平面投影为四边形的六杆四面体单元是一种空间结构甚为简单、基本的几何不变体, 由这些单元组成的球面网壳笔者已作了系统的研究^[1-9].柱面网壳作为空间结构中的主要结构形式之一, 被广泛采用^[10].本文拟将六杆四面体单元应用于柱面网壳, 探索讨论六杆四面体柱面网壳, 对这种新型柱面网壳的结构形体、静力特性、线性和非线性稳定性作深入的研究.研究结果表明, 这种柱面网壳构造简单, 杆件和节点数量少, 网格的抽空率大, 具有双层网壳刚度大、稳定性能好的特点, 在矩形平面的单跨柱面网壳、单向和双向多跨连续的柱面网壳等结构工程中有推广应用的前景.

六杆四面体单元如图 1(a)所示, 由1根上弦杆、1根下弦杆和4根腹杆组成.由这些基本单元组成的六杆四面体柱面网壳由图 1(b)表示.基本单元之间的连接采用上、下弦杆之间刚接, 腹杆与弦杆之间铰接, 即半刚接半铰接的构造形式.为便于装配, 弦杆之间刚性连接通过法兰盘对接、螺栓固定的形式, 具体可采用图 1(c)的形式.六杆四面体柱面网壳的平面图和三维图如图 2所示.

图 1

图 1 六杆四面体柱面网壳外形及节点构造 Fig. 1 Outline of six-bar tetrahedral cylindrical lattice shells and joint connection

图 2

图 2 六杆四面体柱面网壳Zpq示意图 Fig. 2 Schematic diagram of six-bar tetrahedral cylindrical lattice shells, Zpq

若跨向有1, 2, …, p-1, p个六杆四面体单元，纵向有1, 2, …, q-1, q个六杆四面体单元, 则整个柱面网壳共有M=p×q个六杆四面体单元集成, 网格的抽空率η=1/2.这种六杆四面体柱面网壳可用Z_pq表示.网壳周边一般需设置横向和纵向边缘构件.

设有六杆四面体柱面网壳Z_pq, p=9, q=6, 平面尺寸45 m×30 m, 矢跨比1/5, 矢高f=9 m, 厚度h=1.5 m, 采用上、下弦杆刚接, 为梁单元, 腹杆与上、下弦铰接, 为杆单元, 因而构成一种上、下弦节点均为半刚接半铰接的六杆四面体柱面网壳, 上、下弦杆(包括按杆元计的边缘杆)及腹杆分别选用Q345的圆钢管ϕ325×12、ϕ159×6、ϕ114×4, 纵边按不动铰支座计, 另两端跨边自由, 在均布荷载200 kg/m²作用下, 对其内力和变位作详细分析, 分析软件使用MSTCAD.因柱面网壳有双轴对称性, 只要分析1/4网壳即可.网壳单元和节点编号如图 3所示.六杆四面体单元ij的上、下弦杆及腹杆轴向内力分别用N_ij、H_ij及S_ija、S_ijb、S_ijc、S_ijd表示, 见图 4.上弦杆内力的计算结果见表 1, 其中弯矩M_ij由上弦杆自身坐标系平面内外弯矩M_yij、M_zij组合后求得, 见图 5(a), 且取杆件ij两端弯矩的最大值.上弦杆ij相应的轴向应力和弯曲应力分别用σ_Nij、σ_Mij表示.下弦杆相应的内力和应力按上弦杆类似方法, 求得其计算结果见图 5(b)及表 2, 腹杆的内力见表 3, 节点变位见表 4, 支座反力及边缘杆件内力见表 5.

图 3

图 3 六杆四面体柱面网壳单元及节点编号 Fig. 3 Structural units and node numbers of six-bar tetrahedral cylindrical lattice shells

图 4

图 4 六杆四面体单元的轴向内力标识图 Fig. 4 Axial forces diagram of six-bar tetrahedral units

表 1

表 1 均布荷载作用下的上弦杆内力 Table 1 Internal forces of upper chords under uniform load 四面体编号ij Nij/kJ σNij/MPa Mij/(kN·m) σMij/MPa 11 -469.1 -39.8 -36.21 -40.7 21 -373.0 -31.6 -36.08 -40.5 31 -314.9 -26.7 -11.03 -12.4 41 -281.3 -23.8 20.26 22.7 51 -269.7 -22.9 20.42 22.9 12 -250.1 -21.2 -58.03 -65.2 22 -262.3 -22.2 -58.02 -65.2 32 -311.5 -26.4 -27.24 -30.6 42 -375.2 -31.8 32.21 36.2 52 -403.8 -34.2 32.21 36.2 13 -346.3 -29.3 -56.96 -64.0 23 -344.7 -29.2 -56.96 -64.0 33 -336.7 -28.5 -31.84 -35.8 43 -333.3 -28.2 36.90 41.4 53 -333.0 -28.2 36.90 41.4

表 1 均布荷载作用下的上弦杆内力 Table 1 Internal forces of upper chords under uniform load

图 5

图 5 均布荷载作用下的弦杆弯矩图 Fig. 5 Bending moment diagram of chord membersunder uniform load

表 2

表 2 均布荷载作用下的下弦杆内力 Table 2 Internal forces of lower chords under uniform load 四面体编号ij Hij/kN σNij/MPa Mij/(kN·m) σMij/MPa 11 2.8 1.0 -3.98 -37.5 12 30.5 10.6 2.52 23.7 13 26 9.0 -2.07 -19.4 21 5.6 1.9 -5.67 -53.3 22 58.6 20.3 3.56 33.5 23 45.9 15.9 -3.27 -30.7 31 -9.9 -3.4 -2.11 -19.8 32 -0.9 -0.3 1.16 10.9 33 -5.2 -1.8 -1.24 -11.7 41 -31.3 -10.9 3.70 34.8 42 -86.3 -29.9 -1.49 -14.0 43 -87 -30.2 1.45 13.6 51 -40.8 -14.1 5.44 51.2 52 -124.9 -43.3 -2.28 -21.4 53 -126 -43.7 2.24 21.1

表 2 均布荷载作用下的下弦杆内力 Table 2 Internal forces of lower chords under uniform load

表 3

表 3 均布荷载作用下的腹杆内力 Table 3 Internal forces of web members under uniform load kN 四面体编号ij Sija Sijb Sijc Sjid 11 -60.3 55.9 -16.0 55.8 21 -1.6 -7.3 -10.3 83.6 31 49.1 -33.4 -42.2 81.9 41 61.4 -11.7 -51.7 40.0 51 32.4 32.4 -17.6 -17.6 12 27.0 -31.1 -6.4 15.2 22 34.2 -45.0 -8.7 21.1 32 69.7 -44.4 1.0 25.8 42 81.0 -5.5 10.2 25.9 52 49.2 49.2 19.0 19.0 13 13.4 2.5 5.4 12.2 23 23.4 9.2 11.8 19.1 33 23.2 10.5 13.7 18.9 43 23.2 14.0 15.0 17.7 53 19.9 19.9 16.4 16.4

表 3 均布荷载作用下的腹杆内力 Table 3 Internal forces of web members under uniform load

表 4

表 4 均布荷载作用下的节点变位 Table 4 Joint displacements under uniform load mm 节点编号ij Nz Δy Δx Δ 11 0 0 0 0 21 -10.7 -14.6 -10.0 20.7 31 -3.1 -10.1 -6.7 12.5 41 14.6 4.9 -1.2 15.5 51 27.4 16.3 0.3 31.9 12 0 0 0 0 22 -24.8 1.4 -20.7 32.3 32 -14.4 0.2 -15.5 21.1 42 21.6 0.7 -3.6 21.9 52 50.5 2.4 0.5 50.6 13 0 0 0 0 23 -25.6 -2.5 -21.5 33.5 33 -15.9 -1.7 -17.1 23.4 43 22.3 0.4 -4.4 22.8 53 54.9 2.0 0.4 54.9 5′1′ 4.4 2.5 0 5.0 5′4′ 60.0 0 0 60.0

表 4 均布荷载作用下的节点变位 Table 4 Joint displacements under uniform load

表 5

表 5 均布荷载作用下的支座反力及拱向和纵向边缘杆件内力 Table 5 Support reactions and internal forces of members in arch edge under uniform load kN 参数 数值 Rx11 427.3 Ry11 -24.6 Rz11 308.8 Rx12 186.0 Ry12 152.2 Rz12 262.2 Ry13 5.6 Rz13 212.9 N1′1′, 2′1′ -76.8 N2′1′, 3′1′ -67.0 N3′1′, 4′1′ -5.1 N4′1′, 5′1′ 48.3 H11, 12 0 H12, 13 0 H13, 14 0 - -

表 5 均布荷载作用下的支座反力及拱向和纵向边缘杆件内力 Table 5 Support reactions and internal forces of members in arch edge under uniform load

由表 1~5及图 5的数据分析可得如下结果：

1) 上弦杆全部受压, 压力变化不大, 从最小值N₁₂=-250.1 kN到最大值N₁₁=-469.1 kN波动, 两边榀拱上弦杆内力从边缘到跨中是递减的, 两次边榀拱从边缘到跨中的变化是递增的, 而两中榀拱的上弦杆内力也是递减变化, 但变化数值甚微.

2) 下弦杆内力在靠近纵向边界两列下弦杆是受拉的, 最大拉力为H₂₂=58.6 kN, 而跨中五列下弦杆是受压的, 即55%下弦杆是受压的, 最大压力在网壳中心H₅₅=-126 kN处, 按绝对值计, 下弦杆内力最大值约为上弦杆内力的1/4.

3) 上、下弦杆都承受一定的弯曲内力, 上弦杆最大弯矩为-58.03 kN·m, 最大弯曲应力为-65.2 MPa, 下弦杆最大弯矩为-5.69 kN·m, 最大弯曲应力为-53.3 MPa.杆件截面应力为弯曲应力与轴向应力之和, 在静力荷载作用下, 约为强度设计值的37%, 尚有较大富余.

4) 腹杆内力沿拱方向大都为拉压相间, 最大的腹杆压内力在网壳的角部, 为S_11a=-60.3 kN, 最大的腹杆拉内力在边榀拱靠近支座的六杆四面体S_21d=83.6 kN, 腹杆内力的最大值按绝对值计约为上弦杆内力的1/6.

5) 法向支座水平反力分布是不均匀的, 最大值在角部为R_x11=427.3 kN, 竖向支座反力也有类似情况, 最大值为R_z11=308.8 kN, 各支座有小量切向支座反力.自由边杆件内力靠支座处为压力、跨中为拉力.

6) 网壳的竖向变位和综合变位(由x、y、z向变位综合得出)沿跨度方向有明显的三波段变化, 跨中最大竖向变位为Δ_z5′4′=Δ_5′4′=60.0 mm, 约为跨度的1/750, 中间两榀拱靠支座的上弦节点有最大的向上变位Δ_z23=25.6 mm, 自由边跨中有小量的向内水平变位Δ_y5′1′=2.45 mm

以第2章的实例尺寸及钢管截面大小为依据, 对结构在全跨荷载及半、全跨组合荷载作用下的稳定性进行研究, 分析软件使用ANSYS.全跨荷载大小为前述实例采用的2.0 kN/m²；半、全跨组合荷载采用恒荷载g=1.5 kN/m², 活荷载q=0.5 kN/m², q/g=1/3, 即半跨一侧载荷为2.0 kN/m², 另一半跨载荷为g=1.5 kN/m².在全跨荷载作用下, 前10阶屈曲模态如图 6所示, 主要表现为纵横向多波整体弯曲模态, 第1、5阶为纵横向轴对称模态；第4、6、8阶为纵横向轴反对称模态；第2、10阶为纵向轴对称、横向轴反对称模态；第3、7、9阶为纵向轴反对称、横向轴对称模态.六杆四面体单元表现为整体翻转, 本身是几何不变的, 前10阶线性特征值屈曲的荷载系数比较密集, 第1阶的荷载系数为5.964, 后9阶的荷载系数逐步递增, 第10阶的荷载系数为9.084, 约为1阶的1.52倍.在半、全跨组合荷载作用下的线性特征值屈曲荷载系数相比全跨荷载作用下时有所降低, 结构在全跨及半、全跨组合荷载荷载作用下的前10阶线性特征值屈曲荷载系数详见表 6.

图 6

图 6 均布荷载作用下的前10阶网壳特征值屈曲模态 Fig. 6 First ten shell eigenvalue buckling modes under uniform load

表 6

表 6 前10阶线性特征值屈曲荷载系数 Table 6 First ten linear eigenvalue buckling load coefficients 模态 1阶 2阶 3阶 4阶 5阶 6阶 7阶 8阶 9阶 10阶 全跨屈曲荷载系数 5.964 6.397 6.582 6.693 7.644 8.127 8.574 8.781 9.037 9.084 半全跨屈曲荷载系数 4.778 5.341 5.455 5.585 5.781 5.968 6.194 6.658 6.860 7.085

表 6 前10阶线性特征值屈曲荷载系数 Table 6 First ten linear eigenvalue buckling load coefficients

网壳结构要进行几何与材料的双重非线性屈曲分析, 并考虑跨度1/300一致缺陷的影响^[11].在相应不同缺陷形式下, 算例网壳非线性稳定荷载系数详见表 7.在全跨荷载作用下, 当缺陷分布为1阶屈曲模态时, 双非线性屈曲的荷载系数为3.776, 相当于1阶线性特征值屈曲荷载系数的0.633, 后9阶的荷载系数均比1阶荷载系数小, 在0.651~0.715变化, 最小的荷载系数为2.457, 相应于第8阶缺陷分布模态, 此时结构失稳由跨中单元下弦杆受压屈曲引起.前5阶全跨非线性稳定荷载系数与柱面网壳跨中节点5′4′竖向变位Δ_z5′4′的变化规律由图 7表示, 其他阶的规律大致相同, 荷载系数到达极限后, 具有比较平稳的下降段.在半、全跨组合荷载作用下, 非线性稳定系数最低为对应引入第8阶初始缺陷, 为2.047, 同样满足《空间网格结构技术规程》^[10]的要求, 结构具有良好的稳定性能.

表 7

表 7 前10阶非线性稳定系数 Table 7 First ten nonlinear stability load coefficients 缺陷分布模态 1阶 2阶 3阶 4阶 5阶 6阶 7阶 8阶 9阶 10阶 全跨荷载系数 3.776 2.582 2.477 2.640 2.573 2.588 2.509 2.457 2.699 2.558 半全跨荷载系数 2.715 2.150 2.150 2.080 2.133 2.254 2.105 2.047 2.254 2.090

表 7 前10阶非线性稳定系数 Table 7 First ten nonlinear stability load coefficients

图 7

图 7 全跨荷载系数-网壳跨中节点5′4′竖向位移曲线 Fig. 7 Curves for full span load coefficient-vertical displacement of node 5′4′

(1) 本文提出了一种新型六杆四面体单元组成的圆柱面网壳.六杆四面体单元轴线尺寸, 对整个网壳来说可做到单一规格, 有利于网壳的标准化设计、工业化生产和装配化施工.

(2) 对两纵边为不动铰支、两拱边为自由的半刚接半铰接柱面网壳作了静力分析, 拱向上弦杆全部受压, 而纵向下弦杆沿跨度方向是拉—压—拉三波变化, 跨中最大压力约为上弦杆最大压力的1/4；上下弦杆都承受弯曲内力, 杆件截面应力为弯曲应力与轴向应力之和, 在静力荷载作用下, 杆件截面应力约为强度设计值的37%, 腹杆的内力变化基本是拉压相间的, 腹杆的最大内力按绝对值计约为最大上弦杆内力1/6.

(3) 六杆四面体柱面网壳跨中节点有最大的竖向变位和综合变位60.0 mm, 为跨度的1/750, 表明起具有足够的结构刚度.

(4) 算例网壳在全跨荷载作用下首阶特征值屈曲的荷载系数5.964, 2~10阶特征值屈曲的荷载系数为首阶的1.07~1.52倍；在考虑1/300跨度一致缺陷下, 双非线性稳定分析的最小荷载系数出现在第8阶, 其值为2.457, 是首阶非线性屈曲荷载系数的0.651.在半、全跨组合荷载作用下, 结构也满足规程的要求.六杆四面体柱面网壳结构具有良好的稳定性能.

(5) 跨度为45 m的算例柱面网壳在不计节点用钢量时, 用钢指标约为33.2 kg/m², 且可进一步优化, 其技术经济指标优越, 有推广应用的前景.