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  浙江大学学报(工学版)  2018, Vol. 52 Issue (9): 1747-1752  DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2018.09.015
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马恒达, 袁伟娜, 伏威. 基于导频放置优化的组稀疏信道估计方法[J]. 浙江大学学报(工学版), 2018, 52(9): 1747-1752.
dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-973X.2018.09.015
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MA Heng-da, YUAN Wei-na, FU Wei. Group sparse channel estimation method based on pilot placement optimization[J]. Journal of Zhejiang University(Engineering Science), 2018, 52(9): 1747-1752.
dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-973X.2018.09.015
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基金项目

国家自然科学基金资助项目(61501187),中央高校基本科研业务费资助项目

作者简介

马恒达(1993—),男,硕士生,从事移动通信相关技术研究.
orcid.org/0000-0001-9333-7953.
E-mail: m499581@hotmail.com.

通信联系人

袁伟娜,女,副教授.
E-mail: wnyuan_ice@163.com
.

文章历史

收稿日期:2017-06-23
基于导频放置优化的组稀疏信道估计方法
马恒达, 袁伟娜, 伏威     
华东理工大学 信息科学与工程学院,上海 200237
摘要: 针对OFDM系统信道的稀疏性,研究组稀疏信道估计方法;考虑信道的时间选择性和频率选择性,由信道系数的稀疏表示引入组稀疏概念,利用稀疏信号的非零分量趋向于成簇出现的组稀疏特性,提高重建质量. 考虑到导频对信道估计性能的重要作用,采用分布估计算法(EDA)优化组稀疏信道估计中的导频放置模式. 该方法具有较好的鲁棒性,不会陷入导频搜索的局部最小值,可以得到更小相关性的感知矩阵. 理论分析和仿真结果均表明,该方案与传统估计方法相比,均方误差性能更加优异. 仿真又采用了不同的重构方法和分组大小进行对比,均能证明该方法的适用性.
关键词: 压缩感知    稀疏信号    信道估计    导频优化    正交频分复用技术(OFDM)    
Group sparse channel estimation method based on pilot placement optimization
MA Heng-da , YUAN Wei-na , FU Wei     
School of information Science and Engineering, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237, China
Abstract: Channel estimation using group sparsity methods were studied for sparsity of OFDM system. These methods considered both the time-selective fading and frequency-selective fading of the channel. The concept of group sparsity was introduced by the sparse representation of the channel coefficients. The non-zero components of sparse signals tended to cluster in a region. This characteristic could be used to improve the quality of the reconstruction. At the same time, the pilot pattern played an important role in channel estimation. Estimation of distribution algorithm (EDA) was used to optimize pilot pattern in sparse channel estimation. The algorithm is more robust than other methods and unlikely to trap into local minima. Both theoretical analysis and simulation results show that the scheme is more effective than the traditional estimation method. The simulation results indicate the applicability of the scheme by using different reconstruction methods and group sizes.
Key words: compressive sensing    sparse signal    channel estimation    pilot pattern optimization    orthogonal frequency division multiplexing (OFDM)    

正交频分复用技术(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)[1-2]如今广泛应用于移动通信系统中,具备高传输速率和抗频选衰落的优点. 然而随着近年来无线通信应用场景的愈发复杂,快时变信道引起更多关注,其快时变特性对OFDM系统的信道估计提出了新的挑战. 压缩感知(compressed sensing,CS)[3]理论是一种可行的方法,通过更少的测量值还原整个稀疏信号,主要应用于信号处理领域. 在信道估计方面,文献[4]指出常见的无线多径信道普遍具有稀疏特性,在此基础上,研究者们结合压缩感知算法进行信道估计,提出了压缩信道感知(compressed channel sensing)估计方法[4-5]. Taubock等[6-7]详细论证了双选择信道的稀疏性特性,并给出了通用的信道系数基扩展模型,通过组稀疏特性进行信道估计. 利用信道内在的组稀疏特性,用更少的导频符号获得更精确可靠的估计结果,提高了系统的带宽利用率,适用于快时变信道估计.

在导频放置方面,稀疏信道估计的导频选取是通过构建相应的感知矩阵,使其更好地满足限制等距特性(restricted isometry property,RIP)以提高CSI恢复概率. 文献[8]表明,互相关性越小,感知矩阵越满足RIP. 理论上应穷尽搜索所有可能的导频模式以找出最佳感知矩阵,然而限于实际OFDM系统中的载波和导频数量,穷尽搜索在计算量上是不现实的,因此需要尽可能准确、快速的次优导频搜索方案. He等[9]提出了基于随机搜索的导频模式优化方案,Qi等[10-13]提出了离散随机近似方法和交叉熵优化(cross-entropy optimization,CEO)方法,然而上述方法无法保证收敛时间,文献[14-15]基于进化算法中的遗传算法(genetic algorithm,GA)搜索导频,缺点是可能陷入局部最小值. 因此,可采用分布估计算法(estimation of distribution algorithm,EDA)[16] 优化导频模式,通过从概率分布中抽取个体,不会陷入局部最小值,效果优于GA.

本文首先对OFDM系统信道进行建模,研究信道的组稀疏特性. 考虑到组稀疏特性和导频位置对压缩信道估计性能的重要作用,利用组稀疏更小的搜索空间,结合分布估计算法的高鲁棒性,对传统的导频放置模式进行改进,针对组稀疏算法优化导频位置,提高其重构水平. 最后,通过仿真证明该算法有更好的性能.

1 系统模型

在高速应用场景中,随着多普勒频移的变大,时间选择性衰落也变得更为严重,此时,需将信道建模成双选择性衰落信道模型:

$h(t,\tau ) = \sum\limits_{p = 1}^{P(t)}\, {\left[ {{\eta _p}(t)\delta (\tau - {\tau _p}(t))\exp \left( {{\rm j}2{\rm{\pi }}{v_p}(t)t} \right)} \right]} .$ (1)

式中:δ为冲激函数, ${v_p}(t)$ 为多普勒频移函数, ${\eta _p}(t)$ ${\tau _p}(t)$ $P(t)$ 分别为衰减系数、时间延迟和路径数,且三者均为随着时间变化的函数.

收发端的函数关系式可以写成:

$r(t) = \int_{ - \infty }^\infty {h(t,\tau )s(t - \tau ){\rm{d}}\tau } + z\left( t \right).$ (2)

式中: $s$ 为发送信号, $z(t)$ 为加性白噪声,若以离散形式表示,分别用 $s[n]$ $r[n]$ 表示 $n$ 时隙的发送信号和接收信号,则其通过信道后的相互关系为

$r[n] = \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\Big\{ {h[n,m]s[n - m]} \Big\}} + z[n].$ (3)

其中, $h[n,m]$ 表示 $n$ 时刻的第 $m$ 个信道抽头并假设信道最大阶数为 $M - 1$ .

本文采用的是单天线带有循环前缀(cyclic prefix, CP)的OFDM系统,发送信号 $s[n]$ 可表示为

$\begin{array}{l}\!\!s[n]\!\! =\! \!\displaystyle\frac{1}{{\sqrt K }}\displaystyle\sum\limits_{l = 0}^{L - 1}{\left\{ {\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^{k - 1}{\left[ {{a_{l,k}}\exp \left( {{\rm j}2{\rm{\pi }}kn/K} \right)} \right]g[n - lN]} } \right\}} .\end{array}$ (4)

式中: $K$ 为可用子载波个数, $L$ 为OFDM总的符号个数, $N$ 为子载波个数. 循环前缀的长度为 $N - K$ ${a_{l,k}}$ 为第 $l$ 个OFDM符号上的第 $k$ 个子载波调制符号,函数 $g[n]$ 为传输脉冲,且只在 $[0,N]$ 内值为1,其余位置为0. 接收端解调后的离散时间信号 $r[n]$ 可表示为

$\begin{array}{l}{r_{l,k}} = \displaystyle\frac{1}{{\sqrt k }}\displaystyle\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\Big\{ {r[n]\exp \left( { - {\rm j}2{\rm{\pi }}k(n - lN)/K} \right)\gamma [n - lN]} \Big\}} .\end{array}$ (5)

其中, $\gamma [n]$ 为接收脉冲,只在 $[N - K,N - 1]$ 为1,其余位置为0, ${r_{l,k}}$ 为接收端解调后符号.

发送端数据符号 ${a_{l,k}}$ 与接收端解调后符号 ${{{r}}_{l,k}}$ 的关系为

${r_{l,k}} = {H_{l,k}}\,{a_{l,k}} + {z_{l,k}}.$ (6)

式中: $l = 0, 1,\cdots ,L - 1$ $k = 0, 1,\cdots ,K - 1$ ${z_{l,k}}$ ${H_{l,k}}$ 分别为加性高斯白噪声和信道系数的离散化表示:

${H_{l,k}} = \sum\limits_{m = 0}^{K - 1}\; {\sum\limits_{i = - L/2}^{L/2 - 1} \,{\left[ {{F_{m,i}}\exp \left( { - {\rm j}2\pi \left(\frac{{km}}{K} - \frac{{li}}{L}\right)} \right)} \right]} } ,$ (7)
${F_{m,i}} = \sum\limits_{q = 0}^{N - 1}\, {\left\{ {{S_h}[m,i + qL]A_{\gamma ,g}^*\left(m,\frac{{i + qL}}{{{N_0}}}\right)} \right\}} .$ (8)

式中: ${S_h}\left[ {m,i} \right]$ 为信道的延迟-多普勒扩展函数,描述发送信号在时间和频率的扩展; $A_{\gamma ,g}^*(m,\xi )$ $\gamma [n]$ $g[n]$ 的交叉模糊函数[17] ${F_{m,i}}$ 为2D-DFT系数,可认为在 $\{ 0, 1,\cdots ,D - 1\} \times \{ - J/2,- J/2+1, \cdots , J/2-1, $ $J/2\} $ 区域内是组稀疏的[6-7].

2 基于组稀疏压缩感知的信道估计

在许多实际情况中,稀疏信号的非零分量趋向于出现在簇中. 为了利用这种结构提高重建质量,引入组稀疏压缩感知(group sparse compressed sensing, GSCS)的方法. GSCS与块稀疏CS和基于模型的CS密切相关.

${\cal{J}}{\rm{ = }}\left\{ {{I_b}} \right\}_{b = 0}^{B - 1}$ 为集合 $\{ 0, 1,\cdots ,N - 1\} $ 的一种分组方式,即有

$ \cup _{b = 0}^{B - 1}{I_b} = \{ 0, 1,\cdots ,N - 1\},$
$ \displaystyle\sum\nolimits_{b = 0}^{B - 1} {|{I_b}|} = N.$

例如 ${I_0}{\rm{ = }}\left\{ {1,2} \right\}$ ${I_1}{\rm{ = }}\left\{ 3 \right\}$ 为集合 $\left\{ {1,2,3} \right\}$ 的一种分组方式,记为 ${\cal J}{\rm{ = }}\left\{ {{I_b}} \right\}_{b = 0}^{B - 1}$ B=2. 定义一个信号 ${{x}} \in {{\bf{C}}^N}$ ,如果其子向量 ${{x}}[b] \in {{\bf{C}}^{\left| {{I_b}} \right|}}$ 中最多有 $S$ 个不为0,则称其为服从 $\cal{J}$ 分组方式的组 $S$ 稀疏. 所有这样的信号的集合定义为 ${\sum _{S|{\cal{J}}}}$ . 组稀疏信号模型如图1所示,非零点集中在数个组内.

图 1 组稀疏压缩感知(GSCS)信号模型 Fig. 1 Signal model for group sparse compressed sensing (GSCS) method

与CS理论相似,GSCS方法从下式中重构信号 ${{x}}$

${{y}} = {{\varPhi x}} + {{z}}.$ (9)

式中: ${{y}}$ 为已知测量信号, ${{\varPhi }}$ 为感知矩阵, ${{z}}$ 为加性噪声. GSCS信号重构问题即求解凸优化问题:

$\mathop {\arg \min }\limits_{{x}} {\left\| {{x}} \right\|_{2|\cal{J}}},\;{\rm s}.{\rm t}.\,{\left\| {{{y}} - {{\varPhi x}}} \right\|_2} \leqslant \varepsilon. $

根据第2章的信道模型,为了求得完整信道响应 ${H_{l,k}}$ ,只需求得关于 ${H_{l,k}}$ 的2D-DFT系数 ${F_{m,i}}$ 即可. 定义一个子采样的网格:

${\cal{G}}: = \left[ (\lambda \Delta L,\,\kappa \Delta K)\,|\,\lambda = 0,1, \cdots ,J - 1;\kappa = 0,1, \cdots, D - 1\right] ,$

满足 $\Delta K = K/D$ $\Delta L = L/J$ 为整数,因此式(7)变为

$\begin{split}&{H_{\lambda \Delta L,\kappa \Delta K}} =\\ & \displaystyle\sum\limits_{m = 0}^{K - 1} \;{\displaystyle\sum\limits_{i = - L/2}^{L/2 - 1} \,{\left[ {{F_{m,i}}\exp \,\left( { - {\rm j}2\pi \left(\displaystyle\frac{{\kappa \Delta Km}}{D} - \displaystyle\frac{{\lambda \Delta Li}}{L}\right)} \right)} \right]} } = \\ & \displaystyle\sum\limits_{m = 0}^{D - 1} \;{\displaystyle\sum\limits_{i = - J/2}^{J/2 - 1}\, {\left[ {{F_{m,i}}\exp \,\left( { - {\rm j}2\pi \left(\displaystyle\frac{{\kappa m}}{D} - \displaystyle\frac{{\lambda i}}{J}\right)} \right)} \right]} } .\end{split}$ (12)

式中: ${F_{m,i}}$ 的有效支撑区域为原点周围的矩形区域: $\{ 0,1, \cdots ,D - 1\} \times \{ - J/2,-J/2+1, \cdots ,J/2-1,J/2\} $ . 即要求得 ${F_{m,i}}$ 在所有 $JD$ 位置处的值. 考虑到信道的组稀疏特性,再对 $\{ 0,1, \cdots ,D - 1\} \times \{ - J/2,$ $ -J/2+1, \cdots ,J/2-1,J/2\} $ 区域进行分块,每块大小为 $\Delta m \times \Delta i\, ,$ $\Delta m \in {\bf{Z}}\,,$ $\Delta i \in {\bf{Z}}\,,$ 且符合 ${B_D}: = D/\Delta m\,,$ ${B_J}: = J/\Delta i$ 为整数. 即分块为 .

${\cal{B}_b} = \left\{ {{k_b}\Delta m, \cdots ,\left( {{k_b} + 1} \right)\Delta m} \right\} \times \left\{ {{l_b}\Delta i, \cdots ,\left( {{l_b} + 1} \right)\Delta i} \right\}.$

其中,

$\begin{split}&{k_b} \in \{ 0, \cdots ,(K/\Delta m) - 1\} ,\\ &{l_b} \in \{ - L/(2\Delta i), \cdots ,(({N_0} - L/2)/\Delta i) - 1\}. \end{split}$

再定义集合 $\{ 0,1, \cdots ,JD - 1\} $ 的分组:

$\cal{J}{\rm{ = }}\left\{ {{I_b}} \right\}_{b = 0}^{{B_D}{B_J} - 1},$

${I_b}$ ${\cal{B}_b}$ 一一对应.

对式(10)进行2-D基扩展:

${H_{\lambda \Delta L,\kappa \Delta K}} = \sum\limits_{m = 0}^{D - 1} \;{\sum\limits_{i = - J/2}^{J/2 - 1} \left({{G_{m,i}}\,{u_{m,i}}[\lambda ,\kappa ]} \right)} .$ (13)

式中:

${u_{m,i}}\left[ {\lambda ,\kappa } \right] = \left( {1/JD} \right)\exp \left( { - {\rm j}2{\rm{\pi }}\left( {\displaystyle\frac{{\kappa m}}{D} - \displaystyle\frac{{ i}}{J}} \right)} \right)$

是一个二维正交基, ${G_{m,i}}{\rm{ = }}\sqrt {JD} {F_{m,i}}$ 为基函数对应的系数. 定义JD维的向量 ${{{h}}_\Delta }$ ${{g}}$ ${{{u}}_{m,i}}$ ,对应的元素分别为

$\begin{aligned}&{\left[ {{{{h}}_\Delta }} \right]_{\kappa J + \lambda ,(i + J/2)D + m}} = {H_{\lambda \Delta L,\kappa \Delta K}},\\ & {\left[ {{g}} \right]_{(i + J/2)D + m}} = {G_{m,i}},\\ & {\left[ {{{{u}}_{m,i}}} \right]_{\kappa J + \lambda }} = {u_{m,i}},\end{aligned}$

其中, $\begin{array}{l}\lambda = 0,1, \cdots ,J - 1;\;\kappa = 0, 1,\cdots ,D - 1;m = 0,1,\cdots ,\end{array}$ $\begin{array}{l}D - 1;\;i = - J/2, - J/2+1,\cdots ,J/2 - 1 .\end{array}$ 即将 ${H_{\lambda \Delta L,\;\kappa \Delta K}}$ ${G_{m,i}}$ ${u_{m,i}}\left[ {\lambda ,\;\kappa } \right]$ 分别写为一个矩阵,因此可以将式(11)重新写为

${{{h}}_\Delta } = \sum\limits_{m = 0}^{D - 1} \;{\sum\limits_{i = - J/2}^{J/2 - 1} {\left( {{G_{m,i}}{{{u}}_{m,i}}} \right) = } } {{Ug}}.$ (18)

其中 ${{U}}$ $JD \times JD$ 矩阵, ${\left[ {{U}} \right]_{\kappa J + \lambda ,(i + J/2)D + m}} = {u_{m,i}}\left[ {\lambda ,\kappa } \right]$ .

至此得到信道系数的稀疏表达式,由压缩感知理论可知,可以通过较少的观测值来重构原信号,但是对需要的最少样本数有要求,即对导频数量有最低要求,假设导频的位置已确定为 $\left( {l,k} \right) \in \cal{P}$ ,长度为 $\left| \cal{P} \right|$ . 可以通过 ${r_{l,k}}/{p_{l,k}}$ 来求得导频处的估计值 ${\hat H_{l,k}}$ ,其中 ${r_{l,k}}$ 为导频位置对应的信道接收值, ${p_{l,k}}$ 为导频符号. 由此可以将式(12)写成形如式(9)的标准压缩感知方程:

${{{h}}_{(p)}} = {{\varPhi x}} + {{{z}}_{(p)}}.$ (19)

式中: $ {{\varPhi }} = \sqrt {JD/Q} {{{{ U}}}_{(p)}}$ ${{x}} = \sqrt {Q/JD} {{ g}} $

基于组稀疏压缩感知的信道估计具体步骤如下:

1)通过 ${r_{l,k}}/{p_{l,k}}$ 求得导频位置处的 $H$ 估计值 ${\hat H_{l,k}}$ ,将其写成向量形式 ${{{h}}_{(p)}}$ .

2)利用现有的GSCS算法重构出 ${{x}}$ 的估计值,利用这个估计值得到系数向量g的估计值.

3)通过向量g的估计值和矩阵 ${{U}}$ 计算得到完整的信道系数值.

适用于GSCS的重构算法G-OMP的算法流程如下:

输入: ${{Y}},{{\varPhi }},S$ .

初始化: ${{{r}}_{{0}}} = {{Y}},t = 1,{\Lambda _0} = \{ \} $ .

$t \leqslant S$ ${\left\| {{{{r}}_t}} \right\|_2} \geqslant \rho {\left\| {{Y}} \right\|_2}$

重复以下操作

1. $\varLambda _{t - 1}^c = \cal{B}\backslash {\Lambda _{t - 1}}$ ;

2. ${\lambda _t} = \arg \mathop {\rm{max}}\limits_{\lambda \in \varLambda _{t - 1}^c} {\left\| {{\varPhi }} \right\|_{2,\lambda }}$ ;

3. ${\varLambda _t} = {\varLambda _{t - 1}} \cup {\lambda _t}$ ;

4. ${{{x}}_t} = \arg \mathop {\rm{min}}\limits_{{u}} {\left\| {{{Y}} - {{\varPhi x}}} \right\|_2},{\rm{ }}{\rm s}.{\rm t}.\,{\rm{ supp}}\left( {{x}} \right) \subset {\varLambda _t}$ ;

5. ${{{r}}_t} = {{Y}} - {{\varPhi }}{{{x}}_t}$ ;

6. $t = t + 1$ .

结束循环

输出: ${{\tilde x}} = {{{x}}_t}$ .

由上文可知,基于GSCS方法进行信道估计需要先求得导频位置处 $H$ 的估计值,进而得到完整的信道系数值,因此导频位置的选取直接决定信道估计性能的好坏. 本文对分布估计算法(distribution estimation algorithm, EDA)进行改进,考虑到信道的组稀疏特性,提出基于EDA导频模式的组稀疏压缩感知信道估计方法. 算法主体思想是搜索导频放置模式,使感知矩阵的互相关性最小. 现已知OFDM系统子载波数为 $N$ ,其中 $P$ 个用于发送导频,导频索引集合为 ${{\cal{K}}_{{\rm{opt}}}}{\rm{ = }}\left\{ {{k_1},}\right.$ $\left.{ k_2,\cdots ,{k_P}} \right\} $ . 定义向量:

${{f}} = {\left[ {f\left( 0 \right), f(1) ,f\left( {N - 1} \right)} \right]^{\rm T}}$

为一个个体, $f\left( {{k_1}} \right) = f\left( {{k_2}} \right) =\cdots = f\left( {{k_p}} \right) = 1$ ,其余元素为0. 每一个个体 ${{f}}$ 对应一种导频放置模式. 令 ${{A}} = {{XF}}$ ${{X}}{\rm{ = diag}}\,\left( {X\left( {{k_1}} \right), X\left( {{k_2}} \right) ,\cdots,X\left( {{k_p}} \right)} \right)$ 为导频位置对应发送值构成的对角矩阵, ${{F}}$ $P \times N$ 的傅里叶矩阵.

导频放置问题即为求解优化问题:

${Q_1}:{\rm{ }}\mathop {\rm{min}}\limits_{{{f}} \in \cal{S}}\, \mu \left( {{{A}}\left( {{f}} \right)} \right),\;{\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} \,\,{f\left( n \right)} = P.$ (22)

式中: ${{A}}\left( {{f}} \right)$ 即为导频模式 ${{f}}$ 确定的感知矩阵 ${{A}}$ $\cal{S}$ 为搜索空间,表示 $\left( {N,P} \right)$ 给定时所有导频方案的集合,

$\mu \left( {{A}} \right) = \mathop {\rm{max}}\limits_{d \in \cal{D}} \frac{1}{P}\left| {\sum\limits_{i = 1}^P\, {{\omega ^{{k_i}d}}} } \right|.$ (23)

其中, ${{d}}$ 为列号差值, $\cal{D} = \left\{ {1,\, \cdots \,,N - 1} \right\}$ . 穷举搜索空间 ${S}$ 中所有个体 ${{f}}$ 是不现实的,因此定义总体 $\cal{F}$ 用以求解问题, ${\cal\tilde{F}}^{(i)}$ M个个体 ${{f}}$ 组成.

适用于组稀疏压缩感知EDA导频放置模式算法流程如下:

初始化:i=0,生成包含M个随机个体的总体 ${{\cal{F}}^{\left( 0 \right)}} = \left[ {{{f}}_1^{\left( 0 \right)},{{f}}_2^{\left( 0 \right)}, \cdots ,{{f}}_M^{\left( 0 \right)}} \right]$ .

重复以下操作

1. 对当前总体 ${{\cal{F}}^{\left( i \right)}}$ ,根据式(15)计算 $\mu \left( {{{f}}_1^{\left( i \right)}} \right), \mu \left( {{{f}}_2^{\left( i \right)}} \right),\cdots ,\mu \left( {{{f}}_M^{\left( i \right)}} \right)$ 并升序排列;

2. 按1中排序选取总体中前T个个体 $\left\{ {{{\hat f}}_1^{\left( i \right)},\, {{\hat f}}_2^{\left( i \right)},\cdots\, , {{\hat f}}_T^{\left( i \right)}} \right\}$ ,令 $ {{\hat f}}_1^{\left( i \right)} = {\widetilde{ f}}_1^{\left( i \right)}$ ,

按如下方法得到 $\widetilde {{f}}_2^{\left( i \right)}, \cdots ,\widetilde {{f}}_T^{\left( i \right)}$ :

$t = 2, 3,\cdots ,T-1 ,T$ ,计算 $\widehat {{f}}_t^{\left( i \right)}$ $\widetilde {{f}}_1^{\left( i \right)}$ 的循环卷积 ${{g}}_t^{\left( i \right)}$ ${{g}}_{t,{\rm{flip}}}^{\left( i \right)}$ ,得到最大匹配指数:

${N_0} = \arg \mathop {\rm{max}}\limits_{{{n}} = 0,1, \cdots ,N - 1} \left\{ {{g_t}\left( n \right),{g_{t,{\rm{flip}}}}\left( n \right)} \right\}.$

$ {{\hat f}}_{t,{\rm{flip}}}^{\left( i \right)}$ $ {{\hat f}}_t^{\left( i \right)}$ 循环移位N0位得到 $\widetilde {{f}}_{\rm{t}}^{\left( i \right)}$ ;

3. 得到新总体 ${\tilde \cal{F}^{\left( i \right)}} = \left[ {{{\tilde f}}_1^{\left( i \right)}, {{\tilde f}}_2^{\left( i \right)}, \cdots ,{{f}}_T^{\left( i \right)}} \right]$ ;

4. 计算导频概率向量 ${{{p}}^{\left( i \right)}}$ :

${{ p}^{\left( i \right)}}\left( n \right) = \frac{1}{T}\sum\limits_{t = 1}^T\, {{{{\tilde f}}^{\left( i \right)}}\left( n \right)}; \; \; {n = 0,1, \cdots ,N - 1} .$

得到概率分布 ${{P}^{\left( {{i}} \right)}}:{\rm{ }}{{{\tilde f}}^{\left( i \right)}} \sim {\rm{Ber}}\left( {{p^{\left( i \right)}}\left( n \right)} \right)$ ;

5. 保留 $\widetilde {{f}}_1^{\left( i \right)}$ ${{f}}_1^{\left( {i + 1} \right)}$ ,从分布 ${{P}^{\left( {{i}} \right)}}$ 中抽取新的个体组成总体 ${{\cal{F}}^{\left( {i + 1} \right)}} = \left[ {{{f}}_1^{\left( {i + 1} \right)}, {{f}}_2^{\left( {i + 1} \right)},\cdots ,{{f}}_M^{\left( {i + 1} \right)}} \right]$ ;

当概率向量 ${{{p}}^{\left( i \right)}}$ 满足 ${p^{\left( i \right)}}\left( {{k_1}} \right) ={p^{\left( i \right)}}\left( {{k_2}} \right) =\cdots = $ ${p^{\left( i \right)}}\left( {{k_P}} \right) = 1 $ ,其余元素为0时,

结束循环

返回:导频索引集合 ${\cal{K}_{{\rm{opt}}}} = \left\{ {{k_1},{k_2}, \cdots ,{k_P}} \right\}$ .

3 仿真结果与分析

本文通过Matlab对算法进行仿真,基于500次蒙特卡洛实验,采用4-QAM调制,设置子载波数为512,符号个数为32,CP长度为128,载波频率5 GHz,导频个数为128.

文中双选信道通过IlmProp工具产生. 收发端距离为1 500 m,其中包含10个簇,每个簇又包含了10个散射体. 其中3个簇围绕在接收端,这些簇的直径在5~30 m,每个簇的增益服从高斯分布,并且具有随机的速度和随机的加速度,速度和加速度对应的上限分别为50和7 m/s.

本文采用G-BPDN和G-OMP算法重构稀疏信号,采用不同的导频放置模式进行对比,组大小取(4, 1),仿真结果如图2~5所示,其中MSE为均方误差,SNR为信噪比.

图 2 组稀疏与传统稀疏信道估计方法对比(采用G-OMP和G-BPDN重构算法) Fig. 2 Compressive channel estimation utilizing group sparsity compared to conventional compressive channel estimation (using G-OMP and G-BPDN reconstruction technique)
图 3 基于不同优化方案的组稀疏信道估计方法对比(均采用G-OMP重构算法) Fig. 3 Comparison of group sparsity channel estimation based on different optimization schemes (using G-OMP reconstruction technique)
图 4 基于不同优化方案的组稀疏信道估计方法对比(均采用G-BPDN重构算法) Fig. 4 Comparison of group sparsity channel estimation based on different optimization schemes (using G-BPDN reconstruction technique)
图 5 采用不同块大小的组稀疏信道估计性能对比 Fig. 5 Performance of compressive channel estimator utilizing group sparsity for various block sizes

由仿真结果可看出,采用组稀疏压缩感知的信道估计方法性能明显优于同种重构算法的传统压缩感知方法. 对导频进行优化后的估计方案略优于传统方法,采用G-BPDN重构算法时,高信噪比条件下G-BPDN EDA改进方案具有较明显的优势,CEO和GA方法效果相仿,采用G-OMP时则没有较明显的改善,总体性能仍略有提升,G-BPDN EDA具有最优性能. 而在组稀疏估计块的大小选择方面,仿真结果表明,在一定范围内,频域分组选取较大时有较好的效果.

下面对GSCS算法的复杂度进行分析.

1)组稀疏算法复杂度取决于相应的CS算法,GSCS算法复杂度记为 $O({\rm{GSCS}})$ ,根据不同的重构算法记作不同的具体值,缩放运算复杂度为 $O(JD)$

2)计算式(11)、(12)中 ${H_{\lambda \Delta L,\;\kappa \Delta K}}$ 的复杂度,JD×JD的矩阵 ${{U}}$ 需要做(JD)2次乘法;

3)式(7)做快速傅里叶变换(fast Fourier transformation, FFT),复杂度为 $O(LK\,{\rm{log}}\,(LK))$

4)总复杂度为

$O({\rm{GSCS}}) + O({(JD)^2}) + O(LK\,{\rm{log}}\,(LK))$ .

易得,第三项复杂度远低于第二项,第一项无法给出复杂度的明确界限,根据不同CS算法具体分析. G-BPDN的具体值尚无法确定,文献[18]论述了BPDN算法有多种实现算法,且各有不同的计算复杂度. G-OMP复杂度分别为

$O({\rm{GSCS}}){\rm{ = }}O(M{(n{'_{{\rm{G{\text{-}}OMP}}}})^2} + {n_{{\rm{G{\text{-}}OMP}}}}{{\varPhi }}). $

其中, ${n_{{\rm{G{\text{-}}OMP}}}}$ 为各自的迭代次数, ${{\varPhi }}$ Q×JD的感知矩阵, $n{'_{{\rm{G{\text{-}}OMP}}}}$ 为选用组的迭代次数和, $O({{\varPhi }}){\rm{ = }}MN$ ,可优化为 $O({{\varPhi }}){\rm{ = }}M\log \left( N \right)$ .

综上所述,一般情况下 $O({\rm{GSCS}})$ 为复杂度的主要部分,即总复杂度仅考虑 $O({\rm{GSCS}})$ ,其值取决于具体重构算法.

4 结 语

本文基于压缩感知理论,研究了OFDM系统中的双选衰落信道估计方法,利用信号的组稀疏性提升重建效果. 为了获取准确的估计信息,压缩感知理论要求观测矩阵与稀疏基具有不相关性. 基于这一原则,本文结合分布估计算法对导频的优化,改进了组稀疏压缩感知的导频放置模式. 本文在设计导频时,建立了一个优化的概率分布模型,由该模型抽样得到新的导频图案个体,从而迭代收敛到优化的导频模式. 该方法得到的观测矩阵的互相关性更小,能更好地满足约束等距性,因此所得优化导频模式在组稀疏信道估计方面表现更好,且由于概率分布模型的特性,具有更好的鲁棒性. 仿真结果同样表明,该导频优化方案在均方误差性能方面优于传统方法,采用G-BPDN重构算法时,改进方案具有较明显的优势;采用G-OMP时虽没有较明显的改善,总体性能仍略有提升.

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