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  浙江大学学报(工学版)  2018, Vol. 52 Issue (7): 1310-1319  DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2018.07.011
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李天翔, 童根树, 张磊. 基于曲率延性的弯曲型结构地震作用折减系数[J]. 浙江大学学报(工学版), 2018, 52(7): 1310-1319.
dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-973X.2018.07.011
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LI Tian-xiang, TONG Gen-shu, ZHANG Lei. Curvature ductility-based seismic force reduction factor of flexure-type structure[J]. Journal of Zhejiang University(Engineering Science), 2018, 52(7): 1310-1319.
dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-973X.2018.07.011
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基金项目

国家自然科学基金资助项目(51078328)

作者简介

作者简介:李天翔(1990-), 男, 博士生, 从事钢结构抗震研究.
orcid.org/0000-0002-5074-3975.
Email: zjultx@outlook.com

通信联系人

童根树, 男, 教授.
orcid.org/0000-0002-3985-8429.
Email: tonggs@zju.edu.cn

文章历史

收稿日期:2017-11-28
基于曲率延性的弯曲型结构地震作用折减系数
李天翔, 童根树, 张磊     
浙江大学 土木工程系, 浙江 杭州 310058
摘要: 采用基于曲率延性的非线性动力分析方法,研究弯曲型结构的地震作用折减系数.引入地震作用名义作用高度,在多自由度体系的基底剪力和基底弯矩间建立起有效联系.为了保留谱线峰值特征,采用双特征周期对地震作用折减系数谱进行标准化处理.通过300 000余组非线性动力分析,研究结构自振周期、曲率延性、刚度沿结构高度分布和上层结构延性开展等因素对弯曲型结构地震作用折减系数的影响.采用3种不同工况,分析二阶振型对地震作用折减系数的影响,提出弯曲型地震作用折减系数及二阶振型影响系数的简化计算公式,建立曲率延性与位移延性的定量相关关系.
关键词: 地震作用折减系数    曲率延性    弯曲型结构    二阶振型    名义作用高度    双周期标准化    
Curvature ductility-based seismic force reduction factor of flexure-type structure
LI Tian-xiang , TONG Gen-shu , ZHANG Lei     
Department of Civil Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China
Abstract: A curvature ductility-based nonlinear dynamic analysis procedure was developed to analyze the seismic force reduction factor of flexure-type building. A nominal height of base shear was defined to provide an effective link between base shear and base moment for multi-story flexure-type building. Two site-specific characteristic periods were utilized to normalize the abscissa of the reduction factor spectra to retain their peak features. The influence of structural fundamental period, curvature ductility, stiffness distribution over structural height and upper-story inelasticity etc. on the reduction factor was analyzed via over 300, 000 nonlinear analyses. The effect of the second vibration mode on the reduction factor was analyzed by three cases. Simplified formulas for the seismic force reduction factor of flexure-type building and the corresponding modification factor due to the second vibration mode were proposed respectively for practical application. The quantitative relation between curvature ductility and drift ductility was discussed.
Key words: seismic force reduction factor    curvature ductility    flexure-type building    second vibration mode    nominal height    double characteristic period normalization    

建筑结构抗震设计采用弹性反应谱计算弹性地震作用,通过地震作用折减系数进行折减,以得到抗震设计基底剪力.计算机的发展使地震作用折减系数可以在弹塑性动力分析中确定,然而在规范中,地震作用折减系数仍然利用半经验半理论公式.

国内外研究人员对地震作用折减系数进行统计意义上的研究[1-8].研究表明,地震作用折减系数与结构的延性开展能力(用延性系数表示)密切相关,且随着自振周期的变化而变化,滞回模型、阻尼、后期刚度等因素的影响较小.Miranda等[9-10]的研究表明,场地特征周期对地震作用折减系数有重要影响.Zhao等[11]的研究指出,由于弹性加速度Sa谱的特征周期Tga远小于地震作用折减系数Rμ谱的峰值特征周期TgR,采用两个场地特征周期对周期轴进行标准化处理,可以使谱线在两个特征周期处均保持峰值特性,使设计基底剪力的计算更准确.根据统计意义上的研究结果,Newmark等[12-14]基于结构自振周期和延性系数,提出地震作用折减系数的简化计算公式.国内外学者针对多自由度结构的地震作用折减系数,开展以案例分析为主的研究[15-21],分析结构周期、屈服强度比、层间刚度比和破坏方式等因素的影响.

目前,地震作用折减系数研究集中于剪切型结构.由于剪切型结构的层间相互作用较弱,地震作用折减系数研究以结构层位移延性为基础.以剪力墙、强剪型支撑架或斜交网格等作为抗侧力体系的弯曲型结构,存在明显的层间相互作用,在侧向力作用下呈现悬臂梁式变形特征,因此弯曲型结构与剪切型结构存在较大的不同.文献[22]是目前仅有的剪力墙结构弹塑性反应谱研究.由于弯曲型多自由度结构的层屈服位移难以定义,Seneviratna等[22]采用下述方法回避了该问题.借用相同周期的单自由度体系在设定的延性系数μSDOF=1, 2, 3, 4, 5, 6, 8(该延性系数与弯曲型结构的曲率延性或由顶层位移确定的延性未发生联系)下的Rμ系数,计算弯曲型结构底部屈服剪力Fy(μ)=Sa, SDOFm/Rμ, SDOF;然后按照UBC94规范,沿高度按倒三角形分布地震作用,再算出基底弯矩作为弯曲型结构的塑性弯矩My,并限定塑性铰只限于底部截面,对这2、5、10、20、30、40层等截面弯曲模型(一个模型仅一个周期)开展弹塑性动力分析,研究基地剪力、楼层剪力和楼层弯矩等比值.研究中未提到弯曲型结构的延性系数如何定义和计算以及多自由度弯曲型结构的塑性变形如何与设计中采用的单自由度体系延性系数μSDOF如何发生联系.文献[22]中分析的模型仅允许底部截面形成塑性铰,并且采用了集中塑性铰法,无法准确地反映截面曲率延性沿结构高度开展,而弯曲型结构必然涉及曲率延性.

根据弯曲型结构的变形特征,本文提出基于曲率延性的非线性分析方法,对弯曲型结构的地震作用折减系数进行系统研究.引入地震作用名义作用高度,在多自由度体系的基底剪力和基底弯矩间建立有效联系;采用双周期标准化方法,对地震作用影响系数谱进行标准化处理,以保持谱线峰值特征;分析D类场地地震波作用下[23]结构基本周期、延性、刚度比、屈服层和二阶振型等因素对弯曲型结构地震作用折减系数谱的影响,建立弯曲型结构地震作用折减系数的简化计算公式,并建立曲率延性和位移延性的相关关系.

1 基于曲率延性的分析方法 1.1 计算模型与分析流程

基于曲率延性的分析方法是以结构横断面的“弯矩-曲率(M-Φ)”滞回模型为基础的非线性时程分析方法.如图 1所示为计算模型示意图.计算模型将各层质量集中于该层质点,每一结构层均分为100份,以精确模拟各层塑性开展.如图 2所示为基于曲率延性的分析方法流程图.图中,m为结构质量,ξ为阻尼系数,α为后期刚度系数,λ为层间刚度比,Memax为弹性弯矩最大值,Femax为弹性剪力最大值,RM为弯矩调整系数,μΦdemand为当前曲率延性需求,μΦ, T为目标曲率延性.弹性时程分析和弹塑性时程分析均采用Newmark-β法动力增量方程进行计算.

图 1 弯曲型结构的计算模型 Fig. 1 Numerical model of flexure-type structure
图 2 基于曲率延性的非线性动力分析方法流程图 Fig. 2 Flowchart of curvature-ductility-based nonlinear dynamic analysis
1.2 具体分析步骤 1.2.1 第1步:设定结构参数

选取目标曲率延性μΦ, T和结构基本自振周期T.曲率延性定义为

$ {\mu _\mathit{\Phi }} = {\mathit{\Phi }_{\rm{u}}}/{\mathit{\Phi }_{\rm{y}}}. $ (1)

式中:Φu为最大允许曲率,Φy为屈服曲率.

根据Zhao等[11]的建议,为了准确保留地震作用设计谱峰值的特性,本文采用TgaTgR对所有反应谱的周期轴进行双周期标准化处理.1)将地震作用折减系数谱的周期轴分为3个周期域,即0~TgaTga~TgRTgR~(6~10 s).2)在周期域0~Tga中,均布20个周期点(T/Tga=0.05,0.1,…,1.0),在每个周期点输出每条地震波对应于7个曲率延性的地震作用折减系数.3)在周期域Tga~TgR中,按相同的方法对40个均布周期点进行计算.4)将第3个周期域TgR~(6~10 s)细分为2段:在周期域TgR~2TgR中,对40个均布无量纲周期点(T/TgR=1.025,1.05,…,2.0)进行统计分析;在周期域2TgR~(6~10 s)中,对40个均布无量纲周期点(T/TgR=2.1,2.2,2.3,…,6.0)进行统计分析.每条地震波的特征周期TgaTgR分别由线性和非线性动力分析得到.

1.2.2 第2步:弹性动力分析

采用式(2)[24]可以求得初刚度(EI)0及弹性抗侧刚度矩阵Ke,采用限定条件“结构第一自振周期为当前设定周期”以确定唯一解.

$ \left| {{\mathit{\boldsymbol{K}}_{\rm{e}}} - {{\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}/T} \right)}^2}\mathit{\boldsymbol{m}}} \right| = 0. $ (2)

若2DOF结构各层断面抗弯刚度不相等,假定两层断面类似,断面高度相同,所用材料一致,则两层断面屈服弯矩存在如下关系:

$ \frac{{{M_{{\rm{y}},2}}}}{{{M_{{\rm{y}},1}}}} = \frac{{\left( {{I_2}/{y_{\max ,2}}} \right){f_{\rm{y}}}}}{{\left( {{I_1}/{y_{\max ,1}}} \right){f_{\rm{y}}}}} = \frac{{{I_2}}}{{{I_1}}}. $ (3)

式中:My, 1My, 2为两层截面屈服弯矩,I1I2为两层截面惯性矩,y为到截面中和轴的距离.两层的断面屈服曲率相等,即

$ {\mathit{\Phi }_{{\rm{y,2}}}} = {M_{{\rm{y,2}}}}/\left( {E{I_2}} \right) = {M_{{\rm{y,1}}}}/\left( {E{I_1}} \right) = {\mathit{\Phi }_{{\rm{y,1}}}}. $ (4)

在得到结构弹性抗侧刚度矩阵Ke和各断面抗弯初刚度(EI)0后,采用Newmark-β法动力增量方程进行弹性时程分析,记录结构断面弹性弯矩最大值Memax和弹性基底剪力最大值Femax.

1.2.3 第3步:弹塑性动力分析

设定结构断面屈服弯矩为My=Memax/RM,其中RM为弯矩调整系数.结构屈服曲率为Φy=My/(EI)0.根据截面屈服弯矩、截面屈服曲率、后期刚度系数和加卸载准则,可以确定截面“弯矩-曲率”滞回模型和每一增量步的断面瞬时刚度(EI)t,形成瞬时切线刚度矩阵.采用Newmark-β法动力增量方程,对弯曲型结构进行弹塑性时程分析,得到结构断面弹塑性曲率最大值Φmax和曲率延性μΦdemand=Φmax/Φy.对RM进行迭代,直至|μΦdemand-μΦ, T|≤γ,其中μΦ, T为目标曲率延性,γ为误差控制.采用的目标曲率延性为μΦ, T=2,4,6,8,10,12,14.误差控制取为γ=0.05.

1.2.4 第4步:计算地震作用折减系数

剪切型结构采用底层的剪力计算地震作用折减系数,弯曲型结构采用底部弯矩计算.单自由度体系的基底屈服剪力Fy可以直接由My和结构高度H确定:

$ {F_{\rm{y}}} = {M_{\rm{y}}}/H. $ (5)

多自由度体系的My与基底屈服剪力Fy, MDOF之间存在类似的联系:

$ {H_{\rm{y}}} = {M_{\rm{y}}}/{F_{{\rm{y}},{\rm{MDOF}}}}. $ (6)

式中:Hy是一个离散量.在线弹性体系中,存在弹性基底剪力名义作用高度:

$ {H_{\rm{e}}} = {M_{{\rm{emax}}}}/{F_{{\rm{emax}}}}. $ (7)

式中:MemaxFemax分别为弹性分析得到的基底弯矩最大值和基底剪力最大值.由于两者出现的时刻不同,He是名义高度.本文引入He,以近似替代Hy,为MyFy, MDOF之间建立直接的联系.引入He后,第3步得到的RM是所需的折减系数:

$ {R_{\mu \mathit{\Phi }}} = {F_{{\rm{emax}}}}/{F_{\rm{y}}} = {F_{{\rm{emax}}}}{H_{\rm{e}}}/{M_{\rm{y}}} = {M_{{\rm{emax}}}}/{M_{\rm{y}}} = {R_{\rm{M}}}. $ (8)

He可以兼顾弯曲型结构的弯矩和剪力,而剪切型结构几乎无需关注倾覆弯矩,这是弯曲型结构与剪切型结构的巨大差别.对于沿高度倒三角分布的地震作用,He=0.667H.由于高阶振型的影响,He通常小于0.667HHe偏离0.667H的程度大致代表了高阶振型的影响程度.

编写基于C++和Matlab语言的弯曲型结构非线性动力分析程序,分析弯曲型结构的地震作用折减系数谱,采用3种工况研究二阶振型的影响.结构非线性动力分析采用76条D类场地地震波(ASCE 7-10[23]),采用5%瑞利阻尼,考虑7个弹塑性变形水平,即曲率延性依次为μΦ=2、4、6、8、10、12、14.

2 弯矩-曲率滞回模型

采用带曲线段强化模型作为“弯矩-曲率”滞回模型的骨架曲线,即图 3O-A-B-C.OA为线弹性段,BC段为后期线性强化阶段,曲线段AB为屈服深度开展阶段.OA段与CB段的延长线交于D点,定义D点为名义屈服点.

图 3 弯矩曲率滞回模型 Fig. 3 Moment-curvature hysteretic model

假定AB段斜率随横坐标线性变化,且与OABC段相切,得到AB段曲线方程为

$ \begin{array}{l} M = {M_{\rm{s}}} - \frac{{{M_{\rm{p}}} - {M_{\rm{s}}}}}{{\alpha - 1}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{{{M_{\rm{p}}} - {M_{\rm{s}}}}}{{\alpha - 1}}\exp \left[ {\frac{{\left( {\alpha - 1} \right)EI}}{{{M_{\rm{p}}} - {M_{\rm{s}}}}}\left( {\mathit{\Phi } - {\mathit{\Phi }_{\rm{s}}}} \right)} \right]. \end{array} $ (9)

Loi等[25]的研究表明,动力作用下钢结构的弯矩与曲率基本满足非线性随动强化准则.基于试验结果[25],采用如下加卸载准则.

1) 当从曲线段上的点K1卸载时,卸载与反向加载路径为K1K2G.

2) 当曲线从后期刚度阶段的点K3卸载时,卸载与反向加载路径为K3K4K5.

3) 当反向加载至G(或K5)以后,继续加载路径均与后期强化阶段所在的直线重合.

4) 从线性卸载段重新加载至卸载点,按原加载曲线继续加载.

其中,点G与点B关于原点对称,点K3与点K5的横坐标与纵坐标之差分别为2(Φs+Φp)和2(Ms+Mp).K1K2K3K4为线性段,K2GK4K5为曲线段,曲线段各点的斜率随横坐标线性变化,并与直线段相切.采用图 3所示的带曲线段弯矩-曲率强化本构模型和上述非线性随动加卸载准则,在真实地震波作用下得到的结构基底断面弯矩-曲率滞回曲线如图 4所示.

图 4 真实地震荷载作用下的弯矩曲率滞回曲线 Fig. 4 Moment-curvature hysteresis under real earthquake record
3 地震波

选用来自16个地震的76条ASCE 7-2010[23]规定的D类场地地震波进行分析,地震波震级区间为5~7级.地震波数据来自于加州伯克利分校太平洋地震工程研究中心数据库(http://ngawest2.berkeley.edu/).如表 1所示为地震的基本信息.对所有地震波进行等比例放缩,使峰值加速度调整至0.2g(g为重力加速度),以便进行统计研究.

表 1 地震基本信息 Table 1 Basic information of earthquakes
4 弯曲型结构地震作用折减系数谱

采用图 1所示的弯曲型结构计算模型分析76条地震波作用下弯曲型结构的非线性动力响应,得到单自由度弯曲型结构的基于曲率延性地震作用折减系数谱和相应的二阶振型修正系数谱.采用TgaTgR对周期轴进行双周期标准化处理.在计算模型中,楼层质量都集中于该层质点,每层竖杆均分为100份,以精确模拟塑性开展.

4.1 单自由度弯曲型结构地震作用折减系数

对140个周期点计算7个目标曲率延性对应的地震作用折减系数.如图 5所示为单自由度弯曲型结构地震作用折减系数平均谱.当结构周期为0 s(即无限刚结构)时,地震作用折减系数为1.0.当T < TgR时,RμΦ-SDOF随着周期的增加而增加,在TgaTgR处均出现峰值,在TgR处取得最大值.当TgR < T < 1.35TgR时,RμΦ-SDOF随周期的增大而迅速减小.长周期结构的RμΦ-SDOF基本不随周期变化而变化.地震作用折减系数随曲率延性的增加而增大.Newmark等[12-14]基于无量纲周期化和结构延性,提出地震作用折减系数简化计算公式.本文采用三折线模型,对单自由度弯曲型结构的地震作用修正系数谱进行拟合.

图 5 单自由度弯曲型结构地震作用折减系数谱 Fig. 5 Seismic force ductility modification factor of SDOF flexure-type structure
$ {R_{\mu \mathit{\Phi }{\rm{SDOF}}}} = \left\{ \begin{array}{l} 1 + {\chi _1}\frac{T}{{{T_{{\rm{ga}}}}}},T \in \left( {0,{T_{{\rm{ga}}}}} \right);\\ {\chi _2} + {\chi _3}\frac{{T - {T_{{\rm{ga}}}}}}{{{T_{{\rm{gR}}}} - {T_{{\rm{ga}}}}}},T \in \left[ {{T_{{\rm{ga}}}},{T_{{\rm{gR}}}}} \right];\\ {\mu _{\rm{d}}},T \in \left( {{T_{{\rm{gR}}}},6{T_{{\rm{gR}}}}} \right). \end{array} \right. $ (10)

式中:

$ {\mu _{\rm{d}}} = 1 + 0.18{\mu _{\mathit{\Phi }P}} + 0.018\;3\mu _{\mathit{\Phi }P}^2, $ (11)
$ {\chi _1} = 0.18{\mu _{\mathit{\Phi }P}} + 0.01\mu _{\mathit{\Phi }P}^2, $ (12)
$ {\chi _2} = 1 + 0.18{\mu _{\mathit{\Phi }P}} + 0.01\mu _{\mathit{\Phi }P}^2, $ (13)
$ {\chi _3} = 0.008\;3\mu _{\mathit{\Phi }P}^3. $ (14)

其中,μΦP= μΦ-1.

Miranda等[1, 26-27]的研究成果表明,从统计意义上,长周期的理想弹塑性单自由度体系的最大弹塑性位移Δep与相应的弹性体系的最大位移Δe基本相同,可得

$ R = {F_{\rm{e}}}/{F_{{\rm{ep}}}} = {\mathit{\Delta }_{\rm{e}}}/{\mathit{\Delta }_{\rm{y}}} = {\mathit{\Delta }_{{\rm{ep}}}}/{\mathit{\Delta }_{\rm{y}}} = {\mu _{\rm{d}}}. $ (15)

式中:μd=Δep/Δy,其中Δy为屈服位移.式(15)表明,满足“等位移准则”的长周期理想弹塑性单自由度体系的地震作用折减系数与位移延性相等.将长周期结构(T>TgR)的地震作用折减系数拟合为位移延性μd.μd(见式(11))由4.2节计算得到.

图 5的虚线为由式(10)得到的单自由度弯曲型结构地震作用修正系数拟合曲线.由于采用具有后期刚度的本构曲线,长周期结构的地震作用折减系数略大于对应的位移延性.为了使拟合公式简便易用,将单自由度体系的RμΦ-SDOF平均谱的峰值作为结构承载力余量,不体现于拟合公式中.

4.2 曲率延性与位移延性的相关关系

图 6给出弯曲型结构位移延性的计算示意图.在单自由度弯曲型结构中,Δy可以直接由ΦyH计算得到:

图 6 弯曲型结构位移延性计算 Fig. 6 Drift ductility computation of flexure-type structure
$ {\mathit{\Delta }_{\rm{y}}} = {M_{\rm{y}}}{H^2}/\left( {3EI} \right) = {\mathit{\Phi }_{\rm{y}}}{H^2}/3. $ (16)

在每一条地震波作用下,由单自由度弯曲型结构的动力时程分析,可以同时得到结构最大弹塑性曲率Φu和最大弹塑性位移Δu.计算曲率延性μΦ=Φu/Φy对应的位移延性μd=Δu/Δy,通过统计分析可得μdμΦ的相关关系.如图 7所示为计算得到的μdμΦ的相关关系曲线.可知,位移延性随着曲率延性的增大而增大.采用式(11),对位移延性-曲率延性的相关关系曲线进行拟合.由图 7可知,式(11)拟合较准确.

图 7 位移延性与曲率延性的相关关系 Fig. 7 Relation between drift ductility and curvature ductility
4.3 2DOF体系的地震作用折减系数

为了研究2DOF弯曲型结构的地震作用折减系数,分析3种工况下的2DOF弯曲型结构,如表 2所示.表中,“ ”表示“是”,“ ”表示“否”,I2/I1为层间刚度比,m2/m1为层间质量比.在工况1中,结构的第一层允许屈服,第二层保持弹性.在工况2中,结构的第一层和第二层均允许屈服,将结构第一层与第二层的曲率延性较大值作为结构的曲率延性.在工况3中,结构的第一层和第二层均允许屈服,将结构第一层的曲率延性作为结构的曲率延性.每种工况计算3个层间刚度比,即上、下层间的惯性矩比为1.0、0.7和0.4,塑性弯矩比等于惯性矩比.

表 2 两自由度体系的3种计算工况 Table 2 Three predetermined conditions of 2DOF systems

图 8所示为工况1下的2DOF弯曲型结构地震作用折减系数平均谱.可知,2DOF弯曲型结构的谱线形状与单自由度体系基本相同.当曲率延性>10时,长周期结构的地震作用折减系数随基本自振周期的增加出现上扬.如图 9所示为工况1下曲率延性14对应的2自由度体系地震作用折减系数与单自由度体系的对比.可知,2DOF弯曲型结构的地震作用折减系数明显小于SDOF体系,结构层间刚度比的减小会引起地震作用折减系数的小幅减小.这一现象在周期处于TgR附近处尤为明显.当自振周期接近6TgR时,2DOF体系与SDOF体系的地震作用折减系数基本相等,表明高延性长周期结构的二阶振型对弹塑性地震响应的影响明显小于对弹性地震响应的影响.这是由于地震作用下高延性长周期结构的上、下层呈现较一致的步调,如图 10所示.如图 10所示为地震波作用下高延性长周期2DOF弯曲型结构的弹性与弹塑性加速度acc时程记录.

图 8 第2层不屈服工况下2DOF弯曲型结构地震作用折减系数谱 Fig. 8 Seismic force ductility reduction factor spectra of 2DOF flexural systems in CASE 1
图 9 第2层不屈服工况下曲率延性14对应的地震作用折减系数谱 Fig. 9 Seismic force ductility reduction factor spectra in CASE 1 corresponding to μΦ=14
图 10 地震波作用下上层不屈服2DOF弯曲型结构(T=6TgR, μΦ=14)加速度时程记录 Fig. 10 Accelerogram of 2DOF flexural system with T=6TgR, μΦ=14 subjected to earthquake record

为了研究上层屈服的影响,对工况2与工况3进行非线性动力时程分析.在工况2中,两层均允许屈服,两层的曲率延性均限制为目标延性.在工况3中,两层均允许屈服,仅控制底层的曲率延性,第二层允许延性超出允许值.如图 11所示为工况2与工况1的基底剪力比值谱.图中,Fcase1为工况1的基底剪力,Fcase2为工况2的基底剪力.Fcase2/Fcase1随周期的增加而减小.对于长周期结构(T=6TgR),当曲率延性为8时,工况2的基底剪力为工况1的基底剪力的90%.第二层的屈服可以有效地减小地震剪力.

图 11 第2种工况与第1种工况的基底剪力比值 Fig. 11 Ratio between base shear in CASE 2 and base shear in CASE 1

图 12所示为第2种工况下的地震作用折减系数平均谱.如图 13所示为第3种工况下的地震作用折减系数平均谱.对于相同工况和相同刚度比的结构,地震作用折减系数随曲率延性的增加而增加.对比图 812和13可知,第2种工况的刚度比为0.4的地震作用折减系数明显小于第1种工况与第3种工况的相应值,而刚度比为0.7和1.0的地震作用折减系数未出现类似的大幅折减.为了解释这一现象,将第2种工况下上、下层的曲率延性进行对比,如图 14所示.

图 12 第2种工况下2自由度弯曲型结构地震作用折减系数谱 Fig. 12 Seismic force ductility reduction factor of 2DOF flexural systems in CASE 2
图 13 第3种工况下2自由度弯曲型结构地震作用折减系数谱 Fig. 13 Seismic force ductility reduction factor of 2DOF flexural systems in CASE 3
图 14 工况2下上、下层曲率延性的比值(刚度比为0.4) Fig. 14 Ratio of second-story curvature ductility to base curvature ductility in CASE 2 (stiffness ratio = 0.4)

图 14表明,当上、下层刚度比为0.4时,上层的塑性开展程度明显大于底层.这是由于上、下层刚度比为0.4的结构出现了沿结构高度方向的刚度骤变,使得上层比下层更易进入塑性.由于第2种工况将结构第1层与第2层的曲率延性较大值作为结构的曲率延性,因此上、下两层的曲率延性均受到限制,使得刚度比为0.4的结构的上层曲率延性变成该工况的控制性因素,抑制了底层的塑性开展.由于底层塑性开展程度的减小会引起地震作用的增大(下层结构处在弹性阶段),刚度比为0.4的结构地震作用折减系数显著减小.

图 15所示为第3种工况下上、下层曲率延性的比值谱.对比图 1514可知,对于刚度比为0.4的结构第3种工况的结构的曲率延性比值明显小于第2种工况.这是由于第3种工况将底层曲率延性值作为控制指标,未限制上层的曲率延性开展,因此底层可以充分开展塑性以减小地震剪力,使得第3种工况下刚度比为0.4的地震作用折减系数谱(见图 13(c))相对于第1种工况(见图 8(c))未出现减小,反而略有增加.

图 15 工况3下上、下层曲率延性的比值(刚度比为0.4) Fig. 15 Ratio of second-story curvature ductility to base curvature ductility in CASE 3 (stiffness ratio = 0.4)

由3种工况下弯曲型结构的地震作用折减系数谱可得如下结论.1)结构底层的塑性开展水平对地震作用延性系数具有重要的影响;2)为了防止地震作用折减系数显著降低,应在结构设计中避免出现沿结构高度方向的刚度骤减,以保证结构底部开展足够的塑性变形;3)允许上层进入塑性并采用较合理的刚度比,可以有效地增加地震作用折减系数,减小基底剪力;4)上部结构延性的增加,可以有效地增加地震作用折减系数, 削减地震作用.

4.4 2DOF体系二阶振型修正系数

定义二阶振型修正系数为

$ {R_2} = {R_{2{\rm{DOF}}}}/{R_{{\rm{SDOF}}}}. $ (17)

式中:R2DOF为两自由度弯曲型结构地震作用折减系数谱,RSDOF为单自由度弯曲型结构地震作用折减系数谱.为了使修正系数与层数相关联,将修正系数表示为

$ {R_{\rm{M}}} = {2^\gamma }. $ (18)

式中:γ定义为二阶振型修正指数.

图 16所示为第2种工况下刚度比为1.0的2DOF弯曲型结构的二阶振型修正指数平均谱.可知,二阶振型修正指数随曲率延性的增加而减小,在TgR处取得最小值.当2TgR < T < 5TgR时,修正指数无明显的增减趋势,存在一定的波动.长周期结构的修正指数随着周期的增大而增大.对于曲率延性为8且自振周期为1.35TgR~6TgR的弯曲型结构,二阶振型修正指数的最小值为-0.112,处于工程设计的合理范围内.将RμΦ-SDOF平均谱的峰值作为结构承载力余量,未考虑在拟合公式中,因此在修正指数的拟合中,波谷值与中长周期稳定值之间的差距可以忽略.采用式(19),对二阶振型的修正指数进行拟合.

$ \gamma = \left\{ \begin{array}{l} - \frac{{\mu _{\mathit{\Phi P}}^{1/6}}}{{20}}\frac{T}{{{T_{{\rm{ga}}}}}},T \in \left( {0,{T_{{\rm{ga}}}}} \right);\\ - \frac{{\mu _{\mathit{\Phi P}}^{1/6}}}{{20}} - {\chi _\gamma }{\left( {\frac{{T - {T_{{\rm{ga}}}}}}{{{T_{{\rm{gR}}}} - {T_{{\rm{ga}}}}}}} \right)^4},T \in \left[ {{T_{{\rm{ga}}}},{T_{{\rm{gR}}}}} \right];\\ - \frac{{\mu _{\mathit{\Phi P}}^{1/2}}}{{20}},T \ge {T_{{\rm{gR}}}}. \end{array} \right. $ (19)
图 16 第2种工况下两自由度弯曲型结构的二阶振型修正指数平均谱 Fig. 16 Mean spectra of second vibrational mode modification exponent for stiffness ratio 1.0 in CASE 2

式中:

$ {\chi _\gamma } = \left( {\mu _{\mathit{\Phi P}}^{1/2} - \mu _{\mathit{\Phi P}}^{1/6}} \right)/20. $

两自由度弯曲型结构的地震作用折减系数拟合值可以由式(10)、(19)计算得到.图 17的虚线为第2种工况下刚度比为1.0的两自由度弯曲型结构地震作用折减系数拟合谱.可知,拟合值相对于计算值较保守.根据式(19)可知,曲率延性2~14对应的R2为0.96~0.88,相应的地震作用折减系数分别降低4%~12%.

图 17 第2种工况下刚度比为1.0的两自由度弯曲型结构地震作用折减系数拟合值 Fig. 17 Fitting curve of SMF of two-story structures with stiffness ratio 1.0 in CASE 2
5 结论

(1) 采用特征周期TgaTgR对地震作用折减系数谱进行双周期标准化处理,可以成功地保留特征周期处的峰值特性.

(2) 弯曲型结构的二阶振型对地震作用折减系数具有重要的影响.在二阶振型的影响下,多自由度弯曲型结构的地震作用折减系数小于单自由度结构,对于周期处于TgR附近的结构尤为明显.结构层间刚度比的减小会引起地震作用折减系数的小幅减小.高延性长周期的2DOF弯曲型结构的上、下层呈现较一致的步调,地震作用折减系数与单自由度基本相同.

(3) 对比3种屈服区安排下的2DOF弯曲型结构的地震作用折减系数谱表明,应避免结构高度刚度骤减,以保证结构底部开展足够的塑性变形;允许上层进入塑性并采用较合理的刚度比,可以有效地增加地震作用折减系数,减小基底剪力.

(4) 曲率延性2~14对应的地震作用折减系数分别降低4%~12%.本文给出弯曲型结构的地震作用折减系数及二阶效应修正系数的简化计算公式.

(5) 单自由度弯曲型结构位移延性与曲率延性之间存在明确的相关关系.本文给出该相关关系的简化计算公式.

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