文章快速检索     高级检索
  浙江大学学报(理学版)  2017, Vol. 44 Issue (6): 724-734  DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2017.06.012
0

引用本文 [复制中英文]

张发明, 王伟明. 多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价方法[J]. 浙江大学学报(理学版), 2017, 44(6): 724-734. DOI: 10.3785/j.issn.1008-9497.2017.06.012.
[复制中文]
ZHANG Faming, WANG Weiming. Multi-stage dynamic interactive group evaluation method based on multi-granularity uncertain linguistic information[J]. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017, 44(6): 724-734. DOI: 10.3785/j.issn.1008-9497.2017.06.012.
[复制英文]

基金项目

国家自然科学基金资助项目(71361021, 41661116);江西省教育厅科技资助重点项目(GJJ150027);江西省社会科学“十二五规划”重点项目(15ZQZD01);江西省学位与研究生教改研究重点项目(JXYJG-2014-002)

作者简介

张发明(1980-), ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2874-3901, 男, 博士, 教授, 主要从事综合评价与决策支持研究, E-mail:zfm1214@163.com

文章历史

收稿日期:2016-12-16
多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价方法
张发明 , 王伟明     
南昌大学 经济管理学院, 江西 南昌 330031
摘要: 针对目前多阶段交互式群体评价研究较少且评价信息多为精确数或区间数的问题,以及大多数交互式群体评价缺乏对评价信息质量判断的不足,提出了一种新的多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价方法.首先,定义了一个多粒度语言转换函数,将多粒度不确定语言信息一致转换为同一粒度下的不确定语言信息; 其次,给出了一个语言型稳定性指标,以探讨交互终止的条件; 最后,基于2个诱导不确定纯语言算子,分别对评价信息进行“横向”和“纵向”集结.实例分析验证了该方法的有效性与合理性.
关键词: 多粒度    不确定语言变量    多阶段交互    群体评价    
Multi-stage dynamic interactive group evaluation method based on multi-granularity uncertain linguistic information
ZHANG Faming , WANG Weiming     
School of Economic and Management, Nanchang University, Nanchang 330031, China
Abstract: Considering that the present study on multi-stage dynamic interactive group evaluation is few and most of the evaluation information is accurate numbers or interval numbers, in addition, the majority of interactive group evaluation lack judgment of evaluation information quality, this paper proposes a method of multi-stage dynamic interactive group evaluation based on multi-granularity uncertain linguistic information. Firstly, the paper gives a new multi-granularity linguistic transformation function, which can convert multi-granularity uncertain linguistic information to single-granularity uncertain linguistic information; Then, a new linguistic type stability index is designed, which is used to explore the condition of interactive termination; Finally, the paper defines two uncertain pure linguistic operators to aggregate the vertical and horizontal information. A practical example illustrates the validity and rationality of the proposed methods.
Key words: multi-granularity    uncertain linguistic variables    multi-stage dynamic interactivity    group evaluation    

在决策过程中,由于问题的多样性和复杂性,往往需要综合多个专家的意见,以得到科学合理的评价结果,这就构成了群体评价.迄今为止,关于群体评价的研究,国内外已有较丰硕的理论成果[1-6].然而,传统的群体评价研究大多是静态且无交互的.事实上,评价者对事物的认识一般都遵循由浅入深的规律,而且需要在评价过程中对自己“过去的”“不成熟的”意见进行修正.为此,近年来诸多学者致力于多阶段群体评价与交互式群体评价的研究,如文献[7]在考虑信息疏密程度的基础上,借助密度算子开展多阶段信息集结,提出了基于密度算子的多阶段群体评价方法;文献[8]考虑了事物发展量变和质变的规律,基于灰色关联度建立了阶段权重确定模型,给出了一种语言信息下的多阶段群体评价方法;文献[9]依据决策偏好的冲突程度来衡量各阶段的决策有效性,并以此确定决策阶段权重,为多阶段大规模群决策问题提供了一种新思路;文献[10]针对双重语言环境下的群决策问题,提出了一类基于群体意见交互式修正的信息联动决策方法;文献[11]考虑了决策者偏好信息为直觉模糊数的情况,探讨了基于直觉模糊信息的交互式群决策方法.综合来看,以上评价方法为解决一些具体问题提出了较为可行的模型和设计思路,为开展群体评价问题的后续研究提供了理论参考.然而,笔者发现在处理一些结构化、系统化和复杂化的实际评价问题时,鲜有文献将多阶段群体评价和交互式群体评价有效结合,而多阶段交互式群体评价能够凭借群体智能得出更加科学、合理的评价结果,因此对多阶段交互式群体评价问题的研究具有重要的理论意义和实际应用价值.文献[12-14]分别针对评价值为精确数、区间数、直觉模糊数的多阶段交互式群体评价问题提出了相应的解决方法,但对于定性评价信息(语言信息)的情况未做进一步研究,且亦未考虑评价者信息的质量.

基于此,本文针对一类群体偏好为多粒度不确定语言信息的评价问题,提出了一种新的多阶段交互式群体评价方法.首先,定义一个多粒度语言转换函数,将多粒度不确定语言信息一致转换为同一粒度下的不确定语言信息,并依据“交互变化系数”的概念给出群体成员权重的确定方法;其次,设计一个新的语言型稳定性指标,以此来探讨交互终止的条件,再通过“交互阶段系数”的概念给出阶段信息权重的确定方法;然后,利用群体之间的互评来判断各评价者信息的质量,并在此基础上运用I-UPLHGA算子和I-UPLHHA算子对评价信息分别进行“横向”和“纵向”集结;最后,将该方法应用于投资项目的风险决策.相对于文中提及的其他方法,本方法解决了多阶段交互式群体评价中群体偏好为多粒度不确定语言信息的问题,同时亦考虑了评价者信息的质量,避免了评价过程中出现由故意褒奖、贬低所导致的杠杆效应,使得评价结果更加全面合理,为解决现实中复杂群体评价问题提供了一条新途径.

1 预备知识 1.1 语言评估标度

评价者在进行定性测度时,一般需要恰当的语言评估标度.文献[15]设计了一种积性语言评估标度

$ {S^{{T_k}}} = \left\{ {s_\alpha ^{{T_k}}\left| {\alpha \in \left\{ {\frac{1}{k},\frac{2}{k}, \cdots ,\frac{{k - 1}}{k},1,\frac{k}{{k - 1}}, \cdots ,\frac{k}{2},k} \right\}} \right.} \right\}, $ (1)

其中,sαTk表示语言术语,Tk为语言术语的个数(粒度).在该语言评价集中Tk=2k-1,且k为正整数,当k=4时,语言评价集的粒度Tk=7,此时,

$ {S^7} = \left\{ \begin{array}{l} s_{\frac{1}{4}}^7 = 极差,s_{\frac{1}{2}}^7 = 很差,s_{\frac{3}{4}}^7 = 差,\\ s_1^7 = 一般,s_{\frac{4}{3}}^7 = 好,s_2^7 = 很好,s_4^7 = 极好. \end{array} \right. $ (2)

对于任意相同粒度的语言术语,sα, sβSTk,满足下列条件[6, 15]

① 若α>β,则sα>sβ

② 存在互反算子rec(sα)=sβ,使得αβ=1;

③ 若sαsβ,则max(sα, sβ)=sα

④ 若sαsβ,则min(sα, sβ)=sα.

为了避免丢失评价信息和便于计算,在原有标度STk的基础上定义一个拓展标度:

$ {{\bar S}^{{T_k}}} = \left\{ {s_\alpha ^{{T_k}}\left| {\alpha \in \left[ {\frac{1}{q},q} \right]} \right.} \right\}, $ (3)

其中q(q>k)是一个充分大的正数.若sTkSTk, 则称sTk为本原术语;否则称sTk为拓展术语(虚拟术语).通常,评价者使用本原术语评估被评价对象,而拓展术语只在运算和排序过程中出现.

1.2 不确定语言变量

$ \tilde s^{T_k}$=[sαTk, sβTk],且sαTk, sβTkSTk,则称$ \tilde s^{T_k}$Tk粒度下的不确定语言变量,其中sαTk, sβTk分别为$ \tilde s^{T_k}$的下限和上限,特别地,当α=β时,不确定语言变量退化为语言变量.

对于任意相同粒度的不确定语言变量$ \tilde s$= [sα, sβ], $ \tilde s_1$=[sα1, sβ1], $ \tilde s_2$=[sα2, sβ2]∈$\tilde S ^{T_k}$,以及λ∈[0, 1],其不确定语言变量运算法则[15-16]

$ \tilde s_1$$ \tilde s_2$=[sα1, sβ1]⊗[sα2, sβ2]=[sα1α2, sβ1β2];

$ \tilde s_1$/$ \tilde s_2$=[sα1, sβ1]/[sα2, sβ2]=[sα1/α2, sβ1/β2];

$ \tilde s^\lambda$=[sα, sβ]λ=[sαλ, sβλ];

λ$ \tilde s$=λ[sα, sβ]=[sλα, sλβ];

$ \tilde s_1$$ \tilde s_2$=[sα1, sβ1]⊕[sα2, sβ2]=[sα1+α2, sβ1+β2];

⑥ 1/$ \tilde s$=1/[sα, sβ]=[s1/α, s1/β];

$ \tilde s$sα1=[sα, sβ]sα1=[sαα1, sβα1].

定义1[6]  设相同粒度的不确定语言变量$ \tilde s_1$=[sα1, sβ1]和$ \tilde s_2$=[sα2, sβ2],则称

$ p\left( {{{\tilde s}_1} \ge {{\tilde s}_2}} \right) = \min \left\{ {\max \left( {\frac{{{\beta _1} - {\alpha _2}}}{{{\beta _1} + {\beta _2} - {\alpha _1} - {\alpha _2}}},0} \right),1} \right\} $ (4)

$ \tilde s_1$$ \tilde s_2$的可能度.

文献[6]给出相同粒度的不确定语言数据$ \tilde s_i$(i=1, 2, …, n)的一个排序向量ζ=(ζ1, ζ2, …, ζn)T, 其中,

$ {\zeta _i} = \frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}}\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{p_{ij}} + \frac{n}{2} - 1} } \right), $ (5)

式中,n为不确定语言变量的个数,pij$ \tilde s_i$$ \tilde s_j$的可能度.利用ζi(i=1, 2, …, n)可对$ \tilde s_i$(i=1, 2, …, n)进行排序.

定义2  设相同粒度的不确定语言变量$ \tilde s_1$=[sα1, sβ1],$ \tilde s_2$=[sα2, sβ2]∈$\tilde S $Tk,则称

$ \begin{array}{l} d\left( {{{\tilde s}_1},{{\tilde s}_2}} \right) = \sqrt {\max \left( {{s_{{\alpha _2}}}/{s_{{\alpha _1}}},{s_{{\alpha _1}}}/{s_{{\alpha _2}}}} \right)} \otimes \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sqrt {\max \left( {{s_{{\beta _2}}}/{s_{{\beta _1}}},{s_{{\beta _1}}}/{s_{{\beta _2}}}} \right)} \end{array} $ (6)

$ \tilde s_1$$ \tilde s_2$的偏离度.

1.3 多粒度不确定语言信息的一致化处理

评价群体在考虑投资项目的风险决策、供应商的选择、合作伙伴的选择、人才的选拔等问题时,往往不那么容易给出确切的定量评价信息,反而更倾向于使用不确定语言信息形式来表达偏好信息[17].而且由于各评价者对决策信息的掌握程度可能不一致,有时候擅长领域也不尽相同,因此评价群体在面对同一评价问题时可能会选择不同粒度的语言评价集.

语言评估标度是解决语言类评价问题的基础,常见的语言评估标度分为加性语言评估标度和积性语言评估标度[6, 18-19].目前,多粒度语言信息一致化方法尚不多见,且大都是集中在加性语言评估标度下的多粒度语言转换函数研究,对积性语言评估标度下的多粒度语言信息一致化方法仍然停留在较低水平.为此,本文给出符合文献[15]中积性语言评估标度的多粒度语言转换函数.

定义3  设STk1={sαTk1|[1/k1, k1]}和STk2= {sαTk2|[1/k2, k2]}是任意2个给定的不同粒度的连续性语言术语集,则定义他们之间的转换函数为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {F_{{T_{{k_2}}}}^{{T_{{k_1}}}}:\bar S_{\left[ {1/{k_1},{k_1}} \right]}^{{T_{{k_1}}}} \to \bar S_{\left[ {1/{k_2},{k_2}} \right]}^{{T_{{k_2}}}},}\\ {F_{{T_{{k_2}}}}^{{T_{{k_1}}}}\left( {s_a^{{T_{{k_1}}}}} \right) = s_b^{{T_{{k_2}}}},} \end{array} $ (7)

其中,$b = \left\{ \begin{array}{l} 1 - \left( {1 - a} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)}},a < 1,\\ 1,a = 1,\\ \frac{1}{{1 - \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)}}}},a > 1, \end{array} \right. $

类似地,

$ \begin{array}{*{20}{c}} {F_{{T_{{k_1}}}}^{{T_{{k_2}}}}:\bar S_{\left[ {1/{k_2},{k_2}} \right]}^{{T_{{k_2}}}} \to \bar S_{\left[ {1/{k_1},{k_1}} \right]}^{{T_{{k_1}}}},}\\ {F_{{T_{{k_1}}}}^{{T_{{k_2}}}}\left( {s_b^{{T_{{k_2}}}}} \right) = s_a^{{T_{{k_1}}}},} \end{array} $ (8)

其中,$ a = \left\{ \begin{array}{l} 1 - \left( {1 - b} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)}},b < 1,\\ 1,b = 1,\\ \frac{1}{{1 - \left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)}}}},b > 1. \end{array} \right.$

通过式(7)和(8)可实现任意2个不同粒度语言信息之间的转换.为了保证语言信息的丰富性,现规定语言信息一律从低粒度向高粒度转换,即若Tk1>Tk2,则粒度为Tk2的语言信息向粒度为Tk1的语言信息转换.

由于式(7)和(8)的证明过程类似,下面仅对式(7)进行证明.

证明  (1)先证a<1的情况.

设原有标度STk中语言术语下标在数值1左侧的语言术语集为

$ {S^{T_k^ - }} = \left\{ {s_\alpha ^{{T_k}}\left| {\alpha = \frac{1}{k},\frac{2}{k}, \cdots ,\frac{{k - 1}}{k},1} \right.} \right\}. $ (9)

方便起见,把式(9)改写为

$ {S^{T_k^ - }} = \left\{ {s_\alpha ^{{T_k}}\left| {\alpha = \frac{i}{k},i = 1,2, \cdots ,k} \right.} \right\}, $ (10)

$ \left| {{\alpha _{i + 1}} - {\alpha _i}} \right| = \frac{{i + 1}}{k} - \frac{i}{k} = \frac{1}{k},\;\;\;i = 1,2, \cdots ,k. $ (11)

由式(11)可知,STk-中相邻语言术语下标之间的偏差绝对值为常数,即STk-中语言术语是均匀分布的.因此,拓展标度STk1-中语言术语saTk1STk2-中语言术语sbTk2也应为均匀分布,且saTk1与转换后的sbTk2是均匀对应的.

图 1所示,线段O1A1O2A2分别表示STk1-STk2-中所对应的语言术语集,且语言术语saTk1sbTk2分别均匀地分布在线段O1A1O2A2上.不妨设转换前后的语言术语saTk1sbTk2分别落在B1B2处,依据saTk1sbTk2之间的均匀对应关系可知:

图 1 不同粒度的STk-中语言术语对应关系 Fig. 1 The correspondence between saTk1 and sbTk2 in STk-
$ \frac{{{O_1}{B_1}}}{{{O_1}{A_1}}} = \frac{{{O_2}{B_2}}}{{{O_2}{A_2}}}, $ (12)

式(12)中O1B1O1A1O2B2O2A2分别表示相应线段的长度,即

$ \frac{{1 - a}}{{1 - \frac{1}{{{k_1}}}}} = \frac{{1 - b}}{{1 - \frac{1}{{{k_2}}}}}, $ (13)

$ {T_{{k_i}}} = 2{k_i} - 1,\;\;i = 1,2. $ (14)

因此,通过求解式(13)、(14)可得

$ b = 1 - \left( {1 - a} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)}}, $ (15)

其中a<1.

(2) 再证a=1的情况.

a=1时,语言术语saTk1相对应的语义为“一般”.因此,转换后STk2中语言术语sbTk2的语义亦为“一般”,即b=1.

(3) 再证a>1的情况.

根据STk的运算法则及(2)的证明可知:

$ \left\{ \begin{array}{l} s_a^{{T_{{k_1}}}} \otimes s_{\frac{1}{a}}^{{T_{{k_1}}}} = s_1^{{T_{{k_1}}}},\\ s_b^{{T_{{k_2}}}} \otimes s_{\frac{1}{a}}^{{T_{{k_2}}}} = s_1^{{T_{{k_2}}}},\\ s_1^{{T_{{k_1}}}} = s_1^{{T_{{k_2}}}}, \end{array} \right. $ (16)

saTk1转换后的语言术语为sbTk2.为保证转换前后的语言信息不丢失,则$ s_{\frac{1}{a}}^{{T_{{k_1}}}}$转换后的语言术语应为$s_{\frac{1}{b}}^{{T_{{k_2}}}} $,即

$ F_{{T_{{k_2}}}}^{{T_{{k_1}}}}\left( {s_{\frac{1}{a}}^{{T_{{k_1}}}}} \right) = s_{\frac{1}{b}}^{{T_{{k_2}}}}. $ (17)

由于$\frac 1a $<1,因此可将其代入式(15),得到

$ b = 1 - \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)}}, $ (18)

化简得

$ b = \frac{1}{{1 - \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)}}}}. $ (19)

综上所述

$ b = \left\{ \begin{array}{l} 1 - \left( {1 - a} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)}},\;\;\;a < 1,\\ 1,\;\;\;a = 1,\\ \frac{1}{{1 - \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)}}}},\;\;\;a > 1. \end{array} \right. $ (20)

证毕.

一般地,多粒度语言转换函数具有如下性质:

(1) 可逆性.即从某一粒度转化为另一粒度,再从另一粒度转化成该粒度时,语言术语集仍然是其本身,而且所包含的信息是相等的,即

$ F_{{T_{{k_1}}}}^{{T_{{k_2}}}}\left( {F_{{T_{{k_1}}}}^{{T_{{k_2}}}}\left( {s_a^{{T_{{k_1}}}}} \right)} \right) = s_a^{{T_{{k_1}}}}. $

证明  当a<1时,

$ \begin{array}{l} a = 1 - \left( {1 - \left( {1 - \left( {1 - a} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)}}} \right)} \right) \times \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)}} = a. \end{array} $

a=1时,a=1=a.

a>1时,

$ \begin{array}{l} a = \left( {1 - \left( {1 - \left( {1 - \left( {1 -\frac 1 a} \right)\frac{{\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)}}} \right)} \right) \times } \right.\\ \;\;\;\;\;\;{\left. {\frac{{\left( {{T_{{k_1}}} - 1} \right)\left( {{T_{{k_2}}} + 1} \right)}}{{\left( {{T_{{k_1}}} + 1} \right)\left( {{T_{{k_2}}} - 1} \right)}}} \right)^{ - 1}} = a. \end{array} $

所以,可逆性得证.

(2) 等价性.即转换前后的语言术语所表达的语义是相等的,评价者的偏好信息不会丢失.

证明  由于F满足:

① 当a=1/k1时,b=1/k2

② 当a=1时,b=1;

③ 当a=k1时,b=k2.

所以等价性得证.

(3) 唯一性.从一种粒度的语言术语转换成另一种粒度的语言术语时,有唯一的语言术语与之对应.

证明  由式(7)可知,a在区间[1/k1, k1]范围内,b的取值严格单调递增,因此当a取某一固定值时,有唯一的b值与之对应.

唯一性得证.

依据上述转换函数的性质,可知其具有如下特点:首先,给出了一种积性语言评估标度下的多粒度语言信息一致化方法,为解决多粒度语言型评价问题提供了一种新的途径;其次,在对不同粒度的不确定语言变量进行转换时,上界和下界都是本原术语的不确定语言可以转换成以拓展术语表示的不确定语言,这样可以保证评价者的偏好信息不失真,且转换前后的信息具有等价性;最后,该转换函数相较于现有的其他多粒度语言信息一致化方法,在处理“积性”算子集结的多粒度语言型评价问题时具有难以替代的作用.

2 问题的描述与条件假设

对于多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价问题,设群体成员集为Q={q1, q2, …, qm},被评价对象集为O={o1, o2, …, om},假设共经过l(l≥3)轮交互,$\tilde x _{ij}^t$表示在第t(t=1, 2, …, l)轮交互中群体成员qj(j=1, 2, …, m)对被评价对象oi(i=1, 2, …, n)的不确定语言评价信息(特别地,$\tilde x _{ij}$0表示最初未经过交互的不确定语言评价信息),记相应的不确定语言评分向量为$\boldsymbol{\tilde x} _j^t$(j=1, 2, …, m),第t轮交互中评价群体的多粒度不确定语言评分矩阵为$\boldsymbol{\tilde X} ^t$(为不失一般性,设m≥3, n≥3),且令M=(1, 2, …, m), N=(1, 2, …, n), L=(1, 2, …, l),

$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}}^t} = {\left[ {\tilde x_{ij}^t} \right]_{m \times n}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde x_{11}^t}&{\tilde x_{12}^t}& \cdots &{\tilde x_{1m}^t}\\ {\tilde x_{21}^t}&{\tilde x_{22}^t}& \cdots &{\tilde x_{2m}^t}\\ \vdots&\vdots &{}& \vdots \\ {\tilde x_{n1}^t}&{\tilde x_{n2}^t}& \cdots &{\tilde x_{nm}^t} \end{array}} \right]. $

为避免评价过程中可能出现的因故意贬低或褒奖所导致的杠杆效应,让评价群体在交互终止后进行一次互评,以此来判断各评价者信息的质量.设$\tilde y _{ij}$(ij)表示群体成员qj(jM)对群体成员qi(iM)的不确定语言互评信息,记相应的多粒度不确定语言互评矩阵为$\boldsymbol{\tilde Y} $

$ \mathit{\boldsymbol{\tilde Y}} = {\left[ {{{\tilde y}_{ij}}} \right]_{m \times m}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} - &{{{\tilde y}_{12}}}& \cdots &{{{\tilde y}_{1m}}}\\ {{{\tilde y}_{21}}}& -&\cdots &{{{\tilde y}_{2m}}}\\ \vdots&\vdots &{}& \vdots \\ {{{\tilde y}_{m1}}}&{{{\tilde y}_{m2}}}& \cdots&- \end{array}} \right]. $

此时的问题是,如何从多轮交互的多粒度不确定语言评分矩阵$\boldsymbol{\tilde X} ^t$(tL)及互评矩阵$\boldsymbol{\tilde Y} $中,给出一个均衡各方意见的交互后的最终评分$\boldsymbol{\tilde z} $=($\tilde z _1$, $\tilde z _2$, …, $\tilde z _n$)T,并对被评价对象进行排序.

为了更准确地说明问题,先给出如下假设:

假设1  评价群体的偏好信息是多粒度不确定语言信息;

假设2  在评价过程中,各群体成员均可无障碍地获得公告板上的信息;

假设3  群体成员在交互意见时,愿意对自己过去的不成熟意见进行修正且不存在合谋问题;

假设4  在“主持人”的有效引导下,随着交互轮次的进行,群体意见最终趋于稳定.

3 基本原理和方法 3.1 评价过程描述

多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价过程主要可以描述为以下4个模块:

模块1  初始评价.群体成员qj(jM)给出初始的不确定语言评分向量$\boldsymbol{\tilde x} _j$0,并由“主持人”汇总,得到未经过交互的多粒度不确定语言评分矩阵$\boldsymbol{\tilde X} $0,同时将其公布在“公告板”上.

模块2  交互评价.在第t(tL)轮(非“面对面”形式)交互中,成员qj利用多粒度语言转换函数对“公告板”上已有的多粒度不确定语言评分矩阵$\boldsymbol{\tilde X} ^k$(k=0, 1, …, t-1)进行一致化,并据此对自己第t-1轮的不确定语言评分向量$\boldsymbol{\tilde x} _j^{t-1}$进行修正(此过程仍采用原有粒度的不确定语言评价集),以得到新一轮的评分向量$\boldsymbol{\tilde x} _j^t$和新的评分矩阵$\boldsymbol{\tilde X} ^t$.

模块3  交互终止.每轮交互结束后,将新汇总的评分矩阵$\boldsymbol{\tilde X} ^t$添加到“公告板”上(原有的评分矩阵仍然在“公告板”上),并计算该轮群体意见的稳定性判定值(即整体稳定性指标νt).若稳定性达到一定要求,交互终止;否则,交互继续.

模块4  群体互评.交互终止后,群体成员qj (jM)对其他群体成员qj(j′∈Mj′≠j)的多阶段评价信息的质量进行一次互评,且由“主持人”汇总,得到互评矩阵$\boldsymbol{\tilde Y} $,并在此基础上对评价信息进行“横向”和“纵向”集结,以此得到群体评价的最终评分$\boldsymbol{\tilde z} $.

多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价的具体流程见图 2.

图 2 多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价流程 Fig. 2 Multi-stage dynamic interactive group evaluation processes based on multi-granularity uncertain linguistic information
3.2 交互变化系数及群体成员权重的确定

定义4  设$\tilde x _{ij}^t$为在t(tL)轮交互中群体成员qj(jM)对被评价对象oi(iN)的不确定语言评价信息,则称

$ \Delta _j^t = \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {d\left( {{{\left( {\tilde x_{ij}^t} \right)}^\prime },{{\left( {\tilde x_{ij}^{t - 1}} \right)}^\prime }} \right)} }} $ (21)

为第t轮交互中群体成员qj的交互变化系数.式(21)中($\tilde x _{ij}^t$)′、($\tilde x _{ij}^{t-1}$)′分别表示相应的经过多粒度语言转换函数一致化后的不确定语言变量,∏表示语言术语连乘符号.由式(21)可知,Δjt反映了群体成员qj在第t轮交互中相对上一轮评价信息的改变程度,且Δjt的语言值越大,其改变程度越大,反之亦然.值得提及的是,由于交互的目的是为了让各评价者对自己“过去”的、“不成熟”的意见进行修正,因此,在评价信息的“横向”集结(单轮群体意见的集结)时,群体成员的改变程度越大,其相应的权重应当越大.据此,下面给出群体成员权重的确定方法.

定义5  设Δjt为第t(tL)轮交互中群体成员qj(jM)的交互变化系数,则称

$ \eta _j^t = \frac{{\Delta _j^t}}{{\sum\limits_{j = 1}^m {\Delta _j^t} }} $ (22)

为第t轮交互中群体成员qj的权重.式(22)中∑表示语言术语连加符号,且满足$ \sum\limits_{j = 1}^m {\eta _j^t} = {s_1}$(s1表示为语言术语“一般”).显然,ηjt的语言值越大,其权重越大.为不失一般性,记第t轮交互中群体成员权重向量为ηt=(η1t, η2t, …, ηmt)T.

3.3 交互终止条件

群体进行多阶段交互的目的,是为了让评价者对自己“过去”的、“不成熟”的意见进行修正,最终获得稳定的群体意见.因此,对于多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价的终止问题,可以从群体意见的稳定性出发,而这种稳定性可以通过其与上一轮整体评价信息的变化程度来判断.

定义6  设Δjt为第t(tL)轮交互中群体成员qj(jM)的交互变化系数,则称

$ {\nu ^t} = \frac{1}{{\sqrt[m]{{\prod\limits_{j = 1}^m {\Delta _j^t} }}}} $ (23)

为第t轮群体意见相对上一轮的整体稳定性指标.式(23)中,νt的语言值越大,群体意见越稳定.为不失一般性,记整体稳定性向量为ν=(ν1, ν2, …, νl)T.

交互终止条件  在第t-1轮至t(tL)轮的某连续2轮交互过程中,若满足

$ {\nu ^{t - 1}},{\nu ^t} > s_\xi ^Td, $ (24)

则认为交互可以终止.式(24)中,sξTd为事先给定的相应粒度下的语言型稳定性检验阈值,要求s0TdsξTds1Td.当Td=11时,ξ赋值可参考表 1.

表 1 ξ赋值 Table 1 ξ assignment
3.4 交互阶段系数及阶段权重的确定

定义7  设$\tilde x _{ij}^k$$\tilde x _{ij}^t$分别为第kt(ktL)轮交互中群体成员qj(jM)对被评价对象oi(iN)的不确定语言评价信息,则称

$ \begin{array}{l} {\rho ^{\left( {k.t} \right)}} = \rho \left( {{{\tilde X}^k},{{\tilde X}^t}} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{\sqrt[{mn}]{{\prod\limits_{i = 1}^n {\prod\limits_{j = 1}^m {d\left( {{{\left( {\tilde x_{ij}^k} \right)}^\prime },{{\left( {\tilde x_{ij}^t} \right)}^\prime }} \right)} } }}}} \end{array} $ (25)

为第kt两轮交互中群体信息之间的相似度.特别地,当k值取t-1时,其表示第t轮群体意见相对上一轮的整体稳定性指标,即ρ(t-1, t)=νt.

定义8  设ρ(k, t)为第kt(ktL)两轮交互中群体信息之间的相似度,则称

$ {\rho ^t} = \frac{1}{{l - 1}}\sum\limits_{k = 1,k \ne t}^l {{\rho ^{\left( {k,t} \right)}}} $ (26)

为第t轮群体信息的交互阶段系数.由式(26)可知,该系数直观反映了第t轮群体信息与其他所有轮群体信息的平均相似度.因此,ρt值越大,第t轮群体信息的可信度越高,在评价信息的“纵向”集结(多轮评价结果的集结)时,其相应阶段的权重越大.据此,下面给出阶段权重的确定方法.

定义9  设ρt为第t(tL)轮群体信息的交互阶段系数,则称

$ {\mu ^t} = \frac{{{\rho ^t}}}{{\sum\limits_{t = 1}^l {{\rho ^t}} }} $ (27)

为第t轮群体信息的阶段权重.式(27)中,μt的语言值越大,其权重越大,且满足$\sum\limits_{t = 1}^l {{\mu ^t}} = {s_1} $.不失一般性,记阶段权重向量为μ=(μ1, μ2, …, μl)T.

3.5 评价信息的“横向”集结

定义10  设$\tilde y _{ij}$(ij)为群体成员qj(jM)对群体成员qi(iM)的不确定语言互评信息,则称

$ {e_i} = \sqrt[{m - 1}]{{\prod\limits_{j = 1,j \ne i}^m {{{\left( {{{\tilde y}_{ij}}} \right)}^\prime }} }} $ (28)

为群体成员qi评价信息得分的满意度指标.式(28)中,ei的计算结果为不确定语言变量,通过式(5)可对其进行排序.

显然,满意度指标ei反映了群体成员qi评价信息的质量,且对评价结果至关重要,因此,在对评价信息的“横向”集结(单轮群体意见的集结)过程中,不仅要重视各群体成员的“交互变化”,同时也应当考虑其评价信息得分的满意度指标大小.据此,下面给出一种基于诱导不确定纯语言混合几何平均(induced uncertain pure linguistic hybrid geometric averaging, I-UPLHGA)算子的群体评价信息集结算法.

定义11  对于二维不确定语言数据组(单轮群体意见)$\tilde X $=($\tilde x _1$, $\tilde x _2$, …, $\tilde x _m$),其权重向量为η= (η1, η2, …, ηm)T.称〈ej, $\tilde x _{j^*}$〉(jM)为I-UPLHGA对,ej为满意度指标诱导分量,$\tilde x _{j^*}$为不确定语言数据分量,设I-UPLHGA:($\tilde S $)m$\tilde S $,若

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{I - UPLHGA}}\left( {\left\langle {{e_1},{{\tilde x}_{{1^ * }}}} \right\rangle ,\left\langle {{e_2},{{\tilde x}_{{2^ * }}}} \right\rangle , \cdots ,\left\langle {{e_m},{{\tilde x}_{{m^ * }}}} \right\rangle } \right) = }\\ {{{\left( {{{\tilde x}_{{1^ * }^\prime }}} \right)}^{{w_1}}} \otimes {{\left( {{{\tilde x}_{{2^ * }^\prime }}} \right)}^{{w_2}}} \otimes \cdots \otimes {{\left( {{{\tilde x}_{{m^ * }^\prime }}} \right)}^{{w_m}}},} \end{array} $ (29)

则称I-UPLHGA为诱导不确定纯语言混合几何平均算子,亦称为I-UPLHGA算子.式(29)中, $\tilde x _{j^*}$=(($\tilde x _j$)′)j,其中($\tilde x _j$)′表示相应的经过多粒度语言函数一致化后的不确定语言向量,m为平衡系数;而$\tilde x _{j^*}'$ej(jM)按从大到小的顺序排列所对应I-UPLHGA对中的第2个分量;w=(w1, w2, …, wm)T是与I-UPLHGA计算子相关联的向量,且wi∈[0, 1], $ \sum\limits_{i = 1}^m {{w_i}} $=1,向量w的设置有多种方法[4],语义方式为常用设置方法,即

$ {w_i} = Q\left( {\frac{i}{m}} \right) - Q\left( {\frac{{i - 1}}{m}} \right), $ (30)

其中模糊化算子

$ Q\left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;r < \alpha ,\\ \frac{{r - \alpha }}{{\beta - \alpha }},\;\;\;\;\alpha \le r \le \beta ,\\ 1,\;\;\;\;r > \beta , \end{array} \right. $ (31)

式(31)中,要求α, β, r∈[0, 1],而集结原则“大多数”“至少一半”“尽可能多”分别对应于参数(α, β)取(0.3, 0.5)、(0, 0.5)、(0.5, 1)的情形.

I-UPLHGA算子的实质是对满意度指标诱导分量ej(jM)从大到小排序后所对应的数据分量{$\tilde x _{1^*}^\prime $, $\tilde x _{2^*}^\prime $, …, $\tilde x_ {m^*}^\prime $}进行几何加权集成,而wi(iM)与元素$\tilde x_ {i^*}^\prime $的大小和位置无关,只与在满意度指标诱导分量排列顺序中第i个位置有关.当选用I-UPLHGA算子对评价信息进行“横向”集结时,一方面,群体成员权重以语言标度形式给出,可充分利用已有的语言评价信息,避免信息的丢失;另一方面,考虑了群体成员评价信息的质量,减少了质量较差的信息对评价结果造成的负面影响,从而令评价结果更加客观与合理.

3.6 评价信息的“纵向”集结

对于“横向”集结产生的多轮评价结果$\tilde x ^t$(tL),其所提供的信息对最终的评价结果$\boldsymbol{\tilde z} $均有一定的影响,在多阶段交互过程中,应当充分利用这些有效信息.然而,由于“交互”的最终目的是为了获得群体意见的稳定,因此,在对评价信息的“纵向”集结(多轮评价结果的集结)过程中,不仅要重视各阶段信息的交互阶段系数,而且应着重考虑其整体稳定性指标大小.鉴于此,下面给出一种基于诱导不确定纯语言混合调和平均(induced uncertain pure linguistic hybrid harmonic averaging, I-UPLHHA)算子的群体评价信息集结算法.

定义12  对于二维不确定语言数据组(多轮评价结果)$\tilde X $′=($\tilde x ^1$, $\tilde x ^2$, …, $\tilde x ^l$),其权重向量为μ= (μ1, μ2, …, μl)T.称〈νt, $\tilde x^{t*} $〉(tL)为I-UPLHHA对,νt为整体稳定性指标诱导分量,$\tilde x ^{t*}$为不确定语言数据分量,设I-UPLHHA:($\tilde S $)l$\tilde S $,若

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{I - UPLHHA}}\left( {\left\langle {{\nu _1},{{\tilde x}^{1 * }}} \right\rangle ,\left\langle {{\nu _2},{{\tilde x}^{2 * }}} \right\rangle , \cdots ,\left\langle {{\nu _l},{{\tilde x}^{l * }}} \right\rangle } \right) = }\\ {\frac{1}{{{w^1}\frac{1}{{{{\tilde x}^{1 * }}^\prime }} \oplus {w^2}\frac{1}{{{{\tilde x}^{2 * }}^\prime }} \oplus \cdots \oplus {w^l}\frac{1}{{{{\tilde x}^{l * }}^\prime }}}},} \end{array} $ (32)

则称I-UPLHHA为诱导不确定纯语言混合调和平均算子,亦称为I-UPLHHA算子.式(32)中:$\tilde x ^{t*}$=($\tilde x ^t$)t,其中l为平衡系数;而$\tilde x ^{t*\prime}$νt(tL)按从大到小的顺序排列所对应I-UPLHHA对中的第2个分量;w′=(w1, w2, …, wl)T是与I-UPLHHA算子相关联的向量,且wt∈[0, 1], $\sum\limits_{t = 1}^l {{w^t}} $=1,向量w′的设置方法与w类似.

I-UPLHHA算子的实质是对整体稳定性指标诱导分量νt(tL)从大到小排序后所对应的数据分量{$\tilde x ^{1*\prime}$, $\tilde x^{2*\prime} $, …, $\tilde x ^{1*\prime}$}进行调和加权集成,而wi(iL)与元素$\tilde x^{i*\prime} $的大小和位置无关,只与整体稳定性指标诱导分量排列顺序中的第i个位置有关.当选用I-UPLHHA算子对评价信息进行“纵向”集结时,不仅考虑了信息的交互阶段系数大小,而且还强调了整体稳定性指标大小.值得提及的是,为避免出现因阶段信息偏差过大导致评价结果不合理的情况,此处采用调和加权的形式[16]$\tilde x^{t*\prime} $(tL)进行综合集成.

利用I-UPLHHA算子对多轮群体评价结果{$\tilde x ^1$, $\tilde x ^2$, …, $\tilde x ^l$}进行“纵向”集结,即为群体评价的最终结果$\tilde z $=($\tilde z _1$, $\tilde z _2$, …, $\tilde z ^n$)T.再运用式(5)求出其排序向量,由此进行排序.

3.7 群体评价方法的步骤

针对多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价问题,其评价步骤如下:

步骤1  多粒度不确定语言信息的一致化处理.根据式(7)中的多粒度语言转换函数将评分矩阵$\boldsymbol{\tilde X} ^k$(k=0, 1, …, l)及互评矩阵$\boldsymbol{\tilde Y} $进行一致化处理,使其一致转换为同一粒度下的不确定语言评分矩阵($\boldsymbol{\tilde X} ^k$)′及互评矩阵($\boldsymbol{\tilde Y} $)′.

步骤2  确定群体成员的权重.由式(21)求出各轮交互中群体成员qj(jM)的交互变化系数Δjt(tL),再根据式(22)对其进行归一化,得到群体成员权重ηjt.

步骤3  确定整体稳定性指标.由式(23)求出各轮交互中群体意见相对上一轮的整体稳定性指标νt(tL).

步骤4  确定阶段权重.由式(25)求出各轮群体信息两两之间的相似度ρ(k, t)(k, tL),再根据式(26)求出各轮群体信息的交互阶段系数ρt,最后通过式(27)对其进行归一化后得到阶段权重μt.

步骤5  确定满意度指标及其排序向量.由式(28)求出各群体成员评价信息得分的满意度指标ei(iM),再通过式(5)求出其排序向量ζ(e).

步骤6  对各轮群体信息进行“横向”集结.由式(30)、(31)确定ww′向量,再运用式(29)中的I-UPLHGA算子对各轮群体信息进行“横向”集结,得到各轮群体信息的单轮评价结果$\tilde x ^t$.

步骤7  对多轮群体评价结果进行“纵向”集结.运用式(32)中的I-UPLHHA算子对步骤6中产生的多轮评价结果{$\tilde x ^1$, $\tilde x ^2$, …, $\tilde x ^l$}进行“纵向”集结,得到最终集结结果$\boldsymbol{\tilde z} $,再通过式(5)求出其排序向量ζ($\tilde z $),并由此对被评价对象进行排序.

4 应用实例

某投资公司4(m=4)个评审专家{q1, q2, q3, q4对4(n=4)个备选投资项目{o1, o2, o3, o4}进行评选,假设4个专家的评价信息分别为4种不同粒度下的不确定语言信息,且各评审专家有交互意见的意愿, 并愿意在交互过程中对自己过去的不成熟意见进行修正.与I-UPLHGA算子相关联的向量w=(0.300, 0.300, 0.300, 0.100)T,与I-UPLHHA算子相关联的向量w′=(0.225, 0.225, 0.225, 0.100)T, 取定阈值sξ11=s0.911(表示“极其稳定”),其相应的信息如下(限于篇幅, 详细的计算过程省略):

$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}}^0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_{\frac{1}{2}}^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{2}}^7,s_2^7} \right]}&{\left[ {s_1^9,s_3^9} \right]}&{\left[ {s_2^{11},s_4^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{2}}^5,s_2^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{4}}^7,s_{\frac{1}{3}}^7} \right]}&{\left[ {s_2^9,s_4^9} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_2^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_1^5} \right]}&{\left[ {s_1^7,s_2^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{5}}^9,s_1^9} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{4}}^{11},s_5^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_2^5,s_3^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{4}}^7,s_1^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{4}}^9,s_2^9} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^{11},s_1^{11}} \right]} \end{array}} \right], $
$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}}^1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_1^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{2}}^7,s_2^7} \right]}&{\left[ {s_1^9,s_2^9} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_3^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{2}}^5,s_1^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^7,s_{\frac{1}{2}}^7} \right]}&{\left[ {s_2^9,s_4^9} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_2^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_{\frac{1}{2}}^5} \right]}&{\left[ {s_1^7,s_3^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{5}}^9,s_1^9} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{6}}^{11},s_5^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_2^5,s_3^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{4}}^7,s_1^7} \right]}&{\left[ {s_1^9,s_3^9} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^{11},s_1^{11}} \right]} \end{array}} \right], $
$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}}^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_1^5} \right]}&{\left[ {s_1^7,s_2^7} \right]}&{\left[ {s_1^9,s_2^9} \right]}&{\left[ {s_2^{11},s_3^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_1^5,s_2^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^7,s_{\frac{1}{2}}^7} \right]}&{\left[ {s_3^9,s_4^9} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_2^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_{\frac{1}{2}}^5} \right]}&{\left[ {s_2^7,s_3^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{5}}^9,s_1^9} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{6}}^{11},s_5^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_2^5,s_3^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{4}}^7,s_1^7} \right]}&{\left[ {s_1^9,s_3^9} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^{11},s_1^{11}} \right]} \end{array}} \right], $
$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}}^3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_1^5} \right]}&{\left[ {s_1^7,s_2^7} \right]}&{\left[ {s_1^9,s_2^9} \right]}&{\left[ {s_2^{11},s_3^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_1^5,s_2^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^7,s_1^7} \right]}&{\left[ {s_3^9,s_4^9} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_6^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_{\frac{1}{2}}^5} \right]}&{\left[ {s_2^7,s_3^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{5}}^9,s_1^9} \right]}&{\left[ {s_3^{11},s_5^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{2}}^5,s_3^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{4}}^7,s_1^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^9,s_3^9} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^{11},s_1^{11}} \right]} \end{array}} \right], $
$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}}^4} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_1^5} \right]}&{\left[ {s_1^7,s_2^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{2}}^9,s_1^9} \right]}&{\left[ {s_2^{11},s_3^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_1^5,s_2^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^7,s_1^7} \right]}&{\left[ {s_3^9,s_4^9} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_6^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_{\frac{1}{2}}^5} \right]}&{\left[ {s_2^7,s_3^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{5}}^9,s_{\frac{1}{3}}^9} \right]}&{\left[ {s_3^{11},s_5^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{2}}^5,s_3^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{4}}^7,s_1^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^9,s_3^9} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^{11},s_1^{11}} \right]} \end{array}} \right], $
$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}}^5} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_1^5} \right]}&{\left[ {s_1^7,s_2^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{2}}^9,s_1^9} \right]}&{\left[ {s_2^{11},s_3^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_1^5,s_2^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^7,s_1^7} \right]}&{\left[ {s_3^9,s_4^9} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_6^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{3}}^5,s_{\frac{1}{2}}^5} \right]}&{\left[ {s_2^7,s_4^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{5}}^9,s_{\frac{1}{3}}^9} \right]}&{\left[ {s_3^{11},s_5^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{2}}^5,s_3^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{4}}^7,s_1^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^9,s_3^9} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^{11},s_1^{11}} \right]} \end{array}} \right], $
$ \mathit{\boldsymbol{\tilde Y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} - &{\left[ {s_1^7,s_3^7} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{2}}^9,s_1^9} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_2^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{2}}^5,s_1^5} \right]}& - &{\left[ {s_{\frac{1}{5}}^9,s_1^9} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^{11},s_2^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_1^5,s_3^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{4}}^7,s_1^7} \right]}& - &{\left[ {s_2^{11},s_3^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_1^5,s_2^5} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{2}}^7,s_1^7} \right]}&{\left[ {s_2^9,s_5^9} \right]}& - \end{array}} \right]. $

基于多粒度不确定语言信息的多阶段交互式群体评价方法的计算过程如下:

Step1  多粒度不确定语言信息的一致化处理.运用式(7)将评价群体的多粒度不确定语言信息一致转换成粒度为11的不确定语言信息,以第1轮交互中群体信息为例,转换之后的信息为

$ {\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}}^1}} \right)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {s_{\frac{1}{6}}^{11},s_1^{11}} \right]}&{\left[ {s_{\frac{4}{9}}^{11},s_{\frac{9}{4}}^{11}} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_{\frac{{48}}{{23}}}^{11}} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_3^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{3}{8}}^{11},s_1^{11}} \right]}&{\left[ {s_{\frac{7}{{27}}}^{11},s_{\frac{4}{9}}^{11}} \right]}&{\left[ {s_{\frac{{48}}{{23}}}^{11},s_{\frac{{32}}{7}}^{11}} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_2^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{1}{6}}^{11},s_{\frac{3}{8}}^{11}} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_{\frac{{27}}{7}}^{11}} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{6}}^{11},s_1^{11}} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{6}}^{11},s_5^{11}} \right]}\\ {\left[ {s_{\frac{8}{3}}^{11},s_6^{11}} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{6}}^{11},s_1^{11}} \right]}&{\left[ {s_1^{11},s_{\frac {36}{11}}^{11}} \right]}&{\left[ {s_{\frac{1}{3}}^{11},s_1^{11}} \right]} \end{array}} \right]. $

Step2  确定群体成员的权重.运用式(22)计算各轮交互中群体成员的权重,分别为

$ {\mathit{\boldsymbol{\eta }}^1} = {\left( {s_{0.254}^{11},s_{0.240}^{11},s_{0.269}^{11},s_{0.237}^{11}} \right)^{\rm{T}}}, $
$ {\mathit{\boldsymbol{\eta }}^2} = {\left( {s_{0.275}^{11},s_{0.263}^{11},s_{0.228}^{11},s_{0.234}^{11}} \right)^{\rm{T}}}, $
$ {\mathit{\boldsymbol{\eta }}^3} = {\left( {s_{0.246}^{11},s_{0.213}^{11},s_{0.224}^{11},s_{0.317}^{11}} \right)^{\rm{T}}}, $
$ {\mathit{\boldsymbol{\eta }}^4} = {\left( {s_{0.228}^{11},s_{0.228}^{11},s_{0.317}^{11},s_{0.227}^{11}} \right)^{\rm{T}}}, $
$ {\mathit{\boldsymbol{\eta }}^5} = {\left( {s_{0.260}^{11},s_{0.256}^{11},s_{0.242}^{11},s_{0.242}^{11}} \right)^{\rm{T}}}. $

Step3  确定整体稳定性指标.运用式(23)计算各轮群体意见的整体稳定性指标为

$ \mathit{\boldsymbol{v = }}{\left( {s_{0.796}^{11},s_{0.863}^{11},s_{0.780}^{11},s_{0.920}^{11},s_{0.970}^{11}} \right)^{\rm{T}}}, $

其中,ν4=s0.92011, ν5=s0.97011>sξ11=s0.911,由式(24)知交互可以终止.

Step4  确定阶段权重.运用式(25)~(27)计算各阶段信息权重为

$ \mathit{\boldsymbol{\mu }} = {\left( {s_{0.187}^{11},s_{0.205}^{11},s_{0.209}^{11},s_{0.199}^{11},s_{0.200}^{11}} \right)^{\rm{T}}}. $

Step5  确定满意度指标及其排序向量.运用式(28)计算各群体成员评价信息得分的满意度指标为

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{e}} = \left( {\left[ {s_{0.783}^{11},s_{1.976}^{11}} \right],\left[ {s_{0.337}^{11},s_{1.260}^{11}} \right],} \right.\\ \;\;\;\;\;{\left. {\left[ {s_{0.693}^{11},s_{2.621}^{11}} \right],\left[ {s_{0.975}^{11},s_{2.381}^{11}} \right]} \right)^{\rm{T}}}. \end{array} $

再运用式(5)计算其排序向量为

$ \mathit{\boldsymbol{\zeta }}\left( e \right) = {\left( {0.256,0.170,2.282,0.292} \right)^{\rm{T}}}. $

Step6  对各轮群体信息进行“横向”集结.运用式(29)~(31)计算各轮群体信息的评价结果:

$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}^1} = \left( {\left[ {s_{0.536}^{11},s_{1.872}^{11}} \right],\left[ {s_{0.826}^{11},s_{1.839}^{11}} \right],} \right.\\ \;\;\;\;\;{\left. {\left[ {s_{0.195}^{11},s_{1.333}^{11}} \right],\left[ {s_{0.831}^{11},s_{2.532}^{11}} \right]} \right)^{\rm{T}}}, \end{array} $
$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}^2} = \left( {\left[ {s_{0.673}^{11},s_{1.814}^{11}} \right],\left[ {s_{1.199}^{11},s_{2.335}^{11}} \right],} \right.\\ \;\;\;\;\;{\left. {\left[ {s_{0.223}^{11},s_{1.312}^{11}} \right],\left[ {s_{0.840}^{11},s_{2.495}^{11}} \right]} \right)^{\rm{T}}}, \end{array} $
$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}^3} = \left( {\left[ {s_{0.767}^{11},s_{1.983}^{11}} \right],\left[ {s_{1.225}^{11},s_{3.972}^{11}} \right],} \right.\\ \;\;\;\;\;{\left. {\left[ {s_{0.593}^{11},s_{1.550}^{11}} \right],\left[ {s_{0.308}^{11},s_{2.333}^{11}} \right]} \right)^{\rm{T}}}, \end{array} $
$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}^4} = \left( {\left[ {s_{0.560}^{11},s_{1.453}^{11}} \right],\left[ {s_{1.389}^{11},s_{3.803}^{11}} \right],} \right.\\ \;\;\;\;\;{\left. {\left[ {s_{0.450}^{11},s_{0.855}^{11}} \right],\left[ {s_{0.629}^{11},s_{2.562}^{11}} \right]} \right)^{\rm{T}}}, \end{array} $
$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}^5} = \left( {\left[ {s_{0.566}^{11},s_{1.496}^{11}} \right],\left[ {s_{1.229}^{11},s_{3.554}^{11}} \right],} \right.\\ \;\;\;\;\;{\left. {\left[ {s_{0.509}^{11},s_{1.002}^{11}} \right],\left[ {s_{0.605}^{11},s_{2.084}^{11}} \right]} \right)^{\rm{T}}}. \end{array} $

Step7  对多轮群体评价结果进行“纵向”集结.运用式(32)对多轮群体评价结果{$\boldsymbol{\tilde x} ^1$, $\boldsymbol{\tilde x} ^2$, …, $\boldsymbol{\tilde x} $5}进行“纵向”集结,得到的最终评价结果为

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\tilde z}} = \left( {\left[ {s_{0.683}^{11},s_{1.520}^{11}} \right],\left[ {s_{1.159}^{11},s_{2.464}^{11}} \right],} \right.\\ \;\;\;\;\;{\left. {\left[ {s_{0.441}^{11},s_{1.115}^{11}} \right],\left[ {s_{0.472}^{11},s_{2.007}^{11}} \right]} \right)^{\rm{T}}}. \end{array} $

再利用式(5)计算其排序向量为

$ \mathit{\boldsymbol{\zeta }}\left( {\tilde z} \right) = {\left( {0.236,0.338,0.171,0.255} \right)^{\rm{T}}}. $

故被评价对象的排序为o2o4o1o3.因此选择o2作为投资项目.

另外,为便于比较,将传统的多阶段交互式群体评价方法[12-14](不考虑评价者之间的互评信息)与传统的多粒度语言转换及集结方法[6-20](加性语言标度与ULA算子)用于本文算例中,得到的最终评价结果及排序向量分别为

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\tilde z}} = \left( {\left[ {s_{ - 1.175}^{11},s_{1.104}^{11}} \right],\left[ {s_{ - 0.396}^{11},s_{2.121}^{11}} \right],} \right.\\ \;\;\;\;\;{\left. {\left[ {s_{ - 2.367}^{11},s_{1.042}^{11}} \right],\left[ {s_{ - 2.250}^{11},s_{1.875}^{11}} \right]} \right)^{\rm{T}}}, \end{array} $
$ \mathit{\boldsymbol{\zeta }}\left( {\tilde z'} \right) = {\left( {0.245,0.300,0.214,0.240} \right)^{\rm{T}}}. $

对应的被评价对象排序为o2o1o4o3.可见,该排序结果与本文方法的排序结果存在一定的差异,但最优和最劣的被评价对象相同,分别为o2o3,说明本文提出的积性语言评估标度的多粒度语言转换函数是可行的;另外,o1o4的排序相反,原因是本文方法考虑了评价者信息的质量,即对评价信息质量较差的评价者q2赋予了较低权重、质量相对较好的评价者q1q3q4赋予了较高权重.综上所述,本文方法一方面提出了一种新的可行的多粒度语言转换函数,为多粒度语言型群体评价问题提供了一种新途径;另一方面考虑了多阶段交互式群体评价问题中评价者信息的质量,有效避免了评价过程中由故意褒奖、贬低所导致的杠杆效应, 从而使得评价结果相对全面与合理.

5 结语

本文提出的多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价方法具有以下特点:

5.1

引入了“多粒度不确定语言信息”的思想,对基于精确数、区间数等定量评价信息的多阶段交互式群体评价方法进行了拓展研究,克服了评价信息必须为苛刻的定量信息问题,大幅度提高了多阶段交互式群体评价方法的适用性.

5.2

给出了多粒度语言信息一致化的新方法,弥补了当前积性语言评估标度下多粒度语言转换函数研究的空白.同时,可将该方法推广到其他多粒度语言环境下的群体评价与群体决策问题中.

5.3

探讨了一种新的多阶段交互式群体评价方法,考虑了评价群体多阶段交互所给评价信息的质量,在一定程度上减少了质量较差的评价信息对群体评价造成的负面影响.

5.4

给出了2个诱导不确定纯语言算子,即I-UPLHGA、I-UPLHHA算子,并将其运用于多粒度不确定语言信息下的多阶段交互式群体评价问题中.

值得注意的是, 对多阶段交互式群体评价的研究是一个较为复杂的问题,需考虑的因素很多,从群体偏好的角度还可探讨混合信息的情况,从评价者规模的角度还可探讨大规模评价群体的情况,更细致的研究有待进一步深入,笔者将继续跟踪探讨.

参考文献
[1] ROOSTAEE R, IZADIKHAH M, LOTFI F H, et al. A multi criteria intuitionistic fuzzy group decision making method for supplier selection with VIKOR method[J]. International Journal of Fuzzy System Applications, 2012, 2(1): 1–17. DOI:10.4018/IJFSA
[2] ZHANG F M, TADIKAMALLA P R, SHANG J. Corporate credit-risk evaluation system:Integrating explicit and implicit financial performances[J]. International Journal of Production Economics, 2016, 177: 77–100. DOI:10.1016/j.ijpe.2016.04.012
[3] XU Z S, WANG H. On the syntax and semantics of virtual linguistic terms for information fusion in decision making[J]. Information Fusion, 2017, 34: 43–48. DOI:10.1016/j.inffus.2016.06.002
[4] 郭亚军. 综合评价理论与方法[M]. 北京: 科学出版社, 2007.
GUO Y J. Theory, Methodology and Application of Synthesis Evaluation[M]. Beijing: Science Press, 2007.
[5] 苏为华. 综合评价技术的扩展与集成问题研究[M]. 北京: 中国统计出版社, 2007.
SU W H. Research of the Expansion and Integrated Problem of Comprehensive Evaluation Technology[M]. Beijing: China Statistics Press, 2007.
[6] 徐泽水. 基于语言信息的决策理论与方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008.
XU Z S. Theory and Methods in Decision Making Based on Linguistic Information[M]. Beijing: Science Press, 2008.
[7] 易平涛, 郭亚军, 李伟伟. 基于密度算子的多阶段群体评价方法及应用[J]. 东北大学学报:自然科学版, 2011, 32(5): 752–756.
YI P T, GUO Y J, LI W W. A multi-phase group evaluation method based on density operator and its application[J]. Journal of Northeastern University:Natural Edition, 2011, 32(5): 752–756.
[8] 王翯华, 朱建军, 方志耕. 基于灰色关联度的多阶段语言评价信息集结方法[J]. 控制与决策, 2013, 28(1): 109–114.
WANG H H, ZHU J J, FANG Z G. Aggregation of multi-stage linguistic evaluation information based on grey incidence degree[J]. Control and Decision, 2013, 28(1): 109–114.
[9] 徐选华, 王敏赛, 陈晓红. 偏好冲突优化的多属性多阶段大群体决策方法[J]. 系统工程学报, 2014, 29(1): 48–55.
XU X H, WANG M S, CHEN X H. Multi-attribute & multi-stage large group decision-making method for preference conflict optimization[J]. Journal of Systems Engineering, 2014, 29(1): 48–55.
[10] 郝晶晶, 朱建军, 刘小弟. 基于交互式修正的双重语言信息联动决策方法[J]. 系统工程与电子技术, 2014, 36(5): 912–919.
HAO J J, ZHU J J, LIU X D. Novel decision-making method for aggregating dual linguistic information concerning interactive optimization[J]. Systems Engineering and Electronics, 2014, 36(5): 912–919. DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2014.05.17
[11] 胡浩, 徐少华, 宋继冉, 等. 基于直觉模糊动态信息交互的多属性群决策模型[J]. 中南大学学报:自然科学版, 2015, 46(8): 2923–2929.
HU H, XU S H, SONG J R, et al. Model of multi-attribute group decision making based on intuitionistic fuzzy dynamic interactive information[J]. Journal of Central South University:Natural Edition, 2015, 46(8): 2923–2929.
[12] 张发明, 郭亚军, 张连怀. 一种多阶段交互式群体评价方法[J]. 管理学报, 2010, 7(9): 1416–1420.
ZHANG F M, GUO Y J, ZHANG L H. A method of group evaluation based on multi-phase dynamic interactivity[J]. Chinese Journal of Management, 2010, 7(9): 1416–1420.
[13] 张发明, 孙文龙. 基于区间数的多阶段交互式群体评价方法及应用[J]. 中国管理科学, 2014, 22(10): 129–135.
ZHANG F M, SUN W L. Multi-stage dynamic interactive group evaluation method based on interval information and its application[J]. Chinese Journal of Management Science, 2014, 22(10): 129–135.
[14] 张发明, 黄士娟, 曾平. 基于直觉模糊集的多阶段交互式群体评价方法及应用[J]. 模糊系统与数学, 2015, 29(6): 169–178.
ZHANG F M, HUANG S J, ZENG P. A method of multi-stage dynamic interactive group evaluation based on intuitionistic fuzzy sets and its application[J]. Fuzzy Systems and Mathematics, 2015, 29(6): 169–178.
[15] XU Z S. Interactive group decision making procedure based on uncertain multiplicative linguistic preference relations[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics, 2010, 21(3): 408–415. DOI:10.3969/j.issn.1004-4132.2010.03.010
[16] 彭勃, 叶春明. 基于不确定纯语言混合调和平均算子的多属性群决策方法[J]. 中国管理科学, 2015, 23(2): 131–138.
PENG B, YE C M. An approach to multiple attribute group decision based on uncertain pure linguistic hybrid harmonic averaging operator[J]. Chinese Journal of Management Science, 2015, 23(2): 131–138.
[17] 乐琦, 樊治平. 具有多粒度不确定语言评价信息的多属性群决策方法[J]. 控制与决策, 2010, 25(7): 1059–1062.
YUE Q, FAN Z P. Method for solving multiple attribute group decision-making problems with multi-granularity uncertain linguistic assessment information[J]. Control and Decision, 2010, 25(7): 1059–1062.
[18] MORENTE-MOLINERA J A, PEREZ I J, URENA M R, et al. On multi-granular fuzzy linguistic modeling in group decision making problems:A systematic review and future trends[J]. Knowledge-Based Systems, 2015, 74(1): 49–60.
[19] XU Z S, WANG H. Managing multi-granularity linguistic information in qualitative group decision making:An overview[J]. Granular Computing, 2016, 1(1): 1–15. DOI:10.1007/s41066-015-0012-z
[20] 许叶军, 达庆利. 基于不同粒度语言判断矩阵的多属性群决策方法[J]. 管理工程学报, 2009, 23(2): 69–73.
XU Y J, DA Q L. Approach based on multi-granularity linguistic judgment matrices in multi-attribute group decision making[J]. Journal of Industrial Engineering and Engineering Management, 2009, 23(2): 69–73.