柔顺机构是利用柔性部件的弹性变形来实现运动或力输出的机构^[1], 具有无摩擦、免润滑、寿命长、精度高等优点, 适用于精密工程^[2-4]、仿生机械^[5-6]、智能材料结构^[7]等领域.平板折展机构(laminaemergent mechanisms, LEMs)是一类由薄板材料加工制成且能实现平面外运动的新型柔顺机构^[8].与其他柔顺机构相比, LEMs拥有以下独特的优点：1)制造过程简单, 加工材料种类多、成本低；2)节省运输或存储过程中的空间成本；3)凭借简单的拓扑结构可实现复杂的运动^[9].因此, LEMs在航空旅行、医疗设备、电子工业等领域有着广泛应用^[10].

目前, LEMs的重点研究内容之一是柔性铰链的设计.Winder等^[11]提出了LEMs柔性铰链的设计标准, 并探讨了柔性铰链的应用形式.Jacobsen等^[12]基于铰链设计标准, 率先提出了符合平面特性且能实现大角度运动的转动式平板折展(laminaemergent torsional, LET)柔性铰链.邱丽芳等^[13]为提高LET柔性铰链的转动性能, 采用模拟退火法对铰链进行了尺寸优化.曹毅等^[14]鉴于LET柔性铰链的低轴向刚度, 对LET柔性铰链进行改进, 提出了兼顾弯曲刚度和轴向刚度的平面抗拉柔性铰链.Wilding等^[15]设计了具有抗拉及抗压功能的反向抗拉平板折展关节(inverted tension laminaemergent joint, IT-LEJ), 并对其弯曲刚度进行了推导.Fowler等^[16]设计了能实现平面内±90°转动的整体式大变形柔性铰链.陈贵敏等^[17]介绍了深切口椭圆柔性铰链, 并对其柔度特性进行了分析.卢倩等^[18]利用Newton-cotes求积公式简化了深切口椭圆柔性铰链的柔度计算公式, 并利用模糊优化设计方法对铰链的各结构参数进行了优化.

综上所述, 目前绝大多数的LEMs柔性铰链仅可完成1个方向上的转动.具有三自由度的LEMs柔性铰链, 尤其是能实现1个方向移动、2个方向转动的LEMs柔性铰链, 能够较好地改善LEMs机构的灵活性及工作空间, 可应用于LEMs夹持器^[19]、史蒂芬森LEMs^[9]等机构, 但是关于此类铰链的设计与研究尚未见报道.

本文提出一种一移两转平板折展柔性铰链；推导其沿x、y轴方向的转动等效刚度及沿x轴方向的移动等效刚度；用有限元分析实例验证3种等效刚度的正确性；分析各结构参数对铰链3种刚度的影响灵敏度；用基于罚函数的粒子群算法对铰链的结构参数进行优化, 进一步提高铰链的转动能力和移动能力.

1 柔性铰链的建模与分析 1.1 一移两转平板折展柔性铰链结构设计

柔性铰链主要依靠柔性片段的弯曲或扭转实现变形.由于结构的限制, 绝大多数的LEMs柔性铰链仅能实现1个方向的转动, 鲜有柔性铰链具有2个转动自由度.本文提出一种能实现1个方向移动, 2个方向转动的三自由度LEMs柔性铰链, 并将其命名为“一移两转平板折展柔性铰链”.如图 1所示, 一移两转平板折展柔性铰链由2组柔性片段依次首尾相接组成, 且关于x轴和y轴对称.

根据铰链所受载荷及变形过程中各片段所起的作用, 柔性片段分类如下：

1) 铰链在沿x轴方向力载荷F_x作用下变形时, 柔性片段S_n(n=1, 5, 9, 13)为拉伸片段, 柔性片段S_n(n=3, 7, 11)为拉伸弯曲片段, 柔性片段S_n(n=2, 4, 6, 8, 10, 12)为弯曲片段；

2) 铰链在绕x轴方向转矩T_x作用下变形时, 柔性片段S_n(n=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)为扭转片段, 柔性片段S_n(n=2, 4, 6, 8, 10, 12)为弯曲片段；

3) 铰链在绕y轴方向转矩T_y作用下变形时, 柔性片段S_n(n=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)为弯曲片段, 柔性片段S_n(n=2, 4, 6, 8, 10, 12)为扭转片段.

由于一移两转平板折展柔性铰链关于x轴及y轴对称, 且部分柔性片段S_n(n=1, 2, 3, …, 13)的长度l_n或宽度w_n完全相等, 将铰链的结构尺寸重新定义, 如图 2所示.其中, t为铰链厚度,

$ {l_n}\left( {n = 1,13} \right) = {l_{\rm{a}}}, $

$ {l_n}\left( {n = 2,4,6,8,10,12} \right) = {l_{\rm{b}}}, $

$ {l_n}\left( {n = 5,9} \right) = {l_{\rm{c}}}, $

$ {l_n}\left( {n = 3,7,11} \right) = {l_{\rm{d}}}, $

$ {w_n}\left( {n = 1,3,5,7,9,11,13} \right) = {w_{\rm{a}}}, $

$ {w_n}\left( {n = 2,4,6,8,10,12} \right) = {w_{\rm{b}}}. $

根据几何关系可知, l_d=2w_b+l_c.

1.2 x轴方向移动刚度分析

基于等效法^[12], 将拉伸片段、弯曲片段和拉伸弯曲片段分别等效为相应的拉伸弹簧、弯曲弹簧及拉伸弯曲弹簧, 得到一移两转平板折展柔性铰链的x轴方向移动等效弹簧模型如图 3所示.图中, k_x-Tn(n=1, 5, 9, 13)为拉伸片段的等效弹簧刚度；k_x-Bn(n=2, 4, 6, 8, 10, 12)为弯曲片段的等效弹簧刚度；k_x-BTn(n=3, 7, 6)为拉伸弯曲片段的等效弹簧刚度.

基于弹簧串并联规则和已知的移动等效弹簧模型, 得到一移两转平板折展柔性铰链的x轴方向移动等效刚度：

$ \begin{array}{l} {k_{{\rm{eq}},x - {\rm{mov}}}} = 2 \times \\ {\left( {\frac{1}{{{k_{x - T1}}}} + \frac{1}{{{k_{x - B2}}}} + \frac{1}{{{k_{x - {\rm{BT}}3}}}} + \cdots + \frac{1}{{{k_{x - B\left( {n - 1} \right)}}}} + \frac{1}{{{k_{x - Tn}}}}} \right)^{ - 1}}. \end{array} $

(1)

由于结构上的对称性, 3种柔性片段的受力模型如图 4所示, 经分析可知：

$ {k_{x - Tn}} = \frac{{E{w_n}t}}{{{l_n}}}. $

(2)

式中：E为材料的弹性模量.

弯曲片段在拉伸力F作用下的变形量为

$ {\delta _1} = \int_0^{{l_n}} {\frac{{M\left( y \right)}}{{iE{I_n}}}\frac{{\partial M\left( y \right)}}{{\partial F}}{\rm{d}}y} = \frac{{Fl_n^3}}{{3iE{I_n}}}. $

(3)

式中：M(y)=F(l_n-y), 为作用于弯曲片段某截面的弯矩；I_n为弯曲片段截面的惯性矩；i为比例因子, 与弯曲片段的约束方式有关, 因约束方式为一端固定一端导向, 故i=4.

由式(3)可知弯曲片段的等效弹簧刚度为

$ {k_{x - Bn}} = \frac{F}{{{\delta _1}}} = \frac{{Etw_n^3}}{{l_n^3}}. $

(4)

拉伸弯曲片段在F作用下的变形量为

$ \begin{array}{l} {\delta _2} = \int_0^{{l_n}} {\frac{{M\left( x \right)}}{{E{I_n}}}\frac{{\partial M\left( x \right)}}{{\partial F}}{\rm{d}}x} + \int_0^{{l_n}} {\frac{F}{{EA}}{\rm{d}}x} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{F{{\left( {{l_{n - 1}} - {w_n}} \right)}^2}{l_n}}}{{E{I_n}}} + \frac{{F{l_n}}}{{EA}}. \end{array} $

(5)

式中：M(x)=F(l_n-1-w_n), 为作用于拉伸弯曲片段某截面的弯矩；A为拉伸弯曲片段的横截面积；l_n-1为弯曲片段的长度.整理式(5)可得拉伸弯曲片段的等效弹簧刚度:

$ {k_{x - {\rm{BT}}n}} = \frac{F}{{{\delta _2}}} = \frac{{Etw_n^3}}{{12{{\left( {{l_{n - 1}} - {w_n}} \right)}^2}{l_n} + {l_n}w_n^2}}. $

(6)

1.3 沿x轴方向移动刚度的有限元分析及验证

对于上述移动刚度, 应当有设计实例对其正确性进行验证.本文定义工程塑料为一移两转平板折展柔性铰链的制造材料, 其弹性模量E=14 GPa, 泊松比v=0.42, 屈服极限σ_s=34 MPa.柔性铰链的具体尺寸参数取l_a=3 mm, l_b=20 mm, l_c=2 mm, w_a=2 mm, w_b=2 mm, t=1.

一移两转平板折展柔性铰链受到如图 1所示.沿x轴方向的力载荷F_x时, 铰链x轴方向位移d_x与F_x之间的关系为

$ {F_x} = {k_{{\rm{eq}},x - {\rm{mov}}}}{d_x}. $

(7)

为验证理论计算的正确性, 根据一移两转平板折展柔性铰链的尺寸参数值在CAE软件中建立其有限元分析模型, 并设置其材料为工程塑料.有限元模型一移两转平板折展柔性铰链位移变形云图如图 5所示.结合有限元分析及式(7)得到铰链在不同力载荷作用下的沿x轴方向位移的有限元仿真值及其与理论计算值的相对误差e, 如表 1所示.将表 1中的数据代入式(1)得k_{eq, x-mov}=3.136 2 N/mm.

为了更加直观地表达铰链位移理论值与仿真值之间的关系, 根据表 1中的数据, 利用Matlab软件绘制铰链位移理论值及有限元仿真值的变化趋势, 如图 6所示.由表 1及图 6可知, 一移两转平板折展柔性铰链受力载荷作用发生拉伸变形时, x轴方向位移的理论值与有限元仿真值高度一致, 且铰链位移与所受力具备较优的线性度, 即铰链的移动刚度基本保持不变，证明了上述理论模型的正确性.

1.4 x轴方向转动刚度分析

一移两转平板折展柔性铰链发生绕x轴方向的转动时, 将扭转片段与弯曲片段分别等效为扭转弹簧和弯曲弹簧, 如图 7所示.图中, k_x-tn(n=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)为扭转片段的等效弹簧刚度；k_x-bn(n=2, 4, 6, 8, 10, 12)为弯曲片段的等效弹簧刚度.

根据弹簧串并联规则, 分析铰链的等效弹簧模型, 得到一移两转平板折展柔性铰链的x轴方向转动等效刚度：

$ \begin{array}{l} {k_{{\rm{eq}},x - {\rm{rot}}}} = \\ 2 \times {\left( {\frac{1}{{{k_{x - t1}}}} + \frac{1}{{{k_{x - b2}}}} + \frac{1}{{{k_{x - t3}}}} + \cdots + \frac{1}{{{k_{x - b\left( {n - 1} \right)}}}} + \frac{1}{{{k_{x - tn}}}}} \right)^{ - 1}}. \end{array} $

(8)

扭转片段的等效弹簧刚度^[20]为

$ {k_{x - tn}} = \frac{{Gtw_n^3}}{{{l_n}\left( {3.5 + 3.5w_n^2/{t^2}} \right)}}. $

(9)

式中：G为切变模量.

弯曲片段S_n(n=2, 4, 6, 8, 10, 12)的受力变形分析如图 8所示.图 8(a)中, 在转矩T_x作用下, 弯曲片段E₂端的转角为θ_E2, E₁端的转角为0.为简化计算, 解除图 8(a)中E₁端的固定约束, 弯曲片段的等效受力如图 8(b)所示.若仅考虑T_x作用(忽略反作用力偶T₁), 弯曲片段的受力及变形如图 8(c)所示, 其中E₁端与E₂端的转角θ_E1、θ_E2分别为

$ {\theta _{{E_1}}} = - \frac{{2{T_x}{l_{\rm{b}}}}}{{E{w_{\rm{b}}}{t^3}}}, $

(10)

$ {\theta _{{E_2}}} = - \frac{{4{T_x}{l_{\rm{b}}}}}{{E{w_{\rm{b}}}{t^3}}}. $

(11)

若考虑反作用力偶T₁的存在, 则θ_E1=0, 即T₁与T_x作用于E₁端产生的转角大小相等方向相反.根据变形叠加法, 考虑T_x与T₁的共同作用，可得弯曲片段S_n(n=2, 4, 6, 8, 10, 12)在E₂端的转角θ_E2为

$ {\theta _{{E_2}}} = \frac{{4{T_x}{l_{\rm{b}}}}}{{E{w_{\rm{b}}}{t^3}}} - \frac{{2{T_x}{l_{\rm{b}}}}}{{E{w_{\rm{b}}}{t^3}}} = \frac{{3{T_x}{l_{\rm{b}}}}}{{E{w_{\rm{b}}}{t^3}}}. $

(12)

由式(12)可知, 弯曲片段的等效弹簧刚度为

$ {k_{x - bn}} = \frac{{{T_x}}}{{{\theta _E}}} = \frac{{E{t^3}{w_n}}}{{3{l_n}}}. $

(13)

1.5 x轴方向转动刚度的有限元分析及验证

一移两转平板折展柔性铰链受到x轴方向转矩T_x作用时, 转矩T_x与转角θ_x的关系为

$ {T_x} = {k_{{\rm{eq}},x - {\rm{rot}}}}{\theta _x}. $

(14)

将1.3节的设计实例代入式(8)得k_{eq, x-rot}=85.080 5 N·mm/rad.

在铰链一端添加固定约束, 另一端施加不同大小的转矩, 得到相应的铰链转角有限元仿真值, 再结合铰链的理论转动刚度得到转角与转矩关系, 如图 9所示.

分析图 9可知, 当铰链受x轴方向转矩作用时, 转角有限元仿真值与理论值的吻合度较高, 且各自保持良好的线性关系.上述分析证明了一移两转平板折展柔性铰链x轴转动等效刚度理论计算模型的正确性.

1.6 y轴方向转动刚度分析

一移两转平板折展柔性铰链受如图 1所示转矩T_y作用时, 同理根据等效法, 可得铰链的y轴方向转动等效弹簧模型如图 10所示.图中, k_y-bn(n=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)为弯曲片段的等效弹簧刚度；k_y-tn(n=2, 4, 6, 8, 10, 12)为扭转片段的等效弹簧刚度.

由弹簧组合模型及其串并联规则推导得铰链的y轴方向转动等效刚度为

$ \begin{array}{l} {k_{{\rm{eq}},y - {\rm{rot}}}} = \\ 2 \times {\left( {\frac{1}{{{k_{y - {\rm{b}}1}}}} + \frac{1}{{{k_{y - t2}}}} + \frac{1}{{{k_{y - {\rm{b}}3}}}} + \cdots + \frac{1}{{{k_{y - t\left( {n - 1} \right)}}}} + \frac{1}{{{k_{y - {\rm{b}}n}}}}} \right)^{ - 1}}. \end{array} $

(15)

其中k_y-bn、k_y-tn分别为

$ {k_{y - {\rm{b}}n}} = \frac{{E{w_n}{t^3}}}{{12{l_n}}}, $

(16)

$ {k_{y - {\rm{t}}n}} = \frac{{Gtw_n^3}}{{{l_n}\left( {3.5 + 3.5w_n^2/{t^2}} \right)}}. $

(17)

1.7 y轴方向转动刚度的有限元分析及验证

一移两转平板折展柔性铰链受到转矩T_y作用时, 转矩T_y与转角θ_y的关系为

$ {T_y} = {k_{{\rm{eq}},y - {\rm{rot}}}}{\theta _y}. $

(18)

以1.3节的设计参数为例, 代入式(18)可得，k_{eq, y-rot}=31.478 4 N·mm/rad.

为验证理论计算模型的正确性, 对铰链的有限元仿真模型施加不同大小的y轴方向转矩, 得到相应的转角有限元仿真值.结合已知的数据得到y轴方向转矩与转角关系如图 11所示.

由图 11可知, 一移两转平板折展柔性铰链在y轴方向转矩作用下发生变形时, 转角有限元仿真值与理论值基本吻合, 且转矩和转角间保持较优的线性度, 验证了铰链y轴转动等效刚度理论计算模型的正确性.

2 柔性铰链结构参数灵敏度分析

若要设计满足性能要求的一移两转平板折展柔性铰链, 需要了解各个结构参数与铰链3种刚度k_eq、x-mov、k_{eq, x-rot}、k_{eq, y-rot}之间的关系.由式(1)、(8)、(15)可知, 单凭公式推导很难确定铰链的各个结构参数对其性能的影响.利用Matlab R2014a, 通过编写参数分析程序, 准确定性分析各结构参数对一移两转平板折展柔性铰链性能的影响, 进而分析确定各结构参数与k_{eq, x-mov}、k_{eq, x-rot}及k_{eq, y-rot}的灵敏度关系.

同样采用工程塑料作为一移两转平板折展柔性铰链的材料, 对3种刚度有影响的结构参数主要包括l_a、w_a、l_b、w_b、l_c及t, 各结构参数对k_{eq, x-mov}、k_{eq, x-rot}和k_{eq, y-rot}的影响如图 12所示.

由图 12分析可知：

1) k_{eq, x-rot}与l_a呈反比, 而k_{eq, x-mov}和k_{eq, y-rot}几乎不随l_a变化；

2) k_{eq, x-mov}、k_{eq, x-rot}、k_{eq, y-rot}与w_a呈曲线递增, 但增幅逐渐减小, 其中k_{eq, x-rot}对w_a的灵敏度最高；

3) k_{eq, x-mov}、k_{eq, x-rot}及k_{eq, y-rot}均随l_b的增加而减小；

4) k_{eq, x-mov}、k_{eq, x-rot}、k_{eq, y-rot}与w_b呈曲线递增, 且增幅逐步减小；

5) k_{eq, x-mov}、k_{eq, x-rot}及k_{eq, y-rot}均随l_c的增大而减小, 其中k_{eq, x-rot}对l_c的灵敏度最高；

6) k_{eq, x-rot}及k_{eq, y-rot}与t呈曲线递增, 且增幅明显, 而k_{eq, x-mov}随着t的增大小幅上涨.

比较图 12可知：t与w_a对k_{eq, x-rot}的影响较大, 其次为l_c、w_b、l_b及l_a；t、w_b、w_a对k_{eq, x-mov}的影响灵敏度较高, 其次为l_b、l_c, 而l_a对k_{eq, x-mov}几乎无影响；t、w_b对k_{eq, y-rot}的影响灵敏度最大, 其次为w_a、l_b、l_c及l_a.综上所述, 在设计一移两转平板折展柔性铰链时, 应当根据影响灵敏度依次确定结构参数：t、w_b、w_a、l_b、l_c及l_a.

3 铰链优化模型

由于上文的灵敏度分析仅限于各结构单参数对铰链3种刚度的影响, 并未考虑参数间的耦合, 有必要建立一移两转平板折展柔性铰链的优化模型, 并对其进行全局优化.

3.1 设计变量确定

柔性铰链的主要结构参数为l_a、w_a、l_b、w_b、l_c及t.根据灵敏度分析, 取优化模型的设计变量为

$ \begin{array}{l} X = {\left[ {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6}} \right]^{\rm{T}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;{\left[ {t,{w_{\rm{b}}},{w_{\rm{a}}},{l_{\rm{b}}},{l_{\rm{c}}},{l_{\rm{a}}}} \right]^{\rm{T}}}. \end{array} $

(19)

3.2 目标函数建立

一移两转平板折展柔性铰链的主要性能为其绕x轴、y轴的转动能力及沿x轴方向的移动能力.因此, 应当尽量减小铰链沿x轴、y轴方向的转动刚度和沿x轴方向的移动刚度, 为了保证铰链的性能需要使k_{eq, x-mov}、k_{eq, x-rot}、k_{eq, y-rot}的值尽量接近.上述2个优化目标可分别表达为

$ \min {g_1}\left( X \right) = {\beta _1}{k_{{\rm{eq}},x - {\rm{mov}}}} + {\beta _2}{k_{{\rm{eq}},x - {\rm{rot}}}} + {\beta _3}{k_{{\rm{eq}},y - {\rm{rot}}}}. $

(20)

$ \begin{array}{l} \min {g_2}\left( X \right) = \left| {{\beta _1}{k_{{\rm{eq}},x - {\rm{mov}}}} - {\beta _2}{k_{{\rm{eq}},x - {\rm{mov}}}}} \right| + \\ \left| {{\beta _1}{k_{{\rm{eq}},x - {\rm{mov}}}} - {\beta _3}{k_{{\rm{eq}},y - {\rm{rot}}}}} \right| + \left| {{\beta _2}{k_{{\rm{eq}},x - {\rm{rot}}}} - {\beta _3}{k_{{\rm{eq}},y - {\rm{rot}}}}} \right|. \end{array} $

(21)

式中：β₁、β₂、β₃为校正权, 作用是平衡各分目标函数的数量级, 使其尽量一致.

基于统一目标函数法, 将多目标优化问题转化为单目标优化问题：

$ \min G\left( X \right) = \sum\limits_{j = 1}^2 {\left( {{\alpha _j}{g_j}\left( X \right)} \right)} . $

(22)

式中：α_j(j=1, 2)为本征权, 反映各分目标函数的重要程度.

3.3 约束条件设定

1) 边界约束.

$ {x_{i{\rm{L}}}} \le {x_i} \le {x_{i{\rm{U}}}}\left( {i = 1,2,3,4,5,6} \right). $

(23)

式中：x_iL、x_iU分别为设计变量x_i的上、下限值.

2) 结构尺寸关系约束.

为了使一移两转平板折展柔性铰链的各柔性片段互不干涉且保持良好性能, 需满足以下几点要求：l_b≥w_b, l_a≥w_b, w_a≥w_b, l_b≥l_c+2w_b, 即

$ \begin{array}{l} {l_{\rm{b}}} \ge {w_{\rm{b}}},{l_{\rm{a}}} \ge {w_{\rm{b}}},{w_{\rm{a}}} \ge {w_{\rm{b}}},{l_{\rm{b}}} \ge {l_{\rm{c}}} + 2{w_{\rm{b}}},即\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{x_2} \le {x_4},{x_2} \le {x_6},{x_2} \le {x_3},{x_5} + 2{x_2} \le {x_4}. \end{array} $

(24)

3) 应力强度约束.

当铰链受载荷作用时, 柔性片段会发生弯曲变形、扭转变形或拉伸变形.由于柔性片段的抗拉强度普遍较高, 仅对不同载荷作用下各片段的弯曲正应力σ_max1、σ_max2、σ_max3、σ_max4及扭转切应力τ_max1、τ_max2进行校核：

$ \left. \begin{array}{l} {\sigma _{\max 1}} = \frac{{3{F_x}\left( {{l_{\rm{b}}} - {w_{\rm{a}}}} \right)}}{{2tw_{\rm{b}}^2}} \le \left[ \sigma \right],\\ {\sigma _{\max 2}} = \frac{{3{F_x}\left( {{l_{\rm{b}}} - {w_{\rm{a}}}} \right)}}{{2tw_{\rm{a}}^2}} \le \left[ \sigma \right],\\ {\sigma _{\max 3}} = \frac{{3{T_x}}}{{{w_{\rm{b}}}{t^2}}} \le \left[ \sigma \right],\\ {\sigma _{\max 4}} = \frac{{3{T_y}}}{{{w_{\rm{a}}}{t^2}}} \le \left[ \sigma \right],\\ {\tau _{\max 1}} = \frac{{{T_x}\left( {3{w_{\rm{a}}} + 1.8t} \right)}}{{2w_{\rm{a}}^2{t^2}}} \le \left[ \tau \right],\\ {\tau _{\max 2}} = \frac{{{T_y}\left( {3{w_{\rm{b}}} + 1.8t} \right)}}{{2w_{\rm{b}}^2{t^2}}} \le \left[ \tau \right]. \end{array} \right\} $

(25)

式中：[σ]为许用正应力；[τ]为许用切应力.

3.4 优化算例分析及比较

为验证上述优化模型的有效性, 根据文献[21]中各柔性片段尺寸, 定义优化前一移两转平板折展柔性铰链的尺寸值：t=0.5 mm, w_b=4.5 mm, w_a=3.0 mm, l_b=22.2 mm, l_c=0.5 mm, l_a=5.0 mm, 即k_{eq, x-mov}=14.339 5 N/mm, k_{eq, x-rot}=18.166 4N·mm/rad, k_{eq, y-rot}=8.336 2 N·mm/rad.定义优化模型的设计变量：

$ \begin{array}{l} {X_{\rm{L}}} = {\left[ {{x_{1{\rm{L}}}},{x_{2{\rm{L}}}},{x_{3{\rm{L}}}},{x_{4{\rm{L}}}},{x_{5{\rm{L}}}},{x_{6{\rm{L}}}}} \right]^{\rm{T}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {0.5,3.0,2.0,18,0.5,4.5} \right]^{\rm{T}}}, \end{array} $

(26)

$ \begin{array}{l} {X_{\rm{U}}} = {\left[ {{x_{1{\rm{U}}}},{x_{2{\rm{U}}}},{x_{3{\rm{U}}}},{x_{4{\rm{U}}}},{x_{5{\rm{U}}}},{x_{6{\rm{U}}}}} \right]^{\rm{T}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {1.0,5.0,4.0,28,2.5,7.0} \right]^{\rm{T}}}. \end{array} $

(27)

另外, 取目标函数的校正权β₁、β₂、β₃分别为10、1、1；铰链受到的载荷F_x=5 N, T_x=5 N·mm, T_y=5 N·mm.当本征权α_j(j=1, 2)取不同值时, 利用基于罚函数的粒子群算法^[22]优化铰链的结构参数, 得到优化后的各项参数及刚度如表 2所示, 其中, 基于罚函数的粒子群算法流程图如图 13所示.

将表 2各组数据的k_{eq, x-mov}、k_{eq, x-rot}、k_{eq, y-rot}两两进行对比分析可知：当α₁=0.9、α₂=0.1时, 优化所得到的一移两转平板折展柔性铰链的各项性能相对较好, 即k_{eq, x-mov}=2.690 2 N/mm, k_{eq, x-rot}=13.207 1N·mm/rad, k_{eq, y-rot}=5.383 3 N·mm/rad.为了方便比较, 将优化前、后铰链的k_{eq, x-mov}、k_{eq, x-rot}、k_{eq, y-rot}汇总, 如表 3所示.

由表 3可知, 通过基于罚函数的粒子群算法优化之后, k_{eq, x-mov}下降了81.24%, k_{eq, x-rot}下降了27.30%, k_{eq, y-rot}下降了35.42%, 说明一移两转平板折展柔性铰链的各项性能都得到了极大提升, 上述优化模型具备有效性.

4 结语

根据所提出的一移两转平板折展柔性铰链, 推导得到了其沿x轴、y轴方向的转动等效刚度及沿x轴方向的移动等效刚度, 并通过合理范围内的误差验证了等效刚度计算模型的正确性；利用Matlab R2014a确定了柔性铰链的各结构参数对其性能的影响灵敏度依次为：t、w_b、w_a、l_b、l_c及l_a；基于灵敏度分析, 建立了一移两转平板折展柔性铰链的参数优化模型, 并采用基于罚函数的粒子群算法对铰链的各结构参数进行了多目标加权优化, 优化效果显著.k_{eq, x-mov}的优化率达81.24%, k_{eq, x-rot}的优化率为27.30%, k_{eq, y-rot}的优化率达35.42%, 说明优化模型具备可行性.