单柱塞泵具有容积效率高、压力脉动小和流量调节方便等优点，被广泛应用于车辆工程、农业机械和航空航天等领域^[1-2]。单柱塞泵通常采用阀配流方式，阀配流主要依靠单向阀实现，即在柱塞腔的进、出油口分别安装单向阀。单向阀是单柱塞泵系统中最核心的元件，其性能直接影响整个系统的性能。

近年来，国内外针对影响单向阀性能的参数进行了大量研究。例如：陶柳等人^[3-4]基于AMESim软件，通过仿真分析了弹簧刚度、阀芯质量和液动力对单向阀动态稳定性的影响。姚丽英等人^[5]研究了阀芯活塞杆直径对FDY480/50型液控单向阀开启压力的影响。常玉连等人^[6]利用Fluent软件中的动网格技术研究了弹簧刚度对单向阀开启过程的影响。李胜永^[7]通过建立球型单向阀的性能优化模型，并利用序列二次规划方法对其阀芯直径、阀座通径等参数进行了优化。Woo等人^[8]研究了阀门刚度对压电往复泵流量和压力的影响。Xing等人^[9]通过建立抽油泵的动力学模型，研究了影响泵效率的性能参数。综上可知，目前围绕单柱塞泵系统中配流单向阀的研究主要以单一参数对单向阀性能的影响以及运动学仿真分析为主。但是，单向阀的设计牵涉因素较多，且各因素之间联系紧密，用传统方法设计的单向阀虽能满足使用要求，但其参数不一定是最合理的，会造成吸油不充分、系统响应慢等问题。

上述研究表明，利用仿真软件开展运动学分析，并将仿真结果与数学模型相结合，可以很好地解决单向阀参数设计不合理问题。基于此，笔者提出将线性回归模型应用于单向阀参数优化。首先，基于AMESim软件开展单柱塞泵系统仿真分析，并利用MATLAB拟合工具箱求解单向阀参数（弹簧预紧力、弹簧刚度和阀芯质量）与进油口流量的关系；然后，利用主成分分析法消除各参数之间的相关性，并以进油口流量为因变量、各参数为自变量、各参数的取值范围为约束条件，基于线性回归构建单向阀参数优化模型；接着，以进油口流量最大为优化目标，采用遗传算法对各参数进行优化求解；最后，通过仿真分析和实验来验证所提出方法的有效性。

本文所研究的单柱塞泵的结构如图1所示，主要由主轴、斜盘、柱塞、缸体、进油口和出油口等组成，其中进油口和出油口分别连接单向阀。单柱塞泵的主要尺寸如图2所示：斜盘倾斜17°；柱塞直径为34 mm，柱塞分布圆直径为129 mm，柱塞的最大行程为39.4 mm；缸体外径为179 mm，缸体长度为128 mm。

图1所示单柱塞泵的工作原理如下：在原动机驱动下，主轴旋转并带动斜盘转动，缸体固定。由于斜盘的作用，当柱塞向左作伸出运动时，进油口单向阀开启，出油口单向阀反向截止，油液从进油口进入柱塞腔；当柱塞向右作压缩运动时，出油口单向阀开启，进油口单向阀反向截止，油液从出油口排出^[10]。

单向阀阀芯的动力学方程如下^[11]：

式中：m为阀芯质量；X为阀芯位移；F₁为阀芯所受的液压力；F₂为阀芯所受的液动力；k为弹簧刚度；F为弹簧预紧力；F_r为阀芯与阀座间的黏性阻力和摩擦阻力。

由阀芯的动力学方程可知，影响单向阀性能的主要参数为弹簧预紧力F、弹簧刚度k和阀芯质量m。为了准确地描述单向阀的工作状态，根据液压原理在AMESim软件中搭建单柱塞泵系统并进行仿真分析，如图3所示（图中：φ、θ、J、T、ω、v、F_p和M分别为单柱塞泵的斜盘倾角、转角、转动惯量、转矩、角速度、速度、力和质量）。设置单柱塞泵的转速为1 000 r/min且呈正弦变化；单向阀阀芯的位移为0~0.005 m。

单向阀的性能难以直接测量，可通过测量单柱塞泵进油口流量来间接反映单向阀的性能。采用控制变量法，基于图3所示的单柱塞泵系统开展仿真分析，分别探讨单向阀的弹簧预紧力F、弹簧刚度k和阀芯质量m与进油口流量q之间的定量关系。

在仿真分析中，取弹簧刚度k=0 N/mm、阀芯质量m=0.05 kg，令弹簧预紧力F从0 N逐渐开始增大至23 N（以1 N为间隔），观察单向阀的阀芯位移变化曲线，并记录单柱塞泵的进油口流量。结果表明：当8≤F≤23 N时，单向阀阀芯的最大位移能达到预先设定的0.005 m，阀芯开启时间与关闭时间大致相等，满足设计要求；当F<8 N时，虽然单向阀的阀芯可以达到预先设定的0.005 m，但是其在1个运动周期内一直处于开启状态，不满足设计要求。

利用MATLAB拟合工具箱将上述满足设计要求的单向阀弹簧预紧力F与单柱塞泵进油口流量q（平均流量，下文同）的仿真数据进行曲线拟合，结果如图4所示。

根据图4所示拟合结果，进油口流量q与弹簧预紧力F的定量关系可表示为：

在仿真分析中，取弹簧预紧力F=0 N、阀芯质量m=0.05 kg，令弹簧刚度k从0 N/mm逐渐开始增大（以1 N/mm为间隔），观察单向阀的阀芯位移变化曲线，并记录单柱塞泵的进油口流量。结果表明：当5≤k≤17 N/mm时，单向阀阀芯的最大位移能达到预先设定的0.005 m，阀芯开启时间和关闭时间大致相等，满足设计要求；当k>17 N/mm时，虽然阀芯可以达到预先设定的0.005 m，但单柱塞泵系统响应慢且吸油不充分，不满足设计要求。

利用MATLAB拟合工具箱将上述满足设计要求的单向阀弹簧刚度k与单柱塞泵进油口流量q的仿真数据进行曲线拟合，结果如图5所示。

根据图5所示的拟合结果，进油口流量q与弹簧刚度k的定量关系可表示为：

不同质量阀芯的结构不变，但阀口面积随质量的增大而增大。在实际应用中，单向阀的质量为几十克到几百克，本文主要以阀芯质量为0.01~0.10 kg的单向阀为研究对象。在仿真分析中，取弹簧预紧力F=0 N、弹簧刚度k=0 N/mm，改变阀芯质量m（以0.01 kg为间隔），观察单向阀的阀芯位移变化曲线，并记录单柱塞泵的进油口流量。结果表明：当0.01≤m≤0.10 kg时，单向阀阀芯的最大位移能达到预先设定的0.005 m，吸油充分，阀芯的开启时间和关闭时间大致相等，满足设计要求。

利用MATLAB拟合工具箱将上述满足设计要求的单向阀阀芯质量m与单柱塞泵进油口流量q的仿真数据进行曲线拟合，结果如图6所示。

根据图6所示拟合结果，进油口流量q与阀芯质量m的定量关系可表示为：

综合上述仿真结果可知，单向阀的弹簧预紧力、弹簧刚度和阀芯质量共同影响了单柱塞泵进油口流量，但这3个参数彼此间存在相关性，故单纯的动力学分析难以进行参数优化。

由式(2)至式(4)可知，进油口流量q与F^2.664、k^-2.43、sin (1.52m+1.516)均呈线性关系。令a₁=F^2.664、a₂=k^-2.43、a₃=sin (1.52m+1.516)，则q与a₁、a₂、a₃均呈线性关系。忽略其他参数对单向阀性能的影响，采用主成分分析消除弹簧预紧力、弹簧刚度、阀芯质量之间的相关性，并基于线性回归建立单向阀参数优化模型。

主成分分析是一种在高维欧氏空间中对给定数据集进行降维的方法^[12]，通过降维可以消除原始数据的相关性。该方法通过构造一系列线性组合来形成一组新的互不相关的变量，且保证这些新变量尽可能多地反映原变量的信息。同时改变弹簧预紧力F、弹簧刚度k和阀芯质量m这3个参数，在AMESim软件中对图3所示的单柱塞泵系统进行仿真，观察单向阀阀芯位移和速度的变化曲线，并记录单柱塞泵的进油口流量。基于选取的3个参数的值，利用式(2)至式(4)计算a₁、a₂、a₃；然后，采用主成分分析计算a₁、a₂、a₃对应的特征值，分别为2.561 6，0.437 5和0.000 9，其对应的特征向量如下：

由此可得，各成分的贡献率分别为85.386%，14.582%，0.032%。本文选取累计贡献率达到90%以上的成分（即前2个成分）作为主成分，记为W₁、W₂。根据表1数据可得W₁、W₂与a₁、a₂、a₃的关系：

若因变量同时受到n个自变量的影响，且这n个自变量皆与因变量呈线性关系并彼此不相关，则这n+1个变量就形成了n元线性回归^[13]。根据上文分析可知，进油口流量q与主成分W₁、W₂均呈线性关系，且W₁、W₂不相关。基于此构建线性回归模型，即：

式中：β₀为回归截距；β₁、β₂为偏回归系数；ε_i为误差。

根据表1所示的q、W₁、W₂，在MATLAB拟合工具箱中对线性回归方程(7)进行求解，得到进油口流量拟合值与实际值的对比结果，如图7所示。根据拟合结果，得到所构建线性回归模型中各参数的值分别为β₀=-561.955 3，β₁=104.280 4，β₂=712.682 5。代入式(7)可得：

线性回归模型能否真实地反映因变量与自变量之间的相关关系，需要进行随机误差和显著性的检验。随机误差可用相关系数r²来表示，显著性水平用统计量T表示。通过MATLAB拟合工具箱求得所构建线性回归模型的统计量：r²=0.979 6、T=123.072 4、P=0.000 0。根据计算结果可知，相关系数r²接近1，说明随机误差小，所构建线性回归模型符合实际；统计量T较大，其对应的概率P<0.05，说明所构建线性回归模型显著。

若相关变量超出合理范围，则系统将失稳^[14]。故将弹簧预紧力、弹簧刚度、阀芯质量的取值范围作为约束条件，以进油口流量q为因变量，各参数为自变量，构建单向阀参数优化模型：

通过构建线性回归模型，将单向阀的参数优化问题转化为求解非线性函数的最大值问题。由于本文所构建的优化模型具有非线性特点，且不单求解一个参数，常规计算方法的难度较大。相对于一般的优化方法，利用遗传算法解决多参数优化问题，可以避免陷入局部最优解，提高计算精度。

遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和遗传机制的随机搜索算法，其在液压伺服系统优化中得到了广泛应用^[15]。基于上文所构建的单向阀参数优化模型，利用遗传算法进行优化求解，具体思路如下：将弹簧预紧力、弹簧刚度和阀芯质量的可能解看作群体中的染色体并采用实数编码^[16]，模拟自然界中的选择、交叉、变异；然后按照进油口流量函数对每个个体的适应度进行评价，在全局内进行最优个体搜索。基于遗传算法的参数优化求解技术路线如图8所示。

1）参数设定。

设种群大小N=50，交叉率P_c=1，变异率P_m=0.01。

2）编码。

因涉及3个参数的优化求解，故每个染色体中含3种基因，采用实数对3种基因进行编码。

3）初始种群生成。

由于遗传的需要，必须提前设定初始种群。为了保证生物的多样性和竞争的公平性，通过随机方法生成。

4）个体适应度函数确定。

遗传算法是在全局内寻找最小解，故适应度函数需要对目标函数q进行取反处理，即：

5）选择、交叉、变异。

选择运算采用赌轮盘方式，根据每个个体在种群中的适应度来确定个体是被保留还是淘汰；交叉运算采用中间重组算子；变异运算采用非均匀突变算子^[17]。

6）收敛条件设置。

当种群中最优个体间的适应度误差小于0.000 1时，迭代结束。

基于遗传算法的进油口流量迭代曲线如图9所示。由图可知，当种群迭代111次后满足收敛条件，此时最大的进油口流量为37.858 7 L/min，对应的单向阀参数为：F=8 N，k=16.99 N/mm，m=0.036 kg。

为了验证所提出单向阀参数优化方法的有效性，基于优化前最大进油口流量对应的参数F=9 N、k=6 N/mm、m=0.03 kg和优化后的参数F=8 N、k=16.99 N/mm、m=0.036 kg，分别搭建如图3所示的单柱塞泵系统仿真模型。其中，单柱塞泵和进油、排油单向阀均采用HCD库中的元件进行搭建，且2个单向阀的其余参数完全一样；泵出口采用溢流阀进行负载模拟加载。

图10所示为优化前后单柱塞泵进油口流量（瞬时流量）的变化曲线。由图可知，优化后进油口流量为37.206 2 L/min，而优化前最大的进油口流量为30.669 9 L/min；对比优化前，优化后的进油口流量提升了21.3%。

对比优化前，优化后单柱塞泵进油口的流量更大，吸油更充分；当流量曲线趋于稳定后，阀芯开启时没有脉动，整体更平滑，且曲线接近于正弦曲线的上半部分，满足单柱塞泵配流的设计要求。

图11所示为优化前后单向阀阀芯位移变化曲线。从图中可以看出：优化前单向阀的弹簧刚度较小，导致单向阀以较大的速度快速到达最大位移处，且换向时对阀芯底座的冲击力大；阀芯长时间处于开启状态，开启时间远大于关闭时间，不满足单柱塞泵配流的设计要求。优化后单向阀缓慢地到达最大位移处，对阀芯底座的冲击小；吸油时单向阀阀芯缓慢开启至最大，随后又缓慢关闭，基本符合正弦运动规律，且吸油和关闭的时间基本相同，满足单柱塞泵配流的设计要求。

结合图10和图11可以发现：优化前单向阀阀芯虽然开启时间长，但在吸油时排油单向阀也处于开启状态，导致一部分油液直接从进油口流向了排油口，并没有流入单柱塞泵。此外，由于优化前进、出油口单向阀同时开启，虽然其阀芯位移可达到最大，但实际流量却不再增加。

综上所述，优化前单向阀弹簧刚度较小，导致单向阀并不能完全满足单柱塞泵的配流要求。优化后单向阀基本满足单柱塞泵的配流要求，且吸油更充分，运行更平稳。

为了进一步验证上述单向阀参数优化方法的有效性，以不同参数的RC型单向阀为研究对象，通过测量单柱塞泵进油口流量进行对比分析。搭建图12所示的单柱塞泵系统实验装置，主要由伺服电机、转速扭矩传感器、单柱塞泵、单向阀和流量计组成。单柱塞泵的转速由伺服电机提供，配置转速扭矩传感器测量泵的转速和扭矩，配置流量计测量进油口流量，所选传感器的参数如表2所示。优化前，选用的单向阀为RC14；优化后，选用的单向阀为RC32，2种单向阀的区别如表3所示。图12中有4个单向阀，本实验只用其中2个，另外2个用堵头堵住；实验所用的单向阀安装在特殊加工的阀体中，不同型号的单向阀安装尺寸不同，更换单向阀需要将整个阀体拆卸安装。实验温度为(50±4) ℃，运动黏度为42~74 mm²/s，单柱塞泵的转速为1 000 r/min。

利用所搭建的实验装置，测量优化前后单柱塞泵的进油口流量，结果如表4所示。从实验结果可知，优化后进油口的实际流量比优化前提高了16.8%，单向阀吸油更充分，且效率更高。

本文提出了一种基于线性回归的单向阀参数优化方法。首先，利用AMESim软件，通过仿真定量分析了单向阀弹簧预紧力、弹簧刚度、阀芯质量与进油口流量的关系；然后，利用主成分分析法消除了各参数之间的相关性，基于线性回归构建单向阀参数优化模型并采用遗传算法进行了优化求解；最后，根据优化前后的单向阀参数，通过仿真分析和实验验证了所提出方法的有效性。仿真和实验结果表明：优化后进油口流量提高了15%以上，说明本文方法可为单柱塞泵系统中配流单向阀的参数优化提供理论依据。