近年来，我国的高速轨道交通取得了迅猛发展，高速轨道交通具有快捷、大容量、安全高效等优势，而轨道梁的高精度变形监测对确保高速轨道交通的安全性和舒适度至关重要.

轨道梁变形监测方法分为直接监测法和间接监测法.直接监测法是指利用相关设备和技术，直接测量结构的挠度，间接监测法是指测量结构的轴向应变分布，通过对应变的二次积分来得到结构的挠度^[1-2].传统的变形监测技术主要是点式测量，即通过若干代表点来获得整体的变形，无法实现分布式监测，而且测点有限，无法实现结构的整体监测.此外，传统监测方法通常耗费更多的资源，性价比和自动化程度不高.因此，传统的轨道梁监测手段无法满足对结构高精度、实时监测的要求.

近年来，光纤传感技术在结构监测领域发展迅速.光纤传感器能够实现分布式测量，具有精度高、测量范围大、受环境影响小、易于铺设等优点^[3].根据测量方式，光纤传感技术可分为点式、准分布式和分布式3种类型.分布式光纤传感系统可以探测出沿着光纤不同位置的应变和温度变化，实现真正的分布式测量^[4-6]

针对利用光纤传感技术进行变形监测的问题，已有学者开展相关工作，提出了很多行之有效的方法和技术.Kim等^[7]用长标距光纤光栅(fiber bragg grating, FBG)传感器测得钢梁的纵向应变分布，通过二次积分估算梁的挠度；郭余根^[8]研究了长标距FBG传感技术在地铁基坑施工应变及变形监测中的应用；沈圣等^[9]提出一种通过测量内壁环向应变分布监测隧道任意横截面收敛变形的方法.程有坤等^[10]提出了利用FBG传感技术监测动荷载作用下路基变形的测试系统和方法；沈圣等^[11]考虑支座位移，对共轭梁法进行了改进，并利用布里渊光时域散射(brillouin optical time-domain reflectometer, BOTDR)光纤传感技术测得结构变形分布.以往的研究主要着重于光纤传感技术在不同结构中的应用以及对监测方法的改进，缺少对光纤传感技术的监测精度的系统分析，对传感器优化布置的讨论也比较少见.

针对上述问题，本文对长标距FBG的变形监测精度进行分析与理论推导，得到了不同标距、不同测量误差下长标距FBG的变形监测精度.最后结合某高速轨道梁的现场测试，验证了长标距FBG的监测精度，为长标距FBG在高速交通轨道梁变形监测应用中的可靠性提供了依据，对长标距FBG的优化布置进行了讨论.

1 基本原理 1.1 分布式长标距FBG

在光纤传感技术中，FBG传感机理成熟，具有高精度、高灵敏度、易构建多点或分布式传感网络等优点，是目前最具前景的光纤传感器之一.不过实际工程中，纤细的裸光纤光栅十分脆弱，在恶劣的工程环境中极易损坏，而且一般的FBG仍可视为点式传感器.针对上述问题，李素贞等^[12]通过对传统FBG进行长标距封装，并依次串接形成分布式布置，从而实现高精度的动态应变测试.长标距FBG具有高精度(1个微应变)^[13]、受电磁干扰小，数据传输效率高、测距长、能够实现动态与静态、局部与整体信息的整合等特点，相比于传统FBG，其适用性大大提高.

利用长标距FBG监测轨道梁的变形，传感器的布置方式如图 1所示，通过沿梁底布置的长标距FBG，记录梁底应变变化.由于列车通过时间短，温度不会发生显著变化，梁底应变变化主要由列车荷载引起.利用荷载-应变关系，结合共轭梁法即可计算出轨道梁的变形.

1.2 共轭梁法

共轭梁法是一种利用曲率计算结构变形的方法，利用式(1)中两式的相似性，将曲率作为荷载作用到共轭梁上，那么共轭梁上某一点的弯矩即为实梁上该点的挠度.

$ \left. \begin{array}{l} \frac{{{{\rm{d}}^2}M\left( x \right)}}{{{\rm{d}}{x^2}}} = q\left( x \right),\\ \frac{{{{\rm{d}}^2}\omega \left( x \right)}}{{{\rm{d}}{x^2}}} = y''. \end{array} \right\} $

(1)

式中：M(x)为弯矩，q(x)为剪力，ω(x)为挠度，y"为曲率.

对于简支梁来说，共轭梁就是其本身.假设一均布荷载q作用下的等截面简支梁，梁底布置n段标距为l的长标距FBG传感器，梁的跨度为L=nl，如图 2所示.由传感器测得第i段的平均应变为ε_i，则第i段的平均曲率为

$ \overline {{{y''}_i}} = \frac{{{{\bar \varepsilon }_i}}}{y} = {q_i}. $

(2)

式中：y为梁底到中和轴的距离，q_i为共轭梁法中第i段的荷载，大小与第i段的平均曲率相同.

将荷载施加到共轭梁上，如图 3所示，易求得x位置处的弯矩大小M(x)，则x处的挠度为

$ \omega \left( x \right) = M\left( x \right). $

(3)

2 FBG标距对变形监测精度的影响

均布荷载作用下的简支梁，轴向应变呈抛物线变化，而利用长标距FBG只能测得各段的平均应变，在此基础上计算挠度会导致相应的理论误差.显然，对同一项测试，传感器的标距l越小，布置传感器数量n=L/l越多，计算模型的精度越高.

如图 2所示，第i个传感器两端点坐标分别为x₁=(i-1)l，x₂=il.

均布荷载作用下坐标为x处的应变为

$ \varepsilon \left( x \right) = \frac{{M\left( x \right)y}}{{EI}} = \frac{{qy}}{{EI}}\left( {\frac{1}{2}nlx - \frac{1}{2}{x^2}} \right). $

(4)

式中：E为弹性模量，I为截面惯性矩.

第i个传感器的平均应变为

$ {{\bar \varepsilon }_i} = \frac{1}{l}\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\varepsilon \left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{qy{l^2}}}{{12EI}}\left( {6in + 6i - 6{i^2} - 3n - 2} \right). $

(5)

第i个传感器的平均曲率为

$ \overline {{{y''}_i}} = \frac{{{{\bar \varepsilon }_i}}}{y} = \frac{{q{l^2}}}{{12EI}}\left( {6in + 6i - 6{i^2} - 3n - 2} \right) = {q_i}. $

(6)

将平均曲率作为荷载作用到共轭梁上，当n为偶数时，得到x=kl处的挠度为

$ \begin{array}{l} {\omega _i} = M\left( {kl} \right) = \frac{{kq{n^3}{l^4}}}{{24EI}} - \\ \frac{{q{l^3}}}{{12EI}}\sum\limits_{i = 1}^{\frac{n}{2}} {\left( {6in + 6i - 6{i^2} - 3n - 2} \right)\left( {kl + \frac{l}{2} - il} \right)} = \\ \frac{{kq{n^3}{l^4}}}{{24EI}} - \frac{{q{l^3}}}{{12EI}}\left( {n{k^3}l + \frac{1}{2}nkl - \frac{1}{2}{k^2}l - \frac{1}{2}{k^4}l} \right). \end{array} $

(7)

式中：ω_i为利用长标距FBG识别挠度，k为计算点处传感器编号.

在均布荷载作用下，x=kl处的理论挠度为

$ {\omega _{\rm{t}}} = \frac{1}{{24EI}}q{k^4}{l^4} - \frac{1}{{12EI}}qn{k^3}{l^4} + \frac{1}{{24EI}}q{n^3}k{l^4}. $

(8)

式中：ω_t为理论挠度.

长标距FBG识别挠度与理论挠度的绝对误差为

$ {\Delta _{\rm{a}}} = \left| {{\omega _i} - {\omega _{\rm{t}}}} \right| = \frac{{q{l^4}}}{{24EI}}\left( {nk - {k^2}} \right). $

(9)

根据式(9)可知，当k=n/2，即跨中位置，长标距FBG识别挠度与理论挠度的误差达到峰值，所以相对误差只针对跨中挠度进行讨论.

由式(7)可得利用长标距FBG识别的跨中挠度为

$ \begin{array}{l} {\omega _i} = M\left( {\frac{n}{2}l} \right) = \frac{{q{n^4}{l^4}}}{{48EI}} - \\ \frac{{q{l^3}}}{{12EI}}\sum\limits_{i = 1}^{\frac{n}{2}} {\left( {6in + 6i - 6{i^2} - 3n - 2} \right)\left( {\frac{n}{2}l + \frac{l}{2} - il} \right)} = \\ \frac{{5q{n^4}{l^4}}}{{384EI}} - \frac{{q{n^2}{l^4}}}{{96EI}}. \end{array} $

(10)

易知，在均布荷载作用下，跨中的理论挠度为ω_t=5qL⁴/(384EI)，由长标距FBG识别的挠度与理论挠度的相对误差为

$ \delta = \frac{{\left| {{\omega _i} - {\omega _{\rm{t}}}} \right|}}{{{\omega _{\rm{t}}}}} \times 100\% = \frac{{q{n^2}{l^4}}}{{96EI}}/\frac{{5q{n^4}{l^4}}}{{384EI}} = \frac{4}{{5{n^2}}}. $

(11)

同理，当n为奇数时，可以得到长标距FBG识别的跨中挠度为

$ {\omega _i} = M\left( {\frac{n}{2}l} \right) = \frac{{5q{n^4}{l^4}}}{{384EI}} - \frac{{q{n^2}{l^4}}}{{96EI}} + \frac{{q{l^4}}}{{128EI}}. $

(12)

识别挠度与理论挠度的相对误差为

$ \begin{array}{l} \delta = \frac{{\left| {{\omega _i} - {\omega _{\rm{t}}}} \right|}}{{{\omega _{\rm{t}}}}} \times 100\% = \left| { - \frac{{q{n^2}{l^4}}}{{96EI}} + \frac{{q{l^4}}}{{128EI}}} \right|/\\ \;\;\;\;\;\;\frac{{5q{n^4}{l^4}}}{{384EI}} = \frac{4}{{5{n^2}}} - \frac{3}{{5{n^4}}}. \end{array} $

(13)

根据式(11)与(13)得到传感器数量与相对误差之间的关系如图 4所示，当均布荷载为24 kN/m时，对于跨度为20、23、25 m的简支梁，绝对误差与FBG数量的关系如图 5所示：

从图 5可以发现，随着标距的减小，挠度识别的精度逐渐提高.当传感器数量大于8时，相对误差控制在1%以内.随着轨道梁跨度的增大，绝对误差会有所增大，但是通过增加FBG的数量，可以有效减小误差.说明分布式间接测量的精度较高.

3 测量误差对变形监测精度的影响

在实际监测中，环境影响、人为操作、仪器精度等因素都会导致测量误差，因此有必要讨论测量误差对监测结果的影响.

假定第i段FBG的测量误差为Δ_i，且Δ_i服从均值为零的正态分布.为简化计算，假设第i段FBG传感器中点的应变即为该段的平均应变.第i段光纤中点坐标为

$ {x_i} = \frac{{\left( {2i - 1} \right)}}{2}l. $

(14)

在均布荷载q作用下，第i段光纤中点弯矩与曲率分别为

$ {M_i} = \frac{1}{2}qL{x_i} - \frac{1}{2}qx_i^2 = \frac{1}{2}qnl{x_i} - \frac{1}{2}qx_i^2. $

(15)

$ {{y''}_i} = \frac{{{\varepsilon _i}}}{y} = \frac{{{M_i}}}{{EI}}. $

(16)

将式(14)、(15)代入(16)中得到均布荷载作用下，各段光纤中点的曲率为

$ {{y''}_i} = \frac{1}{{EI}}\frac{1}{2}q{l^2}\left[ {ni - \frac{n}{2} - {{\left( {i - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]. $

(17)

第i段光纤的测量误差为Δ_i，则实测曲率为

$ \begin{array}{l} {{y''}_{i{\rm{r}}}} = {{y''}_i}\left( {1 + {\Delta _i}} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\frac{1}{{EI}}\frac{1}{2}q{l^2}\left[ {ni - \frac{n}{2} - {{\left( {i - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]\left( {1 + {\Delta _i}} \right) = {q_i}. \end{array} $

(18)

采用共轭梁法，将n段实测曲率作为荷载作用于共轭梁上，当n为偶数时，可得到跨中的识别挠度为

$ {{\omega '}_i} = \frac{{{l^2}}}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {{q_i}\left( {n - i + \frac{1}{2}} \right)} - {l^2}\sum\limits_{i = 1}^{\frac{n}{2}} {{q_i}\left( {\frac{n}{2} - i + \frac{1}{2}} \right)} . $

(19)

式中：ω'_i为考虑测量误差后的识别挠度.

将式(18)代入(19)中得到

$ \begin{array}{l} {{\omega '}_i} = \frac{{q{l^4}}}{{4EI}}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {n - i + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \left( {i - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 + {\Delta _i}} \right) - } \right.\\ \left. {2\sum\limits_{i = 1}^{\frac{n}{2}} {\left( {n - i + \frac{1}{2}} \right)\left( {i - \frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{n}{2} - i + \frac{1}{2}} \right)} \left( {1 + {\Delta _i}} \right)} \right]. \end{array} $

(20)

均布荷载作用下跨中的理论挠度为$ {{\omega }_{\rm{t}}}=\frac{5q{{L}^{4}}}{384EI} $，识别挠度与理论挠度的相对误差为

$ \delta ' = \frac{{\left| {{{\omega '}_i} - {\omega _{\rm{t}}}} \right|}}{{{\omega _{\rm{t}}}}} \times 100\% . $

(21)

式中：δ'为考虑测量误差后的相对误差.

将式(20)代入(21)中得到

$ \begin{array}{l} \delta ' = \left| {\frac{{96}}{{5{n^4}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {n - i + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \left( {i - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 + {\Delta _i}} \right) - } \right.\\ \left. {\frac{{192}}{{5{n^4}}}\sum\limits_{i = 1}^{\frac{n}{2}} {\left( {n - i + \frac{1}{2}} \right)\left( {i - \frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{n}{2} - i + \frac{1}{2}} \right)} \left( {1 + {\Delta _i}} \right) - 1} \right|. \end{array} $

(22)

同理，当n为奇数时，可以得到相对误差为

$ \begin{array}{l} \delta ' = \left| { - \frac{{192}}{{5{n^4}}}\sum\limits_{i = 1}^{\left( {n - 1} \right)/2} {\left( {n - i + \frac{1}{2}} \right)\left( {i - \frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{n}{2} - i + \frac{1}{2}} \right)} \left( {1 + {\Delta _i}} \right) - } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\frac{6}{{5{n^2}}}\left( {1 + {\Delta _{\left( {n - 1} \right)/2}}} \right) + \frac{{96}}{{5{n^4}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {n - i + \frac{1}{2}} \right)}^2}\left( {i - \frac{1}{2}} \right) \times } \\ \;\;\;\;\;\;\left. {\left( {1 + {\Delta _i}} \right) - 1} \right|. \end{array} $

(23)

将式(22)与(23)展开均可得到

$ \delta ' = \left| {\sum\limits_{i = 1}^n {{\beta _i}{\Delta _i} + c} } \right|. $

(24)

式中：β_i为系数项，c为常数项.

令Δ_i~N(0, (σ₀/3)²)，即Δ_i服从标准差σ=σ₀/3，均值为0的正态分布.已知对于正态分布有P(μ-3σ＜x≤μ+3σ)≈99.7%，即测量误差落在3σ=σ₀以外的概率约为0.3%，此时可以认为测量误差的最大值为σ₀.根据式(24)，挠度的相对误差亦服从正态分布，其均值和标准差分别为μ=|c|，$ \sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{3}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{\beta _{i}^{2}}} $.即$ {\delta }'\sim N\left( \left| c \right|, {{\left( \frac{{{\sigma }_{0}}}{3}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{\beta _{i}^{2}}} \right)}^{2}} \right) $，根据P(μ-3σ＜x≤μ+3σ)≈99.7%，可以认为误差范围落在(μ-3σ, μ+3σ)内，则$ \left| {{\delta }'} \right|\in \left( 0, \left| c \right|+{{\sigma }_{0}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{\beta _{i}^{2}}} \right) $.图 6给出了最大测量误差分别为5%、10%、15%、20%时FBG数量与变形监测相对误差之间的关系.

从图 6中可以发现，当Δ_i=5%，光纤光栅布置数量大于8时，相对误差控制在3%以内；当Δ_i=20%，相对误差也能控制在10%以内.因此长标距FBG可以实现对轨道梁的高精度变形监测.

4 现场测试

为了更好地验证长标距FBG传感技术在实际工程应用中的可靠性，利用长标距FBG对某一段高速轨道梁进行变形监测.测试中长标距FBG监测系统由传感器、数据采集存储设备等硬件系统和控制、分析软件系统构成.其中硬件系统包括：封装光纤光栅传感器、光纤光栅传感解调仪(SM130)、笔记本电脑；软件系统主要由Micron Optics Int.(MOI)数据采集软件和基于MATLAB的评估程序组成.

SM130光纤光栅传感解调仪的主要特点有：1) 4个通道，大功率扫描激光光源，同时监测多个传感器；2)使用灵活，适合于应变、温度、加速度等多种测量，在一根光纤上可以接入多个传感器；3)所有通道的全部传感器以1 kHz频率同时扫描(最高2 kHz可选)；4) 80 nm带宽可连接更多传感器(最高160 nm可选)；5)无需校准.SM130在每次扫描时会自动校准；6)分辨率小于1 pm，可重复性2 pm；7)内置单板机以太网接口，数据通信容易.

为了与长标距FBG的测量结果进行比较，实验中还利用RSV-150远程激光测振仪对跨中挠度进行了测量.RSV-150远程激光测振仪采用先进的激光多普勒干涉仪技术，避免了接触式传感器的安装工序，可远距离测量结构、机器零部件和建筑物的振动速度和位移，测量距离达到300 m，分辨率达到μm级.

4.1 测点布置

本次测试的轨道梁，梁跨23.61 m，在梁底板中间布置24段FBG，共3个通道，每通道8段FBG，传感器布置如图 7所示.

4.2 测量结果

测试记录了列车经过测试梁段的应变变化数据.列车每经过一次，可以测得24段FBG的平均应变，即24组应变数值.图 8给出了某一次记录的应变时程图，图中t为时间，ε为应变, 图(a)是编号F1~F12段光纤测得的应变时程图，图(b)是编号F13~F24段光纤测得的应变时程图.在列车到达测试梁段之前，梁底应变为零，当列车通过测试梁段时，梁底产生应变，图 8中凸起的水平段对应了列车满布在轨道梁上时各段的应变.通过读取水平段的平均值，可以得到梁底不同位置的应变大小，该工况的读取结果如图 9所示.

4.3 挠度计算 4.3.1 理论挠度

在实际结构中，几乎不存在完全简支的情况，因此需要对梁端的支座约束进行简单分析.利用测得的24组应变值，进行二次拟合，可以得到梁底应变沿轴向位置x的变化曲线，图 10给出了某一次工况的拟合结果.

从图 10的拟合结果可以发现，两端的应变值趋于零，说明端部支座约束较小，可以近似按照简支梁来考虑.误差的理论分析结果适用于该实验.

在测试的各工况中，同型号的列车以相同速度通过轨道梁，因此可以认为各个工况下列车的准静态荷载相同.列车线荷载为q=24 kN/m，测试梁段跨度为23.61 m，截面惯性矩I=1.379 2×10¹² mm⁴，弹性模量E=3.6×10⁴ N/mm².测试梁段的跨中理论挠度为$ {{\omega }_{\rm{t}}}=\frac{5q{{L}^{4}}}{384EI}=1.955\ 7\ \rm{mm} $.

4.3.2 实测挠度

利用共轭梁法，计算得到各工况的跨中挠度值如图 11所示，其中黑色粗线表示跨中挠度理论值ω_t=1.955 7 mm，每个点对应一次工况计算所得的跨中挠度大小.利用RSV-150远程激光测振仪测得跨中挠度结果如表 1所示，表中ω为跨中挠度.

4.4 对比分析

取所测工况的平均值作为跨中实测挠度，表 2给出了2种测试手段的实测结果.从表中可以看出，利用长标距FBG识别挠度的相对误差为2.01%，测量结果比较理想，误差也控制在理论分析结果的范围内.利用激光测振仪测量误差为1.89%，与FBG的测量结果相近，不过激光测振仪依然是点式测量，无法得到轨道梁的整体变形.利用长标距FBG测得的数据可以计算轨道梁上任意一点的挠度，实现对结构的整体监测，相比于激光测振仪，长标距FBG的价格更低，具有更强的适用性.

4.5 FBG优化布置

本次测试中，FBG沿轨道梁满跨布置.这样的方式会造成财力物力的浪费.为此提出了2种FBG间隔布置的优化方案，将满跨布置改为间隔布置12段FBG和间隔布置8段FBG，通过对实测数据的二次拟合得到整跨梁的应变，由此计算轨道梁的变形.图 12给出了间隔布置的拟合结果，图(a)和图(b)分别是布置12段和8段FBG的拟合结果.2种优化方案计算得到的跨中挠度及其误差如表 3所示.

由上述结果可以发现随着布置的FBG数量的减少，识别结果的误差有增大的趋势，但是上述2种方案的结果都比较理想，在精度满足要求的前提下，采取间隔布置FBG的方案可以很好的节省人力物力，降低成本.

5 结论

(1) 随着标距的减小，传感器数量的增多，挠度识别的精度逐渐提高.当布置的传感器数量大于8时，相对误差控制在1%以内.

(2) 考虑测量误差为5%，布置传感器数量大于8时，挠度识别的相对误差控制在3%以内.当测量误差达到20%，变形监测精度依然控制在10%以内，说明长标距FBG在环境影响较大的情况下适用性依然较高.

(3) 从现场实验的监测结果可以看出，实测值与理论值吻合较好，与RSV-150远程激光测振仪的监测结果相近.说明长标距FBG传感器在实际工程应用中的可靠性较高.

(4) 通过采取FBG间隔布置的优化方案，可以很好地节省人力物力，降低成本，同时测量精度依然可以控制在较高的水平.