卫生填埋法是目前我国处理城市固体废弃物(municipal solid waste, MSW)的主要方法.为了最大限度地利用空间, 填埋场中的堆体往往越填越高, 边坡也越来越陡, 导致很多地方都相继出现填埋场的稳定破坏现象.同时, 由于MSW的高压缩性和易降解性, 堆体在堆填过程中会发生可观的变形, 从而造成衬垫系统及渗滤液收集和排放系统的破坏, 引起渗滤液的泄漏, 对周围环境和居民造成难以挽回的损失.因此, 稳定和变形问题是填埋场设计的关键.为了解决这些问题, 必须了解MSW的强度与变形特性, 因此对MSW本构关系的研究是非常重要且必要的.

不同于一般土体, MSW具有以下变形特性：

1) 在低轴向应变下MSW具有明显的非线性特性, 当应变较高时会出现硬化趋势^[1-2]；2)MSW在很高的应变水平(30%以上)下都不易产生明显的破坏面^[3-4]；3)MSW具有明显的剪缩特性^[5]；4)MSW的力学和变形特性会受到多方面的影响, 包括组分、降解度、孔隙比、应力历史等^[6-7].

针对堆体变形, 一些学者采用或改进传统土力学本构模型, 用于MSW单元体及填埋场工程数值模拟.目前主要分为2类, 一类基于非线性弹性理论, 如双曲线弹性模型^[8-11]、复合指数模型等^[7]；另一类基于弹塑性理论, 如液-生-化多场耦合模型^[12]、弹塑性降解蠕变模型^[13]、加筋复合材料模型等^[14-15].非线性弹性模型具有形式简便, 易于工程应用等特点；由于该类模型建立于增量广义胡克定律基础之上, 较难考虑球张量与偏张量的耦合, 即较难考虑MSW的剪缩特性；弹塑性模型理论较为严密, 且适用于复杂应力路径的模拟, 但模型框架相对复杂, 且模型参数难以获取.

针对当前固废非线性弹性本构的不足, 本文提出了一种可以反映MSW剪缩性和压硬性的非线性弹性模型.基于四参数的模型框架, 采用全量法提出了体积应变和广义剪切应变的具体表达式, 以此获得剪缩模量和压硬模量.并通过其他MSW三轴试验结果的模拟, 对模型进行了验证.

1 MSW的剪缩性

土的剪缩性是指土在剪切作用(纯剪或单剪)下也会产生体积变化^[16].土体的强度和变形特性会在一定程度上受到剪缩性的影响.试验证明, 在不同的排水条件下, 剪缩性对土体的影响情况是不同的：在不排水条件下, 正常固结黏土在受到不变的剪应力时, 土中的孔隙压力会随着时间而增长, 有效压应力逐渐降低而使土体“软化”, 其变形将很难停滞下来；但如发生排水, 变形可能较快停滞^[17].因此对于不同的排水条件, 材料的变形机理和参数指标是不同的.考虑到实际填埋过程中垃圾堆体的渗透性通常为10^-3到10^-5 cm/s^[18-20], 主固结沉降会在较短时间内完成^[21], 本文主要研究MSW在排水条件下的力学本构.

对于MSW的剪缩性, 国内外还鲜有相关的试验数据或理论研究.Shi等^[5]对MSW试样进行了不同应力路径下的试验, 试验结果表明, MSW在纯剪路径下会产生一定程度上的体积收缩, 即MSW具有剪缩性.

为了进一步验证垃圾的剪缩性, 笔者针对不同龄期和填埋深度的MSW试样, 进行了三轴固结不排水试验.试样均取自成都长安填埋场, 并采用2种方法进行制样：1)对于具有一定填埋龄期和深度的垃圾体, 采用内径为103 mm、高度约240 mm的承模筒进行制样, 试验前先用气缸对垃圾体施加预应力以还原试样原有的应力状态；2)对于新鲜垃圾, 考虑到其无需施加上覆应力, 采取在三轴仪直接固结制样的方式.装样后采取真空和加反压的方式进行饱和, 饱和完成后试样在某个围压下进行24 h左右的固结, 然后以0.4 mm/min的速率进行剪切.试样在以下4种情况下停止剪切：1)随着轴向剪切位移的增加, 轴向荷载不再增加；2)随着轴向剪切位移的增加, 轴向荷载减小；3)试样发生了巨大的变形(如鼓胀)；4)达到了三轴仪基座的最大允许变形(该条件是本实验的控制条件).

通过对试样应力应变曲线及孔压数据的整理, 可以获得其在不同轴向应变水平下的孔隙水压力系数A_f值(剪切破坏时的的孔压系数A, 由于MSW在很高的应变水平下也不易产生明显破坏面, 因此直接取某一特定轴向应变作为MSW的破坏应变), 其结果如图 1所示.图中p为平均正应力，A_f亦可用于判断土体的剪缩性, 若A_f＞1/3, 则认为该土具有剪缩性, 反之若A_f＜1/3, 则判断该土为剪胀土^[22].测试结果表明不同填埋深度与龄期的垃圾A_f值绝大多数大于1/3, 大多在0.5左右, 总体上随应力水平的提高而增加, 这初步表明MSW材料剪缩性明显.

2 非线性弹性模型建立 2.1 室内试验与模型框架

笔者参考中国杭州2000年天子岭填埋场的废弃物成分, 人工配制固废试样以研究固废的强度和变形特性.试样各组分干质量分数w_B如表 1所示, 计算得到试样的平均比重为2.06, 尺寸为300 mm× 600 mm, 初始孔隙比为3.试验在经过饱和和固结后, 进行排水剪切试验, 剪切速率取为0.01 mm/s, 围压分别采用100、200、300和400 kPa.

试验结果如图 2所示, 其中ε₁为轴向应变、ε_V为体积应变, τ为切应力，从图中可以看到剪应力会随着应变的增大不断发展, 即使应变超过15%试样也没有发生明显的破坏.相比于低围压, 高围压下试样在固结阶段排出的水更多, 而在同样轴向应变条件下由剪切产生的体积应变较小.

基于上述的试验结果, 本文提出如式(1)所示的非线性弹性模型框架, 其中K为体变模量, H为剪缩模量, G_p为压硬模量, G为剪切模量；dε_V和dγ分别为体积应变增量和广义剪切应变增量.这4个参数一般为应力状态变量的函数.在传统土力学中, 也有考虑剪缩性的非线性弹性本构模型研究, 如Izumi^[23]、Graham和Houlsby^[24]、Yin.^[25]、沈珠江^[26]等.这些模型大多如式(1)或式(2)所示, 其中式(1)相对于式(2)能额外考虑压硬性(即平均正应力增量对剪应变增量的影响, 对于MSW, 该项影响较小, 具体见3.3节).

$ \left. \begin{align} &\rm{d}{{\varepsilon }_{\mathit{V}}}=\rm{ }\!\!~\!\!\rm{ }\frac{\rm{d}\mathit{p}}{\mathit{K}}+\frac{\rm{d}\tau }{\mathit{H}}, \\ &\rm{d}\gamma =\frac{\rm{d}\mathit{p}}{{{\mathit{G}}_{\mathit{p}}}}+\frac{\rm{d}\tau }{3\mathit{G}}. \\ \end{align} \right\} $

(1)

$ \left. \begin{align} &\rm{d}{{\varepsilon }_{\mathit{V}}}=\rm{ }\!\!~\!\!\rm{ }\frac{\rm{d}\mathit{p}}{\mathit{K}}+\frac{\rm{d}\tau }{\mathit{H}}, \\ &\rm{d}\gamma =\frac{\rm{d}\tau }{3\mathit{G}}. \\ \end{align} \right\} $

(2)

2.2 体积应变求解

在等压固结试验中, 试样在静水压力作用下压缩固结.参照Domaschuk^[27]的做法, 根据试样在试验中孔隙比的变化, 可以求得试样的体积应变和平均正应力的关系.与一般土体类似, MSW试样的体变-自然对数平均正应力曲线也可近似为一条直线, 如图 3所示^[28-29].本文采用式(3)描述该线性关系, ε_V0、λ₁为拟合参数, ε_V0=-0.031 4, λ₁=0.044 6, 微分后得式(4), 可求得等向压缩条件下的体变模量.

$ {{\varepsilon }_{\rm{V}}}={{\varepsilon }_{\mathit{V}0}}+{{\lambda }_{1}}\rm{ln}\mathit{p}. $

(3)

$ K=~\frac{\rm{d}\mathit{p}}{\rm{d}{{\varepsilon }_{\rm{V}}}}=\frac{\mathit{p}}{{{\lambda }_{1}}}. $

(4)

对于更为一般的应力状态, 加载过程中体变由平均正应力p和切应力τ同时产生.将加载过程中体积应变分为正应力产生和剪切应力产生2部分(体积应变基于固结前试样), 如式(5)所示：

$ {{\varepsilon }_{\mathit{V}}}={{\varepsilon }_{\mathit{Vp}}}+{{\varepsilon }_{\mathit{V}\tau }}. $

(5)

式中：ε_Vp为正应力效应产生的体积应变, ε_Vτ为剪应力效应产生的体积应变.

若假设加载过程中正应力产生的体积应变可由式(3)进行计算, 经试算比选, 剪切应力产生的体积应变可由二次函数描述, 即

$ {{\varepsilon }_{\mathit{Vp}}}=\mathit{f}\left( \mathit{p}, \tau \right)=\mathit{a}\cdot \rm{ }{{\left( \frac{\tau }{\mathit{p}} \right)}^{\rm{2}}}. $

(6)

则总的体积应变可由式(7)表示：

$ {{\varepsilon }_{\mathit{V}}}={{\varepsilon }_{\mathit{Vp}}}+{{\varepsilon }_{\mathit{Vq}}}={{\varepsilon }_{V0}}+{{\lambda }_{1}}\rm{ln}\mathit{p}+\mathit{a}\cdot \rm{ }{{\left( \frac{\tau }{\mathit{p}} \right)}^{\rm{2}}}. $

(7)

式中：a为拟合参数.

图 4给出了分别采用式(3)(不考虑剪缩模量)和式(7)(考虑剪缩模量)计算所得的体积应变曲线.可以看到, 式(3)的拟合结果与试验结果相去甚远.由于未考虑由偏应力产生的体积应变(即剪缩性), 由式(3)(计算所得的体积应变远低于实际值, 两者的差值随着加载的进行而增大, 在轴向应变达到15%时, 误差会超过60%.而采用式(7)对体积应变进行拟合时, 拟合参数a=0.033 62, 拟合效果明显改善, 在轴向应变达到15%时误差小于10%, 这反映了模型考虑剪缩的必要性.对式(7)进行微分, 即可获得体变模量和剪缩模量的具体表达式：

$ \rm{d}{{\varepsilon }_{\mathit{V}}}=\left( \frac{{{\lambda }_{1}}}{\mathit{p}}-\frac{2\mathit{a}{{\tau }^{2}}}{{{\mathit{p}}^{3}}} \right)\rm{d}\mathit{p}+\frac{2\mathit{a}\tau }{{{\mathit{p}}^{2}}}\rm{d}\tau . $

(8)

$\frac{{{\lambda }_{1}}}{\mathit{p}}-\frac{2\mathit{a}{{\tau }^{2}}}{{{\mathit{p}}^{3}}}、\frac{2a\tau }{{{p}^{2}}}$分别对应于式(1)中$\frac{1}{K}$(体变指数)、$\frac{1}{H}$(剪缩指数).

2.3 广义剪切应变求解

通过对图 2中的试验数据进行处理可以获得广义剪切应变γ=2·(ε₁-ε₃)/3与偏应力τ的关系, 如图 5所示.不同围压下的多条曲线呈分散化状态, 因此采用式(9)对各条曲线进行归一化, 其中p₀=1 kPa使量纲和谐.对归一化后的主干曲线采用二次函数进行拟合, 如图 6所示, c和m为拟合参数, c=0.009 6, m=0.74.从图 5中可以看到式(9)的拟合效果较好(实线), 图 5同时给出了不考虑硬化模量后的拟合效果(虚线), 可见硬化模量会对拟合结果造成一定的影响, 但相比于剪缩模量, 该影响较小.

$ \gamma =\mathit{c}{{\left[\frac{\tau /{{\mathit{p}}_{0}}~}{{{\left( \mathit{p}/{{\mathit{p}}_{0}} \right)}^{\mathit{m}}}~} \right]}^{2}}. $

(9)

对式(3)进行微分, 即可获得压硬模量和剪切模量的具体表达式：

$ {\rm{d}}\gamma =\mathit{c}\left( -\frac{2m{{\tau }^{2}}}{{{p}^{2m+1}}}{\rm{d}}\mathit{p}+\frac{2\tau }{{{p}^{2m}}}~{\rm{d}}\tau \right)p_{0}^{2\left( m-1 \right)~}. $

(10)

$-\mathit{c}\frac{2m{{\tau }^{2}}}{{{p}^{2m+1}}}~\cdot p_{0}^{2\left( m-1 \right)~}、c\cdot \frac{2\tau }{{{p}^{2m}}}~\cdot p_{0}^{2\left( m-1 \right)~}$分别对应于式(1) $\frac{1}{{{G}_{p}}}$(压硬指数)、$\frac{1}{3G}$(剪切指数)

综上, 体积应变与广义剪应变的全量和增量表达式如式(11)、(12)所示：

$ \left. \begin{align} &{{\varepsilon }_{V}}={{\varepsilon }_{V0}}+{{\lambda }_{1}}{\rm{ln}}\mathit{p}+a{{\left( \frac{\tau }{p} \right)}^{2}}; \\ &\gamma =\mathit{c}{{\left[\frac{\tau /{{\mathit{p}}_{0}}~}{{{\left( \mathit{p}/{{\mathit{p}}_{0}} \right)}^{\mathit{m}}}~} \right]}^{2}}. \\ \end{align} \right\} $

(11)

$ \left. \begin{align} &{\rm{d}}{{\varepsilon }_{\mathit{V}}}=\left( \frac{{{\lambda }_{1}}}{\mathit{p}}-\frac{2a{{\tau }^{2}}}{{{\mathit{p}}^{3}}} \right){\rm{d}}\mathit{p}+\frac{2a\tau }{{{p}^{2}}}{\rm{d}}\tau, \\ &{\rm{d}}\gamma =\mathit{c}\left( -\frac{2m{{\tau }^{2}}}{{{p}^{2m+1}}}{\rm{d}}\tau +\frac{2\tau }{{{p}^{2m}}}~{\rm{d}}\tau \right)p_{0}^{2\left( m-1 \right)~}. \\ \end{align} \right\} $

(12)

这样就建立了四参数的非线性弹性模型, 参数ε_V0和λ₁可由等压固结试验获得, 两者分别为体变-自然对数平均正应力曲线的截距和斜率, 参数a、c和m可由三轴固结排水试验获得.利用本模型对图 2的三轴试验数据进行拟合, 由于MSW的高离散性在拟合体变时有一定误差, 但整体上该模型的拟合效果较好, 且能够合理地描述固废的剪缩和硬化特性.

3 模型验证

为验证所提出的四参数模型的合理性, 拟采用该模型去拟合Machado(2002)和Vilar(2004)的MSW室内试验结果, 通过体变-剪应变-轴变之间的关系(式(13)), 可由本文提出的模型拟合三轴试验中的应力应变和体变-轴变曲线.

$ \left. \begin{align} &{{\varepsilon }_{V}}={{\varepsilon }_{1}}+2{{\varepsilon }_{3}}, \\ &\gamma =\frac{2}{3}\left( {{\varepsilon }_{1}}-{{\varepsilon }_{3}} \right).\rm{ } \\ \end{align} \right\} $

(13)

式中, ε₃为径向应变.

3.1 Machado(2002)

Machado等^[30]研究的固废样本取自于位于圣保罗郊区的Bandeirantes卫生填埋场的2个钻孔中, 实验室内所用的试验样本龄期为15 a, 其具体配比见表 2, 其中的糊状物包括有机质以及不同比例的土体.

试样通过静态压实成型, 平均容重为10 kN/m³, 试样的直径采用150和200 mm, 高度采用300和400 mm, 对在天然湿度下(67%)的固废试样进行三轴固结排水试验, 加载速率采用0.7 mm/min, 分别对各试样施加100、200、400 kPa的荷载.采用本文所提出的模型对试验结果进行拟合, 拟合效果如图 7所示.

从图 7中可以看到, 该模型对试样应力应变曲线的拟合效果较好, 对于体积应变, 拟合曲线与试验数据有一定误差, 但整体上误差较小, 能够较好地反映试样的变形趋势.

3.2 Vilar and Carvalho(2004)

Vilar等^[31]采用的固废样本同样取自于Bandeirantes卫生填埋场, 其具体配比同表 2.其中一批样本取自于0~18 m的深度处, 除容重为12 kN/m³外, 试样的尺寸、加载速率、各级荷载大小均与Machado(2002)相同.Vilar和Carvalho分别对在天然湿度下(67%)和饱和条件下的固废试样进行了三轴固结排水试验, 试验结果和模型的拟合效果如图 8和9所示.

从图 8和9中可以看到, 在低应变水平和高应变水平下, 模型都能很好地拟合试样的体积应变曲线.对于天然湿度下的试样, 应力应变曲线的拟合效果也较好；而对于饱和条件下的试样, 试样在加载后期的硬化效应较大, 拟合曲线与试验结果有所偏离.

表 3给出了上述3个案例中所有拟合参数的具体取值, 这些参数会随着试验条件和固废试样的不同而产生变化, 但离散性较小, 可以认为参数较为稳定.

4 结论

本文基于等压固结试验和三轴固结排水试验的结果, 提出了一种可以反映MSW剪缩性和压硬性的非线性弹性模型, 并通过拟合其他MSW试验的试验结果, 对模型进行了验证.该模型具有以下特点：

(1) 采用了能够同时考虑剪缩性和压硬性的四参数模型框架, 基于此框架, 通过对已有试验数据的归一化, 建立了体积应变和广义剪切应变的全量表达式, 同时获得了4参数的具体表达式.模型适用于一般加载情况.

(2) 模型的形式简单, 便于工程应用, 拟合参数较少, 且其取值均可从等压固结试验和三轴固结排水试验中获得.

(3) 通过对不同MSW试验结果的模拟表明, 该模型能够合理反映固结围压对试样应力应变关系的影响规律, 以及试样随固结围压的增大而压缩性降低的现象.