表1(Table 1)
在钢框架的梁柱连接节点设计中，采用的节点形式众多，可以分为刚性节点、半刚性节点和铰接节点3类[1]. 1994年美国的北岭地震和1995年日本的阪神地震表明[2]，全焊接刚性节点由于焊缝区的固有缺陷，极易发生脆性破坏. 为了改善节点的受力性能，规避焊缝缺陷带来的不利影响，开展高强螺栓连接的半刚性节点的研究和运用，引起了国内外学者和工程技术人员的兴趣.
节点中采用T形钢连接, 属于典型的现场全螺栓半刚性节点连接，因施工方便、快捷、造价低廉、质量易于控制、抗震性能良好等优点，在工程界得到了广泛的应用. Kishi等[3-5]对腹板角钢连接、顶底角钢连接、端板连接和带顶底角钢的腹板角钢连接4种梁柱半刚性节点的转动刚度进行大量的试验研究，建立这4种半刚性连接节点的试验数据库，但该数据库中不包含本文研究的T形钢连接半刚性节点试验数据. Nethercot[6-7]统计了大量试验报告，对试验数据进行曲线拟合，得到了各种半刚性连接的弯矩-转角（M-θ）特性曲线. 结果显示，T形钢连接是最刚劲的半刚性连接之一，当与双腹板角钢一起使用时，尤为刚劲. Coelho等[8-9]分别研究T形钢连接件在静、动荷载作用下的力学性能，认为在高强螺栓连接下, T形钢的弹性变形主要是翼缘的翘曲变形. 舒兴平等[10-16]研究T形钢梁柱连接的力学性能，认为T形钢梁柱连接具有很好的延性和滞回性能，是一种非常理想的抗震耗能节点形式. 舒赣平等[17]对T形钢梁柱节点的抗火性能进行试验研究，考察不同因素对节点抗火性能的影响. 韩冬等[18-19]将视角拓展到三维，研究T形钢梁柱连接的空间效应. 李秀梅等[20]分析传统T形钢梁柱节点的不足，提出节点的加强方案. 王振宇等[21-22]简化了T形钢节点的分析方法，建立组件式计算模型，采用等效弹簧来模拟T形钢的力学特性. Gil等[23-24]用组件式计算模型研究半刚性梁柱连接T形钢节点在平面外弯曲时的力学性能.
对于半刚性节点的M-θ曲线解析模型，从20世纪30年代开始，被相继提出. Yee等[25-26]提出四参数模型，符合实际情况. 已知半刚性节点的刚度特性，通过修改整体刚度矩阵，可以实现结构分析[27].
在实际工程中，在弹性阶段可以按线性模型近似处理，用线弹性刚度来描述节点的力学性能. 王燕等[28]推导T形钢梁柱半刚性连接初始刚度计算公式，参考已有的试验数据，该公式不能很好地反映连接的初始刚度.
为了更加准确地确定T形钢连接半刚性节点的初始转动刚度，考虑T形钢连接件的几何参数，推导T形钢连接梁柱半刚性节点的初始转动刚度计算公式，利用ANSYS软件和试验数据对公式进行对比验证. 通过引入修正系数，进一步提高了计算公式的精度.
1 初始转动刚度计算T形钢连接梁柱半刚性节点如图1、2所示. 图中，lt为T形钢长度，bt为T形钢宽度，ht为T形钢高度，ttf为T形钢翼缘的厚度，ttw为T形钢腹板的厚度，st为T形钢翼缘板螺栓中点到腹板中线的距离，hb为梁的高度.
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图 1 T形钢梁柱半刚性连接 Fig. 1 Semi-rigid beam-to-column connection with T-stub |
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图 2 T形钢连接件的几何参数 Fig. 2 Geometric parameters of T-stub |
刚度计算采用如下假定.
1）梁端绕与梁受压侧翼缘相连的T形钢腹板中面和翼缘中面相交的轴线转动，即图3中C点所示的轴线. 忽略梁受压侧翼缘相连的T形钢腹板的转动抵抗矩. 1.2节给出该假定成立的依据.
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图 3 T形钢梁柱连接变形图 Fig. 3 Deformation of beam-to-column connection with T-stub |
2）忽略梁端的弯曲和剪切变形；由于柱设有加劲板，忽略立柱的局部拉压变形，图3中，变形后有θ=α. 2.1.1节给出这一假定成立的依据.
3）在弹性阶段，与梁受拉侧翼缘相连的T形钢翼缘板端部杠杆力相对较小，不考虑端部杠杆力的影响. 假设由梁翼缘传来的拉力均匀分布，则该侧T形钢翼缘板等代为简支梁. 2.1.2节对该假定进行进一步分析.
4）不考虑高强螺栓的变形和与梁受拉侧翼缘相连的T形钢腹板的拉伸变形. 若高强螺栓处产生较大变形，则摩擦面发生脱离或错动，高强螺栓连接随即破坏. 本文研究节点在弹性阶段的初始转动刚度，要保证节点连接不能率先破坏. 在这一前提下，T形件腹板和梁翼缘板压紧，并且与梁上、下翼缘拉压变形位移协调，因此腹板单独的拉伸变形可以不予考虑.
节点的转动变形主要来自于与梁上翼缘连接的T形钢的变形，求出图3中的Δ，可以获得转角θ，进而得到转动刚度.
1.2 刚度计算为了算出梁上翼缘连接T形件翼缘板的变形Δ，将该T形件翼缘板视为连接螺栓间的简支梁，计算模型如图4所示.
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图 4 T形钢翼缘计算简图 Fig. 4 Calculation diagram for flange of T-stub |
在梁翼缘力F作用下，T形钢翼缘板弯曲变形产生的挠度为
| ${\varDelta _1} = \frac{{F{{\left( {2{s_{\rm{t}}}} \right)}^3}}}{{48EI}} = \frac{{2Fs_{\rm{t}}^3}}{{E{l_{\rm{t}}}t_{{\rm{tf}}}^3}}{\kern 1pt}. $ | (1) |
式中：
| $I = \frac{{{l_{\rm{t}}}t_{{\rm{tf}}}^3}}{{12}}{\kern 1pt} {\kern 1pt}. $ | (2) |
剪切变形产生的挠度为
| ${\varDelta _2} = \frac{{kF{s_{\rm{t}}}}}{{2GA}} = \frac{{1.56F{s_{\rm{t}}}}}{{E{l_{\rm{t}}}t_{{\rm{tf}}}^{}}}{\kern 1pt}. $ | (3) |
其中，对于矩形截面，k=1.2.
| $G = \frac{E}{{2\left( {1 + \nu } \right)}},\,\nu = 0.3.$ | (4) |
T形钢翼缘板总的挠度为
| $\varDelta = {\varDelta _1} + {\varDelta _2},$ | (5) |
而
| $\theta \approx {\rm{tan}}\,\theta = \frac{\varDelta }{{{h_{\rm{b}}} + {t_{{\rm{tw}}}}}},$ | (6) |
| $M = F\left( {{h_{\rm{b}}} + {t_{{\rm{tw}}}}} \right){\kern 1pt} .$ | (7) |
可得节点转动刚度：
| ${R_{{\rm{ki}}}} = \frac{M}{\theta }{\kern 1pt} ,$ | (8) |
| ${R_{{\rm{ki}}}} = \frac{{E{l_{\rm{t}}}t_{{\rm{tf}}}^{}{{\left( {{h_{\rm{b}}} + {t_{{\rm{tw}}}}} \right)}^2}}}{{s_{\rm{t}}^{}\left( {1.56 + {{2s_{\rm{t}}^2}}\left/{{t_{{\rm{tf}}}^2}}\right.} \right)}}.$ | (9) |
关于C点的转动抵抗矩，有材料力学公式：
| $\left| {\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}s}}} \right| = \frac{M}{{EI}},$ | (10) |
| $M = EI\left| {\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}s}}} \right|.$ | (11) |
式中：dθ为与梁受压侧翼缘相连的T形钢腹板沿T形钢高度方向长度为ds的微段两端面间的相对转角. 将ds取为单位长度，C点处T型钢腹板弯曲提供的等效转动刚度为
| ${R_{{\rm{ki}}}}^\prime = EI = \frac{{E{l_{\rm{t}}}t_{{\rm{tw}}}^3}}{{12}}.$ | (12) |
| $\begin{split} \frac{{{R_{{\rm{ki}}}}}}{{{R_{{\rm{ki}}}}^\prime }} =& \frac{{E{l_{\rm{t}}}t_{{\rm{tf}}}^{}{{\left( {{h_{\rm{b}}} + {t_{{\rm{tw}}}}} \right)}^2}}}{{s_{\rm{t}}^{}\left( {1.56 + \left.{{2s_{\rm{t}}^2}}\right/{{t_{{\rm{tf}}}^2}}} \right)}} \frac{{12}}{{E{l_{\rm{t}}}t_{{\rm{tw}}}^3}}= \\& \frac{{t_{{\rm{tf}}}^{}}}{{t_{{\rm{tw}}}^{}}} \frac{{12}}{{s_{\rm{t}}^{}\left( {1.56 + \left.{{2s_{\rm{t}}^2}}\right/{{t_{{\rm{tf}}}^2}}} \right)}} {\left( {\frac{{{h_{\rm{b}}}}}{{{t_{{\rm{tw}}}}}} + 1} \right)^2}. \end{split} $ | (13) |
实际上，hb远大于ttw，即hb>>ttw，因此 (hb/ttw+1)2是一个大数，于是有Rki>>Rki′，因此计算假定1）是合适的，即T形件腹板对C点处的抵抗弯矩很小，可以忽略.
2 验证对比 2.1 数值模拟对比为了验证式（9），采用ANSYS16.0软件对算例进行数值模拟分析. 算例中，梁、柱、T形钢全部采用3D10结点Solid187单元，柱为H300×300×10×15的H型钢，长度lc=0.7 m，横梁为H300×200×8×12的H型钢，长度lb=1.0 m，T形钢为T150×300×10×15的剖分T型钢，长度lt同梁宽bb，st=80 mm，弹性模量取2.06×105N/mm2，泊松比取0.3. 考虑到在摩擦型高强螺栓连接中，连接破坏前，接触面不允许产生相对滑动. 研究弹性阶段的初始转动刚度时，要保证T形钢腹板和梁翼缘的接触面无相对滑动，因此耦合两者接触面上结点X、Y、Z 3个方向的自由度. 在T形钢翼缘与柱翼缘接触面法向（Y向）之间密集插入link10杆单元，令单元KEYOPT(3)=1，只能承受压力，并且赋以很大的弹性模量，模拟T形钢翼缘和柱翼缘的接触面承压；T形钢翼缘和柱翼缘间因用高强螺栓连接，连接破坏前，不允许相互滑动，故接触面两边各自的结点在2个切向（X、Z向）进行自由度耦合模拟；因忽略高强螺栓本身的变形，将高强螺栓位置的接触面两边结点X、Y、Z 3个方向的自由度耦合.
以柱H型钢的腹板中面为对称面，取实际模型的一半进行分析，在对称面上施加对称约束，柱上、下两端分别施加X、Y、Z 3个方向的约束. 在横梁自由端截面形心处施加FZ=800 N的集中力，计算中考虑几何非线性. 有限元模型如图5所示.
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图 5 有限元模型 Fig. 5 Finite element model |
对于计算假定2），利用有限元分析的结果进行验证. 如图6所示为变形后的结点合位移云图，如图7所示为变形后结点沿Y向位移云图. 为了反映柱子对转角的贡献，提出柱子结点Y向位移云图，如图8所示. 沿立柱翼缘板外侧高强螺栓所在直线（图8中的C1-C2线）定义路径1，将结点Y向位移映射到路径上，如图9所示. 图中，d1为路径点到C2的距离，UY为路径上点沿Y方向的位移. 由立柱翼缘局部拉压产生的最大转角为
| $\begin{split} {\theta _{\rm{c}}} =&\frac{{\left| {{U_{{{Y}}{{{C}}_{\rm{3}}}}}} \right| + \left| {{U_{{{Y}}{{{C}}_{\rm{4}}}}}} \right|}}{{{d_{{{\rm{C}}_3} - {{\rm{C}}_4}}}}} = \frac{{2.7 \times {{10}^{ - 7}} + 7.4 \times {{10}^{ - 7}}}}{{0.42 - 0.17}}= \\&4.04 \times {10^{ - 6}}({\rm{rad}}). \end{split} $ | (14) |
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图 6 结点合位移云图 Fig. 6 Nodal displacement vector sum |
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图 7 结点Y向位移云图 Fig. 7 Y-component of nodal displacement |
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图 8 立柱结点Y向位移云图 Fig. 8 Y-component of nodal displacement of column |
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图 9 立柱路径1上结点Y向位移 Fig. 9 Y-component of nodal displacement mapped on path 1 on column |
式中：
梁端转角为
| $\begin{split} \theta = &\frac{{\left| {{U_{{{Y}}{{{B}}_1}}}} \right| + \left| {{U_{{{Y}}{{{B}}_2}}}} \right|}}{{{h_{\rm{b}}}}} = \frac{{0.15 \times {{10}^{ - 5}} + 0.23 \times {{10}^{ - 4}}}}{{0.3}}= \\ & 8.17 \times {10^{ - 5}}({\rm{rad}}). \end{split} $ | (15) |
式中：
对比可知，立柱翼缘拉压最大的转角贡献θc约为梁端转角θ的4.9%. 对节点的整体变形贡献不大，可以忽略. 假设2）中忽略立柱局部拉压变形是可以接受的.
沿横梁高度的中心线（图10中的B3-B4线）定义路径2，将结点Z向位移映射到路径2上，如图11所示. 图中，d2为路径上的点到B3点的距离，UZ为路径上点沿Z方向的位移，以与Z坐标方向相反为正. 从图11可以看出，UZ虽不完全为直线，但基本上为直线，说明在选取的范围内，梁端的弹性变形很小，可得B3点切线斜率为k. 在小变形条件下，有
| $\alpha = k = 8.51 \times {10^{ - 5}}{\rm{rad}}.$ | (16) |
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图 10 结点Z向位移云图 Fig. 10 Z-component of nodal displacement |
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图 11 梁上路径2上结点Z向位移 Fig. 11 Z-component of nodal displacement mapped on path 2 on beam |
比较式（15）、（16）可知，θ略小于α，说明梁端存在弹性变形，
| $\frac{{\alpha - \theta }}{\alpha } = 4{\text{% }} < {{5{\text{%}} }},$ | (17) |
可以认为θ=α. 假设2）中忽略梁端弹性变形（包括弯曲和剪切变形）是合理的.
2.1.2 对比分析在集中荷载FZ作用下，B3点弯矩为
| $M = {F_{{Z}}} {l_{\rm{b}}},$ | (18) |
可以获得各种情况下θ的数值解, 再由式（8）可得数值解的Rki.
计算结果为：
表1的对比结果显示，在多数情况下，有限元模拟所得的刚度小于本文理论推导刚度，说明梁端部、柱子、下翼缘T形件和螺栓等，都将产生变形，本文仅考虑梁上翼缘连接的T形件翼缘变形. 对比结果显示，改变ht、bt、ttw、hb、bb等几何参数，φ都约为1.3. 当ttf、st改变时，φ变化较大. 原因分析如下.
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表 1 式（9）计算结果与有限元分析结果对比 Table 1 Comparison of results from proposed formula and finite element method |
1）式（9）的推导只考虑了与梁受拉侧翼缘相连的T形钢翼缘变形导致的θ，其他部件当作刚体处理. 在实际情况下，梁柱连接处其他位置会产生变形θ′，初始刚度应为
| $R_{{\rm{ki}}}^{\rm{A}} = \frac{M}{{\theta + \theta '}},$ | (19a) |
| $\varphi = \frac{{R_{{\rm{ki}}}^{\rm{F}}}}{{R_{{\rm{ki}}}^{\rm{A}}}} = \frac{{\theta + \theta '}}{\theta } = 1 + \frac{{\theta '}}{\theta }.$ | (19b) |
随着ttf的增大，θ变小，θ′/θ增大，φ随之增大.
2）计算假定3）中，忽略了与梁受拉侧翼缘相连的T形钢翼缘板端部杠杆力. 为了简化，按照简支梁模型进行分析. 实际上，T形钢翼缘板端部存在杠杆力，使得T形钢翼缘板精确计算模型的边界条件应该是介于两端固支和两端铰支之间. 随着螺栓中心距的减小，翼缘端部的有效承压面积增加，端部杠杆力增大. 式（9）推导中没有考虑T形钢翼缘板端部的杠杆力. 在真实情况下，随着st的减小，端部杠杆力变大，T形钢翼缘实际变形减少，φ增大.
2.2 试验对比对于T形钢半刚性梁柱节点的M-θ关系，李泽深等[15]进行试验研究，得到初始转动刚度. 将文献[15]的试件用ANSYS进行数值模拟，将试验所得的初始转动刚度
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表 2 式（9）计算结果、试验结果和有限元分析结果对比 Table 2 Comparison of results from proposed formula, experiments conducted and finite element method |
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表 3 式（9）计算结果、试验结果和有限元分析结果的比值对比 Table 3 Comparison of results ratios from proposed formula, experiments conducted and finite element method |
从表3可得如下结论.
1）
2）式（9）计算结果比有限元模拟结果大，除了试件2、3受T形连接件翼缘厚度的影响较大之外，其余φ均约为3.4.
3）通过式（9）计算所得的初始转动刚度大于试验所得的初始转动刚度，ψ约为3，原因在于式（9）未考虑T形钢翼缘板以外的变形.
3 公式修正与有限元模拟和试验结果的对比，说明了所推导初始刚度公式的结果偏大. 对于式（9），因为刚度受ttf和st的影响较大，分别改变翼缘厚度和螺栓位置，回归计算结果. 提出修正系数公式：
| $\eta = {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {\frac{{9.8}}{{{t_{{\rm{tf}}}}}} - 0.24} \right)\left( {0.052{s_{\rm{t}}} - 1.755} \right),$ | (20) |
以考虑计算假定带来的误差. 式中：ttf和st以mm计.
修正后的初始转动刚度为
| ${R_{{\rm{ki}}}} = \eta R_{{\rm{ki}}}^0.$ | (21) |
式中：
| $R_{{\rm{ki}}}^0 = \frac{{E{l_{\rm{t}}}t_{{\rm{tf}}}^{}{{\left( {{h_{\rm{b}}} + {t_{{\rm{tw}}}}} \right)}^2}}}{{s_{\rm{t}}^{}\left( {1.56 + {{2s_{\rm{t}}^2}}\left/{{t_{{\rm{tf}}}^2}}\right.} \right)}}.$ | (22) |
利用式（21）重新计算φ和ψ，如表4、5所示. 图5模型的计算结果为
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表 4 式（21）计算结果和有限元分析结果对比 Table 4 Comparison of results from modified formula and finite element method |
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表 5 式（21）计算结果和试验结果对比 Table 5 Comparison of results from modified formula and experiments conducted |
从表5可见，修正后的刚度公式（21）与试验结果非常接近，ψ约为1.0.
4 精度对比对文献[15]的试件1~6、文献[9]的试件TA（梁采用HN300×150×6×9，柱采用HW200×200×8×12，T形件采用T175×150×16×16，st为50 mm）、文献[10]的试件JD（梁采用H300×200×8×12，柱采用HW200×200×12×12，T形件采用T250×300×11×15，st为110 mm），采用式（21）进行计算，并与下式[28]进行比对：
| $R_{{\rm{ki}}}^{\rm{w}} = \frac{{192EI}}{{1 +\left. {{12.48t_{{\rm{tf}}}^2}}\right/{{e_{}^2}}}}\frac{{h_0^2}}{{e_{}^3}}{\kern 1pt} .$ | (23) |
式中：e=2st,其中st为T形钢翼缘板螺栓中点到腹板中线的距离；h0=hb+ttw, 其中hb为梁的高度，ttw为T形钢腹板的厚度；ttf为T形钢翼缘的厚度；EI为T形钢翼缘板的抗弯刚度. 结果如表6所示. 表中，令
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表 6 试验结果、式（21）计算结果和式（23）计算结果的对比 Table 6 Comparison of results from proposed formula, experiments conducted and method by Wang |
半刚性节点的初始转动刚度对于钢框架在弹性阶段的内力和变形分析至关重要，已知节点转动刚度，将节点简化为弹簧约束，集成到结构整体刚度矩阵中，可以进行结构分析.
给出T形钢梁柱连接半刚性节点的初始刚度计算公式，利用有限元数值模拟和已有试验数据进行验证对比，通过刚度修正系数，提出建议刚度计算公式. 分析表明，T形钢梁柱半刚性连接的转角主要由与梁受拉侧翼缘相连的T形钢翼缘变形引起，连接的初始转动刚度取决于T形钢翼缘的厚度、螺栓位置、T形钢的长度和梁高等. 本文建议公式（21）和已有的式（23）分别与试验结果进行对比，结果表明，提出的公式更接近试验所得的结果，精确性更好.
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