基于蠕变模型的波形弹簧弹力衰减特性分析及寿命预测研究

doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2025.04.174

基于蠕变模型的波形弹簧弹力衰减特性分析及寿命预测研究

邱海涛^,¹, 王晓燕¹, 胡鼎国², 胡洋², 李双喜^,^,²

1.中国航发湖南动力机械研究所，湖南株洲 412002

2.北京化工大学机电工程学院，北京 100029

Elasticity decay characterization analysis and life prediction of wave spring based on creep model

QIU Haitao^,¹, WANG Xiaoyan¹, HU Dingguo², HU Yang², LI Shuangxi^,^,²

1.AECC Hunan Powerplant Research Institute, Zhuzhou 412002, China

2.College of Mechanical and Electrical Engineering, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029, China

通讯作者: 李双喜（1977―），男，教授，博士生导师，博士，从事流体密封技术研究，E-mail: buctlsx@126. com, https://orcid.org/0009-0004-0652-5999

收稿日期: 2024-10-24 修回日期: 2025-01-03

基金资助:

国家重点研发计划资助项目. 2018YFB2000800

Received: 2024-10-24 Revised: 2025-01-03

作者简介 About authors

邱海涛（1995—），男，工程师，硕士，从事密封结构设计研究，E-mail:1441318633@qq.com , E-mail：1441318633@qq.com

摘要

在高温环境下，波形弹簧的弹力会因弹簧应力松弛、材料老化等而衰减，从而影响密封效果，甚至导致密封装置无法正常运行。为此，基于波形弹簧弹力衰减试验数据，采用蠕变模型，建立了波形弹簧弹力衰减数值分析模型。研究了温度及初始弹力对波形弹簧弹力衰减的影响，并基于Arrhenius模型提出了波形弹簧寿命预测方法。研究结果表明，波形弹簧的弹力损失率随着温度的升高显著增大；初始弹力越大，弹力损失率越大，且弹力衰减过程分为急剧减小和缓慢减小等2个阶段；所建立的波形弹簧寿命预测模型能够准确预测波形弹簧的服役寿命。研究结果为波形弹簧在工程应用中的可靠性设计和寿命预测提供了依据。

关键词： 密封性能 ; 波形弹簧 ; 应力松弛 ; 弹力衰减 ; 寿命预测

Abstract

In a high-temperature environment, the elasticity of wave spring will be attenuated due to the spring stress relaxation and material aging, which will affect the sealing effect and even cause the sealing device to fail to operate normally. For this reason, based on the test data of wave spring elasticity decay, a numerical analysis model of wave spring elasticity decay was established by using the creep model. The influence of temperature and initial elasticity on the wave spring elasticity decay was investigated, and a prediction method for the wave spring life was proposed based on the Arrhenius model. The research results showed that the elasticity loss rate of wave spring increased significantly with the increase of temperature. The larger the initial elasticity was, the higher the elasticity loss rate was, and the elasticity decay process was divided into two stages of sharp decrease and slow decrease. The established life prediction model could accurately predict the service life of wave spring. The research results provide a basis for the reliability design and life prediction of wave spring in engineering applications.

Keywords： sealing performance ; wave spring ; stress relaxation ; elasticity decay ; life prediction

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本文引用格式

邱海涛, 王晓燕, 胡鼎国, 胡洋, 李双喜. 基于蠕变模型的波形弹簧弹力衰减特性分析及寿命预测研究[J]. 工程设计学报, 2025, 32(3): 413-420 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2025.04.174

QIU Haitao, WANG Xiaoyan, HU Dingguo, HU Yang, LI Shuangxi. Elasticity decay characterization analysis and life prediction of wave spring based on creep model[J]. Chinese Journal of Engineering Design, 2025, 32(3): 413-420 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2025.04.174

波形弹簧作为一种关键的机械元件，凭借其独特的结构和卓越性能，在多种机械设备中占据了重要地位。独特的波形设计不仅使波形弹簧具有优异的弹性和应力均匀分布的特点，还能使弹簧在有限的空间内持续稳定地提供作用力。这些特性使得波形弹簧在密封应用中表现突出，能够在严苛的工况下确保密封的可靠性和耐久性。因此，随着对高效密封需求的日益增长，波形弹簧在石油化工、航空航天、汽车制造等领域的应用越来越广泛^[1-2]。

现有对于波形弹簧的研究，主要集中在力学性能分析、模态分析以及工艺研究等方面。例如：袁红彬等^[3]利用Abaqus软件建立了波形弹簧的弹力试验模型，探讨了弹簧壁厚、宽度和自由高度等因素对弹力的影响规律；李双喜等^[4]采用接触非线性求解方法，分析了波形弹簧外径、波厚、波宽和波高等结构参数对弹簧承载特性的影响；秦代成等^[5]通过理论分析、有限元模拟及实验相结合的方法，分析了波形弹簧的力学性能，并评估了其结构尺寸对力学性能的影响；Spaggiari等^[6]进行了波形弹簧多物理场建模与设计，并比较了波形弹簧与传统螺旋弹簧的优缺点；王振春等^[7]对波形弹簧的加工工艺进行了研究，制定了工艺路线，并设计了相应的模具，进一步探讨了波形弹簧模具加工的关键技术。目前，对波形弹簧弹力衰减方面的研究较为短缺。在密封系统中，密封的有效性高度依赖于波形弹簧所提供的恒定轴向力，以确保密封元件如石墨环的良好接触和密封效果。此外，弹簧弹力的衰减还会削弱密封系统在不同工况下的稳定性和预测性，导致其在高温高压等极端环境下的适应能力下降，加速密封件和波形弹簧的磨损，最终增加设备的停机和维修成本^[8-10]。因此，深入分析波形弹簧的弹力衰减特性对于弹簧优化设计、延长使用寿命至关重要。

作者通过设计并利用波形弹簧弹力衰减测量装置，开展了在不同温度及初始弹力下波形弹簧弹力衰减试验；基于试验数据，并结合材料蠕变理论，建立了波形弹簧弹力衰减分析模型，同时提出了一种基于Arrhenius方程的波形弹簧寿命预测方法，以期揭示温度和载荷特性对波形弹簧性能的影响，为波形弹簧在工程应用中的可靠性设计和寿命预测提供依据。

1 波形弹簧结构及弹力衰减机理

波形弹簧通常由高强度材料制成，例如不锈钢和合金钢，独特的波形结构使其在有限的空间内能提供较大的弹力和行程。波形弹簧具有较高的比吸能、较长的疲劳寿命和优异的抗振性能，因而在需要高精度和高可靠性的场合得到了广泛应用^[11-12]。波形弹簧在密封中的应用如图1所示。在密封系统中主要由波形弹簧提供轴向力，以确保石墨环的良好接触和密封。如果波形弹簧的弹力衰减，可能会导致密封面的松动或失效，使得液体或气体泄漏，影响设备运行的可靠性和安全性。

图1

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图1 波形弹簧在密封中的应用

Fig.1 Application of wave spring in seal

波形弹簧通常由钢板冲压或钢条绕制成环状，再沿其圆周方向冲压出3~6个正弦波形而制成。其结构如图2所示。当波形弹簧受到轴向载荷时，其波峰与波谷之间产生轴向位移，此时弹簧变形较大，储存变形能；当轴向载荷消失后，其通过储存的变形能恢复至初始状态，从而实现缓冲和减震的作用^[13]。

图2

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图2 波形弹簧结构示意

Fig.2 Schematic of structure of wave spring

波形弹簧的弹力衰减主要由应力松弛和蠕变引起。在长期受力或在高温环境中，弹簧内部应力逐渐降低，导致其弹力衰减；同时，材料在高应力或高温条件下会发生蠕变，导致塑性变形积累，使弹簧难以恢复至原始形状，从而进一步加剧其弹力衰减。

2 基于蠕变模型的波形弹簧弹力衰减分析模型

为了优化并准确预测波形弹簧的性能和使用寿命，需要建立数值模型来描述其弹力衰减行为。将波形弹簧的弹力衰减过程视为应力松弛过程。为了精确描述这一过程，引入蠕变模型。该模型能够更好地模拟波形弹簧在长期载荷下的弹力衰减特性，从而为波形弹簧的工程应用提供更加可靠的性能预测。波形弹簧弹力衰减分析流程如图3所示。图中，F为波形弹簧弹力。

图3

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图3 波形弹簧弹力衰减分析流程图

Fig.3 Flowchart for wave spring elasticity decay analysis

2.1　波形弹簧弹力衰减试验

波形弹簧的弹力通过测量压缩力得到。采用压缩试验机对波形弹簧进行持续性压缩，记录各个时间点的弹力值。压缩试验机如图4所示。在弹簧压缩过程中，弹簧位移由DR-503A微机控制电子式万能试验机控制，由高精度传感器、高精度电子引伸计、伺服电机、专用独立控制器、专用测控软件和微机等组成弹力测量装置的测量运算和自动控制系统，其可以实时显示并记录压缩位移及压缩力，并绘制压缩力曲线。温度由加热装置调节，温度变化范围为-2~2 ℃。

图4

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图4 压缩试验机

Fig.4 Compression testing machine

试验对象为应用于某浮环密封的波形弹簧，其结构参数如表1所示，材料为GH4145。试验前测量弹簧的初始尺寸，包括N、D₂、D₁、b、H和l等，并检查试验设备运转是否正常，检查温度控制系统、温度测量系统和变形量测量系统是否正常，确认设备正常后方可展开试验。将加热箱升温至试验所需的温度，并保温2~3 h，以消除试验器材受热膨胀造成的影响；然后，将波形弹簧装夹至下压板，对其加载一定的预紧力，继续保温1 h后控制上压板压缩至指定位置，记录弹力随时间的变化过程。

表1 试验用波形弹簧的结构参数

Table 1 Structural parameters of wave spring for test

参数	数值	参数	数值
正弦波形数N/个	4	自由高度H/mm	4
外直径D₂/mm	90	工作高度H_b/mm	1.54
内直径D₁/mm	81	压缩量f/mm	0~3.5
宽度b/mm	4.5	壁厚l/mm	0.3

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分别设置试验温度T为298、373、423、573、723 K等5个不同温度，则不同温度下波形弹簧弹力衰减试验曲线如图5所示。

图5

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图5 不同温度下波形弹簧弹力衰减试验曲线

Fig.5 Test curves of wave spring elasticity decay at different temperatures

2.2　蠕变本构方程

单层封闭波形弹簧的应力计算公式为^[14]：

σ = \frac{3 π D}{4 b l^{2} N_{_{}}^{2}} F

(1)

式中： $σ$ 为波形弹簧应力，MPa；D为波形弹簧平均直径，mm，D=(D₁+D₂)/2。

根据式(1)及弹力试验数据可得到波形弹簧应力随时间的变化曲线，如图6所示。

图6

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图6 波形弹簧应力随时间的变化曲线

Fig.6 Variation curves of wave spring stress with time

在波形弹簧的应力松弛过程中，其总应变保持不变，弹性应变逐渐转化为蠕变应变，如式(2)所示。

ε = ε_{e} + ε_{c}

(2)

式中： $ε$ 为总应变， $ε_{e}$ 为弹性应变， $ε_{c}$ 为蠕变应变。

当温度不变时，蠕变变形与应力存在以下关系：

{\dot{ε}}_{c} = A σ^{n} t^{m}

(3)

ε_{c} = A {(\frac{3 π D}{4 b l^{2} N_{_{}}^{2}} F)}^{n} \frac{t^{m + 1}}{m + 1} (m \neq - 1)

(4)

式中： ${\dot{ε}}_{c}$ 为蠕变应变速率；t为应力施加时间；A、n、m均为与材料性质和温度有关的方程的参数。

将式(4)进行对数变换，得到：

\begin{array}{l} l n ε_{c} = l n A + n l n (\frac{3 π D}{4 b l^{2} N_{_{}}^{2}} F) + \\ (m + 1) l n t - l n (m + 1) \end{array}

(5)

将试验结果在Origin软件中进行线性拟合，得到蠕变本构方程的参数，如表2所示。

表2 蠕变本构方程的参数

Table 2 Parameters of creep constitutive equation

T/K	A	n	m
298	3.899 58×10^-49	17.938 4	0.075 5
373	1.471 43×10^-42	15.503 6	0.063 3
423	6.449 99×10^-35	12.348 0	0.059 5
573	1.500 00×10^-26	9.379 3	0.042 1
723	1.298 87×10^-20	6.731 2	0.035 5

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2.3　弹力衰减数值模拟

建立波形弹簧的几何模型，模型的参数根据表1设置。为了方便计算，不对上下压板进行网格细化，只对波形弹簧进行网格细化。采用四面体补丁适形法进行网格划分，结果如图7所示。

图7

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图7 波形弹簧网格划分

Fig.7 Mesh division of wave spring

通过对波形弹簧工作性能的分析，结合其受力特点，波形弹簧的边界条件如图8所示。弹簧与密封上下底座的接触简化为弹簧与上下压板的接触，工作过程为上压板的轴向移动^[15]。

图8

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图8 波形弹簧边界条件示意

Fig.8 Schematic of boundary condition of wave spring

在ANSYS软件中通过“几何结构”选项选定波形弹簧与上下压板的接触面，设定该区域的接触类型为无摩擦。对波形弹簧施加轴向压力，并设置边界条件以模拟压缩工况。波形弹簧在轴向移动时会产生大变形，因此启用了弱弹簧和大变形设置。在工作状态下，上下压板间距减小导致波形弹簧受到轴向压缩。对上压板的下表面施加向下的轴向位移，将下压板的上表面设置为固定边界条件。分析步骤数量设定为“2”，其中：第1步设定为上压板位移，关闭蠕变效应，时间设置为0.1 s；第2步的时间设置为576 000 s，启用蠕变效应。

在不同压缩量下波形弹簧的应力云图如图9所示。由图可知，在压缩状态下，波形弹簧的内侧应力大于外侧应力，且由于内侧的曲率半径较小，较之外侧更容易发生应力衰减。

图9

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图9 不同压缩量下波形弹簧应力分布云图

Fig.9 Stress distribution nephogram of wave spring under different compression levels

3 波形弹簧弹力衰减影响因素分析及寿命预测

3.1　弹力衰减数值模型的验证

调整波形弹簧的压缩量，使其初始弹力保持在11.48 N，在298、573 K的温度下进行弹力仿真计算，则仿真与试验所得的弹力衰减曲线如图10所示。由图可知，弹力衰减曲线的变化趋势一致，其最大误差在5%以内。因此，所建立的弹力衰减数值模型可用于描述波形弹簧的弹力衰减特性。

图10

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图10 仿真与试验得到的波形弹簧弹力衰减曲线

Fig.10 Elasticity decay curves of wave spring obtained through simulation and test

3.2　温度对波形弹簧弹力衰减的影响

在不同温度下波形弹簧弹力衰减仿真曲线如图11所示。由图可知，各温度下波形弹簧的弹力衰减趋势基本相同，可分为2个衰减阶段。在阶段1，弹力在短时间内快速衰减；在阶段2，弹力衰减较为平缓，衰减率趋于平稳。

图11

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图11 不同温度下波形弹簧弹力衰减仿真曲线

Fig.11 Simulation curves of wave spring elasticity decay at different temperatures

分别对各温度下弹簧的弹力损失率进行计算，结果如表3所示。其中，弹力损失率 $∆ F / F$ ₀=(F₀-F₁) $/ F$ ₀，F₀为初始弹力，F₁为剩余弹力。

表3 不同温度下波形弹簧弹力损失率

Table 3 Elasticity loss rates of wave spring at different temperatures

T/K	F₀/N	F₁/N	$(∆ F / F$ ₀)/%
298	11.48	11.09	3.40
373	11.48	11.07	3.57
423	11.48	11.05	3.75
573	11.48	11.02	4.01
723	11.48	10.99	4.27

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由表3可知，随着工作温度的升高，弹力损失率增大。这是由于在高温环境下材料的应力松弛效应和蠕变更加明显，弹簧的变形难以完全恢复，进而引起弹力持续衰减。此外，高温还可能加速材料微观组织的变化，如晶粒滑移或位错运动，这些因素共同加剧了弹簧性能的劣化。在弹簧弹力衰减过程中，弹力随时间的变化不是线性的。为了便于拟合，采用松弛动力学方程对不同温度下的弹力衰减数据进行线性化处理^[16-17]，得到弹力损失率与时间对数的关系，如图12所示。

图12

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图12 弹力损失率与时间对数的关系

Fig.12 Relationship between elasticity loss rate and logarithm of time

通过分析各温度下弹力损失率与时间对数，得到在各温度下弹力损失率与时间对数的线性关系，如表4所示。表中，R²为拟合相关系数。

表4 不同温度下弹力损失率与时间对数的回归方程

Table 4 Regression equations of elasticity loss rate versus logarithm of time at different temperatures

T/K	阶段	回归方程	R²
298	阶段1	$Δ F / F_{0} = 0.007 122 5 l n t + 0.019 884 6$	0.981 93
298	阶段2	$Δ F / F_{0} = 0.000 868 9 l n t + 0.029 553 6$	0.972 22
373	阶段1	$Δ F / F_{0} = 0.007 536 8 l n t + 0.020 402 0$	0.991 62
373	阶段2	$Δ F / F_{0} = 0.000 997 4 l n t + 0.030 684 6$	0.990 08
423	阶段1	$Δ F / F_{0} = 0.007 752 4 l n t + 0.021 986 7$	0.987 76
423	阶段2	$Δ F / F_{0} = 0.000 730 7 l n t + 0.033 331 6$	0.920 95
573	阶段1	$Δ F / F_{0} = 0.008 205 8 l n t + 0.024 859 1$	0.997 56
573	阶段2	$Δ F / F_{0} = 0.000 814 1 l n t + 0.035 727 0$	0.977 76
723	阶段1	$Δ F / F_{0} = 0.008 699 3 l n t + 0.026 644 9$	0.997 45
723	阶段2	$Δ F / F_{0} = 0.001 168 2 l n t + 0.036 658 7$	0.991 48

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由表4可知，在阶段1，弹力损失率随着温度的升高显著增大，表明弹力衰减速度对温度的变化十分敏感。在此阶段，弹簧材料快速调整其内部结构以适应新的环境应力，从而导致弹力衰减较快。经过这一调整阶段后，弹力衰减速度逐渐趋于稳定，进入弹力衰减的阶段2。在这一阶段，温度对弹力衰减的影响更加显著，高温环境下弹力衰减速度明显加快。综合来看，波形弹簧的弹力衰减过程可以分为2个阶段：初始的快速衰减阶段和后续的稳定衰减阶段，且温度对弹力衰减有显著影响。

3.3　初始弹力对波形弹簧弹力衰减的影响

在常温（298 K）环境中，分别设置波形弹簧的初始弹力为7.70、11.48、14.66、18.52 N，得到不同初始弹力下波形弹簧弹力衰减曲线，如图13所示。

图13

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图13 不同初始弹力下波形弹簧弹力衰减曲线

Fig.13 Elasticity decay curves of wave spring under different initial elasticity

由图13可知，不同初始弹力下弹簧弹力衰减过程也包含2个阶段：在阶段1，弹力迅速下降；在阶段2，弹力衰减速度变缓。

对弹力损失率进行计算，结果如表5所示。由表可知，弹簧的弹力损失率随着初始弹力的增大而显著增大。在较大初始弹力下，弹簧材料内部的应力更大，加速其内部结构的调整和变形，从而导致更明显的弹力衰减。

表5 不同初始弹力下波形弹簧弹力损失率

Table 5 Elasticity loss rates of wave spring under different initial elasticity

T/K	F₀/N	F₁/N	$(∆ F / F$ ₀)/%
298	7.70	7.54	2.08
298	11.48	11.14	2.79
298	14.66	14.06	4.09
298	18.52	17.46	5.72

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3.4　基于Arrhenius方程的波形弹簧寿命预测

通过寿命预测，来确保波形弹簧在实际使用中的可靠性和耐久性，从而保障整个设备的安全运行。式(6)所示的Arrhenius方程可以用来描述温度对材料疲劳寿命的影响^[18-20]。通过Arrhenius方程，可以建立温度与波形弹簧疲劳寿命之间的关系，从而预测波形弹簧在不同温度条件下的使用寿命^[21]。

v_{s} = γ e^{- \frac{Q}{k T}}

(6)

式中： $v_{s}$ 为材料应力松弛过程中的松弛率； $γ$ 为材料常数；Q为松弛激活能，eV；k为玻尔兹曼常数，k $=$ 8.617×10^-5 eV/K。

对式(6)两边取对数，得到松弛率对数与温度倒数的线性关系，如式(7)所示。

l n v_{s} = l n γ - \frac{Q}{k T}

(7)

根据表4中不同温度下波形弹簧弹力损失率与时间对数的回归方程，结合式(1)，可以拟合得到弹簧应力松弛率对数与温度倒数的关系曲线，如图14所示。

图14

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图14 波形弹簧应力松弛率对数与温度倒数的拟合曲线

Fig.14 Fitted curve of logarithm of wave spring stress relaxation rate versus temperature inverse

则拟合方程为：

l n v_{s} = - 3.005 67 - 122.542 18 \frac{1}{T}

(8)

其中，拟合方程的相关系数为0.971 08。

由式(7)和式(8)可得： $Q / k = 122.542 18$ 。

应力松弛方程为^[21]：

Δ F / F_{0} = v_{s} l n t + C

(9)

式中：C为积分常数。

当时间t=1 h时，式(9)可简化为：

C = Δ F / F_{0}

(10)

因此，C可看作应力松弛1 h后的弹力损失率。

将Arrhenius公式两端积分，可得：

C = \int_{0}^{1} ν_{s} d t = \int_{0}^{1} γ e^{- \frac{Q}{k T}} d t = γ e^{- \frac{Q}{k T}}

(11)

对式(11)取对数，可得：

l n C = l n γ - \frac{Q}{k T}

(12)

根据式(12)对不同温度下的积分常数对数与温度倒数进行拟合，结果如图15所示。

图15

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图15 不同温度下积分常数对数与温度倒数的拟合曲线

Fig.15 Fitted curve of logarithm of integral constant versus temperature inverse at different temperatures

则拟合方程为：

l n C = - 3.137 42 - 117.759 19 \frac{1}{T}

(13)

其中，拟合方程的相关系数为0.936 96。

当T₁=298 K时，由式(8)可得 $v_{s (T_{1})} = 0.032 866 8$ ，由式(13)可得 $C_{T_{1}} = 0.029 889$ 。将 $v_{s (T_{1})}$ 、 $C_{T_{1}}$ 代入室温下的应力松弛方程，可得：

Δ F / F_{0} = 0.032 866 8 l n t + 0.029 889

(14)

在室温下使用波形弹簧过程中，常认为其弹力衰减率为40%时失效，即当 $∆ F / F$ ₀=40%时，可计算出波形弹簧的寿命t=77 652.5 h。因此。通过应力松弛方程并结合弹簧的松弛阀值，可预测波形弹簧在正常工况下的服役寿命。

4 结论

本文通过仿真与试验研究了波形弹簧的弹力衰减特性。基于试验数据，构建了波形弹簧弹力衰减数值分析模型，并分析了影响弹力衰减的关键因素。得到的主要结论如下：

1）通过试验数据拟合，构建了波形弹簧弹力衰减仿真模型，其能够模拟不同温度和不同初始弹力下弹力的衰减过程。仿真结果与试验结果基本吻合，最大误差不超过5%，验证了模型的有效性。该模型可预测波形弹簧在不同工况下的弹力衰减行为，为波形弹簧的设计和优化提供了重要的分析手段。

2）基于Arrhenius理论，建立了波形弹簧寿命预测模型。通过引入温度、应力等关键参数，揭示了高温环境下波形弹簧性能衰减特性。利用该模型，可以有效预测波形弹簧在不同工况条件下的服役寿命，为波形弹簧的工程设计和寿命评估提供了理论依据。

3）波形弹簧的弹力损失率随着温度的升高而显著增大，这主要由材料在高温环境下的应力松弛、蠕变效应以及微观组织变化共同导致。在高温工况下，需要特别重视材料的耐高温性能和弹力保持能力，确保波形弹簧在长期服役中的稳定性和可靠性。

4）初始弹力的大小对波形弹簧弹力衰减速度具有显著影响。较大的初始弹力会导致波形弹簧在相同压缩时间内更快地发生弹力衰减。弹力衰减过程可以分为2个阶段：在阶段1，弹力急剧减小，弹力变化率较大；在阶段2，弹力缓慢减小，直至达到稳定状态。

参考文献

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文献年度倒序

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被引期刊影响因子

[1]

张冰波

石墨密封组件波形弹簧回弹仿真性能分析

［J］. 科技创新与应用， 2024， 14（3）： 57-60.