控制系统设计中经常需要获得某些量的微分信号.在实际工程中由于传感器选型、成本等原因，该微分信号往往不能直接测量.从含噪声的原信号中提取高品质的微分信号，对控制系统设计具有重要意义.若微分信号是系统的状态量，可以通过基于模型的Kalman滤波器^[1]或扩张观测器^[2]估计.若系统结构未知，则需要构造量测信号的微分器.最简单的微分器是小时间常数惯性环节的近似微分器^[3].由于仅时间常数可调，近似微分器不能良好兼顾噪声抑制与微分快速性.滑模微分器^[4]则不仅参数设计困难，需要知道原信号导数的上界，且微分信号存在较大抖振.由韩京清等^[5]首次提出的跟踪微分器，能够在弱收敛意义上得到原信号的光滑逼近，同时获得逼近信号的n阶微分值.该微分值能够作为原信号的有效微分估计.

构造跟踪微分器的关键在于寻找使微分器渐近稳定的跟踪函数.韩京清等^[5]采用含有非线性幂次项的跟踪函数，并在平衡点附近引入线性区.Guo等^[6]提出线性结构的跟踪微分器，证明线性跟踪微分器对带小随机扰动正弦信号的有效性.王新华等^[7]针对跟踪微分器远离平衡点收敛慢的缺点，在跟踪函数中引入线性项，实现了微分器的全程快速跟踪.王新华等^[8]进一步提出有限时间收敛跟踪微分器，跟踪函数为多层符号函数与非线性幂函数的嵌套结构.由于非线性环节导致跟踪微分器平衡点附近的输出抖振，史永丽等^[9-11]提出了另一种线性与非线性微分器的混合方法，远离平衡点为非线性环节，平衡点附近为线性环节.此外为达到快速跟踪、减小抖振和易于调参的目的，一系列特定的非线性函数被用作跟踪函数，例如反正切函数^[12-13]、Sigmod函数^[14]、反双曲正弦函数^[15]和双曲正弦函数^[16].由此可见，近年来大量研究集中在跟踪函数的选择与构造.跟踪函数选择多样、参数调整规律不统一，造成跟踪微分器工程设计与应用的困难.

本文探讨了平衡点附近跟踪微分器的特性，提出了不同结构非线性跟踪微分器的统一模型并进行等效线性化.基于等效线性分析结果进行了跟踪微分器的参数优化与前馈补偿设计.由于高阶跟踪微分器的跟踪函数构造困难，且高阶微分估计误差较大实用性差，本文仅考虑二阶跟踪微分器.

1 跟踪微分器的原理及典型结构

由韩京清等^[5]提出的跟踪微分器原理简述如下.

定理1：系统(1)为

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot z}_1} = {z_2},\\ {{\dot z}_2} = f\left( {{z_1},{z_2}} \right). \end{array} \right\} $

(1)

式中：z₁, z₂为系统(1)的状态变量，f(·)为作用函数.若系统(1)的任意解均满足时间t→∞时：z₁(t)→0，z₂(t)→0.则对于任意有界可积输入信号v(t)和任意常数T > 0，系统(2)为

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2},\\ {{\dot x}_2} = {R^2}f\left( {{x_1} - v,\frac{{{x_2}}}{R}} \right). \end{array} \right\} $

(2)

的解满足

$ \mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int_0^T {\left| {{x_1}\left( t \right) - v\left( t \right)} \right|{\rm{d}}t} = 0. $

(3)

式中：x₁, x₂为系统(2)的状态变量，R > 0为可调参数.如果定理1成立，则系统(2)被称为跟踪微分器.定理1表明，如果能够找到合适的跟踪函数f(·)使得系统(1)渐近稳定，则x₁(t)将平均收敛于输入信号v(t)，于是x₂(t)将收敛于v(t)的广义导数.由跟踪微分器(2)得到的跟踪值及其微分，分别是在平均收敛和弱收敛意义下对原函数及其导数(或广义导数)的光滑逼近.定理1的严格数学证明参见文献[17].

跟踪函数f(·)需使系统(1)渐近稳定，不同的跟踪函数结构及参数选取对跟踪微分器的滤波性能及相位滞后特性有极大影响.许多学者提出了不同线性与非线性环节组合的跟踪函数形式.本文选取4种典型跟踪微分器，其对应的系统(1)分别如下所列，与之匹配的跟踪微分器由定理1构造.4种跟踪微分器的系统(1)分别为

1) 全程快速非线性跟踪微分器(TD1)^[7]

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot z}_1} = {z_2},\\ {{\dot z}_2} = - {a_1}{z_1} - {a_2}z_1^{m/n} - {b_1}{z_2} - {b_2}z_2^{m/n}. \end{array} \right\} $

(4)

设计参数：a₁, a₂, b₁, b₂ > 0，n > m > 0且为奇数.

2) 改进的跟踪微分器(TD2)^[9]

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot z}_1} = {z_2},\\ {{\dot z}_2} = - {a_1}\left[ {{{\left( {b{z_1}} \right)}^{n/m}} + {z_1}} \right] - {a_2}\left[ {{{\left( {b{z_2}} \right)}^{n/m}} + {z_2}} \right]. \end{array} \right\} $

(5)

设计参数：a₁, a₂ > 0，b≥1，n > m > 0且为奇数.

注1：系统(4)和(5)中均含有z的幂次项z^p，p=m/n或n/m.当指数p为分数时，幂次项为复数值，故上述文献中的幂次项应调整为|z|^psgn(z).为保证引用的完整性上文未做更改.

3) 改进的反正切跟踪微分器(TD3)^[13]

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot z}_1} = {z_2},\\ {{\dot z}_2} = - {a_1}{\left| {{z_1}} \right|^b}\text{atan}\left( {{z_1}} \right) - {a_2}{\left| {{z_2}} \right|^b}\text{atan}\left( {{z_2}} \right). \end{array} \right\} $

(6)

设计参数：a₁, a₂ > 0，0 < b < 1.

4) 有限时间收敛跟踪微分器(TD4)^[18]

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot z}_1} = {z_2},\\ {{\dot z}_2} = - {a_1}{\left| {{z_1}} \right|^{{b_1}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{z_1}} \right) - {a_2}{\left| {{z_2}} \right|^{{b_2}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{z_2}} \right). \end{array} \right\} $

(7)

设计参数：a₁, a₂ > 0，b₁, b₂∈(0, 1)，$ {{b}_{2}}=\frac{2{{b}_{1}}}{1+{{b}_{1}}} $.

选取的4种微分跟踪器分别具有以下特征：TD1为平衡点附近非线性环节主导而远离平衡点时线性环节占主导；TD2为平衡点附近线性环节占主导而远离平衡点时非线性环节占主导；TD3的跟踪函数采用了特定非线性函数与幂函数的组合；TD4则代表了有限时间收敛的跟踪微分器.

2 跟踪微分器的等效线性分析 2.1 平衡点附近统一非线性模型

很多学者关注了远离平衡点时系统(1)的动态.该动态主要在跟踪微分器具有较大跟踪误差(被跟踪信号或其微分存在突变)或者跟踪微分器初始状态时起作用，主要目的是提高跟踪微分器的快速性^{[7, 9]}.理想的跟踪微分器应当具有较小的跟踪误差，其性能主要由其平衡点附近的动态特性决定，远离平衡点的动态可以作为跟踪微分器的补充动态，进一步优化跟踪微分器的性能.

在平衡点附近上述4种微分跟踪器的系统(1)可以写为统一的形式：

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot z}_1} = {z_2},\\ {{\dot z}_2} = - {a_1}{\left| {{z_1}} \right|^{{\beta _1}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{z_1}} \right) - {a_2}{\left| {{z_2}} \right|^{{\beta _2}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{z_2}} \right). \end{array} \right\} $

(8)

设计参数：α₁, α₂, β₁, β₂ > 0.相比TD1~TD4中对幂函数指数的限制，这些限制被用于确保系统(1)的收敛性，统一形式仅要求这些值为正数.由系统(8)可以根据定理1构造对应的跟踪微分器.

系统(4)~(6)在平衡点处近似忽略高阶小量，可以得到对应的统一形式(8).对于系统(4)，α₁=a₂，α₂=b₂，β₁=β₂=m/n；对于系统(5)，α₁=a₁，α₂=a₂，β₁=β₂=1；对于系统(6)，平衡点附近atan (z)等价于z，α₁=a₁，α₂=a₂，β₁=β₂=b+1；对于系统(7)，α₁=a₁，α₂=a₂，β₁=b₁，β₂=b₂.

由此可见，4种跟踪微分器的跟踪函数在平衡点附近的幂函数指数β_i分别为小于1、等于1、大于1、小于1且满足特定关系.这正是这4种典型跟踪微分器的本质区别.当幂函数指数小于1时，类似于终端滑模中的吸引子，可以加快跟踪微分器的收敛速度乃至有限时间收敛.

定理2：如果α₁, α₂, β₁, β₂均为正数，则系统(8)是渐近稳定的，且平衡状态为(0, 0).

证明：选取Lyapunov函数为

$ V = {\alpha _1}\int_0^{{z_1}} {{{\left| \tau \right|}^{{\beta _1}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( \tau \right){\rm{d}}\tau } + \frac{{z_2^2}}{2}. $

(9)

式中：τ为积分量.当z₁≠0时，|z₁|^β₁sgn (z₁)z₁ > 0.此时定积分

$ \int_0^{{z_1}} {{{\left| \tau \right|}^{{\beta _1}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( \tau \right){\rm{d}}\tau } > 0. $

(10)

所以V是半正定的，当且仅当(z₁, z₂)=(0, 0)时V等于零.对V求导可得

$ \begin{array}{l} \dot V = {\alpha _1}{\left| {{z_1}} \right|^{{\beta _1}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{z_1}} \right){{\dot z}_1} + {z_2}{{\dot z}_2}\\ \;\;\; = - {\alpha _2}{\left| {{z_2}} \right|^{{\beta _2} + 1}} \le 0. \end{array} $

(11)

当且仅仅z₂=0时$ \dot{V}=0 $，此时达到平衡状态(0, 0).故系统(7)是渐近稳定的.

注2：当β₁, β₂∈(0, 1)且$ {{\beta }_{2}}=\frac{2{{\beta }_{1}}}{1+{{\beta }_{1}}} $时，系统(8)的收敛性进一步强化为有限时间收敛，相关证明见文献[18].

由定理2知，由于g(z_i)=α_i|z_i|^β_isgn (z_i)(i=1, 2)为奇函数，跟踪函数中幂函数的指数β_i可以取任意正数，而无须满足TD1和TD2中对指数的限定.用类似的方法可以证明，平衡点附近跟踪函数的线性组合(12)亦可使系统(1)渐进稳定

$ \begin{array}{l} f\left( \cdot \right) = - \sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {{\alpha _{1,j}}{{\left| {{z_1}} \right|}^{{\beta _{1,j}}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{z_1}} \right) + } \right.} \\ \;\;\;\;\left. {{\alpha _{2,j}}{{\left| {{z_2}} \right|}^{{\beta _{2,j}}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{z_2}} \right)} \right]. \end{array} $

(12)

式中：k为大于1的整数，α_{1, j}, α_{2, j}, β_{1, j}, β_{2, j} > 0为第j个跟踪函数对应的设计参数.指数越大的项在远离平衡点时起主导作用，指数越小的项在平衡点附近起主导作用.TD1和TD2中的非线性与线性环节组合即是式(12)的不同情况.

2.2 等效线性化模型

将系统(8)在原点泰勒展开，可以得到其线性化表达式

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot z}_1} = {z_2},\\ {{\dot z}_2} = - {k_1}\left( {{z_1}} \right){z_1} - {k_2}\left( {{z_2}} \right){z_2}. \end{array} \right\} $

(13)

式中：线性化增益k₁、k₂为

$ \left. \begin{array}{l} {k_1}\left( {{z_1}} \right) = \frac{{{\rm{d}}\left[ {{\alpha _1}{{\left| {{z_1}} \right|}^{{\beta _1}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{z_1}} \right)} \right]}}{{{\rm{d}}{z_1}}} = {\alpha _1}{\beta _1}{\left| {{z_1}} \right|^{{\beta _1} - 1}},\\ {k_2}\left( {{z_2}} \right) = \frac{{{\rm{d}}\left[ {{\alpha _2}{{\left| {{z_2}} \right|}^{{\beta _2}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{z_2}} \right)} \right]}}{{{\rm{d}}{z_2}}} = {\alpha _2}{\beta _2}{\left| {{z_2}} \right|^{{\beta _2} - 1}}. \end{array} \right\} $

(14)

当β₁, β₂∈(0, 1)时，随着(z₁, z₂)→(0, 0)，k₁→∞，k₂→∞；当β₁=β₂=1时，k₁, k₂为常数；当β₁, β₂ > 1时，随着(z₁, z₂)→(0, 0)，k₁→0，k₂→0.

当跟踪函数为非线性函数时(幂函数指数不等于1)，线性化增益是与状态量相关的时变增益.对于时变的输入信号，跟踪微分器一直处于动态跟踪过程中，跟踪误差在一定的范围内波动，其时变增益可以用一个合适的固定增益来等效.在平衡点附近线性化并引入等效固定增益后，任何采用非线性跟踪函数的跟踪微分器都可以写成以下等效线性形式

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2},\\ {{\dot x}_2} = {R^2}\left[ { - {k_1}\left( {{x_1} - v} \right) - {k_2}\frac{{{x_2}}}{R}} \right]. \end{array} \right\} $

(15)

式中：k₁, k₂, R为正常数.固定增益k₁、k₂的取值与跟踪微分器的z₁=x₁-v和z₂=x₂/R值有关，并根据式(14)计算.x₁-v为跟踪误差，x₂/R为信号微分的倍数，可预估这两值，再根据实际等效效果调整k₁、k₂到合适值.

为验证上述等效线性跟踪微分器(15)的有效性，本文数值仿真比较了不同结构非线性跟踪微分器与其对应等效线性跟踪微分器对同一输入信号的响应.输入信号为幅值1、频率1 Hz的正弦信号，叠加方差为0.000 4的高斯白噪声，如图 1所示.

TD1~TD4参数以及各自等效线性跟踪微分器参数如下所列.

TD1参数^[9]：a₁=1, a₂=1, b₁=1, b₂=1.14, m=3, n=5, R=30.等效线性跟踪微分器参数为k₁=3, k₂=k₁×b₂, R=30.

TD2参数^[9]：a₁=4, a₂=4, b=1.8, n=9, m=3, R=30.等效线性跟踪微分器参数为k₁=4, k₂=4, R=30.

TD3参数^[13]：a₁=2, a₂=2, b=0.7, R=120.等效线性跟踪微分器参数为k₁=0.4, k₂=0.4, R=120.

TD4参数^[18]：a₁=1, a₂=1, b₁=1/2, b₂=2/3, R=30.等效线性跟踪微分器参数为k₁=2.2, k₂=1.3, R=30.

TD1~TD4及各自等效线性跟踪微分器的跟踪误差(e=x₁-v)与微分误差$ \dot{e} $如图 2~5所示.从图中可见不论指数β_i取何值，非线性跟踪微分器都可以用固定增益的线性跟踪微分器等效，都能取得十分近似的跟踪误差与微分误差.当β < 1时，等效线性增益(k₁、k₂)大于原非线性项增益(a₁、a₂)；当β=1时，等效线性增益等于原非线性项的增益；当β > 1时，等效线性增益小于原非线性项的增益.不同跟踪函数选取在平衡点附近的实质是不同等效线性增益k₁、k₂的选取.

此外，注意到当时间约等于0.25、0.75、1.25 s等半周期时刻时，图 2和5中的微分误差存在零误差的变化趋势，这些时刻恰好是输入信号变化率为零的时刻.该现象表明对于时变的输入信号，跟踪微分器平衡点附近的有限时间收敛或快速收敛特性不是误差的主导因素，仅在信号变化率很小时才有显著作用.下文中，TD1~TD4也代指各个非线性跟踪微分器对应的等效线性结构.

3 跟踪微分器的参数整定

当认识到跟踪微分器的主要性能可以用一个线性跟踪微分器等效，获得类似的跟踪误差和微分误差时，可用线性等效模型的结论来指导跟踪微分器的参数整定.

3.1 等效线性模型的参数分析

在图 2、3和5中，尽管TD1、TD2和TD4具有同样的参数R，显示的误差幅度与抖振却各不相同.如果仅从参数R的角度判断跟踪滤波器的效果，则容易得出TD4所选跟踪函数具有最佳效果的结论.本节通过等效线性模型分析影响跟踪微分器性能的原因.

由线性跟踪微分器(15)可以得到跟踪输出与被跟踪信号之间的传递函数为

$ \frac{{{x_1}}}{v} = \frac{{{k_1}{R^2}}}{{{s^2} + {k_2}Rs + {k_1}{R^2}}}. $

(16)

式中：s为拉式变量.由此可见线性跟踪微分器本质是一个二阶环节，其固有频率和阻尼比分别为

$ {\omega _n} = R\sqrt {{k_1}} ,\xi = \frac{{{k_2}}}{{2\sqrt {{k_1}} }}. $

(17)

ω_n和ξ可认为分别是非线性跟踪微分器的等效固有频率与等效阻尼比.固有频率由参数R和线性增益k₁共同决定，而阻尼比仅与2个线性增益k₁、k₂有关.当R→∞时, 二阶环节的频带趋近无限宽，输出能完全跟踪输入信号，即达到了所谓的弱收敛.较小的跟踪微分器固有频率可以得到较光滑的跟踪输出与微分输出，但过小的固有频率值将引起输出信号的失真.跟踪微分器的参数整定，可首先根据输入信号确定合适的滤波截止频率与阻尼比，进而由式(17)确定参数k₁、k₂和R.同时式(17)也表明了不同的跟踪微分器参数可以获得相同的固有频率与阻尼比，即可以达到近似的跟踪微分效果.在第2节的例子中，由于跟踪作用函数结构不同，虽然具有相同的参数R但却有不同的等效固有频率和阻尼比，这正是跟踪微分器性能差异的原因.

分别计算第2节中TD1~TD4的等效线性结构的固有频率和阻尼系数，如表 1所示.

由表 1可知，TD3的固有频率最大，故其微分误差的抖振最大(见图 4)；而具有较小固有频率的TD1及TD4，其微分误差则较为光滑.这证明了不同跟踪微分器的滤波效果主要由其等效固有频率决定.一个品质优良的跟踪微分器首先需要根据输入信号的频率确定合适的等效固有频率.

TD3和TD4的等效固有频率分别是4个跟踪微分器中最大与最小的，同时它们都具有较小幅度的跟踪误差和微分误差(图 2~5).具有这个现象的原因在于TD3和TD4均具有较小的阻尼比.较小的阻尼比使得跟踪微分器具有较小的相位滞后，进而具有较小的跟踪误差和微分误差.如图 6所示为变化TD2阻尼比(通过变化系数k₂)时的频率响应，图中：ω为频率，L(ω)为幅值，φ(ω)为相位.由相位图可观察到减小阻尼比对减小相位滞后的显著作用.如图 7所示为TD4具有不同的阻尼比时的微分误差.从图 7可见，随着阻尼比的减小，微分误差的幅度逐渐减小.但阻尼比过小一方面导致对突变信号的响应具有较大振荡，另一方面由于谐振放大了固有频率附近的噪声使得微分误差的抖振加剧.因此，合适的阻尼比可以选取为0.3~0.5.

3.2 跟踪微分器的参数整定方法

跟踪微分器等效线性分析可用于指导跟踪微分器的参数整定.从式(17)可知，滤波特性由R与k₁决定，而阻尼特性由k₁、k₂决定，由此可设计解耦的逐步参数调整法.以TD2为例，说明基于等效线性分析的非线性跟踪微分器参数整定方法.

在TD2中，当系统远离平衡点即跟踪误差与微分误差较大时，非线性作用将加快跟踪微分器向平衡点的收敛；当跟踪误差处于跟踪微分器设计指标范围内时，线性环节占主导又减小了输出抖振.线性与非线性环节主导转化点可由参数b调节.假设期望的跟踪微分器跟踪误差为e_t，n/m=3，则由b³e_t³ > e_t得到b的取值范围.参数R、a₁和a₂则是影响TD2特性的关键参数.调整步骤如下：

Step1：由于等效固有频率与等效阻尼比均由2个变量共同决定且均与k₁相关，故k₁的取值可以固定为1.对于TD2即a₁=1.

Step2：由式(14)计算等效线性增益k₁，并由输入信号的频率确定期望的等效固有频率，则由式(17)可以得到参数R.由于在线性化时固定增益k₁的选取值与理想等效值存在偏差，根据实际滤波效果在该值附近调整参数R.

Step3：在Step2中a₂取值固定，该值可使得等效线性阻尼比为0.5.a₂与k₂正相关，增大a₂可以增大阻尼效果.最后再兼顾跟踪微分器的误差与输出振荡，调整a₂.

注3：按照式(14)估算等效线性增益并选取的固定值往往偏离理想的等效固定线性增益.但由于是上述步骤是逐步单参数试验调整的过程，即使等效线性增益k₁、k₂存在偏差也能优化调整跟踪微分器的参数.

采用以上方法，对TD2的参数进行优化设计，指数n/m固定为3.设跟踪误差期望值约0.1，则非线性比重系数计算为b=4.7；a₁固定为1；R由等效固有频率60 rad/s，预选为60，根据实际滤波效果调整为50；a₂则预选为1.4，预选值时的等效阻尼比约0.7，根据实际误差逐步调整a₂=0.8.当TD2参数为R=50、a₁=1、a₂=0.8、b=4.7和n/m=3时，对图 1带噪声信号的跟踪及微分误差如图 8所示.从图 8可见，经过参数优化后的TD2性能优于原参数时的TD2.

以上由线性分析获得的跟踪微分器参数整定方法，在分析参数影响的基础上实现了解耦的逐步参数调整，有利于跟踪微分器的工程应用.

4 复合跟踪微分器 4.1 带前馈的跟踪微分器

由第3节分析可知，跟踪微分器的相位滞后是影响误差幅度的主要因素.降低等效阻尼比在一定程度上可以减小误差，但是过小的阻尼比又会导致振荡及固有频率附近噪声的放大.Tian等^[19]提出了一种跟踪滤波器的前馈补偿方法，但是没有对前馈补偿参数进行具体分析和优化.本文基于跟踪微分器的等效线性模型分析了前馈的作用.带前馈的跟踪滤波器结构框图如图 9所示.

f_fd(·)为前馈项，选取为$ \alpha \ \dot{v} $，正数α为前馈增益.则带前馈的线性跟踪滤波器(TD5)可以表示为

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2},\\ {{\dot x}_2} = {R^2}\left[ { - {k_1}\left( {{x_1} - v} \right) - {k_2}\frac{{{x_2}}}{R}} \right] + \alpha \dot v. \end{array} \right\} $

(18)

令x₂=x₃+αv，系统(18)可以改写为

$ \left. \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_3} + \alpha v,\\ {{\dot x}_3} = {R^2}\left[ { - {k_1}\left( {{x_1} - v} \right) - {k_2}\frac{{\left( {{x_3} + \alpha v} \right)}}{R}} \right]. \end{array} \right\} $

(19)

系统(19)中不显含输入信号的导数$ \dot{v} $，是带前馈跟踪滤波器的一种具体实现.TD5的跟踪输出与被跟踪信号之间的传递函数为

$ \frac{{{x_1}}}{v} = \frac{{\alpha s + {k_1}{R^2}}}{{{s^2} + {k_2}Rs + {k_1}{R^2}}}. $

(20)

由此可见，前馈项$ \alpha \dot{v} $的引入在原传递函数上增加了稳定的零点，提高了系统的快速性.

引入前馈后跟踪误差e=x₁-v的传递函数为

$ \frac{e}{v} = - \frac{{{s^2} + \left( {{k_2}R - \alpha } \right)s}}{{{s^2} + {k_2}Rs + {k_1}{R^2}}}. $

(21)

当α=k₂R时误差传递函数分子项仅为s²，此时该跟踪微分器能无差跟踪斜坡信号；当α≠k₂R时跟踪微分器仅能无差跟踪阶跃信号.故等效线性跟踪微分器的前馈系数理论最优值为α=k₂R.

图 6中显示了跟踪微分器等效线性模型TD2(ξ=1)、TD2(ξ=0.3)和TD5的频率特性.除具有α=k₂R的前馈补偿外，TD5和TD2(ξ=1)的参数相同；TD2(ξ=0.3)通过变化系数k₂实现.由图 6可见，引入前馈后的相位滞后小于不带前馈和小阻尼时的情况，同时转折频率处也无出现谐振现象.故前馈可以达到减小跟踪误差的目的.

另一方面，由于前馈项为带噪声输入信号的导数，带前馈补偿的跟踪微分器(18)在提高快速性的同时降低了对噪声的抑制能力.如图 6所示，高频段斜率从-40 dB/dec下降为-20 dB/dec，减弱了跟踪微分器的滤波效果.为此，Tian等^[19]将前馈补偿信号通过一阶惯性环节滤波

$ {f_{{\rm{fd}}}}\left( v \right) = \frac{{\alpha \dot v}}{{gs + 1}}. $

(22)

式中：一阶环节常数g > 0.

上述前馈补偿分析基于等效线性模型，对于按第3节中参数整定方法后的非线性跟踪微分器，前馈增益α可在计算等效线性增益k₂后获得.

4.2 复合跟踪微分器

在实践中发现，通过一阶环节(22)得到的前馈补偿量，往往不能较好地兼顾对前馈信号的滤波和失真.当一阶环节常数g较大时，前馈补偿信号光滑但滞后较大，使得前馈补偿对跟踪微分器快速性的提升作用减弱；当g较小时，跟踪微分器的相位滞后得到有效补偿，但是其输出噪声较大.为此，本文提出通过2个跟踪微分器串联的方式来同时达到噪声抑制与相位补偿，该跟踪微分器被称为复合跟踪微分器(TD6)，其结构如图 10所示.

图 10中的TDA、TDB均为带前馈的跟踪微分器.TDB与TDA的区别在于TDB采用TDA的跟踪输出作为前馈补偿信号，而TDA直接将带噪声的输入信号作为前馈补偿信号.

TDA的等效阻尼比设置为0.3~0.5，由第3节分析可知该阻尼比下相位滞后较小.TDA的等效固有频率选取为相对TDB的较小值，使其具有较好的滤波特性，同时前馈的引入使其能够获得较为光环且相位滞后较小的跟踪信号.如4.1节讨论，直接带噪声前馈使得TDA的微分信号输出存在较大的噪声不适合直接作为跟踪微分器输出.

TDB为主导的跟踪微分器，考虑前馈补偿的作用并为减小振荡，其等效阻尼比设置为0.7，其等效固有频率由信号滤波需求确定，较TDA大.将TDA输出的较为光滑且相位滞后小的跟踪信号$ {{\hat{x}}_{1}} $作为TDB的前馈补偿信号，显著减小TDB相位滞后的同时未引入明显的噪声，进而实现了复合跟踪微分器滤波品质与相位滞后的较好兼顾，获得最佳的跟踪输出与微分输出.

以下通过数值仿真比较复合跟踪微分器TD6、采用一阶滤波(22)的前馈补偿跟踪微分器TD7，以及TD4的跟踪误差与微分误差.以上跟踪微分器均只采用其等效线性模型.输入信号仍然为图 1中的带白噪声正弦信号.TD4的参数为R=30、k₁=2.2、k₂=1.3，等效固有频率和阻尼比分别为44.5 rad/s和0.44；TDA的参数为R=15、k₁=2.2、k₂=1.3、α=15，等效固有频率和阻尼比分别为22.2 rad/s和0.44；TDB的参数为R=30、k₁=2.2、k₂=2.08、α=60，等效固有频率和阻尼比分别为44.5 rad/s和0.7；TD7的参数与TDB一致，前馈的一阶环节时间常数为g=1/80.

如图 11所示为TD6、TD7和TD4对相同带白噪声输入信号的跟踪误差与微分误差.从图 11可见，TD6和TD7的跟踪误差与微分误差均远小于TD4的值，证明了前馈补偿对于提高跟踪微分器快速性的有效性.

在前述参数下，TD6与TD7的跟踪误差具有相同的幅值.但从图 11中微分误差的局部曲线中可见，TD6微分误差的抖振幅度远小于TD7，与不含前馈补偿的TD4的抖振幅度接近.这说明同样的前馈补偿增益下，TD6由于具有对前馈信号中噪声更好的抑制能力，得到了最佳的跟踪输出与微分输出组合.

5 结论

(1) 提出了平衡点附近非线性跟踪微分器的统一模型，并用Lyapunov方法证明了该模型的收敛性.非线性统一模型概括了所有以幂指函数构造跟踪函数的跟踪微分器，表明了不同非线性跟踪微分器间的联系.

(2) 将统一非线性跟踪微分器模型在平衡点处泰勒展开后得到等效线性模型，不同非线性函数等价为不同的线性增益.等效线性模型本质是一个二阶系统，该模型清晰展现了参数对跟踪微分器的影响以及参数间的耦合作用.由此得到跟踪微分器解耦的逐步参数整定方法.

(3) 利用等效线性模型分析了前馈补偿减小相位滞后的作用及噪声抑制能力降低的缺点.采用2个带前馈跟踪微分器串联组成的复合跟踪微分器，其跟踪误差与微分误差均小于不带前馈补偿的跟踪微分器.相比文献[19]中的带前馈跟踪微分器，复合跟踪微分器的微分抖振显著减小.