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  浙江大学学报(理学版)  2018, Vol. 45 Issue (6): 656-660  DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2018.06.002
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韩静, 梁力. Ding分次模和强Ding分次模[J]. 浙江大学学报(理学版), 2018, 45(6): 656-660. DOI: 10.3785/j.issn.1008-9497.2018.06.002.
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HAN Jing, LIANG Li. Ding-graded modules and strongly Ding-graded modules[J]. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2018, 45(6): 656-660. DOI: 10.3785/j.issn.1008-9497.2018.06.002.
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基金项目

国家自然科学基金资助项目(11761045,11561039);兰州交通大学“百名青年优秀人才培养计划”基金资助项目;甘肃省自然科学基金资助项目(18JR3RA113,17JR5RA091)

作者简介

韩静(1993-), ORCID:http://orcid.org/0000-0003-4968-4178, 女, 硕士研究生, 主要从事同调代数研究, E-mail:2446779338@qq.com

通信作者

梁力, ORCID:http://orcid.org/0000-0003-2424-546X, E-mail:lliang@mail.lzjtu.cn

文章历史

收稿日期:2017-12-12
Ding分次模和强Ding分次模
韩静 , 梁力     
兰州交通大学 数理学院, 甘肃 兰州 730070
摘要: 研究了分次环R上的Ding分次投射(内射)R-模以及强Ding分次投射(内射)R-模,证明了任意分次环上的Ding分次投射(内射)模类是投射(内射)可解的.研究了强Ding分次投射(内射)R-模与Ding分次投射(内射)R-模之间的关系,以及强Ding分次投射(内射)R-模与非分次的强Ding投射(内射)R-模之间的关系.证明了对有限群分次环R,若M是强Ding投射(内射)R-模,则FM)是强Ding分次投射(内射)的;若N是强Ding分次投射(内射)R-模,则UN)是强Ding投射(内射)的.
关键词: Ding分次投射模    Ding分次内射模    强Ding分次投射模    强Ding分次内射模    
Ding-graded modules and strongly Ding-graded modules
HAN Jing, LIANG Li     
School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China
Abstract: This paper presents a study on the Ding graded projective (injective) R-modules and strong Ding graded projective (injective) R-modules over a graded ring R. It is proved that the class of the Ding graded projective (injective) modules over any graded ring is projectively (injectively) resoluble.Some characterizations of these modules are discussed. Some relations between strongly Ding graded projective (injective) R-modules and Ding graded projective (injective) R-modules are listed. Finally, the relation between strong Ding graded projective (injective) R-modules and ungraded strong Ding projective (injective) R-modules is also studied. It is proved that for finite group graded ring R, if M is a strong Ding projective (injective) R-modules, then F(M) is a strong Ding graded projective (injective), and if N is a strong Ding graded projective (injective) R-modules, then U(N) is a strong Ding projective (injective).
Key Words: Ding gr-projective module    Ding gr-injective module    strongly Ding gr-projective module    strongly Ding gr-injective module    

文中的环均指有单位元的结合环, 模都是左模.关于Ding投射模的研究源于DING等[1]的工作, 称其为强Gorenstein平坦模.Ding内射模的研究源于MAO等[2]的工作, 称其为Gorenstein FP-内射模.GILLESPIE[3]进一步研究了这两类模, 并分别称之为Ding投射模和Ding内射模.后来, HUANG等[4]介绍并研究了强Ding投射模和强Ding内射模.近来, MAO[5]在分次模范畴中研究了Ding投射对象和Ding内射对象(分别称之为Ding分次投射模和Ding分次内射模).受以上工作的启发, 本文研究分次模范畴中的强Ding投射对象和强Ding内射对象(分别称之为强Ding分次投射模和强Ding分次内射模), 并研究了其与Ding分次投射模和Ding分次内射模之间的关系.同时, 也给出了强Ding分次投射(内射)模与非分次的强Ding投射(内射)模之间的关系.

下面列出本文需要的一些概念.

R是环, G是乘法群.若R=⊕σGRσ, 其中RσR的加法子群, 对任意σ, τG满足RσRτRστ, 则称RG-分次环(简称分次环).设MR-模,若M=⊕σGMσ, 其中MσM的加法子群, 对任意σ, τG满足RσMτMστ, 则称MG-分次R-模(简称分次R-模).

M, N是分次R-模.记

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {M,N} \right) = \left\{ {\left. {f \in {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {M,N} \right)} \right|} \right.} \\ {\left. {f\left( {{M_\sigma }} \right) \subseteq {N_\sigma },\sigma \in G} \right\},} \end{array} $

即HomR-gr(M, N)是分次R-模范畴中MN的所有态射构成的集合.

1 Ding分次投射模和Ding分次内射模

定义1  (文献[5]定义3.1、定义4.1)  设R是分次环.

(1) 如果存在一个分次投射R-模的正合列

$ \cdots \to {P_1} \to {P_0} \to {P^0} \to {P^1} \to \cdots , $

使得M$ \cong $Ker(P0P1), 且对任意分次平坦R-模F, HomR-gr(-, F)保持其正合,则称分次R-模M是Ding分次投射的.

(2) 如果存在一个分次内射R-模的正合列

$ \cdots \to {I_1} \to {I_0} \to {I^0} \to {I^1} \to \cdots , $

使得M$ \cong $Ker(I0I1), 且对任意分次FP-内射R-模E, HomR-gr(E, -)保持其正合,则称分次R-模M是Ding分次内射的.

引理1  设R是分次环, 0→M′→MM″→0是分次R-模的正合列.若M′, M″是Ding分次投射的, 则M是Ding分次投射的.

证明  类比文献[6]引理3.1的证明可知,结论成立.

引理2  设R是分次环.当且仅当存在正合列0→MPN→0使得P是分次投射的且N是Ding分次投射的,则分次R-模M是Ding分次投射的.

证明  “必要性”是显然的, 下证“充分性”.

设有分次R-模的正合列

$ 0 \to M \to P\xrightarrow{\alpha }N \to 0, $ (1)

其中P是分次投射的且N是Ding分次投射的.则由维数转移可知,对任意分次平坦R-模F以及任意i≥1, 有ExtR-gri(N, F)=0.故对任意i≥1, 有ExtR-gri(M, F)=0.因为N是Ding分次投射的, 所以存在分次投射R-模的正合列

$ 0 \to N\xrightarrow{\beta }{P^1} \to {P^2} \to \cdots , $ (2)

使得对任意分次平坦R-模F, HomR-gr(-, F)保持序列(2)正合.粘接序列(1)和(2), 得到分次投射R-模的正合列

$ 0 \to M \to P\xrightarrow{{\beta \alpha }}{P^1} \to {P^2} \to \cdots , $ (3)

且对任意分次平坦R-模F, HomR-gr(-, F)保持序列(3)正合.另一方面, 取M的分次投射分解

$ \cdots \to {P_1} \to {P_0} \to M \to 0. $ (4)

因为对任意分次平坦R-模F以及任意i≥1有ExtR-gri(M, F)=0, 所以HomR-gr(-, F)保持序列(4)正合.粘接序列(3)和(4), 得到分次投射R-模的正合列

$ \cdots \to {P_1} \to {P_0} \to P\xrightarrow{{\beta \alpha }}{P^1} \to {P^2} \to \cdots , $ (5)

使得M$ \cong $Ker(βα), 且对任意分次平坦R-模F, HomR-gr(-, F)保持序列(5)正合.故M是Ding分次投射的.

如果χ包含所有的分次投射模且对任意分次模的正合列0→M′→MM″→0满足M″∈χ, 则称分次模类χ是投射可解的, 当且仅当M′∈χMχ.对偶地, 可定义内射可解的分次模类.

文献[5]命题3.4和命题4.5证明了在分次凝聚环上Ding分次投射模类是投射可解的, Ding分次内射模类是内射可解的.下面证明该结果在任意分次环上均成立.

定理1  设R是分次环,则Ding分次投射R-模类是投射可解的, Ding分次内射R-模类是内射可解的.

证明  显然Ding分次投射模类包含所有的分次投射模.考虑分次R-模的正合列0→M′→MM″→0, 其中M″是Ding分次投射的.如果M′是Ding分次投射的, 那么由引理1知,M是Ding分次投射的.如果M是Ding分次投射的, 那么由引理2知,存在正合列0→MPN→0, 其中P是分次投射的且N是Ding分次投射的.考虑以下推出图:

由正合列0→M″→AN→0和引理1知, A是Ding分次投射的.考虑上图中的第2行, 由引理2知,M′是Ding分次投射的.这就证明了Ding分次投射模类是投射可解的.对偶地,可证明Ding分次内射模类是内射可解的.

推论1  设R是分次环,则Ding分次投射R-模类和Ding分次内射R-模类对直和因子封闭.

证明  根据文献[5]注记3.2(2)和注记4.2(2), Ding分次投射R-模类对于直和封闭, Ding分次内射R-模类对于直积封闭, 故由定理1以及Eilenberg's swindle定理(见文献[7]命题1.4)知,Ding分次投射R-模类和Ding分次内射R-模类对直和因子封闭.

2 强Ding分次投射模和强Ding分次内射模

定义2  设R是分次环.

(1) 如果存在一个分次投射R-模的正合列

$ \cdots \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to \cdots , $

使得M$ \cong $Ker(f), 且对任意分次平坦R-模F, HomR-gr(-, F)保持其正合,则称分次R-模M是强Ding分次投射的.

(2) 如果存在一个分次内射R-模的正合列

$ \cdots \to I\xrightarrow{g}I\xrightarrow{g}I\xrightarrow{g}I \to \cdots , $

使得M$ \cong $Ker(g), 且对任意分次FP-内射R-模E, HomR-gr(E, -)保持其正合,则称分次R-模M是强Ding分次内射的.

易知, 强Ding分次投射R-模是Ding分次投射的, 强Ding分次内射R-模是Ding分次内射的.

命题1  设R是分次环,则以下结论成立:

(1) M是强Ding分次投射R-模当且仅当存在分次R-模的正合列

$ 0 \to M \to P \to M \to 0, $

其中P是分次投射的, 且对任意分次平坦R-模F, 有ExtR-gr1(M, F)=0.

(2) M是强Ding分次内射R-模当且仅当存在分次R-模的正合列

$ 0 \to M \to E \to M \to 0, $

其中, E是分次内射的, 且对任意分次FP-内射R-模Q, 有ExtR-gr1(Q, M)=0.

证明  (1)先证“必要性”.因为M是强Ding分次投射的, 所以存在分次R-模的正合列

$ 0 \to M \to P \to M \to 0, $

其中P是分次投射的, 且对任意分次平坦R-模F, 有HomR-gr(-, F)保持其正合, 即有正合列

$ 0 \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {M,F} \right) \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P,F} \right) \to \\ \ \ \ \ \ \ \ {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {M,F} \right) \to 0. \\ $

因此, ExtR-gr1(M, F)=0.

再证“充分性”.设有分次R-模的正合列0→MPM→0, 其中P是分次投射的,则有正合列

$ 0 \to M \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to \cdots $

$ \cdots \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to M \to 0. $

进而有正合列

$ \cdots \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to \cdots , $

满足M$ \cong $Ker(f).另一方面, 对任意分次平坦R-模F, 有ExtR-gr1(M, F)=0.故序列

$ \cdots \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P,F} \right) \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P,F} \right) \to \\ \ \ \ \ \ \ \ {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P,F} \right) \to \cdots $

是正合的.因此, M是强Ding分次投射的.

(2) 可对偶地证明.

命题2  设R是分次环,则分次投射R-模是强Ding分次投射的; 分次内射R-模是强Ding分次内射的.

证明  设P是分次投射R-模.定义映射

$ f:P \oplus P \to P \oplus P\;{\text{via}}\;f\left( {x,y} \right) = \left( {0,x} \right). $

f∈HomR-gr(PP, PP), 且Ker(f)$ \cong $Im(f)$ \cong $P.故有分次R-模的正合列

$ \cdots \to P \oplus P\xrightarrow{f}P \oplus P\xrightarrow{f}P \oplus P\xrightarrow{f}P \oplus P \to \cdots . $

对任意分次平坦R-模F,证明HomR-gr(-, F)保持其正合, 即证明下述复形正合:

$ \cdots \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P \oplus P,F} \right)\xrightarrow{{{f^ * }}}{\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P \oplus P,F} \right) \\ \ \ \ \ \xrightarrow{{{f^ * }}}{\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {P \oplus P,F} \right) \to \cdots . $

k∈Ker(f*), 则f*(k)=kf=0.故对任意yPk(0, y)=kf(y, 0)=0, 定义映射

$ \beta :P \oplus P \to F\;{\text{via}}\;\beta \left( {x,y} \right) = k\left( {y,0} \right). $

β∈HomR-gr(PP, F).对任意x, yP, 有

$ \left( {k - \beta f} \right)\left( {x,y} \right) = k\left( {x,y} \right) - \beta f\left( {x,y} \right) =\\ \ \ \ \ k\left( {x,0} \right) + k\left( {0,y} \right) - \beta \left( {0,x} \right) =\\ \ \ \ \ k\left( {x,0} \right) - k\left( {x,0} \right) = 0. $

k=βf=f*(β)∈Im(f*).说明Ker(f*)⊆Im(f*), 即上述复形正合.从而P是强Ding分次投射的.对偶地, 可证明分次内射R-模是强Ding分次内射的.

命题3  设R是分次环,则强Ding分次投射R-模类对直和封闭, 强Ding分次内射R-模类对直积封闭.

证明  设Mi是强Ding分次投射R-模,则有分次投射R-模的正合列

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}_i} = : \cdots \to {P_i}\xrightarrow{{{f_i}}}{P_i}\xrightarrow{{{f_i}}}{P_i}\xrightarrow{{{f_i}}}{P_i} \to \cdots , $

使得Mi$ \cong $Ker(fi), 且对任意分次平坦R-模F, 有复形HomR-gr(Pi, F)是正合的.注意到

$ \oplus {\mathit{\boldsymbol{P}}_i} = : \cdots \to \oplus {P_i}\xrightarrow{{ \oplus {f_i}}} \oplus {P_i}\xrightarrow{{ \oplus {f_i}}} \\ \;\;\;\;\;\; \oplus {P_i}\xrightarrow{{ \oplus {f_i}}} \oplus {P_i} \to \cdots $

是分次投射模的正合列, 使得⊕Mi$ \cong $Ker(⊕fi), 且

$ {\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( { \oplus {\mathit{\boldsymbol{P}}_i},F} \right) \cong \prod {{\text{Ho}}{{\text{m}}_{R - gr}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_i},F} \right)} , $

故HomR-gr(⊕Pi, F)是正合的.说明⊕Mi是强Ding分次投射的, 即强Ding分次投射R-模类对直和封闭.

对偶地, 可证明强Ding分次内射R-模类对直积封闭.

以下定理给出了强Ding分次投射(内射)模和Ding分次投射(内射)模之间的关系.

定理2  设R是分次环, M是分次R-模,则以下结论成立:

(1) M是Ding分次投射的当且仅当它是强Ding分次投射R-模的直和项.

(2) M是Ding分次内射的当且仅当它是强Ding分次内射R-模的直和项.

证明  (1)因为强Ding分次投射R-模是Ding分次投射的, 所以由推论1可证明“充分性”.下证“必要性”.

M是Ding分次投射的, 即存在分次投射R-模的正合列

$ \mathit{\boldsymbol{P}} = : \cdots \to {P_1}\xrightarrow{{{f_1}}}{P_0}\xrightarrow{{{f_0}}}{P^0}\xrightarrow{{{f^0}}}{P^1} \to \cdots , $

使得M$ \cong $Ker(f0), 且对任意分次平坦R-模F, 有HomR-gr(P, F)是正合的.令C=⊕nZ$ \sum\limits_n \mathit{\boldsymbol{P}} $, 其中$ \sum\limits_n \mathit{\boldsymbol{P}} $是复形P的第n次平移,即

$ \mathit{\boldsymbol{C}} = \cdots \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to \cdots , $

其中P=…⊕P1P0P0P1⊕…是分次投射的, f=…⊕f1f0f0f1⊕….注意到C是正合的, 且对任意分次平坦R-模F, HomR-gr(C, F)是正合的, 故Ker(f)是强Ding分次投射的, 而M$ \cong $Ker(f0)是Ker(f)的直和项.

(2) 可对偶地证明.

最后, 给出强Ding分次投射(内射)模与非分次强Ding投射(内射)模之间的关系.

R是分次环,即指G-分次环.令R-gr是分次R-模构成的范畴, R-Mod是R-模构成的范畴.设UR-grR-Mod是遗忘函子, 则U有右伴随函子FR-Mod→R-gr, 满足F(M)=⊕σGσM, 其中σM={σxxM}是M的拷贝(其R-模结构定义为:对任意rRσ, r*τx=στ(rx), 其中τxτM).如果fMNR-模同态, 那么,分次态射F(f):F(M)→F(N)定义为:F(f)(σx)=σf(x), 其中xM, σG.易知UF是正合函子.当G为有限群时, (F, U)为伴随对(见文献[8]定理3.1).

定理3  设R是分次环(即指G-分次环),若G是有限群, 则以下结论成立:

(1) 若M是强Ding投射R-模, 则F(M)是强Ding分次投射的.

(2) 若M是强Ding内射R-模, 则F(M)是强Ding分次内射的.

(3) 若N是强Ding分次投射R-模, 则U(N)是强Ding投射R-模.

(4) 若N是强Ding分次内射R-模, 则U(N)是强Ding内射R-模.

证明  (1)设M是强Ding投射R-模,则存在R-模的正合列

$ \mathit{\boldsymbol{P}} = : \cdots \to P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P\xrightarrow{f}P \to \cdots , $

其中P是投射的, 使得M$ \cong $Ker(f), 且对任意平坦R-模Q, 有HomR(P, Q)是正合的.因为F(-)是正合函子, 所以存在分次R-模的正合列

$ F\left( \mathit{\boldsymbol{P}} \right) = : \cdots \to F\left( P \right)\xrightarrow{{F\left( f \right)}}F\left( P \right)\xrightarrow{{F\left( f \right)}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;F\left( P \right)\xrightarrow{{F\left( f \right)}}F\left( P \right) \to \cdots , $

使得F(M)$ \cong $Ker(F(f)).因为G是有限群, 所以FU的左伴随函子(见文献[8]定理3.1).故F(P)是分次投射的.对任意分次平坦R-模L, U(L)是平坦R-模,则HomR-gr(F(P), L)$ \cong $HomR(P, U(L))是正合的, 从而F(M)是强Ding分次投射的.

(2) 设M是强Ding内射R-模, 则存在R-模的正合列

$ \mathit{\boldsymbol{I}} = : \cdots I\xrightarrow{g}I\xrightarrow{g}I\xrightarrow{g}I \to \cdots , $

其中I是内射的, 使得M$ \cong $Ker(g), 且对任意FP-内射R-模E, 有HomR(E, I)是正合的.因为F(-)是正合函子, 所以存在分次R-模的正合列

$ F\left( \mathit{\boldsymbol{I}} \right) = : \cdots \to F\left( I \right)\xrightarrow{{F\left( g \right)}}F\left( I \right)\xrightarrow{{F\left( g \right)}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;F\left( I \right)\xrightarrow{{F\left( g \right)}}F\left( I \right) \to \cdots , $

使得F(M)$ \cong $Ker(F(g)).由文献[9]命题9.5 C.Ⅳ知,F(I)是分次内射的.因为G是有限群, 由文献[10]命题3.4知,对任意分次FP-内射R-模E′, U(E′)是FP-内射R-模.故HomR-gr(E′, F(I))$ \cong $HomR(U(E′), I)是正合的.因此F(M)是强Ding分次内射的.

(3) 设N是强Ding分次投射的, 则存在分次投射R-模的正合列

$ \mathit{\boldsymbol{P}} = : \cdots \to P\xrightarrow{\alpha }P\xrightarrow{\alpha }P\xrightarrow{\alpha }P \to \cdots , $

使得N$ \cong $Ker(α), 且对任意分次平坦R-模Q, 有HomR-gr(P, Q)是正合的.因为U(-)是正合函子, 所以有正合列

$ \begin{array}{*{20}{c}} {U\left( \mathit{\boldsymbol{P}} \right) = : \cdots \to U\left( P \right)\xrightarrow{{U\left( \alpha \right)}}U\left( P \right)\xrightarrow{{U\left( \alpha \right)}}} \\ {U\left( P \right)\xrightarrow{{U\left( \alpha \right)}}U\left( P \right) \to \cdots ,} \end{array} $

使得U(N)$ \cong $Ker(U(α)), 且U(P)是投射R-模.因为G是有限群, 所以对任意平坦R-模L, F(L)是分次平坦的, 故HomR(U(P), L)$ \cong $HomR-gr(P, F(L))是正合的.因此U(N)是强Ding投射R-模.

(4) 设N是强Ding分次内射的, 则存在分次内射R-模的正合列

$ \mathit{\boldsymbol{E}} = : \cdots \to E\xrightarrow{\beta }E\xrightarrow{\beta }E\xrightarrow{\beta }E \to \cdots , $

使得N$ \cong $Ker(β), 且对任意分次FP-内射R-模I, 有HomR-gr(I, E)是正合的.因为U(-)是正合函子, 所以有正合列

$ \begin{array}{*{20}{c}} {U\left( \mathit{\boldsymbol{E}} \right) = : \cdots \to U\left( E \right)\xrightarrow{{U\left( \beta \right)}}U\left( E \right)\xrightarrow{{U\left( \beta \right)}}} \\ {U\left( E \right)\xrightarrow{{U\left( \beta \right)}}U\left( E \right) \to \cdots ,} \end{array} $

使得U(N)$ \cong $Ker(U(β)), 因为G是有限群, 由文献[11]推论2.5.2知,U(E)是内射R-模.对任意FP-内射R-模I′, 由文献[12]引理2.3知,F(I′)是分次FP-内射的.故HomR(I′, U(E))$ \cong $HomR-gr(F(I′), E)是正合的.因此U(N)是强Ding内射R-模.

参考文献
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