多孔金属材料具有高能量耗散力，高抗冲击强度和强耐热能力等性质，在航空航天、军事和民用等领域具有广泛的应用前景^[1-3]. 金属空心球结构（metallic hollow sphere structure，MHSS）作为一种优质的多孔金属材料逐渐吸引了众多研究者的关注. 它是由完全相同的金属薄壁空心球按一定的堆积形式组合而成，除具有传统多孔材料的优点之外，还具有空隙均匀且大小易控制的特点，其力学性能稳定且容易测定，同时还可以根据需要确定不同的构成形式，因此金属空心球结构为超轻多孔材料开辟了一个更广泛的应用前景^[4-6].

在实际工程中金属空心球之间的连接方式主要有以下3种^[7]. 1）将液态的聚合物或金属灌入空心球之间的间隙中，材料的强度较大，但密度也较大；2）将金属空心球堆积起来，在高温和压力作用下，球体之间形成扩散连接，利用这种方法制作的材料密度较小；3）利用液相的黏接作用，在空心球接触处形成一定尺寸的连接颈结构. 本研究所关注的空心球多孔结构的连接方式为第3种.

预测此类多孔材料力学性能的最理想的方法就是有限元数值模拟. 采用原子规则排列的概念，Sanders等^[8-9]建立不同规则排列下空心球多孔结构的有限元数值模型，采用四面体网格的自动生成算法划分网格，通过模拟计算得出加载方向对这些结构的弹性模量和初始屈服极限有明显的影响. Gasser等^[10-12]采用相似的有限元模型，建立金属空心球的几何参数（如相对壁厚、黏结角度等）与结构的弹性模量、塑性行为的近似关系. Fiedler等^[13-16]采用规则的六面体单元对金属空心球结构的几何进行离散，研究材料参数、几何参数对结构弹性模量、泊松比以及初始屈服应力的影响.

近十年来，新型穿孔空心球结构（perforated hollow sphere structure，PHSS）^[17]被提出，这种结构的空心球是在球体上按照一定规则进行穿孔，使得空心球内部的空间和表面得以利用，用途有过滤与分离、消声降噪、热量交换、化学反应等，相关研究表明其热传导效率明显低于没有孔的球体^[18]. Andreas等^[19-21]对该新型空心球结构的基本力学性能（弹性模量、泊松比以及初始屈服强度）进行数值模拟研究，讨论不同材料、孔径大小以及连接方式对力学性能的影响. 目前，关于穿孔空心球结构的研究集中在简单立方排列的结构，空心球穿孔方式也较单一，不足以完全体现该新型空心球结构的性能；由于此类型结构的制备还存在很多不足，没有相关的实验研究. 本研究利用三维（3D）打印技术获得理想的体心立方（body-centered cubic, BCC）排列的PHSS实验模型，通过实验并结合有限元数值模拟方法，研究其在单轴压缩下的力学行为以及穿孔空心球几何参数对力学性能的影响.

新型空心球多孔结构是将穿孔的空心球按照一定的排列规则连接起来，球体上的孔均匀分布在连接颈之间，孔径的最大值由其周边的连接颈决定，即孔的边缘不能超过空心球与连接颈黏结的区域. 因此，空心球的穿孔方式以及孔径大小均与排列方式有关，孔径大小还与连接颈的黏结面积有关. 基于BCC排列的传统空心球与穿孔空心球分别如图1（a）、（b）所示，采用理想的柱状几何体来简化并模拟球体之间的连接颈结构. 如图2所示为单个胞元结构的剖面图. 图中，R为空心球外半径，t为壁厚，D为孔径，r为连接颈结构的半径，b为连接颈中心厚度的一半，L为单胞结构边长.

图 1

图 1 基于体心立方排列的空心球与穿孔空心球结构 Fig. 1 Body-centered cubic packing hollow sphere structure and perforated hollow sphere structure

图 2

图 2 单胞结构的剖面图 Fig. 2 Profile of unit structure

相对密度^[1]是表征多孔材料性能的重要参数：

式中：ρ为多孔材料的密度，ρ_s为制备此多孔材料的实体材料密度. 假设制备空心球和形成连接颈结构的材料相同，式(1)还可以写成以下形式：

式中：V_s为实体材料的体积，V_u为对应的多孔材料单胞或整个试样的体积. 对应的多孔材料孔隙率为

式中：V_f为体积V_u内的自由空间大小. 由式(2)、(3)可知，

以单个基于体心立方排列的开孔空心球（t=1 mm, D=24 mm, R=20 mm）为例，与完整的空心球（t=1 mm, R=20 mm）相比，可利用的自由空间体积增加了近95%，实体材料体积和重量均减少了63.4%，孔隙率增长了9%.

利用3D打印技术获得单胞结构以及2×2×2的胞元组合结构，其几何参数如表1所示. 将这些试样放在2个刚性平板之间进行准静态单轴压缩实验，实验中加载速度设为2 mm/min，对单胞结构施加12 mm的位移荷载，对胞元组合结构施加37 mm的位移荷载. 所采用的3D打印材料是光敏树脂，在相同的打印条件下打印数个哑铃状拉伸试件，测得光敏树脂的工程应力σ-应变ε曲线如图3所示，可见其可以近似为理想的弹塑性材料. 对应力-应变曲线上的线性部分进行拟合，得到平均弹性模量E约为890 MPa，屈服应力Y约为23 MPa. 实验环境温度约为25 °C.

表 1

表 1 试件的几何参数 Table 1 Geometrical parameters of sample mm 参数 设计值 实际值 参数 设计值 实际值 R 20.00 20.05 r 6.00 6.02 t 1.00 1.07 L 47.40 47.51 D 16.00 15.89 − − −

表 1 试件的几何参数 Table 1 Geometrical parameters of sample mm

图 3

图 3 实验材料的应力-应变曲线 Fig. 3 Stress-strain curve of experimental material

如图4所示为单胞结构的力-位移曲线. 如图5所示为单胞结构不同阶段的变形图. 由实验结果可知，当压缩位移较小时，结构发生弹性变形（图5(a)），力F-位移h曲线处于快速上升阶段（见图4，0~a阶段）. 当力达到约500 N后，位于单胞结构中心的空心球球壁开始失稳而发生明显的弯曲变形（见图5(b)），同时承载力也迅速下降. 当压缩位移约为7 mm时，曲率变化最大的中心球球壁表面出现裂痕（见图5(c)），球壁开始折叠，承载力进一步下降，将这一过程（见图4，a~b阶段）称为结构的坍塌变形行为. 随着压缩位移的增大，中心空心球上下内表面在连接颈的挤压作用下逐渐接触，此后结构承载力重新增强，力-位移曲线再次迅速上升（见图4，b~c阶段），中心球周边的空心球也逐渐与中心球表面接触（见图5(d)）. 总体上来说单胞结构的变形行为主要包括：弹性变形(0~a阶段)；坍塌变形(a~b阶段)；结构自接触行为(b~c阶段).

图 4

图 4 单胞结构的力-位移曲线 Fig. 4 Force-displacement curve of unit structure

图 5

图 5 不同阶段单胞结构变形图 Fig. 5 Deformation of unit structure at different stages

如图6所示为胞元组合结构的力-位移曲线. 如图7(a)所示为变形之前的结构，当压缩位移较小时，结构整体发生弹性变形（见图7(b)），力-位移曲线处于快速上升阶段. 当压力达到一定值（约2 000 N）后，第1层“中心球”率先发生坍塌变形，结构的承载能力迅速下降，随着压缩位移的增大，“中心球”球壁内表面在连接颈的挤压作用下自接触（见图7(c) ），同时结构的承载力重新上升，直到下一层结构（第3层）发生坍塌变形（见图7(d)），最后第2层空心球也发生坍塌变形（见图7(e)）. 如图6所示，力-位移曲线上的3个波峰对应每一次坍塌变形行为的开始. 导致这种层层坍塌的主要原因可能是3D打印的结构本身并不完美导致刚度或强度分布不均，最薄弱的球壁首先发生弯曲变形使得同层结构的承载能力下降，最终导致整层结构率先坍塌. 在持续的位移加载下，结构中的空隙进一步被压实，整体体积进一步减小，对应的力-位移曲线又迅速上升，结构进入了致密化阶段（见图7(f)）. 将图6中力-位移曲线分为3个部分：弹性变形、大变形以及致密化阶段. 其中，胞元组合结构的大变形阶段主要是由结构中的层层连续坍塌变形所构成的，此阶段可以看成一个平台区，与传统空心球多孔材料的压缩力学性能相似^[22]. 通过重复实验发现结构发生连续坍塌变形时的层序不是固定不变的（如图8所示为试样第1层、第2层、第3层相继坍塌变形），力-位移曲线趋势基本与图6一致. 在实验中，由于刚性平板表面的摩擦力，与上、下刚性平板接触的球壁没有发生明显的弯曲变形.

图 6

图 6 胞元组合结构的力-位移曲线 Fig. 6 Force-displacement curve of multi-unit structure

图 7

图 7 不同阶段胞元组合结构变形图 Fig. 7 Deformation of multi-unit structure at different stages

图 8

图 8 另一种大变形模式 Fig. 8 Another large deformation mode

利用Abaqus 6.12有限元模拟软件对单胞结构受刚性平板压缩的实验进行模拟. 几何参数采用表1中的实际值，有限元模型采用规则的8结点线性六面体单元C3D8R，如图9所示. 底部平板采用固定约束，在顶部平板设置垂直向下的位移荷载；将刚性平板与结构之间定义为面-面接触，其中法向行为采用硬接触算法，切向行为考虑摩擦系数（取0.3）；考虑到结构本身的自接触行为，对结构自身设置通用接触，其中法向行为采用软接触算法，切向行为不考虑摩擦因素.

图 9

图 9 单胞结构的有限元模型 Fig. 9 Finite element model of unit structure

为了验证有限元模型的有效性，将数值计算得到的名义应力-应变曲线和实验结果进行对比. 定义名义应力σ_n为平板压力除以结构在平面上的投影面积，名义应变ε_n为位移与结构初始高度的比值. 如图10所示为实验和有限元模拟得到的名义应力-应变曲线. 可以看出，两者在弹性变形和结构坍塌变形的初始阶段是非常接近的，随着名义应变的增大，实验结果降低速度较快，这主要是因为在实验中，当应变较大时，单胞结构中心的空心球表面出现开裂，而数值计算中的材料采用的是理想的弹塑性模型，没有考虑材料的断裂等行为. 总体上来说曲线趋势一致.

图 10

图 10 有限元和实验的应力-应变曲线对比 Fig. 10 Comparison between stress-strain curves of FEM and experiment

如图11(a)~(d)所示，分别为名义应变为0.025、0.068、0.153、0.225时结构的变形图. 从加载过程中的应力分布变化可以看出，在弹性变形阶段，空心球的孔边以及空心球与连接颈连接的部分区域相继出现应力集中的现象，随后这两处在很小的范围内先后发生塑性变形，如图11(a)所示. 随着压缩位移的增大，塑性区域不断扩大，两孔之间球壁以及连接颈周边部分球壁均发生塑性变形，而结构其他大部分区域仍然处于弹性阶段，如图11(b)~(d)所示.

图 11

图 11 有限元模拟中单胞结构不同阶段的结构变形图 Fig. 11 Deformation of unit structure at different stages in FEM

基于上述单胞结构的有限元模型，对其平行于加载方向的表面添加对称性边界条件^[23]，并通过改变穿孔空心球的几何参数（壁厚、孔径等），初步研究这些参数对宏观结构弹性模量和初始屈服应力的影响，对结构施加仅2 mm位移荷载. 弹性模量E'由弹性阶段的名义应力与应变的比值得到，初始屈服应力Y'为名义应力-应变曲线与直线σ_n=E'(ε_n−0.002)交点处的应力值，即产生0.2%残余变形时对应的应力值. 若无特殊说明，R=20 mm，b=0.5 mm，r=6 mm. 当空心球球体上D固定为16 mm时，t为0.5~1.5 mm；当t固定为1 mm时，D为8~24 mm. 于是得到相对密度为4%~12%的穿孔空心球结构. 连接颈和空心球均采用相同的材料，因此相对密度由式（2）可得，其中不同结构所需材料的实体体积由设计时的3D软件测得.

如图12(a)、(b)所示分别为不同壁厚和不同孔径条件下结构的名义应力-应变曲线. 如表2、3所示分别为不同壁厚及不同孔径条件下结构的弹性模量以及初始屈服应力结果. 综合图12及表2、3可知，结构的弹性模量和初始屈服应力随着壁厚的增大而增大，随着孔径的增大而减小.

图 12

图 12 穿孔空心球几何参数对结构力学性能的影响 Fig. 12 Effect of geometrical parameters of perforated hollow sphere on structure’s mechanical properties

表 2

表 2 穿孔空心球壁厚对单胞结构力学性能的影响 Table 2 Effect of wall thickness of perforated hollow sphere on unit structure's mechanical properties t/mm E'/MPa Y'/MPa t/mm E'/MPa Y'/MPa 0.50 385.0 3.65 1.25 1 624.4 19.75 0.75 745.0 7.50 1.50 2 187.3 28.60 1.00 1 104.2 12.05 − − −

表 2 穿孔空心球壁厚对单胞结构力学性能的影响 Table 2 Effect of wall thickness of perforated hollow sphere on unit structure's mechanical properties

表 3

表 3 穿孔空心球孔径对单胞结构力学性能的影响 Table 3 Effect of hole diameter of perforated hollow sphere on unit structure's mechanical properties D/mm E'/MPa Y'/MPa D/mm E'/MPa Y'/MPa 8 2 230.4 34.2 20 705.0 6.85 12 1 654.4 20.8 24 365.0 2.97 16 1 104.2 12.05 − − −

表 3 穿孔空心球孔径对单胞结构力学性能的影响 Table 3 Effect of hole diameter of perforated hollow sphere on unit structure's mechanical properties

如图13(a)、(b)所示分别为结构弹性模量和初始屈服应力随相对密度变化的曲线，其中曲线1是通过改变空心球壁厚获得的不同相对密度结构的结果，曲线1对应的参数设置为R=20 mm，b=0.5 mm，r=6 mm，D=16 mm；曲线2是通过改变空心球孔径获得的不同相对密度结构的结果，曲线2对应的参数设置为R=20 mm，b=0.5 mm，r=6 mm，t=1 mm. 可以看出，当相对密度较小时，曲线1和曲线2比较接近，曲线2的值略小于曲线1的值；当相对密度较大时，曲线2逐渐超过曲线1，两者之间差距越来越大. 总体来说，曲线2的斜率大于曲线1的斜率，说明该结构的弹性模量和初始屈服应力对孔径变化比对壁厚变化更敏感，所以对空心球进行穿孔对空心球力学性能的影响较大.

图 13

图 13 相对密度对单胞结构力学性能的影响 Fig. 13 Effect of relative density on unit structure’s mechanical properties

研究新型空心球多孔结构，该结构通过将穿孔空心球按照体心立方体进行排列和连接得到，球体上的孔均匀分布在连接颈之间，孔的边缘不能超过空心球与连接颈黏结的区域. 通过实验研究3D打印的单胞和多胞结构的压缩力学性能，同时建立单胞结构的三维有限元数值模型，实验结果验证了有限元模型的有效性. 对单胞结构添加对称性边界条件，并通过改变空心球的壁厚和孔径获得具有不同相对密度的结构，利用有限元数值模拟得到结构的弹性模量以及初始屈服应力. 研究结果表明，单胞结构的变形行为包括弹性变形，坍塌变形以及结构的自接触行为；多胞组合结构的变形过程主要包括弹性阶段、大变形阶段以及致密化阶段，其中大变形是由结构内部的层层连续坍塌变形所导致的；结构的弹性模量和初始屈服应力随壁厚的增大而增大，随孔径的增大而减小；与壁厚变化相比，其力学性能对孔径变化更为敏感.

由于结构形状复杂，在实际工程中该类型空心球结构的制备存在很多困难，而3D打印技术不受结构形状的限制，可以制造出较为理想的实验模型，结合有限元数值模拟方法，从而为设计和制备满足不同需要的新型空心球结构提供参考. 后续研究还将针对不同排列方式、开孔方式对新型空心球结构力学性能的影响进行数值模拟和实验研究.