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  浙江大学学报(工学版)  2018, Vol. 52 Issue (9): 1804-1810  DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2018.09.022
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张承志, 冯华君, 徐之海, 李奇, 陈跃庭. 图像噪声方差分段估计法[J]. 浙江大学学报(工学版), 2018, 52(9): 1804-1810.
dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-973X.2018.09.022
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ZHANG Cheng-zhi, FENG Hua-jun, XU Zhi-hai, LI Qi, CHEN Yue-ting. Piecewise noise variance estimation of images based on wavelet transform[J]. Journal of Zhejiang University(Engineering Science), 2018, 52(9): 1804-1810.
dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-973X.2018.09.022
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基金项目

国家自然科学基金资助项目(61475135);浙江省科技计划资助项目(2017C01033)

作者简介

张承志(1994—),女,硕士生,从事光学成像、图像处理研究.
orcid.org/0000-0002-0742-5787.
E-mail: zhangcz@zju.edu.cn.

通信联系人

冯华君,男,教授.
orcid.org/0000-0002-5606-6637.
E-mail: fenghj@zju.edu.cn
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文章历史

收稿日期:2017-06-21
图像噪声方差分段估计法
张承志, 冯华君, 徐之海, 李奇, 陈跃庭     
浙江大学 现代光学仪器国家重点实验室,浙江 杭州 310027
摘要: 为了提高对较小噪声估计的准确性,提出一种图像噪声估计的新方法. 该方法基于图像小波细节系数的统计特性,用分段函数进行分析处理. 将原始图像进行小波变换,根据传统的Donoho方法得出噪声标准方差的初始估计值,将初始估计值根据提出的公式进行处理. 实验结果表明,所提方法比传统的小波噪声估计方法更准确,特别是对于图像噪声较小(标准差小于20)和细节较多的图像. 将所提方法和传统方法估计出的噪声方差分别代入小波阈值去噪方法中,所提方法去噪效果更好,能更好地保持图像细节,当噪声标准差等于10时,峰值信噪比(PSNR)至少比传统方法高0.6 dB.
关键词: 噪声方差估计    图像去噪    小波变换    分段函数    图像处理    
Piecewise noise variance estimation of images based on wavelet transform
ZHANG Cheng-zhi , FENG Hua-jun , XU Zhi-hai , LI Qi , CHEN Yue-ting     
State Key Laboratory of Optical Instrumentation, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China
Abstract: A new image noise estimation method was proposed to improve the accuracy of the small noise estimation. The method was based on the statistical properties of the detail factors of the image wavelet, which was analyzed and processed by the piecewise function. The original image was transformed by wavelet transform, and the initial estimation of noise standard deviation was obtained according to the traditional Donoho method. Finally, the initial estimation was processed according to the proposed formula which obtained the final results by segmenting and calculating the initial value. The experimental results show that the proposed method is more accurate than the traditional wavelet noise estimation method, especially for the images with less noise and more details. The noise variance estimated by the proposed method and the traditional method were substituted into the wavelet threshold de-noising method. The image de-noising effect using the noise variance estimated by the proposed method is better; the details can be kept better; the peak signal to noise ratio (PSNR) is at least 0.6 dB higher compared with the traditional method when the noise standard deviation is 10.
Key words: noise variance estimation    image de-noising    wavelet transform    piecewise function    image processing    

原始图像在成像和传输过程中,往往会引入噪声,从而导致图像质量下降和图像信息的丢失[1-3]. 为了提高图像质量,方便后续的图像处理过程[4],如图像识别、去雾[5]、重建[6]和超分辨[7]等,图像降噪显得非常重要[8-11]. 在降噪过程中,需要知道噪声的分布模型和参数. 一般假设图像噪声为零均值高斯白噪声,这时需要估计的参数就是噪声方差.

噪声方差估计常用的方法如下:基于图像平滑块的噪声方差估计、基于主成分分析的噪声水平估计、基于小波变换的噪声标准方差估计. 例如,汪浩然等[12]提出了一种平滑图像块筛选方法,将其与奇异值分解相结合实现对图像的噪声标准差估计. Pyatykh等[13]提出了主成分分析方法,无需图像中存在平滑块,可以对细节丰富的图像进行噪声估计. Fahmy等[14]提出了一种基于双边树复杂小波变换的增强去噪方法.

小波变换是一种对图像进行多分辨率分析的方法. 小波变换后图像的信息主要集中在低频部分,而高斯白噪声在整个频域具有相同的分布,可以根据高分辨率的细节系数来估计噪声. 1994年,Donoho根据噪声的统计特性,提出基于小波变换的图像噪声方差估计方法[15]. 这种方法由于原理简单、结果比较准确,在图像去噪领域得到广泛的研究和应用[16-19].

Donoho方法在图像噪声较大的时候较为准确,但是在图像噪声较小、图像细节较丰富时估计结果普遍偏大. 随着成像技术的进步,图像噪声逐渐减小,对较小的噪声进行准确估计变得极为重要. 现在已经出现一些改进的噪声方差估计方法[20-22],比如林泽民[20]提出用EM算法来估计混合高斯模型的参数,但是这些算法应用较为复杂.

为了在去除噪声的同时尽可能地保留图像的细节信息,本文对大量的常用图像进行加噪模拟,从而在Donoho方法的基础上提出一种新的估计方法. 该方法首先使用小波变换得到一个噪声标准方差的初始估计值,然后根据不同大小的噪声对小波细节系数的影响,将得到的估计值进行分段处理得到最终估计值,最后利用本文得到的方差估计值进行小波阈值去噪. 本文方法无需复杂的计算,直接对图像的小波细节系数进行分段处理就可以在噪声较小时得到比较准确的估计.

1 噪声方差估计原理 1.1 基于小波变换的噪声估计原理

假设图像经过噪声污染后,表达式如下:

$y = x + n.$ (1)

式中: $y$ 为含噪图像, $x$ 为理想的无噪声图像, $n$ 为零均值高斯白噪声[23]. 由于小波变换后,高斯白噪声仍然服从高斯分布,且其方差与未变换前相同,可以从小波变换后只含噪声的子图像里进行噪声方差估计[24].

将数字图像进行多尺度二维离散小波变换后,可以得到该尺度下的近似系数(低频分量)和3组细节系数:水平、垂直和对角线细节系数. 在图像较为平滑时,图像的能量主要集中在低频部分,而噪声在整个频域具有相同的分布,因此可以将高频分量认为主要是噪声引起的[25-27]. Donoho根据小波变换的特性,提出图像噪声标准方差的估计方法:

${e_{\rm{D0}}} = M/{\rm{0}}{\rm{.674\;5}}{\rm{.}}$ (2)

式中: $M$ 为对角线细节系数的中值, ${e_{\rm{D0}}}$ 为采用Donoho方法估计出的噪声标准方差.

1.2 传统方法估计值与噪声方差的统计关系

Donoho方法是小波噪声估计的传统方法,因此下文中提到的传统方法均为Donoho方法. 由第1.1节可知,传统方法假设的是图像经过小波变换后在对角线方向的细节系数非常小,相比于噪声可以忽略不计. 在噪声较大时,这个假设可以被很好地满足. 但是当噪声相对较小时,图像的细节信息就不能完全忽略了. 可以推断,此时由于受到了图像细节的影响,按照传统的Donoho方法估计出的噪声标准方差值就会偏大,并且噪声越小其影响越大.

为了验证这个猜想,首先对50幅常用图像进行加噪模拟实验,观察传统方法噪声估计值的变化规律. 本文所有用到的噪声标准方差的单位均为像素值,比如,标准差为5代表着5个像素值. 对每张图像都施加从0到30变化的零均值高斯白噪声,分别计算每张图像在每一个噪声水平下的eD0. 计算在每一个噪声水平下,所有图像的eD0的平均值eD. 实验发现,估计值的平均值随着实际噪声标准差变化具有比较明显的线性趋势,如图1所示. 图中, $\sigma $ 为实际噪声标准方差.

图 1 传统方法对50幅图像的噪声估计结果 Fig. 1 Noise estimation results of fifty images by traditional method

$\sigma $ ≥21时,传统方法估计值接近实际值. 当14< $\sigma $ <21时,估计值偏差较小,基本在一条直线上. 当 $ \sigma$ <14时,估计值偏差较大,估计值与实际值的关系也基本成一条直线. 因此,推测可以用3段直线对传统方法估计值与实际值的关系进行拟合,进而反推得到一个分成3段的分段函数来拟合实际值与估计值的关系.

反推出的函数的关键在于分段函数的2个临界值,由于当 $ \sigma$ ≥21时,估计值和实际值非常接近,第一个临界值可以取21;由于 $ \sigma$ 小于图1中的点a处的值(14~15)时,估计值普遍偏大,但是在点a附近平均偏差值又不会 >1,第二个临界值取15.

为了验证上述规律,接着对500幅常用图像进行加噪模拟实验. 对图像分别施加标准差从0到30变化的零均值高斯噪声,然后采用传统的估计方法对含噪图像的噪声标准方差进行估计. 实验发现,基本变化趋势和最初用50张图像进行实验的结果相似. 特别是在 $ \sigma$ ≥21时,估计值和实际值非常接近(估计值的平均值和实际值偏差小于0.2). 由于本文主要研究噪声较小的情况,后文就不再对 $ \sigma$ ≥21的情况进行分析. 经过对大量实验数据的分析,得出一条统计规律,拟合公式如下:

$e = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{e_{\rm{D0}}} - 2.547\;0} \right)/0.875\;9},&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{{e_{\rm{D0}}} < 15}; \\ {\left( {{e_{\rm{D0}}} - 2.475\;8} \right)/0.887\;9},&{15 \leqslant {e_{\rm{D0}}} < 21}; \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{{e_{\rm{D0}}}},&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{{e_{\rm{D0}}} \geqslant 21} .\end{array}} \right.$ (3)

式中: $e$ 为噪声标准差的最终估计值.

对于上述统计时用到的图像,根据式(3),本文的估计效果如图2(数据点及拟合曲线)所示. 图中还给出了用一次函数拟合的 $e$ $\sigma $ 的关系, ${R^2}$ 为相关系数,越接近1表示拟合效果越好. 从图2中可以看出,所提方法得到的估计值对这些图像的实际标准差的拟合效果较好. 比较此算法和传统算法对这些图像的噪声标准方差估计的误差,如图3所示. 图中, $w$ 为噪声标准差的估计误差. 从图3中可以看出,对于统计时所用到的图像,传统方法对噪声标准方差估计值偏大,误差在噪声标准差比较小的时候较大,而本文方法估计的标准差误差明显小于传统方法.

图 2 本文算法对统计时训练图像的估计结果 Fig. 2 Noise estimation results of the training images by proposed algorithm
图 3 本文算法和Donoho算法对实际噪声标准差的估计误差比较 Fig. 3 Error comparison of proposed algorithm and Donoho algorithm for actual noise standard deviation
2 噪声方差估计及图像去噪 2.1 噪声方差估计

对一幅带噪图像进行噪声标准方差估计的具体步骤如下:

1)选用 ${\rm{db2}}$ 小波作为本算法的小波基,对含噪图像进行3尺度小波分解.

2)采用式(2)进行噪声标准方差估计,得到初始估计值 $e{}_{\rm{D0}}$ .

3)将不同的初始估计值代入式(3),得到最终估计值 $e$ .

2.2 图像去噪

1)根据得到的噪声标准方差估计值 $e$ ,求取小波阈值去噪算法的阈值 $T$ .

2)用T对小波系数进行软阈值去噪处理,得到新的小波系数,并对新的小波系数进行重构,得到去噪图像.

图像去噪效果的主观评价标准为肉眼观察图像质量,客观评价标准常用峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)来评价,表达式如下:

${\rm{PSNR}} = 10\;{\log _{10}}\;\left( {{{mn \cdot P_{\max }^2}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} \;{{{\left( {{I_{ij}} - {J_{ij}}} \right)}^2}} } }}} \right).$ (4)

式中: $m$ $n$ 分别为图像的行数和列数, ${P_{\max }}$ 为图像可能存在的最大灰度级数(例如本文中采用的图片的最大灰度级数均为255),I为原图像, $J$ 为被比较图像(如:含噪图像). PSNR越大,表示两幅图像之间差别越小.

3 实验结果和分析

为了验证本算法,在Matlab中进行仿真实验. 选取50幅常用的标准测试图片,分别施加标准差从0到20每次变化1个像素的高斯白噪声,然后分别采用传统方法和本文方法进行估计. 噪声标准差估计值的均值与真实值之间的关系如图4所示,估计误差如图5所示.

图 4 传统算法与本文算法估计测试图像噪声的结果 Fig. 4 Noise estimation results of test images by traditional algorithm and proposed algorithm
图 5  传统方法与本文方法对测试图像噪声标准差估计的 误差比较 Fig. 5 Error comparation of traditional method and proposed method to estimate noise standard deviation of test images

图45可得,本文方法在所有噪声水平下对噪声标准方差估计的均值都比传统方法更接近真实值. 当图像噪声较小时,图像细节容易被错误估计为噪声,导致噪声估计值偏大。传统方法估计值在噪声越小时误差越大,这说明传统方法受图像细节影响较大,对小噪声估计不准确。本文方法在噪声较小时估计值误差也比较小,因此本文方法对噪声较小、细节信息丰富的图像效果比传统方法好.从图5还可以发现,本文方法的估计值误差方差比传统方法小,说明本文方法的估计值误差波动更小,方法更稳健.为了便于直接观察具体数据,将部分估计结果列于表1中, ${e_{\rm{D1}}}$ 为传统方法对50幅图像噪声标准差估计值的均值,而 ${e_{\rm{n}}}$ 为本文方法对50幅图像估计值的均值, ${w_{\rm{D}}}$ 为传统方法估计的误差, ${w_{\rm{n}}}$ 为本文方法的误差. 为验证本算法的有效性,这里所选择的50幅实验图像与前面获得式(2)所采用的图像是完全不同的2组图像. 部分实验图像如图6所示. 对于一幅大小为512*512的实验图像(图6 (a)),分别使用传统方法和本文方法计算噪声标准差,在Matlab2014中实现,传统方法需要0.275 909 s,本文方法需要0.276 080 s. 为了减少实验偶然性,针对实验用到的50幅图像,分别使用传统方法和本方法进行估计,传统方法共需要2.615 414 s,本文方法共需要2.627 328 s. 这2种方法所用时间相差不大,说明传统方法和本文方法的计算量接近. 由于计算过程最多只增加一步判断、一步减法运算、一步除法运算,本文方法计算量增加不大.

图 6 噪声标准差估计实验的部分实验图像 Fig. 6 Some experimental images used in noise standard deviation estimation experiments

对如图6所示的4幅实验图像进行去噪处理. 根据本文方法估计出的噪声标准差利用小波软阈值方法进行去噪,并将去噪性能与传统方法进行比较. 如图7所示为对图6(a)用传统方法和本文方法进行小波阈值去噪的结果. 其中,PSNR1指的是加入噪声后的图像相对于原始高质量图像的PSNR,PSNR2指的是用传统方法去噪后所得图像的PSNR,PSNR3指的是用本文方法去噪后所得图像的PSNR. 对另外3张图片进行小波阈值去噪后的现象与Woman图片类似,所以本文就只附上部分噪声水平下的去噪情况,如图8所示.

图 7 传统方法和本文方法对Woman图像的去噪性能比较 Fig. 7 Comparison of denoising performance of Woman image between traditional method and proposed method
图 8 传统方法和本文方法对Pepper、Tiger和Cameraman图像的去噪性能比较 Fig. 8 Comparison of denoising performance of image Pepper, tiger and Cameraman between traditional method and proposed method

图7可以看出,对于图6(a),用本文方法得到的标准差进行小波阈值去噪,去噪后图像的PSNR比传统方法高,在噪声小时尤为明显. 将本文方法估计出的噪声标准差作为小波阈值去噪的输入参数,当 $ \sigma$ ≥9时,使用小波阈值去噪后的图像比初始含噪图像的PSNR要高. 这说明当 $ \sigma$ ≥9之后,噪声对图像质量的影响变得比较明显.

为了更直观地看出降噪效果,本文对图6中的4张实验图像分别施加标准方差为10的高斯噪声,然后使用小波软阈值去噪. 被噪声污染的含噪图像、分别使用传统方法和本文方法进行小波软阈值去噪后的图像如图9所示. 从图9中可以看出,当 $ \sigma$ = 10时,噪声已经明显影响了图像质量. 与本文方法相比,使用传统方法去噪后,图像的细节损失更严重,图像更模糊. 使用本文方法估计出的噪声标准差进行去噪后,图像噪声变少、质量得到提升,视觉效果明显.

图 9 含噪图像、传统方法去噪后图像与本文方法去噪后 图像的比较 Fig. 9 Comparison of noisy images, images denoised by traditional methods and images denoised by proposed method
4 结 语

本文提出了一种改进的图像噪声水平估计方法,一定程度上解决了在图像噪声较小时对噪声方差估计不准确的问题. 本文通过对图像小波变换后对角线方向的细节系数进行分段处理得出噪声标准差,并将估计出的噪声标准差用在小波阈值去噪中. 实验表明,对图像噪声标准差估计时,本文方法比传统估计方法更准确,误差均值更小更稳定. 用本文方法估计出的噪声方差进行小波阈值去噪,去噪后图像质量更好,PSNR提升更明显,证明了所提算法能够有效地提升降噪后图像的清晰度,保留图像细节.

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