文中的环均指有单位元的结合环, 模都是左模.关于Ding投射模的研究源于DING等^[1]的工作, 称其为强Gorenstein平坦模.Ding内射模的研究源于MAO等^[2]的工作, 称其为Gorenstein FP-内射模.GILLESPIE^[3]进一步研究了这两类模, 并分别称之为Ding投射模和Ding内射模.后来, HUANG等^[4]介绍并研究了强Ding投射模和强Ding内射模.近来, MAO^[5]在分次模范畴中研究了Ding投射对象和Ding内射对象(分别称之为Ding分次投射模和Ding分次内射模).受以上工作的启发, 本文研究分次模范畴中的强Ding投射对象和强Ding内射对象(分别称之为强Ding分次投射模和强Ding分次内射模), 并研究了其与Ding分次投射模和Ding分次内射模之间的关系.同时, 也给出了强Ding分次投射(内射)模与非分次的强Ding投射(内射)模之间的关系.

下面列出本文需要的一些概念.

设R是环, G是乘法群.若R=⊕_σ∈GR_σ, 其中R_σ是R的加法子群, 对任意σ, τ∈G满足R_σR_τ⊆R_στ, 则称R是G-分次环(简称分次环).设M是R-模，若M=⊕_σ∈GM_σ, 其中M_σ是M的加法子群, 对任意σ, τ∈G满足R_σM_τ⊆M_στ, 则称M是G-分次R-模(简称分次R-模).

设M, N是分次R-模.记

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {M,N} \right) = \left\{ {\left. {f \in {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {M,N} \right)} \right|} \right.} \\ {\left. {f\left( {{M_\sigma }} \right) \subseteq {N_\sigma },\sigma \in G} \right\},} \end{array} $

即Hom_R-gr(M, N)是分次R-模范畴中M到N的所有态射构成的集合.

1 Ding分次投射模和Ding分次内射模

定义1  (文献[5]定义3.1、定义4.1)  设R是分次环.

(1) 如果存在一个分次投射R-模的正合列

$ \cdots \to {P_1} \to {P_0} \to {P^0} \to {P^1} \to \cdots , $

使得M$ \cong $Ker(P⁰→P¹), 且对任意分次平坦R-模F, Hom_R-gr(-, F)保持其正合，则称分次R-模M是Ding分次投射的.

(2) 如果存在一个分次内射R-模的正合列

$ \cdots \to {I_1} \to {I_0} \to {I^0} \to {I^1} \to \cdots , $

使得M$ \cong $Ker(I⁰→I¹), 且对任意分次FP-内射R-模E, Hom_R-gr(E, -)保持其正合，则称分次R-模M是Ding分次内射的.

引理1  设R是分次环, 0→M′→M→M″→0是分次R-模的正合列.若M′, M″是Ding分次投射的, 则M是Ding分次投射的.

证明  类比文献[6]引理3.1的证明可知，结论成立.

引理2  设R是分次环.当且仅当存在正合列0→M→P→N→0使得P是分次投射的且N是Ding分次投射的，则分次R-模M是Ding分次投射的.

证明  “必要性”是显然的, 下证“充分性”.

设有分次R-模的正合列

$ 0 \to M \to P\xrightarrow{\alpha }N \to 0, $

(1)

其中P是分次投射的且N是Ding分次投射的.则由维数转移可知，对任意分次平坦R-模F以及任意i≥1, 有Ext_R-grⁱ(N, F)=0.故对任意i≥1, 有Ext_R-grⁱ(M, F)=0.因为N是Ding分次投射的, 所以存在分次投射R-模的正合列

$ 0 \to N\xrightarrow{\beta }{P^1} \to {P^2} \to \cdots , $

(2)

使得对任意分次平坦R-模F, Hom_R-gr(-, F)保持序列(2)正合.粘接序列(1)和(2), 得到分次投射R-模的正合列

$ 0 \to M \to P\xrightarrow{{\beta \alpha }}{P^1} \to {P^2} \to \cdots , $

(3)

且对任意分次平坦R-模F, Hom_R-gr(-, F)保持序列(3)正合.另一方面, 取M的分次投射分解

$ \cdots \to {P_1} \to {P_0} \to M \to 0. $

(4)

因为对任意分次平坦R-模F以及任意i≥1有Ext_R-grⁱ(M, F)=0, 所以Hom_R-gr(-, F)保持序列(4)正合.粘接序列(3)和(4), 得到分次投射R-模的正合列

$ \cdots \to {P_1} \to {P_0} \to P\xrightarrow{{\beta \alpha }}{P^1} \to {P^2} \to \cdots , $

(5)

使得M$ \cong $Ker(βα), 且对任意分次平坦R-模F, Hom_R-gr(-, F)保持序列(5)正合.故M是Ding分次投射的.

如果χ包含所有的分次投射模且对任意分次模的正合列0→M′→M→M″→0满足M″∈χ, 则称分次模类χ是投射可解的, 当且仅当M′∈χ时M∈χ.对偶地, 可定义内射可解的分次模类.

文献[5]命题3.4和命题4.5证明了在分次凝聚环上Ding分次投射模类是投射可解的, Ding分次内射模类是内射可解的.下面证明该结果在任意分次环上均成立.

定理1  设R是分次环，则Ding分次投射R-模类是投射可解的, Ding分次内射R-模类是内射可解的.

证明  显然Ding分次投射模类包含所有的分次投射模.考虑分次R-模的正合列0→M′→M→M″→0, 其中M″是Ding分次投射的.如果M′是Ding分次投射的, 那么由引理1知，M是Ding分次投射的.如果M是Ding分次投射的, 那么由引理2知，存在正合列0→M→P→N→0, 其中P是分次投射的且N是Ding分次投射的.考虑以下推出图：

由正合列0→M″→A→N→0和引理1知, A是Ding分次投射的.考虑上图中的第2行, 由引理2知，M′是Ding分次投射的.这就证明了Ding分次投射模类是投射可解的.对偶地，可证明Ding分次内射模类是内射可解的.

推论1  设R是分次环，则Ding分次投射R-模类和Ding分次内射R-模类对直和因子封闭.

证明  根据文献[5]注记3.2(2)和注记4.2(2), Ding分次投射R-模类对于直和封闭, Ding分次内射R-模类对于直积封闭, 故由定理1以及Eilenberg's swindle定理(见文献[7]命题1.4)知，Ding分次投射R-模类和Ding分次内射R-模类对直和因子封闭.

2 强Ding分次投射模和强Ding分次内射模

定义2  设R是分次环.

(1) 如果存在一个分次投射R-模的正合列

$ \cdots \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to \cdots , $

使得M$ \cong $Ker(f), 且对任意分次平坦R-模F, Hom_R-gr(-, F)保持其正合，则称分次R-模M是强Ding分次投射的.

(2) 如果存在一个分次内射R-模的正合列

$ \cdots \to I\xrightarrow{g}I\xrightarrow{g}I\xrightarrow{g}I \to \cdots , $

使得M$ \cong $Ker(g), 且对任意分次FP-内射R-模E, Hom_R-gr(E, -)保持其正合，则称分次R-模M是强Ding分次内射的.

易知, 强Ding分次投射R-模是Ding分次投射的, 强Ding分次内射R-模是Ding分次内射的.

命题1  设R是分次环，则以下结论成立：

(1) M是强Ding分次投射R-模当且仅当存在分次R-模的正合列

$ 0 \to M \to P \to M \to 0, $

其中P是分次投射的, 且对任意分次平坦R-模F, 有Ext_R-gr¹(M, F)=0.

(2) M是强Ding分次内射R-模当且仅当存在分次R-模的正合列

$ 0 \to M \to E \to M \to 0, $

其中, E是分次内射的, 且对任意分次FP-内射R-模Q, 有Ext_R-gr¹(Q, M)=0.

证明  (1)先证“必要性”.因为M是强Ding分次投射的, 所以存在分次R-模的正合列

$ 0 \to M \to P \to M \to 0, $

其中P是分次投射的, 且对任意分次平坦R-模F, 有Hom_R-gr(-, F)保持其正合, 即有正合列

$ 0 \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {M,F} \right) \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P,F} \right) \to \\ \ \ \ \ \ \ \ {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {M,F} \right) \to 0. \\ $

因此, Ext_R-gr¹(M, F)=0.

再证“充分性”.设有分次R-模的正合列0→M→P→M→0, 其中P是分次投射的，则有正合列

$ 0 \to M \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to \cdots $

和

$ \cdots \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to M \to 0. $

进而有正合列

$ \cdots \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to \cdots , $

满足M$ \cong $Ker(f).另一方面, 对任意分次平坦R-模F, 有Ext_R-gr¹(M, F)=0.故序列

$ \cdots \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P,F} \right) \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P,F} \right) \to \\ \ \ \ \ \ \ \ {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P,F} \right) \to \cdots $

是正合的.因此, M是强Ding分次投射的.

(2) 可对偶地证明.

命题2  设R是分次环，则分次投射R-模是强Ding分次投射的; 分次内射R-模是强Ding分次内射的.

证明  设P是分次投射R-模.定义映射

$ f:P \oplus P \to P \oplus P\;{\text{via}}\;f\left( {x,y} \right) = \left( {0,x} \right). $

则f∈Hom_R-gr(P⊕P, P⊕P), 且Ker(f)$ \cong $Im(f)$ \cong $P.故有分次R-模的正合列

$ \cdots \to P \oplus P\xrightarrow{f}P \oplus P\xrightarrow{f}P \oplus P\xrightarrow{f}P \oplus P \to \cdots . $

对任意分次平坦R-模F，证明Hom_R-gr(-, F)保持其正合, 即证明下述复形正合：

$ \cdots \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P \oplus P,F} \right)\xrightarrow{{{f^ * }}}{\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P \oplus P,F} \right) \\ \ \ \ \ \xrightarrow{{{f^ * }}}{\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P \oplus P,F} \right) \to \cdots . $

设k∈Ker(f^*), 则f^*(k)=kf=0.故对任意y∈P，k(0, y)=kf(y, 0)=0, 定义映射

$ \beta :P \oplus P \to F\;{\text{via}}\;\beta \left( {x,y} \right) = k\left( {y,0} \right). $

则β∈Hom_R-gr(P⊕P, F).对任意x, y∈P, 有

$ \left( {k - \beta f} \right)\left( {x,y} \right) = k\left( {x,y} \right) - \beta f\left( {x,y} \right) =\\ \ \ \ \ k\left( {x,0} \right) + k\left( {0,y} \right) - \beta \left( {0,x} \right) =\\ \ \ \ \ k\left( {x,0} \right) - k\left( {x,0} \right) = 0. $

故k=βf=f^*(β)∈Im(f^*).说明Ker(f^*)⊆Im(f^*), 即上述复形正合.从而P是强Ding分次投射的.对偶地, 可证明分次内射R-模是强Ding分次内射的.

命题3  设R是分次环，则强Ding分次投射R-模类对直和封闭, 强Ding分次内射R-模类对直积封闭.

证明  设M_i是强Ding分次投射R-模，则有分次投射R-模的正合列

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}_i} = : \cdots \to {P_i}\xrightarrow{{{f_i}}}{P_i}\xrightarrow{{{f_i}}}{P_i}\xrightarrow{{{f_i}}}{P_i} \to \cdots , $

使得M_i$ \cong $Ker(f_i), 且对任意分次平坦R-模F, 有复形Hom_R-gr(P_i, F)是正合的.注意到

$ \oplus {\mathit{\boldsymbol{P}}_i} = : \cdots \to \oplus {P_i}\xrightarrow{{ \oplus {f_i}}} \oplus {P_i}\xrightarrow{{ \oplus {f_i}}} \\ \;\;\;\;\;\; \oplus {P_i}\xrightarrow{{ \oplus {f_i}}} \oplus {P_i} \to \cdots $

是分次投射模的正合列, 使得⊕M_i$ \cong $Ker(⊕f_i), 且

$ {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( { \oplus {\mathit{\boldsymbol{P}}_i},F} \right) \cong \prod {{\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_i},F} \right)} , $

故Hom_R-gr(⊕P_i, F)是正合的.说明⊕M_i是强Ding分次投射的, 即强Ding分次投射R-模类对直和封闭.

对偶地, 可证明强Ding分次内射R-模类对直积封闭.

以下定理给出了强Ding分次投射(内射)模和Ding分次投射(内射)模之间的关系.

定理2  设R是分次环, M是分次R-模，则以下结论成立：

(1) M是Ding分次投射的当且仅当它是强Ding分次投射R-模的直和项.

(2) M是Ding分次内射的当且仅当它是强Ding分次内射R-模的直和项.

证明  (1)因为强Ding分次投射R-模是Ding分次投射的, 所以由推论1可证明“充分性”.下证“必要性”.

设M是Ding分次投射的, 即存在分次投射R-模的正合列

$ \mathit{\boldsymbol{P}} = : \cdots \to {P_1}\xrightarrow{{{f_1}}}{P_0}\xrightarrow{{{f_0}}}{P^0}\xrightarrow{{{f^0}}}{P^1} \to \cdots , $

使得M$ \cong $Ker(f⁰), 且对任意分次平坦R-模F, 有Hom_R-gr(P, F)是正合的.令C=⊕_n∈Z$ \sum\limits_n \mathit{\boldsymbol{P}} $, 其中$ \sum\limits_n \mathit{\boldsymbol{P}} $是复形P的第n次平移，即

$ \mathit{\boldsymbol{C}} = \cdots \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to \cdots , $

其中P=…⊕P₁⊕P₀⊕P⁰⊕P¹⊕…是分次投射的, f=…⊕f₁⊕f₀⊕f⁰⊕f¹⊕….注意到C是正合的, 且对任意分次平坦R-模F, Hom_R-gr(C, F)是正合的, 故Ker(f)是强Ding分次投射的, 而M$ \cong $Ker(f⁰)是Ker(f)的直和项.

(2) 可对偶地证明.

最后, 给出强Ding分次投射(内射)模与非分次强Ding投射(内射)模之间的关系.

设R是分次环，即指G-分次环.令R-gr是分次R-模构成的范畴, R-Mod是R-模构成的范畴.设U：R-gr→R-Mod是遗忘函子, 则U有右伴随函子F：R-Mod→R-gr, 满足F(M)=⊕_σ∈G^σM, 其中^σM={^σx：x∈M}是M的拷贝(其R-模结构定义为：对任意r∈R_σ, r*^τx=^στ(rx), 其中^τx∈^τM).如果f：M→N为R-模同态, 那么，分次态射F(f)：F(M)→F(N)定义为：F(f)(^σx)=^σf(x), 其中x∈M, σ∈G.易知U和F是正合函子.当G为有限群时, (F, U)为伴随对(见文献[8]定理3.1).

定理3  设R是分次环(即指G-分次环)，若G是有限群, 则以下结论成立：

(1) 若M是强Ding投射R-模, 则F(M)是强Ding分次投射的.

(2) 若M是强Ding内射R-模, 则F(M)是强Ding分次内射的.

(3) 若N是强Ding分次投射R-模, 则U(N)是强Ding投射R-模.

(4) 若N是强Ding分次内射R-模, 则U(N)是强Ding内射R-模.

证明  (1)设M是强Ding投射R-模，则存在R-模的正合列

$ \mathit{\boldsymbol{P}} = : \cdots \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to \cdots , $

其中P是投射的, 使得M$ \cong $Ker(f), 且对任意平坦R-模Q, 有Hom_R(P, Q)是正合的.因为F(-)是正合函子, 所以存在分次R-模的正合列

$ F\left( \mathit{\boldsymbol{P}} \right) = : \cdots \to F\left( P \right)\xrightarrow{{F\left( f \right)}}F\left( P \right)\xrightarrow{{F\left( f \right)}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;F\left( P \right)\xrightarrow{{F\left( f \right)}}F\left( P \right) \to \cdots , $

使得F(M)$ \cong $Ker(F(f)).因为G是有限群, 所以F是U的左伴随函子(见文献[8]定理3.1).故F(P)是分次投射的.对任意分次平坦R-模L, U(L)是平坦R-模，则Hom_R-gr(F(P), L)$ \cong $Hom_R(P, U(L))是正合的, 从而F(M)是强Ding分次投射的.

(2) 设M是强Ding内射R-模, 则存在R-模的正合列

$ \mathit{\boldsymbol{I}} = : \cdots I\xrightarrow{g}I\xrightarrow{g}I\xrightarrow{g}I \to \cdots , $

其中I是内射的, 使得M$ \cong $Ker(g), 且对任意FP-内射R-模E, 有Hom_R(E, I)是正合的.因为F(-)是正合函子, 所以存在分次R-模的正合列

$ F\left( \mathit{\boldsymbol{I}} \right) = : \cdots \to F\left( I \right)\xrightarrow{{F\left( g \right)}}F\left( I \right)\xrightarrow{{F\left( g \right)}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;F\left( I \right)\xrightarrow{{F\left( g \right)}}F\left( I \right) \to \cdots , $

使得F(M)$ \cong $Ker(F(g)).由文献[9]命题9.5 C.Ⅳ知，F(I)是分次内射的.因为G是有限群, 由文献[10]命题3.4知，对任意分次FP-内射R-模E′, U(E′)是FP-内射R-模.故Hom_R-gr(E′, F(I))$ \cong $Hom_R(U(E′), I)是正合的.因此F(M)是强Ding分次内射的.

(3) 设N是强Ding分次投射的, 则存在分次投射R-模的正合列

$ \mathit{\boldsymbol{P}} = : \cdots \to P\xrightarrow{\alpha }P\xrightarrow{\alpha }P\xrightarrow{\alpha }P \to \cdots , $

使得N$ \cong $Ker(α), 且对任意分次平坦R-模Q, 有Hom_R-gr(P, Q)是正合的.因为U(-)是正合函子, 所以有正合列

$ \begin{array}{*{20}{c}} {U\left( \mathit{\boldsymbol{P}} \right) = : \cdots \to U\left( P \right)\xrightarrow{{U\left( \alpha \right)}}U\left( P \right)\xrightarrow{{U\left( \alpha \right)}}} \\ {U\left( P \right)\xrightarrow{{U\left( \alpha \right)}}U\left( P \right) \to \cdots ,} \end{array} $

使得U(N)$ \cong $Ker(U(α)), 且U(P)是投射R-模.因为G是有限群, 所以对任意平坦R-模L, F(L)是分次平坦的, 故Hom_R(U(P), L)$ \cong $Hom_R-gr(P, F(L))是正合的.因此U(N)是强Ding投射R-模.

(4) 设N是强Ding分次内射的, 则存在分次内射R-模的正合列

$ \mathit{\boldsymbol{E}} = : \cdots \to E\xrightarrow{\beta }E\xrightarrow{\beta }E\xrightarrow{\beta }E \to \cdots , $

使得N$ \cong $Ker(β), 且对任意分次FP-内射R-模I, 有Hom_R-gr(I, E)是正合的.因为U(-)是正合函子, 所以有正合列

$ \begin{array}{*{20}{c}} {U\left( \mathit{\boldsymbol{E}} \right) = : \cdots \to U\left( E \right)\xrightarrow{{U\left( \beta \right)}}U\left( E \right)\xrightarrow{{U\left( \beta \right)}}} \\ {U\left( E \right)\xrightarrow{{U\left( \beta \right)}}U\left( E \right) \to \cdots ,} \end{array} $

使得U(N)$ \cong $Ker(U(β)), 因为G是有限群, 由文献[11]推论2.5.2知，U(E)是内射R-模.对任意FP-内射R-模I′, 由文献[12]引理2.3知，F(I′)是分次FP-内射的.故Hom_R(I′, U(E))$ \cong $Hom_R-gr(F(I′), E)是正合的.因此U(N)是强Ding内射R-模.