自主水下机器人(autonomous underwater vehicle, AUV)精确的路径跟踪能力是其作业任务（海洋地图测绘、水下工程检查）以及自身安全避障的重要技术保障^[1-4]. 深海环境极其复杂、具有不可预知性，AUV高度自治并且自身携带的动力能源有限，因此为了保证AUV在有限的动力能源下安全航行并且高效地完成水下作业任务，针对AUV路径跟踪技术的研究是十分关键的^[5-7]. AUV水平面运动是指AUV保持在某一固定深度航行，重心在水平面内运动. 当AUV实际航行时，受到风、浪、流等环境因素的影响，运动控制系统是一个带有不确定性的、耦合的典型非线性系统.

近年来，计算机技术的飞速发展及其在控制系统中的广泛应用使得适用于计算机系统的离散控制算法的研究得到了学者们的高度关注. 由于离散非线性系统理论的不完善性和复杂性，AUV控制问题的研究较少. AUV离散系统水平面路径跟踪控制的研究一般考虑以下3个问题. 1) AUV动力学的强非线性和不确定性. 在 AUV路径跟踪控制问题中，当运动速度和航行环境发生改变，AUV所受到的科里奥利向心力、水动力阻力和升力随之发生改变，造成AUV动力学模型的非线性和不确定性. 这就需要考虑系统的鲁棒性，并且采用更符合模型特点的非线性控制方法来研究. 自适应控制对处理模型参数不确定问题效果显著^[8]，神经网络具有任意逼近非线性函数的特点，因此基于神经网络的自适应控制算法是一种有效的控制方法^[9-13]. 在AUV控制系统中，Qi等^[14-17]利用神经网络技术对不确定非线性部分进行重构，进而通过网络参数的自适应学习，使得所设计的控制器具有较强的自适应性和鲁棒性等优点，但是以上研究都是针对AUV连续系统进行的. 2) 仅采用AUV的位置和姿态角量测信息进行控制，即采用输出反馈控制方法^[18-21]. 与全状态反馈控制方法相比，输出反馈控制对减轻AUV重量、节约成本以及减少测量装置过多带来的测量误差和测量噪声等因素的影响有很好的作用. 3)AUV离散系统的稳定性分析. 离散非线性系统本身具有复杂性，理论体系不完善并且可用的数学工具不多，都为AUV的控制器设计带来很大的难度^[22-23].

针对上述AUV离散系统水平面路径跟踪控制过程中需要解决的问题，提出了一种神经网络自适应输出动态反馈控制算法. 为了提高控制性能设计了一个动态反馈控制器镇定AUV离散误差动态系统线性部分. 对于AUV系统中的不确定非线性函数，利用神经网络理论对其重构. 设计一个鲁棒控制器来抑制重构误差及外界干扰，以提高系统鲁棒性. 最后基于离散Lyapunov理论分析跟踪误差系统的稳定性，并保证误差系统中的信号是最终一致有界的.

1 问题描述 1.1 AUV连续系统水平面模型

AUV水平面三自由度（3-DOF）运动模型表示为

$\left. \begin{array}{l}{\dot{ \eta }} = { J}\left( {{\eta }} \right){{\nu }},\\{{M}}{\dot{ \nu }} + {{C}}\left( {{ \nu }} \right){{ \nu }} + {{D}}\left( {{ \nu }} \right){{ \nu }} + { g}\left( {{\eta }} \right) + {{{\tau }}_{\rm d}} = {{\tau }}.\end{array}\right\} $

(1)

式中： ${{M}} = {{{M}}_{{\rm RB}}} + {{{M}}_{\rm A}}$ 为包括刚体质量及惯性矩阵 ${{{M}}_{{\rm RB}}}$ 和水动力附加质量矩阵 ${{{M}}_{\rm A}}$ 的正定惯性矩阵， ${ C}\left( {{\nu }} \right) \in {{\bf R}^{3 \times 3}}$ 为科里奥利向心力矩阵， ${ D}\left( {{\nu }} \right) \in {{\bf R}^{3 \times 3}}$ 为水动力阻力和升力矩阵， ${ g}\left( {{\eta }} \right) \in {{\bf R}^{3 \times 1}}$ 为恢复力和力矩向量， ${{{\tau }} _{\rm d}}$ 为外界干扰力和力矩向量， ${{\nu }} = {\left[ {u,\nu ,r} \right]^{\rm{T}}}$ 和 ${{\eta }} = {\left[ {x,y,\psi } \right]^{\rm{T}}}$ 为AUV速度和位置向量， ${{\tau }} $ 为由推进器产生的力(力矩), ${{J}}\left( {{\eta }} \right)$ 是转换矩阵并且

${ J}\left( {{\eta }} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \psi }&{ - \sin \psi }&0 \\ {\sin \psi }&{\cos \psi }&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right].$

对AUV模型 (1)进行坐标变换. 对于光滑的期望，轨迹 ${{{\eta }}_{\rm d}}$ 满足 ${[{{{\eta }}_{\rm d}},\;\;{{\dot{ \eta }}_{\rm d}},\;\;{{\ddot{ \eta }}_{\rm d}}]^{\rm T}}$ 有界. 令 ${{\bar{ \xi }}_1} = {{\eta }} - {{{\eta }}_{\rm d}},\;{{\bar{ \xi }}_2} =$ $ J\left( {{\eta }} \right){{\nu }} - {{\dot{ \eta }}_{\rm d}}$ ，系统(1)表示为

$\left.\begin{array}{l}{{\dot {\bar{ \xi}}_2}}= {{{\bar{ \xi }}}_2},\\{{\dot {\bar { \xi }}}_2} = \bar { f}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1},{{{\bar{ \xi }}}_2}} \right) + { J}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}} \right){{{M}}^{ - 1}}\left( {{{\tau }} - {{{\tau }} _{\rm d}}} \right).\end{array} \right\}$

(2)

式中：

$\begin{aligned} \bar { f}&\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1},{{{\bar{ \xi }}}_2}} \right) = { J}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}} \right){{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}} \right)\left( {{{{\bar{ \xi }}}_2} + {{{\dot{ \eta }}}_{\rm d}}} \right) + \\ &{ J}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}} \right){{{M}}^{ - 1}}\left\{ - {{C}}\left[ {{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}} \right)\left( {{{{\bar{ \xi }}}_2} + {{{\dot{ \eta }}}_{\rm d}}} \right)} \right]{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}} \right)\left( {{{{\bar{ \xi }}}_2} + {{{\dot{ \eta }}}_{\rm d}}} \right) - \right. \\ & \left.{{D}}\left[ {{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}} \right)\left( {{{{\bar{ \xi }}}_2} + {{{\dot{ \eta }}}_{\rm d}}} \right)} \right]{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}} \right)\left( {{{{\bar{ \xi }}}_2} + {{{\dot{ \eta }}}_{\rm d}}} \right) - g\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}} \right)\right\} - {{{\ddot{ \eta }}}_{\rm d}}.\end{aligned}$

1.2 AUV离散系统水平面模型

由于计算机技术的迅猛发展，动态系统的控制趋向数字控制方式. 在数字控制器上执行针对连续时间系统设计的控制算法时，受到采样时间的影响，一般很难达到满意的控制性能，甚至会出现离散化的系统不稳定的现象. 因此，在进行系统的控制设计时，建立系统的离散模型并直接对系统进行控制十分必要. 针对AUV水平面运动方程(2)建立离散模型，采用欧拉离散化方法，令

${\dot {\bar { \xi }}}\left( t \right) = {\left[{{\bar{ \xi }}}\left( {k + 1} \right)\right. -} {\left.{{\bar{ \xi }}\left( k \right)}\right]}/{T},$

离散化的AUV方程为

$\left. \begin{aligned} & {{{\bar{ \xi }}}_1}\left( {k + 1} \right) = {{{\bar{ \xi }}}_1}\left( k \right) + T{{{\bar{ \xi }}}_2}\left( k \right), \\& {{{\bar{ \xi }}}_2}\left( {k + 1} \right) = {{{\bar{ \xi }}}_2}\left( k \right) + T\bar { f}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}\left( k \right),{{{\bar{ \xi }}}_2}\left( k \right)} \right) + \\& \quad \quad \quad \quad \;\,T{ J}\left( {{{{\bar{ \xi }}}_1}\left( k \right)} \right){{{M}}^{ - 1}}\left[ {{{\tau }}\left( k \right) - {{{\tau }}_{\rm d}}\left( k \right)} \right]. \\ & \end{aligned} \right\}$

(3)

式中：T为采样时间.

下面对式(3)进行坐标变换. 令

$ \begin{gathered} {{{\xi }}_1}\left( k \right) = {{{\bar{ \xi }}}_1}\left( k \right),\; {{{\xi }}_2}\left( k \right) = {{{\bar{ \xi }}}_1}\left( k \right) + T{{{\bar{ \xi }}}_2}\left( k \right). \end{gathered} $

(4)

令 ${{\xi }}\left( k \right) = {\left[ {{{{\xi }}_1}\left( k \right),\;\;{{{\xi }}_2}\left( k \right)} \right]^{\rm T}}$ ，在新的坐标系(4)下，AUV离散系统水平面运动方程(3)可以描述为

$\left. \begin{aligned}& {{{\xi }}_1}\left( {k + 1} \right) = {{{\xi }}_2}\left( k \right), \\& {{{\xi }}_2}\left( {k + 1} \right) = { f}\left( {{{\xi }}\left( k \right)} \right) + T{ J}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right){{{M}}^{ - 1}}\left[ {{{\tau }}\left( k \right) - {{{\tau }}_{\rm d}}\left( k \right)} \right], \\& {{Y}}\left( k \right) = {{{\xi }}_1}\left( k \right). \\ \end{aligned} \right\}$

(5)

式中： ${{Y}}\left( k \right)$ 是输出，并且

$\begin{aligned}{ f}\left( {{{\xi }}\left( k \right)} \right) = & {T^{ - 1}}\left[ {{ J}\left( {{{{\xi }}_2}\left( k \right)} \right) - { J}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right)} \right] \times \\ &{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right)\left[ {{{{\xi }}_2}\left( k \right) - {{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right] + { J}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right){{{M}}^{ - 1}} \times \\ &\left\{ -{ C}\left[ {{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right){T^{ - 1}}\left( {{{{\xi }}_2}\left( k \right) - {{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right)} \right] \times \right.\\ &{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right)\left( {{{{\xi }}_2}\left( k \right) - {{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right) - \\ &{ D}\left[ {{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right){T^{ - 1}}\left( {{{{\xi }}_2}\left( k \right) - {{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right)} \right] \times \\ &\left.{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right)\left( {{{{\xi }}_2}\left( k \right) - {{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right) - { g}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right)\right\} + {{{\xi }}_2}\left( k \right).\end{aligned}$

由于外界环境的影响，非线性函数 ${ f}\left( {{{\xi }}\left( k \right)} \right)$ 中的项 ${ C}\left( {{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right){{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right)$ 和 ${ D}\left( {{{ J}^{ - 1}}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right){{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right)$ 包含大量的不确定性水动力系数，导致非线性函数 ${ f}\left( {{{\xi }}\left( k \right)} \right)$ 是不确定的. 控制目标在于设计动态输出反馈控制器 ${{\tau }}\left( k \right)$ 使得AUV离散系统的输出 ${{Y}}\left( k \right)$ 跟踪期望轨迹 ${{{Y}}_{\rm d}}\left( k \right)$ .

2 控制器设计及稳定性分析

根据系统(5)，控制器可以设计为

${{\tau }}\left( k \right) = {T^{ - 1}}{{M}}{{{J}}^{ - 1}} {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \left( {{{{u}}_1}\left( k \right) - {{{u}}_2}\left( k \right) + {{{u}}_3}\left( k \right)} \right).$

(6)

式中： ${{{u}}_1}\left( k \right)$ 为动态反馈控制器，它是如下动态系统的输出：

$\left. \begin{array}{l}{{\zeta }}\left( {k + 1} \right) = {{{A}}_{\rm d}}{{\zeta}} \left( k \right) + {{{B}}_{\rm d}}{{{\xi}} _1}\left( k \right),\\{{{u}}_1}\left( k \right) = {{{C}}_{\rm d}}{{\zeta }}\left( k \right) + {{{D}}_{\rm d}}{{{\xi }}_1}\left( k \right).\end{array} \right\}$

(7)

并且u₁(k)镇定下面的系统：

$\left. \begin{array}{l}{{{\xi }}_1}\left( {k + 1} \right) = {{{\xi }}_2}\left( k \right),\\{{{\xi }}_2}\left( {k + 1} \right) = {{{u}}_1}\left( k \right).\end{array}\right\}$

(8)

其中， ${{\zeta }}\left( {k} \right)$ 是动态系统 (7 ) 的状态向量，A_d，B_d，C_d，D_d是可以设计的参数，用来保证如下闭坏系统渐近稳定：

$\left. \begin{array}{l}{{{\xi }}_1}\left( {k + 1} \right) = {{{\xi }}_2}\left( k \right),\\{{{\xi }}_2}\left( {k + 1} \right) = {{{C}}_{\rm d}}{{\zeta }}\left( k \right) + {{{D}}_{\rm d}}{{{\xi }}_1}\left( k \right),\\{{\zeta }}\left( {k + 1} \right) = {{{A}}_{\rm d}}{{\zeta }}\left( k \right) + {{{B}}_{\rm d}}{{{\xi }}_1}\left( k \right).\end{array} \right\}$

(9)

${{{u}}_2}\left( k \right)$ 为神经网络控制器用来补偿不确定非线性函数 ${ f}\left( {{{\xi }}\left( k \right)} \right)$ ， ${{{u}}_3}\left( k \right)$ 为鲁棒控制器用来补偿系统扰动 ${{{\tau }}_{\rm d}}\left( k \right)$ 及神经网络的重构误差 ${{\varepsilon }}\left( k \right)$ 的.

2.1 观测器设计

由于系统(9)的状态未知，采用观测器对状态进行观测. 定义

${{E}}\left( k \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\xi }}_1}\left( k \right)},&{{{{\xi }}_2}\left( k \right)},&{{{\zeta }}\left( k \right)} \end{array}} \right]^{\rm{T}}},\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

${{b}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\! {{{\bf 0}_{3 \times 3}}}, & {{{{I}}_{3 \times 3}}} ,& {{{\bf 0}_{3 \times 3}}} \!\!\! \end{array}} \right]^{\rm{T}}},\;{{Z}}\left( k \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\! {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} ,& {{{\zeta }}\left( k \right)} \!\!\! \end{array}} \right]^{\rm{T}}},$

${{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\! {{{\bf {0}}_{3 \times 3}}}&{{{{I}}_{3 \times 3}}}&{{{\bf {0}}_{3 \times 3}}} \!\!\! \\ \!\!\! {{{{D}}_{\rm d}}}&{{{{0}}_{3 \times 3}}}&{{{{C}}_{\rm d}}} \!\!\! \\ \!\!\! {{{{B}}_{\rm d}}}&{{{\bf {0}}_{3 \times 3}}}&{{{{A}}_{\rm d}}} \!\!\! \end{array}} \right] , \; {{c}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\! {{{{I}}_{3 \times 3}}}&{{{\bf {0}}_{3 \times 3}}}&{{{\bf {0}}_{3 \times 3}}} \!\!\! \\ \!\!\! {{{\bf {0}}_{3 \times 3}}}&{{{\bf {0}}_{3 \times 3}}}&{{{{I}}_{3 \times 3}}} \!\!\! \end{array}} \right].$

式中： ${{{I}}_{n \times n}}$ 表示 $n$ 阶单位矩阵.

根据式(5)、(7)和(8)，建立 ${{E}}\left( k \right)$ 的方程：

$\left. \begin{aligned}&{\begin{aligned}{{E}}\left( {k + 1} \right) = &{{AE}}\left( k \right) +{{b}}\left[ {{\rm{ }}{{f}}\left( k \right) - {{{u}}_2}\left( k \right) + {{{u}}_3}\left( k \right) - {{{\tau }}_{\rm d}}\left( k \right)} \right],\end{aligned}}\\&{{Z}}\left( k \right) = {{cE}}\left( k \right).\end{aligned} \right\}$

(10)

对式(10)设计全维状态观测器以实现对AUV位姿、速度的估计，观测器形式如下：

$\left.\begin{array}{l}{\hat{ E}}\left( {k + 1} \right) = {{A}}{\hat{ E}}\left( k \right) + {\bar{ K}}{\tilde{ Z}}\left( k \right),\\{\hat{ Z}}\left( k \right) = {{c}}{\hat{ E}}\left( k \right).\end{array} \right\}$

(11)

式中：状态 ${\hat{ E}}\left( k \right)$ 和 ${\hat{{Z}}}\left( k \right)$ 分别为状态 ${{E}}\left( k \right)$ 和 ${{Z}}\left( k \right)$ 的估计， ${\tilde{ Z}}\left( k \right) = {{Z}}\left( k \right) - {\hat{ Z}}\left( k \right)$ 为估计误差， ${\bar{ K}}$ 为使得 ${{A}} - {\bar{ K}}{{c}}$ 渐近稳定的增益矩阵.

定义 ${\tilde{ E}}\left( k \right) = {\hat{ E}}\left( k \right) - {{E}}\left( k \right),\,\,\,{\tilde{ A}} = {{A}} - {\bar{ K}}{{c}}$ ，则根据式(10)和(11)，建立观测器误差动态系统：

$\begin{split}{\tilde{ E}}\left( {k + 1} \right) = &{\tilde{ A}}{\tilde{ E}}\left( k \right){\rm{ + }}\\ &{{b}}\left[ {{\rm{ }}{ f}\left( {{{\xi }}\left( k \right)} \right) - {{{u}}_2}\left( k \right) + {{{u}}_3}\left( k \right) - {{{\tau }}_{\rm d}}\left( k \right)} \right].\end{split}$

(12)

2.2 神经网络自适应控制器

采用神经网络重构非线性函数^[24-26]，即

${ f}\left( {{{\xi }}\left( k \right)} \right) = {{{W}}^{\rm T}}\phi \left( {{{\xi }}\left( k \right)} \right) + {{\varepsilon }}\left( k \right).$

(13)

式中： ${{W}} \in {{\bf R}^{m \times 1}}$ 为输出层连接权矩阵， $\phi \left( {{{\xi }}\left( k \right)} \right) \in {{\bf R}^{m \times 1}}$ 为Sigmoid函数. 式(13)中向量 ${{\xi }}\left( k \right)$ 的状态里包含 ${{{\xi }}_2}\left( k \right)$ ，而 ${{{\xi }}_2}\left( k \right)$ 是未知的，需要通过观测器(11)得到.

设计AUV的神经网络自适应控制器为

${{{u}}_2}\left( k \right) = {{\hat{ W}}^{\rm T}}\left( k \right)\phi \left( {{\hat{ \xi }}\left( k \right)} \right).$

(14)

式中： ${\hat{ \xi }}\left( k \right) = {\left[ {{{{\hat{ \xi }}}_1}\left( k \right),\;{{{\hat{ \xi }}}_2}\left( k \right)} \right]^{\rm T}}$ ， ${\hat{ W}}\left( k \right)$ 为 ${{W}}$ 的估计，并且 $\left\| { W} \right\| \leqslant \bar W$ ， $\left\| {{{\varepsilon }}\left( k \right)} \right\| < \bar \varepsilon $ . 根据离散Lyapunov理论可知，神经网络权重矩阵满足

${\hat{ W}}\left( {k + 1} \right) = {\hat{ W}}\left( k \right)\, - \left[ {\phi \left( k \right){{{\hat{ E}}}^{\rm T}}\left( k \right){{{A}}^{\rm T}}{{Pb}} + \mu {\hat{ W}}\left( k \right)} \right].$

(15)

式中： ${{P}} \! > \! {\bf 0},\;{{Q}} \! > \! {\bf 0}$ 并满足Lyapunov方程 ${{{A}}^{\rm T}}{{PA}} \!-\! {{P}} \!=\! - {{Q}}$ ，参数 $\mu \in \left( {0,1.0} \right)$ .

定义 ${\tilde{ W}}\left( k \right) = {{W}} - {\hat{ W}}\left( k \right)$ . 根据式(13)和(14)可知，存在常数 $\sigma > 0$ 使得

$\left\|{ f}\left( {{{\xi }}\left( k \right)} \right) - {{{u}}_2}\left( k \right)\right\|\; \leqslant \left\| {{\tilde{ W}}\left( k \right)} \right\|\phi _{\rm M} + \sigma .$

(16)

式中： $\phi _{\rm M}$ 为函数 $\phi $ 的上界.

2.3 鲁棒控制器设计

由于神经网络逼近非线性函数产生了重构误差 ${{\varepsilon }}\left( k \right)$ ，为了补偿外界扰动 ${{{\tau }}_{\rm d}}\left( k \right)$ 和重构误差 ${{\varepsilon }}\left( k \right)$ 对系统的影响，设计鲁棒控制器 ${{{u}}_3}\left( k \right)$ . 令

${{{u}}_3}\left( K \right) = {K_{\tilde { y}}}{\tilde{ y}}\left( k \right).$

(17)

式中： $K_{{\tilde { y}}}$ 为需要设计的参数， ${{\tilde { y}}}\left(k\right)={ Y}\left(k\right)-{ Y}_{d}\left(k\right).$

根据鲁棒控制器 ${{{u}}_3}\left( k \right)$ 的形式可知，一定存在常数 $\gamma > 0$ ，使得

$\left\| {{{{u}}_3}\left( k \right) + {{\varepsilon }}\left( k \right) + {{{\tau }}_{\rm d}}\left( k \right)} \right\| \leqslant K{_{{\tilde y}}}\left\| {{{\tilde{ y}}}\left( k \right)} \right\| + \gamma ,$\quad\quad\quad

(18)

$\begin{split}\left\| {{ f}\left( k \right)} - {{{u}}_2}\left( k \right) + {{{u}}_3}\left( k \right) + {{{\tau}}_{\rm d}}\left( k \right) \right\| \leqslant \\{\phi _{\rm{M}}}\left\| {{\tilde{ W}}\left( k \right)} \right\| + K{_{{\tilde y}}}\left\| {{\tilde{ y}}\left( k \right)} \right\| + \gamma .\quad\end{split}$

(19)

2.4 稳定性分析

利用离散Lyapunov稳定性理论，对AUV水平面跟踪误差系统(10)和观测误差系统(12)进行稳定性分析. 为表示方便，变量 $k$ 将被省略.

假设1　假设存在矩阵 ${\tilde{ P}} > {\bf 0}$ 满足Lyapunov方程 ${{\tilde{ A}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{\tilde{ A}} - {\tilde{ P}} = - {\tilde{ Q}}$ ( ${\tilde{ Q}} > {\bf 0}$ ).

定理1 　令假设1成立. 在条件(27)～(29)下，AUV水平面运动系统(5)，在观测器(12)、自适应律(15)、控制器(7)和(14)和(17)的作用下，水平面AUV离散系统中的 $\left\| {{E}} \right\|$ 、 $\left\| {{\tilde{ E}}} \right\|$ 、 $\left\| {{\tilde{ W}}} \right\|$ 都是最终一致有界的.

证明　构造如下的Lyapunov函数( $\alpha > 0$ )： $ V\left( k \right) = $ $ {{{E}}^{\rm T}}\left( k \right){{PE}}\left( k \right) + {{\tilde{ E}}^{\rm T}}\left( k \right){\tilde{ P}}{\tilde{ E}}\left( k \right) + \displaystyle\frac{1}{\alpha }{\rm {tr}}\left( {{{{\tilde{ W}}}^{\rm T}}\left( k \right){\tilde{ W}}\left( k \right)} \right),$

则

$\Delta { V}\left( k \right) = \Delta {{ V}_1}\left( k \right) + \Delta {{ V}_2}\left( k \right) + \displaystyle\frac{1}{\alpha }\Delta {{ V}_3}\left( k \right).$

式中：

$\quad \Delta {{ V}_1}\left( k \right) = {{{E}}^{\rm T}}\left( {k + 1} \right){{PE}}\left( {k + 1} \right) - {{{E}}^{\rm T}}\left( k \right){{PE}}\left( k \right),$

(20)

$\quad \Delta {{ V}_2}\left( k \right) = {{\tilde{ E}}^{\rm T}}\left( {k + 1} \right){\tilde{ P}}{\tilde{ E}}\left( {k + 1} \right) - {{\tilde{ E}}^{\rm T}}\left( k \right){\tilde{ P}}{\tilde{ E}}\left( k \right),$

(21)

$ \Delta {{ V}_3}\left( k \right) = {\rm tr}\left[ {{{{\tilde{ W}}}^{\rm T}}\left( {k + 1} \right){\tilde{ W}}\left( {k + 1} \right) - {{{\tilde{ W}}}^{\rm T}}\left( k \right){\tilde{ W}}\left( k \right)} \right].$

(22)

根据式 (14) 和 (17)可知，一定存在向量 ${\hat\gamma }$ 使得

${{f}} - {{{u}}_2} + {{{u}}_3} - {{\tau }}_{\rm d}\leqslant{\tilde { W}^{\rm{T}}}\phi+K_{{\tilde y}}{\tilde { E}}+{{\hat\gamma }}.$

把式(10)代入式(20)，可得

$\begin{aligned}& \Delta {{ V}_1} = - {{{E}}^{\rm T}}{{QE}} + 2{{{E}}^{\rm T}}{{{A}}^{\rm T}}{{b}}\left[ {{\rm{ }}{{f}} - {{{u}}_2} + {{{u}}_3} - {{{\tau }}_{\rm d}}} \right] + \\ & {\left[ {{\rm{ }}{{f}} - {{{u}}_2} + {{{u}}_3} - {{{\tau }}_{\rm d}}} \right]^{\rm T}}{{{b}}^{\rm T}}{{Pb}}\left[ {{\rm{ }}{{f}} - {{{u}}_2} + {{{u}}_3} - {{{\tau }}_{\rm d}}} \right] \leqslant \\ & - {{{E}}^{\rm T}}{{QE}} + 2{\left( {{\hat{ E}} - {\tilde{ E}}} \right)^{\rm T}}{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}\left[ {{{{\tilde{ W}}}^{\rm T}}\phi\left({\hat{ \xi }}\right) + {K_{{\tilde y}}}{\tilde{ E}} +{{ \hat\gamma}}} \right] + \\ & \,\left\| {{{{b}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|{\left[ {{\phi _{\rm{M}}}\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| + {K_{{\tilde y}}}\left\| {{\tilde{ E}}} \right\| + \gamma } \right]^2}.\quad\,\,\,\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(23)\end{aligned}$

同理，把式(12)代入式(21)，有

$\begin{split}\Delta {{ V}_2} \leqslant - &{{{\tilde{ E}}}^{\rm T}}{\tilde{ Q}}{\tilde{ E}} + 2{{{\tilde{ E}}}^{\rm T}}{{{\tilde{ A}}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{{b}}\left[ {{{{\tilde{ W}}}^{\rm T}}{ {\phi}} + {K_{{\tilde y}}}{\tilde{ E}} + {{\hat\gamma}}} \right] + \\&\left\| {{{{b}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{{b}}} \right\|{\left[ {{\phi _{\rm{M}}}\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| + {K_{{\tilde y}}}\left\| {{\tilde{ E}}} \right\| + \gamma } \right]^2}.\end{split}$

(24)

根据式(17)，有

$\begin{split}& \frac{1}{\alpha }\Delta {{ V}_3}\left( k \right) \leqslant \frac{{\mu ^2 - 2\mu }}{\alpha }{\left\| {{\tilde{ W}}} \right\|^2} + \frac{{2\left( {\mu ^2 - 2\mu } \right)}}{\alpha }\bar W\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| + \\ & \alpha \phi _{\rm{M}}^2{\left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|^2}{\left\| {{\hat{ E}}} \right\|^2} + \frac{{\mu ^2}}{\alpha }{{\bar W}^2} + \\ & 2\mu \phi _{\rm{M}}^{}\left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|\left\| {{\hat{ E}}} \right\|\left( {\bar W + \left\| {{\tilde{ W}}} \right\|} \right) - 2{{{\hat{ E}}}^{\rm T}}{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}{{{\tilde{ W}}}^{\rm T}}\phi .\end{split}$

(25)

根据式(23)～(25)可得

$\begin{aligned} \Delta {V}\left( k \right) \leqslant &- {{{E}}^{\rm T}}{{QE}} + 2\left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|\left\| {{E}} \right\|\left( {{K_{{\tilde y}}}\left\| {{\tilde{ E}}} \right\| + \gamma } \right) + \\ & \left\| {{{{b}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|{\left[ {{\phi _{\rm{M}}}\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| + {K_{{\tilde y}}}\left\| {{\tilde{ E}}} \right\| + \gamma } \right]^2} - {{ \tilde {{E}}}^{\rm T}}{\tilde {{Q}}\tilde {{E}}} + \\ &2{\phi _{\rm{M}}}\left( {\left\| {{{{\tilde{ A}}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{{b}}} \right\| - \left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|} \right)\left\| {{\tilde{ E}}} \right\|\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| + \\ &2\left\| {{{{\tilde{ A}}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{{b}}} \right\|\left\| {{\tilde{ E}}} \right\|\left( {{K_{{\tilde y}}}\left\| {{\tilde{ E}}} \right\| + \gamma } \right) + \\ &\left\| {{{{b}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{{b}}} \right\|{\left[ {{\phi _{\rm{M}}}\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| + {K_{\tilde y}}\left\| {{\tilde{ E}}} \right\| + \gamma } \right]^2} - \frac{{2\mu - \mu _{}^2}}{\alpha }{\left\| {{\tilde{ W}}} \right\|^2} + \\ &\alpha \phi _{\rm{M}}^2{\left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|^2}{\left\| {{\hat{ E}}} \right\|^2} + \frac{{2\left( {\mu _{}^2 - 2\mu } \right)}}{\alpha }\bar W\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| + \frac{{\mu _{}^2}}{\alpha }{{\bar W}^2} + \\ &2\mu \phi _{\rm{M}}^{}\left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|\left\| {{\hat{ E}}} \right\|\left( {\bar W + \left\| {{\tilde{ W}}} \right\|} \right) \leqslant \\ & - {\kappa _1}{\left\| {{E}} \right\|^2} - {\kappa _2}{\left\| {{\tilde{ E}}} \right\|^2} - {\kappa _3}{\left\| {{\tilde{ W}}} \right\|^2} + 2{c_1}\left\| {{E}} \right\|\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| + \\ &2{c_2}\left\| {{\tilde{ E}}} \right\|\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| + 2{c_3}\left\| {{E}} \right\| + 2{c_4}\left\| {{\tilde{ E}}} \right\| + 2{c_5}\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| + {c_6}.\end{aligned}$

式中：

$\begin{aligned} {\kappa _1} = &{\lambda _{{\rm{min}}}}({{Q}}) - \left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|{K_{{\tilde y}}} - {\left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|^2}\alpha \phi _{\rm{M}}^2,\\{\kappa _2} = & {\lambda _{{\rm{min}}}}({\tilde{ Q}}) - \left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|{K_{{\tilde y}}} - 2{K_{{\tilde y}}}\left\| {{{{\tilde{ A}}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{{b}}} \right\| - \\ & 3\left\| {{{{b}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|K_{{\tilde y}}^2 - 3\left\| {{{{b}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{{b}}} \right\|K_{{\tilde y}}^2 - {\left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|^2}\alpha \phi _{\rm{M}}^2,\\ {\kappa _3} = & - 3\phi _{\rm{M}}^2\left\| {{{{b}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\| + \frac{{2\mu - \mu _{}^2}}{\alpha } - 3\phi _{\rm{M}}^2\left\| {{{{b}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{{b}}} \right\|,\end{aligned}$

$\begin{aligned} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! {c_1} = \mu {\phi _{\rm{M}}}\left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|,\\ & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{c_2} = \mu {\phi _{\rm{M}}}\left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\| + {\phi _{\rm{M}}}\left( {\left\| {{{{\tilde{ A}}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{ b}} \right\| - \left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|} \right),\\ & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{c_3} = \left\| {{{{A}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\|\left( {\gamma + \mu {\phi _{\rm{M}}}\bar W} \right),\\ & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{c_4} = \left\| {{{{\tilde{ A}}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{{b}}} \right\|\left( {\gamma + \mu {\phi _{\rm{M}}}\bar W} \right),\\ & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{c_5} = \frac{{\mu \left( {\mu - 1} \right)\bar W}}{\alpha },\\ & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{c_6} = {\gamma ^2}\left( {\left\| {{{{b}}^{\rm T}}{{Pb}}} \right\| + \left\| {{{{b}}^{\rm T}}{\tilde{ P}}{{b}}} \right\|} \right) + \frac{{\mu _{}^2{{\bar W}^2}}}{\alpha }.\end{aligned}$

其中， ${\lambda _{{\rm{min}}}}({{Q}})$ 和 ${\lambda _{{\rm{min}}}}({{\tilde{Q}}})$ 分别表示为 ${{Q}}$ 和 ${{\tilde{Q}}}$ 的最小特征值. 根据Young不等式：

$ab \leqslant \displaystyle\frac{{{a^2} + {\kappa ^2}{b^2}}}{{2\kappa }},\quad\kappa > 0,$

则一定存在正数 ${\kappa _i},i = 4, \cdots, 8$ ，使得如下不等式成立：

$\begin{aligned}& 2\left\| {{E}} \right\|\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| \leqslant \frac{{{{\left\| {{\tilde{ W}}} \right\|}^2}}}{{{\kappa _4}}} + {\kappa _4}{\left\| {{E}} \right\|^2},\;2\left\| {{\tilde{ E}}} \right\|\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| \leqslant \frac{{{{\left\| {{\tilde{ W}}} \right\|}^2}}}{{{\kappa _5}}} + {\kappa _5}{\left\| {{\tilde{ E}}} \right\|^2},\\ & 2{c_3}\left\| {{{ E}}} \right\| \leqslant \frac{{c_3^2}}{{{\kappa _6}}} + {\kappa _6}{\left\| {{E}} \right\|^2},\;2{c_4}\left\| {{\tilde{ E}}} \right\| \leqslant \frac{{c_4^2}}{{{\kappa _7}}} + {\kappa _7}{\left\| {{\tilde{ E}}} \right\|^2},\\ & 2{c_5}\left\| {{\tilde{ W}}} \right\| \leqslant \frac{{c_5^2}}{{{\kappa _8}}} + {\kappa _8}{\left\| {{\tilde{ W}}} \right\|^2},\end{aligned}$

则

$\Delta { V} \leqslant - \sigma { V} + {c_7}.$

(26)

式中：

$\sigma = \min \left\{ {\displaystyle\frac{{{{\kappa '}_1}}}{{{\lambda _{\operatorname{m} {\rm{ax}}}}\left( {{P}} \right)}},\; \displaystyle\frac{{{{\kappa '}_2}}}{{{\lambda _{\max }}\left( {{\tilde{ P}}} \right)}},\; \displaystyle\frac{{{{\kappa '}_3}}}{\alpha }} \right\},$

${c_7} = {c_6} + \displaystyle\frac{{c_3^2}}{{{\kappa _6}}} + \displaystyle\frac{{c_4^2}}{{{\kappa _7}}} + \displaystyle\frac{{c_5^2}}{{{\kappa _8}}},$

${\lambda _{{\rm{max}}}}( {P})$ 和 ${\lambda _{{\rm{max}}}}({{\tilde P}})$ 分别为矩阵 $P$ 和 $\tilde{P}$ 的最大特征值. 并且要求系数必须是正的，即

${\kappa '_1} = {\kappa _1} - {c_1}{\kappa _4} - {\kappa _6} > 0,$

(27)

${\kappa '_2} = {\kappa _2} - {c_2}{\kappa _5} - {\kappa _7} > 0,$

(28)

${\kappa '_3} = {\kappa _3} - \frac{{{c_1}}}{{{\kappa _4}}} - \frac{{{c_2}}}{{{\kappa _5}}} - {\kappa _8} > 0.$

(29)

所以水平面AUV离散系统中的 $\left\| {{E}} \right\|$ 、 $\left\| {{\tilde{ E}}} \right\|$ 、 $\left\| {{\tilde{ W}}} \right\|$ 都是最终一致有界的.

至此已经阐述了AUV水平面离散系统的控制器设计和稳定性分析过程，图1给出了控制器设计方法结构图. 可以看出控制器由三部分组成：第一部分 ${{{u}}_1}\left( k \right)$ 是镇定AUV动态系统线性部分的动态反馈控制器，第二部分 ${{{u}}_2}\left( k \right)$ 是神经网络控制器，用来补偿AUV受到环境干扰引起的水动力系数变化的不确定非线性结构，第三部分 ${{{u}}_3}\left( k \right)$ 是补偿环境扰动和神经网络带来的重构误差的鲁棒控制器.

3 仿真结果与分析 3.1 控制算法实现的步骤及流程图

控制算法详细实现步骤如下.

1) 选择初始状态，适当的参数 ${{{A}}_{\rm d}},{{{B}}_{\rm d}},{{{C}}_{\rm d}}, {{{D}}_{\rm d}},$ $a, b,c,\alpha ,\mu ,K{_{{\tilde y}}}$ ，给出期望路径 ${{{Y}}_{\rm d}}\left( k \right)$ ；

2) 设计状态观测器(11)，得到 ${\hat{ E}}\left( k \right)$ ；

3) 构造神经网络，得到 ${\hat{ Y}}\left( k \right)$ ；

4) 根据式(14)和(17)计算 ${{{u}}_2}\left( k \right)$ 和 ${{{u}}_3}\left( k \right)$ ；

5) 根据式(7)计算控制器 ${{{u}}_1}\left( k \right)$ ；

6) 根据式(6)计算控制器 ${{u}}\left( k \right)$ ；

7) 对AUV系统(1)控制；

8) 回到步骤4进行下一次采样计算.

控制算法实现的流程图见图2.

3.2 仿真分析

基于文献[1]的INFANTE AUV模型和数据进行数值仿真，INFANTE AUV长度为4.22 m，动态系统相关参数如下： $m = 2\;234.5\;{\rm{kg}}$ ， ${I_z} = 2\;000\;{\rm{N}}\cdot{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ ， ${X_{\dot u}}= - 142\;{\rm{kg}}$ ， ${\dot Y_v} = - 1\;715\;{\rm{kg}}$ ， ${N_{\dot r}}= - 1\;350\;{\rm{N}}\!\cdot\!{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ ， $ {X_{uu}} =$ $ - 35.4\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}}$ ， ${X_{vv}} \,=\, - 128.4\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}}$ ， ${Y_r} \,=\, 435\;{\rm{kg}}$ ， $ {Y_v} \,=\, $ $ - 346\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}}$ ， ${Y_{v\left| v \right|}} \!\!=\!\! - 667\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}}$ ， ${N_v}\!\!=\!\! - 686\;{\rm{kg}}$ ， ${N_{v\left| v \right|}} \!\!= $ $ 443\;{\rm{kg}}$ ， ${N_r} = - 1\;427\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}}$ . 期望路径为： ${{{x}}_{\rm d}}\left( k \right) =$ $ 20\sin \left( {k/15} \right)$ m， ${{{y}}_{\rm d}}\left( k \right) = 20( {1 -}$ ${ \cos \left( {k/15} \right)} )$ m， ${{{\psi}} _{\rm d}}\left( k \right) =$ $k/15$ rad.

设AUV的初始位置为 $(0,\;0)$ m，初始航速为 $(0,\;0)$ m/s，初始姿态角 $({0^\circ },\;{0^\circ })$ ，期望速度 ${u_{\rm d}} = (4/3)$ m/s. AUV所在水域的主要扰动是定向水流，并且水流变化缓慢，因此考虑为常值， ${{ \tau} _{\rm d}} = {\left( {0,\;10,\;0} \right)^{\rm T}}$ ，即取扰动大小为10 N，流向平行于载体坐标系 $y$ 轴.

动态补偿器的参数如下： ${{{A}}_{\rm d}} = - 0.1{{I}},{{{B}}_{\rm d}} = 2.8{{I}}$ ， ${{{C}}_{\rm d}} = 0.1{{I}}$ ， ${{{D}}_{\rm d}} = 0.3{{I}}$ . 神经网络的基函数选为： $\phi \left( x \right) = 1/\left(1 + {{\rm e}^{ - ax}}\right)$ ，其中 $a = 0.5$ . 神经网络相关参数如下： $\alpha = 0.1$ ， $\mu = 0.6$ . 其他参数 $K{_{{\tilde y}}} = 0.01$ .

为了说明提出算法的有效性，对比研究基于动态反馈和没有动态反馈的控制器，仿真中使用的控制器有以下2种.

控制器1：式(6)、(7)、(14)和(17)表示的控制器.

控制器2：没有动态反馈的控制器，即

${{\tau }}\left( k \right) = {T^{ - 1}}{{M}}{{{J}}^{ - 1}}\left( {{{{\xi }}_1}\left( k \right)} \right)\left( {{{{u}}_1}\left( k \right) - {{{u}}_2}\left( k \right) + {{{u}}_3}\left( k \right)} \right).$

式中： ${{{u}}_1}\left( k \right) = 0.2{{{\xi }}_2}\left( k \right)$ ， ${{{u}}_2}\left( k \right)$ 和 ${{{u}}_3}\left( k \right)$ 结构分别为式(14)和(17)所示.

仿真结果如图3～9所示. 图中t表示时间. 图3～5分别表示AUV跟踪误差系统中 $x$ 方向、 $y$ 方向和首摇角的跟踪误差曲线. 图中 ${e_x},{e_y}$ 和 ${e_\psi }$ 分别表示 $x$ 方向、 $y$ 方向和首摇角的跟踪误差. 图6～8分别表示 $x$ 方向、 $y$ 方向控制力曲线以及首摇角控制力矩曲线. 图9表示 $xy$ 平面路径跟踪曲线. 图3～8中，实线为带动态反馈的控制器控制效果，虚线为没有动态反馈的控制器控制效果. 对比图3～5中的实虚两条曲线可以发现，带有动态反馈控制的控制器1能够提高AUV路径跟踪精度，并且跟踪误差收敛速度较快. 对比图6～8中的实虚两条曲线可以看出带动态反馈的控制器1较无动态反馈的控制器2的控制力和力矩平稳. 观察图3～8中控制器1作用下的虚线，可以发现前面10秒波动较大，这是因为开始时刻动态反馈控制和神经网络自适应控制学习的原因. 从图9可以看出在控制器1和控制器2的控制下，控制器1的位置跟踪效果较好.

4 结　语

基于离散非线性系统理论对AUV水平面离散模型设计神经网络自适应的输出动态反馈控制器. 所提出的控制方法对模型精度的要求较低，对于AUV运动系统中的未知非线性结构具有很好的自适应性. 将控制系统看作是线性部分和非线性部分的累加，设计动态反馈控制器镇定AUV系统的线性部分以提高系统的控制性能，对非线性部分采用神经网络自适应方法进行控制. 仿真结果表明所设计的控制器对降低非线性阻尼及抑制外界干扰效果良好，所提出的控制方法具有良好的控制品质.

三维空间航行的AUV的路径控制问题及带有时滞的AUV控制问题需要进一步研究.