﻿ 关于偏好关系的质化与量化研究——中间道路的探索

[作者简介] 1.刘奋荣(https://orcid.org/0000-0001-7931-0324),女,清华大学人文学院哲学系教授,教育部长江学者特聘教授,博士生导师,哲学博士,主要从事哲学逻辑、人工智能的逻辑基础、中国古代逻辑史研究; 2.付小轩(https://orcid.org/0000-0001-6882-8902),女,中国政法大学人文学院哲学系讲师,哲学博士,主要从事动态认知、偏好逻辑、博弈逻辑、道义逻辑研究。

On the Qualitative and Quantitative Studies of Preference: A New Attempt
Liu Fenrong1, Fu Xiaoxuan2
1.Department of Philosophy, School of Humanities, Tsinghua University, Beijing 100084, China
2.Department of Philosophy, School of Humanities, China University of Political Science and Law, Beijing 100088, China
Abstract

The preference relation is mathematically expressed as a binary ″≤-relation″. For any two objects X and Y, X Y says that ″ Y is at least as preferred as X″. This paper first reviews the research of preference relations in two directions, from qualitative to quantitative, and vice versa. On the basis of the review, we illustrate how to represent the ″≤-relation″ with a probability function in a quantitative way. In the other direction, the quantitative method in decision theory is explained in detail. After that, we introduce the pure qualitative way that logicians adopt to capture the quantitative interpretation of the ″≤-relation″. We argue that there is a clear connection between these two approaches, but that what makes them differ from each other are their underlying methodologies.
Keeping in mind the above-mentioned differences, we propose a novel approach called the ″probabilistic preference comparing method″. It introduces a λ-function to record the number of occurrences of ″≤-relation″ and ″≥-relation″ between members in two separate sets. Then, the total probability of occurrences of both ″≤-relation″ and ″≥-relation″ is calculated in terms of the probability function. Consequentially, the ″≤-relation″ between these two sets can be defined. Clearly, this method is a combination of qualitative and quantitative approaches. It reflects the qualitative ″≤-relation″ between members, but also takes the probability of their occurrence into account. We illustrate how this new method can be used to explain some paradoxical scenarios.
Finally, we propose a probabilistic preference model using the ″probabilistic preference comparing method″. By exploring its logical properties, we highlight the connections and clarify the differences between the new method and qualitative/quantitative ones. We believe that our attempt creates an example for further research in combing logic and probability in general.

Keyword: preference; qualitative; quantitative; probability; ″≤-relation″; logic

(1)主体偏好X胜于Y;

(2)主体偏好Y胜于X;

(3)偏好X与偏好Y对主体而言都是一样的。

≤ -关系的量化研究可以追溯到德・ 菲尼蒂(de Finetti)1937年的工作[3]。他第一次将概率解释与逻辑研究相结合, 并提出了一个重要猜想, 即给定一个任意非空有穷的集合S, 以及其所有子集XY上的≤ -关系, 存在一个概率函数P, 使以下命题成立:

XY当且仅当P(X)≤ P(Y)。

(1)空集≤ X。该条件既是为了满足≤ -关系的基本要求, 也是为了契合概率分布的要求。因为空集里面不具有任何元素, 所以一个主体通常会认为空集不会比有元素的其他集合更好。一般而言, 一个概率分布必须是落在0到1之间的一个实数, 譬如0.1。而空集的概率的基本定义就是等于0。由此, 借助以上命题, 该条件表示的是:任意一个至少和空集一样好的集合X, 其概率大于等于0。

(2)S> 空集。其中, > 是并非≤ 的缩写。由于S是个非空集合, 与第一个条件同理, 该条件也需要保证S比空集更好。

(3)XY, 或者YX。该条件被称作完全性, 它表示的是:任意两个集合之间都可以比较。

(4)如果XY, 并且YZ, 那么XZ。该条件被称作传递性, 它表示的是:假定Y至少和X一样好, 又有至少和Y一样好的Z, 那么Z也至少和X一样好。

(5)任取一个与XY都不相交的集合ZXY, 当且仅当XZ的并集≤ YZ的并集。该条件被称作有穷求和性, 它表示的是:假定Y至少和X一样好, 那么将同样的元素都分别加进这两个集合, 扩充之后的Y集合依然至少和扩充之后的X集合一样好。同理, 假定扩充后的Y集合至少和扩充后的X集合一样好, 那么去掉它们当中共同新增的元素, Y依然至少和X一样好。

{q, s}< {p}、{p, q}< {r, s}、{p, s}< {t, q}、{r, t}< {p, q, s}。(< -关系集)

{q, s}< {p}、{p, q}< {r, s}、{p, s}< {t, q}必然蕴涵{p, q, s}< {r, t}。

XY当且仅当P(X)≤ P(Y)。

≤ -关系作为偏好关系的量化研究, 主要集中于经济学领域尤其是决策论方面。在决策论中, 效用函数可以看作其量化研究的起点。而效用函数主要分为三类:第一类是序数效用, 第二类是区间值效用, 第三类是比值效用。在使用序数解释效用时, 对于任意集合S以及其中的任意元素xy:

U(x)≤ U(y)当且仅当xy

EU(L)=∑ kU(Ok)・ Pk

≤ -关系作为偏好关系的质化研究, 可以追溯到冯・ 赖特(von Wright)对它的逻辑研究[11]。他第一次为偏好逻辑提供了完全的系统。基于他的工作, 刘奋荣区分了静态与动态的偏好模型, 并进一步为偏好逻辑的动态变化提供了完全的系统[12]。霍利迪(Holiday)等为了避免亚尔钦(Yalcin)所提出的蕴涵问题[13], 提出了定义≤ -关系的新方法:XY当且仅当存在一个从XY的通胀函数, 并且该函数是单射[14]。其中, 从XY的函数f是通胀的, 指的是:对X中每一个x而言, xf(x)都成立。霍利迪等认为主体根本不会有足够的信息来完全确定命题(或状态)的总体排序, 因此允许了许多不可比性。哈里森-崔那等认为霍利迪等所提出的这个新方法相对于埃隆(Alon)等所提出的不精确概率的比较逻辑是可靠并且完全的[15]。而最为重要的是:通过这些设定, 他们以纯粹质化的形式表达了≤ -关系的概率化解释。

(1)自反性。该性质表示的是一个对象(或命题)至少和自身一样被偏好。

(2)完全性。该性质表示的是任意两个对象(或命题)都可以比较。

(3)传递性。该性质表示的是:假定一个对象(或命题)A至少和一个对象(或命题)B一样被偏好, 又有一个对象(或命题)C至少和A一样被偏好, 那么C至少和B一样被偏好。

xXyYP(x)P(y)λ yx≤ ∑ xXyYP(x)P(y)λ xy

A={3, 3, 5, 5, 7, 7}; B={2, 2, 4, 4, 9, 9}; C={1, 1, 6, 6, 8, 8}。

A< C; B< A; 并且C< B

⊥≤ φ 。该公式表示的是:任意公式的概率都大于等于零。

(φ ψ )ν (ψ φ )。该公式表示的是:概率偏好模型保证了偏好关系的完全性。

φ φ 。该公式表示的是:概率偏好模型保证了偏好关系的自反性。

(φ ψ )→ ((φ ν X)≤ (ψ ν X))。该公式表示的是:概率偏好模型保证了偏好关系的有穷求和属性。

(φ ψ )& #x2194; (φ ≤ (φ ν ψ )≤ ψ )。该公式表示的是:概率偏好模型满足了决策论所关心的独立性条件, 它也是杰弗里在考虑量化的偏好关系时所提出的必要条件。

(φ ψ )∧ (Xψ )→ ((φ ν X)≤ ψ )。该公式表示的是:对三个对象(或公式)而言, 假如主体有个最偏好的对象, 那么即使将另外两个对象结合在一起, 主体依然会选择他最偏好的那个对象。

φ ≤ ┬。该公式不是有效的, 它表示的是:存在一些公式使得它们的概率至少和重言式一样大。

(φ ψ )∧ (ψ X)→ (φ X)。该公式不是有效的, 它表示的是:概率偏好模型的偏好关系并不传递。

(& #xAC; φ φ )→ (ψ φ )。该公式不是有效的, 它表示的是:一个公式与它的否定之间的偏好关系独立于它与其他公式之间的偏好关系。

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