties

XIE Hongjuan^,^,¹, LEI Huajin², WANG Jia¹

1.School of Electrical Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300401, China

2.Aerospace Life-Support Industries Ltd. , Aviation Industry Corporation of China, Xiangyang 441003, China

收稿日期: 2025-09-10 修回日期: 2025-12-01

基金资助:

航空科学基金资助项目. 202400020Y9001

Received: 2025-09-10 Revised: 2025-12-01

作者简介 About authors

谢红娟（1986—），女，硕士，从事可靠性分析研究，E-mail:xie_hongjuan@163.com，https://orcid.org/0009-0000-5238-6636 , E-mail：xie_hongjuan@163.com

摘要

RV（rotate vector，旋转矢量）减速器广泛应用于机器人等复杂机械系统，其可靠性直接影响整机性能和使用寿命，而可靠性评估是可靠性设计与优化的重要基础。目前，RV减速器的可靠性评估通常基于概率理论。但由于机械系统的复杂性以及可靠性影响因素的多源性，在实际工程中很难获取所有不确定因素的概率分布，单纯基于概率理论难以保证可靠性评估结果的准确性。为此，创新性地将概率-区间混合不确定性理论引入RV减速器的可靠性评估中，并基于应力-强度干涉理论构建RV减速器的多部件失效准则，从而提出了一种新的RV减速器可靠性评估方法。其中，针对概率-区间混合可靠性计算问题，建立了一种双层嵌套循环求解框架；针对多维混合可靠性计算效率低的问题，分别基于修正混沌控制方法和乘法降维法，提高了概率可靠性和区间不确定性的求解效率。算例结果表明，不确定因素表征方式对可靠性评估结果存在显著影响，采用概率-区间混合不确定参量描述可靠性影响因素，更符合RV减速器服役可靠性的实际情况。所提出的方法为RV减速器的可靠性评估提供了新思路，这可为复杂装备的可靠性设计与优化提供有力支撑。

关键词： RV（rotate vector）减速器 ; 混合不确定性 ; 可靠性评估 ; 失效准则

Abstract

RV (rotate vector) reducers are widely used in complex mechanical systems such as robots. Their reliability directly affects the performance and service life of the entire system, and reliability assessment serves as a crucial foundation for reliability design and optimization. Currently, the reliability assessment for RV reducers is usually based on probability theory. However, due to the complexity of mechanical systems and the multiple sources of factors influencing reliability, it is difficult to obtain the probability distributions of all uncertain factors in practical engineering. Relying solely on probability theory makes it hard to ensure the accuracy of reliability assessment results. To address this issue, the probability-interval hybrid uncertainty theory was innovatively introduced into the reliability assessment of RV reducers. Based on the stress-strength interference theory, the multi-component failure criteria for RV reducers were established, and a new reliability assessment method for RV reducers was proposed. Specifically, a double-layer nested loop solution framework was established to solve the problem of probability-interval hybrid reliability calculation. To tackle the low efficiency of multi-dimensional hybrid reliability calculation, the modified chaos control method and the multiplicative dimensionality reduction method were respectively adopted to improve the solution efficiency of probabilistic reliability and interval uncertainty. The results of numerical examples showed that the characterization method of uncertain factors had a significant impact on the reliability assessment results. Using probability-interval hybrid uncertain parameters to describe the uncertain factors was more in line with the actual service reliability of RV reducers. The proposed method provides a new approach for the reliability evaluation of RV reducers, which can offer valuable support for the reliability design and optimization of complex equipment.

Keywords： RV (rotate vector) reducer ; hybrid uncertainty ; reliability assessment ; failure criterion

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本文引用格式

谢红娟, 雷华金, 王嘉. 考虑概率-区间混合不确定性的RV减速器可靠性评估方法[J]. 工程设计学报, 2026, 33(2): 265-274 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2026.05.192

XIE Hongjuan, LEI Huajin, WANG Jia. Reliability assessment method for RV reducers considering probability-interval hybrid uncertainties[J]. Chinese Journal of Engineering Design, 2026, 33(2): 265-274 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2026.05.192

RV（rotate vector，旋转矢量）减速器是一种新型的摆线针轮行星传动机构，具有传动精度高、体积小、刚度大、质量小、结构紧凑和传动比大等优点^[1]，目前已被广泛应用于机器人、航空航天装备、数控机床和医疗设备等多个领域^[2]。RV减速器多部件的随机扰动会影响其整体运行稳定性和使用寿命^[3]。因此，开展RV减速器可靠性评估，对保障机械设备安全运行、降低维护成本和提高经济效益具有重要意义^[4-5]。

现阶段，许多学者针对RV减速器的可靠性问题展开了广泛研究。在考虑RV减速器时变特性方面，乔雪涛等^[6]基于Workbench和nCode软件对摆线轮的疲劳寿命及可靠性进行了分析；周坤等^[7]提出了一种基于高应力加速退化试验与传动精度退化模型的RV减速器可靠性分析方法；杜雪松等^[8]同时考虑强度退化和失效相关性，探究了主要设计参数对RV减速器可靠性的影响；李金峰等^[9]结合RV减速器传动误差与回差的性能退化试验数据，对其可靠性及预期失效寿命进行了研究。在考虑RV减速器多失效行为方面，郑胜予等^[10]构建了考虑多级子部件失效相关性的RV减速器可靠性分析模型；李杰等^[11]针对RV减速器可靠性分析中部分故障数据已知以及模糊故障树无法反向推理等问题，提出了一种基于模糊贝叶斯网络的RV减速器可靠性分析模型；白斌等^[12]针对RV减速器主要零部件失效概率预测困难的问题，提出了一种基于模糊数学思想的专家评估与多层次分析相结合的可靠性评估方法。在上述RV减速器可靠性分析与评估模型的基础上，国内外学者进一步围绕其可靠性优化问题开展了大量研究^[13-16]。

尽管RV减速器的可靠性研究已取得显著进展，但当前的可靠性分析与评估大多基于概率理论，即假设不确定因素服从特定的概率分布，这需要大量样本数据来构建准确的分布函数。然而，RV减速器内部结构复杂且失效机理多样，受限于紧凑的内部结构和有限的测量手段，部分不确定参量的样本信息很难大量获取，无法构建准确的概率分布函数。若仍采用理想的概率假定，则会导致可靠性评估不准确甚至错误。此外，RV减速器可靠性的影响因素众多，而考虑多维不确定因素的可靠性分析方法极其复杂，涉及多变量函数的迭代求解，计算成本高且效率低，计算时间远超预期^[17-18]。

为此，本文针对RV减速器多失效模式下的可靠性分析问题，基于概率-区间混合不确定性理论提出了一种新的可靠性评估方法。首先，根据应力-强度干涉理论，构建RV减速器多部件的失效准则。随后，分别采用概率变量和区间变量来描述大样本量和小样本量下的不确定参量，并提出概率-区间混合可靠性问题的双层嵌套循环求解框架。针对概率问题，采用修正混沌控制方法（modified chaos control method, MCCM）实现快速求解；针对区间问题，利用乘法降维法（multiplicative dimensionality reduction method, MDRM）实现精准量化。最后，通过与参考解对比来验证所提出的可靠性评估方法的高效性与鲁棒性，并进一步分析RV减速器在不同失效模式下的混合可靠性特征。

1 RV减速器的失效模式

RV减速器由一级行星齿轮传动机构和一级摆线针轮传动机构组成，其结构如图1所示。RV减速器的主要失效形式包括行星轮齿面接触疲劳失效、行星轮齿根弯曲疲劳失效和摆线轮齿面接触疲劳失效。

图1

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图1 RV减速器结构示意图

Fig.1 Schematic diagram of RV reducer structure

1.1　行星轮齿面接触疲劳失效

RV减速器的输入转矩T_a可表示为：

T_{a} = \frac{60 P}{2 π n}

(1)

式中：P为输入功率，n为输入转速。

RV减速器中心轮的转矩T₁可表示为：

T_{1} = \frac{T_{a}}{N_{p}} k_{p}

(2)

式中：N_p为行星轮数量，k_p为行星轮间载荷分配不平衡系数。

中心轮端面中分度圆的圆周力F_t可表示为：

F_{t} = \frac{2 T_{1}}{d}

(3)

式中：d为中心轮节圆直径。

行星轮齿面接触应力σ_H的计算式如下：

σ_{H} = Z_{H} Z_{E} Z_{ε} Z_{β} \sqrt[]{\frac{F_{t}}{d b} \cdot \frac{u + 1}{u} \cdot K_{A} K_{V} K_{H β} K_{H α}}

(4)

式中： $Z_{H}$ 为节点区域系数， $Z_{E}$ 为弹性系数， $Z_{ε}$ 为接触比系数， $Z_{β}$ 为螺旋角系数，K_A为使用系数，K_V为动载系数， $K_{H β}$ 为沿齿宽方向的载荷分布系数， $K_{H α}$ 为齿间载荷分布系数， $b$ 为齿宽， $u$ 为传动比。

行星轮齿面接触疲劳强度σ_{H lim j}可表示为：

σ_{H l i m j} = σ_{H l i m} Z_{N} Z_{R} Z_{V} Z_{W} Z_{L} Z_{X}

(5)

式中：σ_{H lim}为试验齿轮的齿面接触疲劳极限，Z_N为寿命系数，Z_R为齿面粗糙度系数，Z_V为速度系数，Z_W为工作硬化系数，Z_L为润滑剂系数，Z_X为计算接触强度的尺寸系数。

当齿面接触应力超过接触疲劳强度时，行星轮失效。基于应力-强度干涉模型^[17]，行星轮齿面接触疲劳失效的极限状态函数g₁可表示为：

g_{1} = σ_{H l i m j} - s_{f 1} σ_{H}

(6)

式中： $s_{f 1}$ 为行星轮齿面接触疲劳失效安全系数。

1.2　行星轮齿根弯曲疲劳失效

行星轮齿根弯曲疲劳失效是导致RV减速器失效的主要模式之一。行星轮齿根弯曲应力σ_F的计算式如下：

σ_{F} = \frac{F_{t}}{b m_{n}} Y_{F a} Y_{S a} Y_{ε} Y_{β} K_{A} K_{V} K_{F β} K_{F α}

(7)

式中： $m_{n}$ 为齿轮法向模数， $Y_{F a}$ 为齿形系数， $Y_{S a}$ 为应力修正系数， $Y_{ε}$ 为接触比系数， $Y_{β}$ 为螺旋角系数， $K_{F β}$ 为沿齿宽方向的载荷分布系数， $K_{F α}$ 为齿间载荷分布系数。

行星轮齿根弯曲疲劳强度σ_{F lim j}可表示为：

σ_{F l i m j} = σ_{F l i m} Y_{S T} Y_{N T} Y_{δ r e l T} Y_{R r e l T} Y_{X}

(8)

式中： $σ_{F l i m}$ 为试验齿轮的齿根弯曲疲劳极限， $Y_{S T}$ 为试验齿轮的应力修正系数， $Y_{N T}$ 为寿命系数， $Y_{δ r e l T}$ 为相对齿根圆角敏感系数， $Y_{R r e l T}$ 为相对齿根表面状况系数， $Y_{X}$ 为计算弯曲强度的尺寸系数。

综上，行星轮齿根弯曲疲劳失效的极限状态函数g₂可表示为：

g_{2} = σ_{F l i m j} - s_{f 2} σ_{F}

(9)

式中： $s_{f 2}$ 为行星轮齿根弯曲疲劳失效安全系数。

1.3　摆线轮齿面接触疲劳失效

由于RV减速器中摆线轮的复杂性和特殊性，当摆线轮与针轮啮合时，其齿面容易发生接触疲劳。因此，摆线轮与针轮之间的接触疲劳失效也是常见的失效模式之一。摆线轮齿面接触应力σ_1H的计算式如下：

σ_{1 H} = σ_{1 H 0} \sqrt[]{K K_{1 A} K_{1 V} K_{1 H}}

(10)

式中：K为计算系数，K_1A为使用系数，K_1V为动载系数，K_1H为齿间载荷分布系数，σ_1H0为接触应力初始值。

摆线轮齿面接触疲劳强度 $σ_{1 H l i m s}$ 可表示为：

σ_{1 H l i m s} = σ_{1 H l i m} Z_{1 N} Z_{1 L} Z_{1 V} Z_{1 R} Z_{1 W} Z_{1 X}

(11)

式中：σ_{1H lim}为试验齿轮的齿面接触疲劳极限，Z_1N为寿命系数，Z_1L为润滑剂系数，Z_1V为速度系数，Z_1R为粗糙度系数，Z_1W为工作硬化系数，Z_1X为计算接触强度的尺寸系数。

则摆线轮齿面接触疲劳失效的极限状态函数g₃可表示为：

g_{3} = σ_{1 H l i m s} - s_{f 3} σ_{1 H}

(12)

式中： $s_{f 3}$ 为摆线轮齿面接触疲劳失效安全系数。

2 概率-区间混合可靠性求解方法

受限于对RV减速器复杂失效机理认知的不足，加上运行环境波动、制造装配偏差等系统随机性因素的耦合影响，仅依靠传统概率变量难以准确描述各因素对系统可靠性的影响，故需采用差异化的不确定性参数表征方式。为此，本文结合区间变量和概率变量，描述RV减速器中相关不确定性因素的分布形式，并对考虑概率-区间混合不确定性的RV减速器可靠性评估问题展开研究。

对于概率-区间混合不确定性系统，假设系统中存在N个相互独立的概率变量和M个相互独立的区间变量，分别记为 $X = [X_{1} X_{2} \dots X_{N}]$ ， $Y = [Y_{1} Y_{2} \dots Y_{M}]$ 。则不确定性系统响应的极限状态函数 $g (X, Y)$ 可表示为：

g (X, Y) = z_{m a x} - z (X, Y)

式中： $z (X, Y)$ 为系统响应值，z_max为系统响应的容许值。

当系统响应值大于容许值时， $g (X, Y) < 0$ ，表示结构失效，则系统的失效概率P_f可表示为：

P_{f} = P (g (X, Y) < 0)

在概率-区间混合不确定性系统中，因存在区间变量，故系统响应的极限状态函数可表示为一个下边界 $\underset{Y}{m i n} g (U, Y) = 0$ 和一个上边界 $\underset{Y}{m a x} g (U, Y) = 0$ 的带状区域（ U 为概率变量 X 在标准正态空间内的取值），其二维平面示意图如图2所示。

图2

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图2 极限状态函数的二维平面示意图

Fig.2 Schematic diagram of limit state function in the two-dimensional plane

由图2可知，此时结构的可靠度指标β从确定值转化为区间值， $β \in [β_{m i n}, β_{m a x}]$ 。其中，β_min、β_max分别为可靠度的最小值和最大值。在本文研究中，重点关注结构的最大失效概率 $P_{f}^{m a x}$ 。因此，只需对最小可靠度 $β_{m i n}$ 进行求解：

\{\begin{array}{l} β_{m i n} = \underset{U}{m i n} ‖U‖ \\ s . t . \underset{Y}{m i n} g (U, Y) = 0 \end{array}

针对概率-区间混合不确定性系统，采用双层嵌套循环求解策略，将概率-区间混合可靠性转化为概率可靠性和区间不确定性的循环迭代求解，以实现混合不确定性系统可靠性的精准快速预测。

2.1　概率可靠性求解

式(15)的求解涉及概率可靠性和区间不确定性的循环求解。在概率可靠性求解中，当极限状态函数的非线性程度较低时，可采用HL-RF（Hasofer-Lind-Rackwitz-Fiessler）算法；而当极限状态函数的非线性程度较高时，随机变量会在迭代过程中出现振荡，导致计算结果不收敛。针对以上问题，常采用CCM，其迭代求解格式可表示为^[19]：

\{\begin{array}{l} U^{k + 1} = U^{k} + λ C (h (U^{k}, Y^{k}) - U^{k}) \\ h (U^{k}, Y^{k}) = - β^{k + 1} \frac{\nabla g (U^{k}, Y^{k})}{‖\nabla g (U^{k}, Y^{k})‖} \\ β^{k + 1} = \frac{g (U^{k}, Y^{k}) - \nabla g {(U^{k}, Y^{k})}^{T} U^{k}}{‖\nabla g (U^{k}, Y^{k})‖} \end{array}

(16)

式中：λ为控制参数， $λ \in (0, 1)$ ，当 $λ = 1$ 时，式(16)退化为HL-RF算法； C 为N维对合矩阵；k为迭代步数。

然而，在CCM中，迭代步长受到严格的控制，导致其计算效率较低。为解决上述问题，将CCM计算得到的向量 $n (U^{k + 1})$ 作为新的方向向量，保留其在切向上的步长控制，放松其在径向上的步长控制^[20]。修正后的CCM（MCCM）可表示为：

\{\begin{array}{l} U^{k + 1} = β^{k + 1} \frac{n (U^{k + 1})}{‖n (U^{k + 1})‖} \\ n (U^{k + 1}) = U^{k} + λ C (h (U^{k}, Y^{k}) - U^{k}) \\ h (U^{k}, Y^{k}) = - β^{k + 1} \frac{\nabla g (U^{k}, Y^{k})}{‖\nabla g (U^{k}, Y^{k})‖} \\ β^{k + 1} = \frac{g (U^{k}, Y^{k}) - \nabla g {(U^{k}, Y^{k})}^{T} U^{k}}{| | \nabla g (U^{k}, Y^{k}) | |} \end{array}

(17)

图3所示为不同概率可靠性求解方法的迭代过程。在该算例中，极限状态函数 $g (X) = X_{1}^{4} + 2 X_{2}^{4} - 20$ ，其中变量X₁和X₂均服从正态分布N(10, 5)。图中： $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 分别表示 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 在标准正态分布空间中的取值。图3结果表明：HL-RF算法无法获取结构失效概率，而CCM可有效避免概率可靠性求解过程中的不收敛问题；采用MCCM求解时，仅需少量迭代即可获取结构的失效概率，可在解决收敛问题的同时大幅提高概率可靠性的求解效率。

图3

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图3 不同概率可靠性求解方法的迭代过程

Fig.3 Iterative process of different probability-based reliability solving methods

2.2　区间不确定性求解

在区间不确定性求解中，涉及多个区间变量的两两组合，需要大量的重复计算。为解决上述问题，根据MDRM^[21]，将第k+1个迭代步的极限状态函数 $g (U^{k + 1}, Y)$ 在区间变量中值处展开：

g (U^{k + 1}, Y) \approx g (U^{k + 1}, Y^{c})^{1 - M} \prod_{j = 1}^{M} g_{j} (U^{k + 1}, Y_{- j}^{c})

(18)

式中： Y^c为区间中值向量， $Y^{c} = [Y_{1}^{c} Y_{2}^{c} \dots Y_{M}^{c}]$ ； $Y_{- j}^{c}$ 为除去变量 $Y_{j}$ 的区间中值向量， $Y_{- j}^{c} = [Y_{1}^{c} Y_{2}^{c} \dots Y_{j - 1}^{c} Y_{j + 1}^{c} \dots Y_{M}^{c}]$ 。

对式(18)进行二阶泰勒展开，可得：

\begin{array}{l} g_{j} (U^{k + 1}, Y_{- j}^{c}) = g (U^{k + 1}, Y^{c}) + \frac{\partial g_{j} (U^{k + 1}, Y^{c})}{\partial Y_{j}} δ_{j} Y_{j}^{r} + \\ \frac{\partial^{2} g_{j} (U^{k + 1}, Y^{c})}{\partial Y_{j}^{2}} \frac{{(δ_{j} Y_{j}^{r})}^{2}}{2} \end{array}

(19)

式中： $Y_{j}^{r}$ 为区间变量半径；δ_j 为系数， $δ_{j} \in [- 1, 1]$ 。

将式(19)表示为二次函数形式：

g_{j} (U^{k + 1}, Y_{- j}^{c}) = a_{j} δ_{j}^{2} + b_{j} δ_{j} + c_{j}

(20)

其中：

\begin{matrix} a_{j} = \frac{\partial^{2} g_{j} (U^{k + 1}, Y^{c})}{\partial Y_{j}^{2}} \frac{{(Y_{j}^{r})}^{2}}{2} \\ b_{j} = \frac{\partial g_{j} (U^{k + 1}, Y^{c})}{\partial Y_{j}} Y_{j}^{r} \\ c_{j} = g (U^{k + 1}, Y^{c}) \end{matrix}

此时，式(18)中的区间不确定性求解问题转化为函数极值求解问题，进而可减少区间不确定性求解的迭代次数，提高了求解效率。更新后的区间变量可表示为：

Y^{k + 1} = Y^{c} + δ^{k + 1} Y^{r}

(21)

其中：

Y^{r} = [Y_{1}^{r} Y_{2}^{r} \dots Y_{M}^{r}]

δ_{}^{k + 1} = [δ_{1}^{k + 1} δ_{2}^{k + 1} \dots δ_{M}^{k + 1}]

通过对概率可靠性和区间极值问题的循环求解，即可实现对式(15)中优化问题的求解。当计算结果满足式(22)所示的收敛条件时，停止求解。

\{\begin{array}{l} \frac{‖U^{k + 1} - U^{k}‖}{‖U^{k}‖} \leq ϵ_{1} \\ g (U^{k + 1}, Y^{k + 1}) \leq ϵ_{2} \end{array}

(22)

式中： $ϵ_{1}$ 和 $ϵ_{2}$ 为容许误差，此时对应的 $U^{k + 1}$ 即为标准正态分布空间中的最可能失效点。

基于上述双层嵌套循环求解策略，构建基于MCCM-MDRM的混合可靠性求解方法，其计算流程如图4所示。

图4

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图4 概率-区间混合可靠性求解流程

Fig.4 Solution process of probability-interval hybrid reliability

3 算例分析

为了验证本文所提出的混合可靠性求解方法（MCCM-MDRM）的高效性与鲁棒性，基于具体算例对RV减速器在不同失效模式下的混合可靠性进行评估。在本研究中，不考虑多种失效模式之间的相关性。采用蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation, MCS）及自适应Kriging蒙特卡洛模拟（adaptive Kriging MCS, AK-MCS）的计算结果作为参考解。不同失效模式下相关参数的取值与分布情况如表1至表3所示。

表1 行星轮齿面接触疲劳失效分析中相关参数的取值与分布

Table 1 Values and distributions of relevant parameters used for contact fatigue failure analysis of planetary gear tooth surface

参数	数值1	数值2	分布类型	参数	数值1	数值2	分布类型
Z_N	1.5	0.06	正态分布	σ_{H lim}/MPa	1 180	35	正态分布
Z_R	0.97	0.019 4	正态分布	d/mm	24	0.24	正态分布
Z_V	0.98	0.019 6	正态分布	b/mm	7	0.14	正态分布
Z_W	1	0.02	正态分布	n/(r/min)	450	45	正态分布
Z_L	0.96	0.019 2	正态分布	u	2	0	常数
Z_E/(MPa)^1/2	189.8	3.0	正态分布	K_A	1.5	0.15	区间分布
Z_X	1	0	常数	K_V	1.04	0.031 2	区间分布
Z_H	2.5	0	常数	K_H_β	1.2	0.06	区间分布
Z_ε	0.85	0	常数	K_H_α	1.017	0.03	区间分布
Z_β	0.99	0	常数

注：正态分布中数值1为均值，数值2为标准差；区间分布中数值1为区间中值，数值2为区间半径。

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表2 行星轮齿根弯曲疲劳失效分析中相关参数的取值与分布

Table 2 Values and distributions of relevant parameters used for bending fatigue failure analysis of planetary gear tooth root

参数	数值1	数值2	分布类型	参数	数值1	数值2	分布类型
Y_ST	0.7	0.02	对数正态分布	Y_ε	0.98	0	常数
Y_NT	0.2	0.02	对数正态分布	Y_β	0.69	0	常数
Y_δ_relT	1	0.03	Gumbel分布	m_n/mm	1.5	0	常数
Y_RrelT	1	0.03	Gumbel分布	σ_{F lim}/MPa	830	25	正态分布
Y_X	0.75	0.015	正态分布	K_F_β	1.6	0.16	区间分布
Y_Fa	3.8	0.125 4	正态分布	K_F_α	1.4	0.14	区间分布
Y_Sa	1.63	0.065 2	正态分布

注：对数正态分布中数值1、数值2分别为相应正态分布的均值和标准差；Gumbel分布中数值1、数值2分别为位置参数值和尺度参数值；正态分布中数值1为均值，数值2为标准差；区间分布中数值1为区间中值，数值2为区间半径。

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表3 摆线轮齿面接触疲劳失效分析中相关参数的取值与分布

Table 3 Values and distributions of relevant parameters used for contact fatigue failure analysis of cycloidal gear tooth surface

参数	数值1	数值2	分布类型	参数	数值1	数值2	分布类型
Z_1N	1.4	0.07	正态分布	K	1	0.13	区间分布
Z_1L	0.97	0.024 3	正态分布	K_1A	1.5	0.45	区间分布
Z_1V	0.96	0.019 2	正态分布	K_1V	1.04	0.041 6	区间分布
Z_1R	0.95	0.019	正态分布	K_1H	1.2	0.06	区间分布
Z_1W	1	0.02	正态分布	σ_{1H lim}/MPa	1 650	50	正态分布
Z_1X	1	0	常数	σ_1H0/MPa	938.7	75	正态分布

注：正态分布中数值1为均值，数值2为标准差；区间分布中数值1为区间中值，数值2为区间半径。

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表4所示为当安全系数s_f1=1.3时，不同样本量下基于MCS方法的行星轮齿面接触疲劳最大失效概率的计算结果。表4结果表明：随着样本量的增加，MCS方法的计算结果逐渐收敛。为保证计算精度和计算效率，在后续所有计算中，采用样本量为1 000 000时的MCS计算结果作为参考解。

表4 基于MCS方法的行星轮齿面接触疲劳最大失效概率计算结果

Table 4 Calculation results of maximum failure probability for planetary gear tooth surface contact fatigue based on MCS method

样本量	100 000	200 000	1 000 000	2 000 000
最大失效概率	0.278 5	0.277 4	0.276 7	0.276 9

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图5所示为不同安全系数s_f1下行星轮齿面接触疲劳最大失效概率的变化曲线。图中“不考虑混合不确定性”表示仅将区间变量变为概率变量（不改变参数取值，只改变其分布形式）的情况。从图5中可以看出，当不考虑概率-区间混合不确定性时，行星轮齿面接触疲劳最大失效概率的预测结果偏小，导致可靠性评估结果存在偏差；当考虑混合不确定性时，本文所提出的方法（MCCM-MDRM）与MCS方法的计算结果吻合良好，验证了本文方法的准确性。

图5

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图5 行星轮齿面接触疲劳最大失效概率随安全系数的变化曲线

Fig.5 Variation curves of maximum failure probability of planetary gear tooth surface contact fatigue with safety factor

表5所示为安全系数s_f1=1.3时，不同控制参数λ下行星轮齿面接触疲劳最大失效概率的计算结果。表5结果表明：在不同控制参数下，本文所提出的方法（MCCM-MDRM）能获得一致的计算结果，验证了本文方法的鲁棒性。表6所示为不同控制参数λ下行星轮齿面接触疲劳最大失效概率的迭代求解次数。表6结果表明：本文所提出的方法在控制参数较小时的计算效率与AK-MCS方法接近。随着控制参数的增大，本文所提出的方法所需的迭代求解次数逐渐减少，验证了本文方法的高效性。在后续计算中，取控制参数λ=0.5。

表5 不同控制参数下行星轮齿面接触疲劳最大失效概率的计算结果

Table 5 Calculation results of maximum failure probability of planetary gear tooth surface contact fatigue under different control parameters

计算方法	λ=0.2	λ=0.4	λ=0.6	λ=0.8
相对误差/%	2.53	2.53	2.53	2.53
MCS	0.276 7	0.276 7	0.276 7	0.276 7
MCCM-MDRM	0.269 7	0.269 7	0.269 7	0.269 7

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表6 不同控制参数下行星轮齿面接触疲劳最大失效概率的迭代求解次数

Table 6 Iterative solution numbers of maximum failure probability of planetary gear tooth surface contact fatigue under different control parameters

计算方法	λ=0.2	λ=0.4	λ=0.6	λ=0.8
AK-MCS	53	53	53	53
MCCM-MDRM	48	24	15	10

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综上，本文方法的计算误差主要来源于两方面：第一，MCCM以一阶可靠度求解方法为基础，在处理高非线性问题时存在固有局限性，易导致计算结果产生误差；第二，MDRM在区间中值处进行二阶泰勒展开，这种基于局部线性化的近似处理，在面对高非线性问题时难以精准适配复杂的非线性关系，进而可能导致结果产生误差。

图6所示为不同安全系数s_f2下行星轮齿根弯曲疲劳最大失效概率的变化曲线。在该分析中，概率变量存在多种分布形式，如正态分布和对数正态分布。从图6中可以看出，本文所提出的方法（MCCM-MDRM）在处理多类型分布的概率变量时，仍能保持较高的计算精度。此外，当不考虑混合不确定性时，MCCM-MDRM预测的最大失效概率偏小，进一步说明了考虑概率-区间混合不确定性的必要性。

图6

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图6 行星轮齿根弯曲疲劳最大失效概率随安全系数的变化曲线

Fig.6 Variation curves of maximum failure probability of planetary gear tooth root bending fatigue with safety factor

表7所示为不同安全系数s_f2下行星轮齿根弯曲疲劳最大失效概率的计算结果。表7结果表明：本文所提出的方法（MCCM-MDRM）的计算结果与MCS方法的计算结果吻合良好，进一步验证了本文方法的准确性。表8所示为不同安全系数s_f2下MCCM-MDRM和AK-MCS方法的迭代求解次数对比。表8结果表明：AK-MCS方法所需的迭代求解次数受失效概率影响，而本文所提出的方法仅需少量迭代即可获得混合可靠性的评估结果，且计算结果不受失效概率的影响，验证了本文方法的鲁棒性。

表7 不同安全系数下行星轮齿根弯曲疲劳最大失效概率的计算结果

Table 7 Calculation results of maximum failure probability of planetary gear tooth root bending fatigue under different safety factors

计算方法	s_f2=1.1	s_f2=1.2	s_f2=1.3
相对误差/%	3.03	2.17	1.07
MCS	0.006 27	0.023 51	0.065 34
MCCM-MDRM	0.006 08	0.023 00	0.064 64

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表 8 不同安全系数下行星轮齿根弯曲疲劳最大失效概率的迭代求解次数

Table 8 Iterative solution numbers of maximum failure probability of planetary gear tooth root bending fatigue under different safety factors

计算方法	s_f2=1.1	s_f2=1.2	s_f2=1.3
AK-MCS	88	76	45
MCCM-MDRM	20	19	18

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图7与表9所示为不同安全系数s_f3下摆线轮齿面接触疲劳最大失效概率的计算结果。从图7中可以看出，当不考虑混合不确定性时，摆线轮齿面接触疲劳最大失效概率的预测结果存在较大偏差；当考虑混合不确定性时，本文所提出的方法（MCCM-MDRM）与MCS方法的预测结果吻合良好，说明本文方法可准确预测摆线轮齿面接触疲劳失效行为。表10所示为不同初值条件（ U⁰、 Y⁰的取值不同）下摆线轮齿面接触疲劳最大失效概率的计算结果。表10结果表明：本文所提出的方法在不同初值条件下均能保持计算结果的稳定性，进一步验证了本文方法的鲁棒性。

图7

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图7 摆线轮齿面接触疲劳最大失效概率随安全系数的变化曲线

Fig.7 Variation curves of maximum failure probability of cycloidal gear tooth surface contact fatigue with safety factor

表9 不同安全系数下摆线轮齿面接触疲劳最大失效概率的计算结果

Table 9 Calculation results of maximum failure probability of cycloidal gear tooth surface contact fatigue under different safety factors

计算方法	s_f3=1.0	s_f3=1.1	s_f3=1.2
相对误差/%	1.65	1.36	1.01
MCS	0.015 15	0.106 83	0.333 95
MCCM-MDRM	0.015 40	0.105 38	0.337 32

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表10 不同初值条件下摆线轮齿面接触疲劳最大失效概率的计算结果

Table 10 Calculation results of maximum failure probability of cycloidal gear tooth surface contact fatigue under different initial value conditions

计算方法	初值条件
计算方法	$\begin{matrix} U^{0} = 0.2 I \\ Y^{0} = Y^{c} + 0.2 Y^{r} \end{matrix}$	$\begin{matrix} U^{0} = - 0.2 I \\ Y^{0} = Y^{c} - 0.2 Y^{r} \end{matrix}$	$\begin{matrix} U^{0} = 0.4 I \\ Y^{0} = Y^{c} + 0.4 Y^{r} \end{matrix}$	$\begin{matrix} U^{0} = - 0.4 I \\ Y^{0} = Y^{c} - 0.4 Y^{r} \end{matrix}$
相对误差/%	1.01	1.01	1.01	1.01
MCS	0.333 95	0.333 95	0.333 95	0.333 95
MCCM-MDRM	0.337 32	0.337 32	0.337 32	0.337 32

注：I 为单位矩阵。

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4 结论

本文考虑RV减速器可靠性评估中同时存在的概率、区间不确定性变量，基于应力-强度干涉理论构建了RV减速器多部件的失效准则，并提出了适用于RV减速器的概率-区间混合可靠性评估方法，主要结论如下。

1）创新性地将概率-区间混合不确定性理论引入RV减速器可靠性评估中，提出了考虑概率-区间混合不确定性的RV减速器可靠性双层嵌套循环求解策略。同时，结合MCCM和MDRM完成了对混合可靠性的快速求解。本文所提出方法的计算结果与参考解吻合良好，说明其可实现RV减速器在不同失效模式下的混合可靠性评估。

2）混合不确定性对RV减速器可靠性有显著影响，不考虑混合不确定性会导致RV减速器失效概率预测结果较实际情况偏小，这可能会导致RV减速器失效的错误预判。

3）所提出的可靠性评估方法在不同参数条件下的计算结果均能保持良好的稳定性，且仅需少量迭代即可获得RV减速器在不同失效模式下的混合可靠性，验证了该方法的高效性和鲁棒性。

4）RV减速器在不同失效模式下的最大失效概率与结构安全系数呈非线性关系，合理考虑安全系数对保障RV减速器的安全运行具有重要作用。

本文仅针对RV减速器的混合不确定性展开了研究。但在实际工况中，RV减速器的疲劳强度随时间变化，且多失效模式及随机参数之间存在相关性，未来可采用时变可靠性分析方法和相关性分析方法对RV减速器的可靠性评估问题展开进一步研究，以获取更为准确的失效概率。

本文链接：https：//www.zjujournals.com/gcsjxb/CN/10.3785/j.issn.1006-754X.2026.05.192

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

何卫东，单丽君.

RV减速器研究现状与展望

［J］. 大连交通大学学报， 2016， 37（5）： 13-18.