2. 浙江大学 工业控制技术国家重点实验室, 浙江 杭州 310027
2. National Laboratory of Industrial Control Technology, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China
桥式吊车系统的输入为作用在台车上的驱动力, 由于没有作用在负载上的驱动力, 是一类典型的欠驱动非线性系统.与全驱动系统相比, 欠驱动特性给系统设计和制造带来方便, 缺点是小车运动及外界干扰常会引起负载的摆动过大, 从而降低桥式吊车系统的工作效率, 还可能会导致负载与周围人员或物体发生碰撞而引起人员伤亡或财产损失.桥式吊车的控制目标包括以下两方面：1) 使台车快速准确地到达目的地；2) 使负载的摆动尽可能小.系统的欠驱动特性使得这两个控制目标相互矛盾, 给控制器设计带来挑战.为了保证桥式吊车的高效性和安全性, 迫切需要提出有效的控制方法.因此, 非线性桥式吊车的控制研究受到了学者们的关注[1-5].
PID控制器由于具有结构简单、容易实现、鲁棒性好等优点, 已广泛应用于桥式吊车系统的控制中[6-7].但是, PID控制器的参数整定是十分棘手的问题.近年来的研究成果表明, 利用智能优化算法整定PID控制器参数是有效的途径之一[8-10].
布谷鸟搜索(cuckoo search, CS)算法是由Yang等[11]提出的新型仿生优化算法, 已成功用于PID控制器的参数优化[12-13].CS算法存在一些不足, 例如后期搜索精度不高、收敛速度缓慢等.针对这些问题, 学者们进行了CS算法的改进研究.杨辉华等[14]提出在Lévy飞行中使用动态自适应步长策略, 并根据层级和拥挤距离选择下一代Lévy飞行种群的一种多目标CS算法；Naik等[15]将基于适应度函数值和当前位置的自适应步长策略引入CS算法中；陈亮等[16]提出自适应步长和自适应发现概率的CS算法；王李进等[17]基于各维之间相互干扰的现象, 提出逐维更新和评价的CS算法；Huang等[18]结合Lévy飞行和教学过程, 提出教学布谷鸟搜索算法TLCS(teaching learning-cuckoo search)；Kanagaraj等[19]结合CS算法与遗传算法, 提出布谷鸟搜索-遗传算法CS-GA(cuckoo search-genetic algorithm)以解决分配问题；Huang等[20]利用混沌理论来产生初始鸟巢位置, 改变飞行步长, 重置鸟巢位置；Zhu等[21]提出引入膜交流机制的CS算法, 并用于神经网络模型的参数优化.
上述布谷鸟搜索算法以Lévy飞行随机游动和偏好随机游动为基础产生新解, 布谷鸟个体之间没有信息交流, 展示出布谷鸟独居的生活特性.本文受RNA二级结构的启发, 设计RNA茎环交叉算子以实现布谷鸟个体间的交流.采用基于进化代数的自适应步长策略, 提出具有RNA交叉操作的布谷鸟搜索算法(cuckoo search algorithm with RNA crossover operation, cRNA-CS), 并对5个典型测试函数进行寻优.将cRNA-CS算法用于桥式吊车系统PID控制器的优化设计.仿真结果表明, 所设计的控制器在消摆和定位方面具有更好的控制性能.
1 桥式吊车系统的动力学模型二维桥式吊车系统力学模型如图 1所示.台车在控制力作用下沿桥架水平运动, 同时通过吊绳将负载运送到目标位置.根据拉格朗日法, 对桥式吊车进行建模, 可得如下的动力学模型[4]：
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图 1 桥式吊车系统模型 Fig. 1 Overhead crane model |
| $ \left. \begin{array}{l} \left( {M + m} \right)\ddot x + ml\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right) = F,\\ m{l^2}\ddot \theta - ml\ddot x\cos \theta + m\lg \sin \theta = 0. \end{array} \right\} $ | (1) |
式中：M为台车质量, m为负载质量, g为重力加速度, x为台车位置, θ为负载摆角, l为吊绳长度, F为水平方向上的控制力.
设桥式吊车系统的输入为u=F, 状态变量为XT=[x1, x2, x3, x4]T=
| $ \left. \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2},\\ {{\dot x}_2} = {f_1}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) + {g_1}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right)u,\\ {{\dot x}_3} = {x_4},\\ {{\dot x}_4} = {f_2}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) + {g_2}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right)u,\\ \mathit{\boldsymbol{Y = }}{\left[ {{x_1},{x_3}} \right]^{\rm{T}}}, \end{array} \right\} $ | (2) |
式中：f1、g1、f2、g2为非线性函数,
| $ \left. \begin{array}{l} {f_1} = \frac{{mg\cos {x_3}\sin {x_3} + ml\dot x_3^2\sin {x_3}}}{{M + m{{\sin }^2}{x_3}}},\\ {g_1} = \frac{1}{{M + m{{\sin }^2}{x_3}}},\\ {f_2} = - \frac{{\left( {M + m} \right)g\sin {x_3} + ml\dot x_3^2\cos {x_3}\sin {x_3}}}{{l\left( {M + m{{\sin }^2}{x_3}} \right)}},\\ {g_2} = - \frac{{\cos {x_3}}}{{l\left( {M + m{{\sin }^2}{x_3}} \right)}}. \end{array} \right\} $ | (3) |
由式(1) 可知, 台车的位置x可以通过作用力F直接进行控制, 摆角的抑制则需要利用小车加速度
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图 2 控制结构示意图 Fig. 2 Schematic diagram of control system |
在桥式吊车系统的PID控制中, 合适的PID控制器参数可以使台车快速定位并有效地抑制负载摆动.为此, 提出cRNA-CS算法来进行桥式吊车系统PID控制器优化设计.
3 cRNA-CS算法Lévy飞行使CS算法具有突出的全局搜索能力, 然而复杂的优化问题对智能优化算法提出了更高的要求.Tao等[23]的研究表明, 受RNA分子启发的RNA交叉操作能够使遗传算法获得更好的全局搜索能力.设计RNA茎环交叉算子, 并引入基于进化代数的自适应步长策略, 提出如下的具有RNA茎环交叉操作的布谷鸟搜索算法(cRNA-CS).
3.1 CS算法CS算法是受布谷鸟的繁殖行为和Lévy飞行机制的启发得到的.在寻窝过程中, CS算法作了3个假设：1) 每只布谷鸟一次产一个卵, 并以随机方式选择一个寄生鸟巢；2) 放置在鸟巢中的最好布谷鸟蛋将被保留到下一代；3) 宿主鸟巢的数量是确定的, 布谷鸟蛋被宿主鸟发现的概率是pa∈[0, 1], 被发现后, 宿主鸟将布谷鸟蛋抛弃或者再建立新的鸟巢[11].
在CS算法中, 一个鸟巢位置代表优化问题的一个解.CS算法首先在解空间随机产生初始化候选解, 然后采用Lévy飞行随机游动和偏好随机游动两种方式产生新解, 并以贪婪的方式选择更好的解进入下一代, 算法不断迭代直至满足终止条件, 输出最优解.
在Lévy飞行随机游动中, 布谷鸟寻找新鸟巢位置的公式[11]表示为
| $ \mathit{\boldsymbol{Z}}_i^{t + 1} = \mathit{\boldsymbol{Z}}_i^t + \alpha \oplus \mathit{\boldsymbol{H}}\left( \lambda \right);\;\;\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,n. $ | (4) |
式中：Zit和Zit+1分别表示第i个解在第t和第t+1代的值, α>0用于控制随机搜索范围,⊕表示点乘, H(λ)服从Lévy概率分布.
在偏好随机游动中, 以概率pa丢弃部分解后产生新解的表达式为
| $ \mathit{\boldsymbol{Z}}_i^{t + 1} = \mathit{\boldsymbol{Z}}_i^t + r\left( {\mathit{\boldsymbol{Z}}_j^t - \mathit{\boldsymbol{Z}}_k^t} \right). $ | (5) |
式中：Zjt和Zkt为第t代的两个随机选择的解, r为服从[0, 1]区间的均匀分布的随机数.
3.2 RNA茎环交叉算子由RNA二级结构可知, RNA通过自身回折, 使A与U、G与C之间分别配对, 形成部分碱基配对和单链交替出现的茎环结构, 其中碱基配对形成的双螺旋区域成为茎区, 不形成互补配对的单链结构成为环[24].受该结构的启发, 设计出的RNA茎环交叉操作如图 3所示.
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图 3 RNA茎环交叉操作示意图 Fig. 3 Diagram of RNA stem loop crossover operation |
RNA茎环交叉操作的步骤如下.
1) 随机选取2个鸟巢位置, 将十进制的鸟巢位置转换为四进制, 以便于用数字集{0, 1, 2, 3}代表RNA碱基集{A, U, G, C}, 转换结果如图 3(a)所示(为了简单起见, 每条链仅画出16位并用RNA碱基集表示).
2) 将代表两个鸟巢位置(个体)的两条RNA链末端相连, 形成一条RNA链.
3) 找到RNA链中可以进行碱基配对的茎部分, 如图 3(b)所示的灰底标识的碱基对.
4) 将碱基对之间的环部分(如图 3(b)所示的椭圆形内的一段RNA链)进行镜像操作, 操作结果如图 3(c)所示.
5) 将该RNA链重新对半分开, 形成两条RNA链, 操作结果如图 3(d)所示.将分别代表两个个体的两条RNA链转换成十进制, 即为RNA茎环交叉操作得到的新鸟巢位置.
3.3 自适应步长策略在CS算法中, 为了充分利用最优解获得步长信息, 通常采用下式计算步长信息：
| $ \alpha = {\alpha _0}\left( {\mathit{\boldsymbol{Z}}_i^t - {\mathit{\boldsymbol{Z}}_{{\rm{best}}}}} \right). $ | (6) |
式中：α0为步长控制量, 通常取常数；Zbest为当代最优解.α0取较小值, 不利于初期全局搜索, 而有利于后期局部搜索, 但是易陷入局部最优；α0取较大值, 具有一定的全局搜索能力, 但是易错过最优值, 而且后期不利于局部搜索[16].步长的取值缺乏针对性, 影响算法的性能.针对该问题, 杨辉华等[14-17]提出α0动态自适应策略, 并给出不同的α0表达式.本文引入一个与进化代数有关的步长控制量, 该控制量随着进化代数的增加而减少.借鉴文献[23]的自适应变异概率公式, α0定义为
| $ {\alpha _0} = {a_1} + \frac{{{b_1}}}{{1 + \exp \left[ {{c_1}\left( {g - {g_0}} \right)} \right]}}. $ | (7) |
式中：a1为初始时刻的步长, b1为步长变化范围, c1和g0分别为步长变化最大时候的斜率和对应的进化代数, g为当前进化代数.
3.4 cRNA-CS算法实现步骤cRNA-CS算法的流程图如图 4所示.
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图 4 cRNA-CS算法流程图 Fig. 4 Flow chart of cRNA-CS algorithm |
具体的实现步骤如下
1) 初始化参数和种群.首先设定最大进化代数Gmax、鸟巢数目n、搜索空间维数D、被发现概率pa、编码长度L、步长参数a1、b1、c1、g0；然后随机产生n个鸟巢位置, 计算每个鸟巢位置的适应度.
2) 计算自适应步长, 按照式(4) 更新每个鸟巢位置.
3) 计算新鸟巢位置的适应度, 与更新前的鸟巢位置进行比较, 选择适应度好的鸟巢位置, 得到一组更好的鸟巢位置.
4) 产生服从均匀分布的随机数{wi), (i∈1, 2, …, n}.若wi＜pa, 则按式(5) 更新对应的鸟巢位置.
5) 重复步骤3).
6) 选择〈n/3〉个较好鸟巢位置进行RNA茎环交叉操作, 其中, 〈.〉表示指取整操作.
7) 重复步骤3).
8) 判断是否满足终止条件.若满足, 则终止算法；否则转步骤2).
4 数值寻优与结果为了检验cRNA-CS算法的性能, 分析RNA茎环交叉操作和基于进化代数的自适应步长策略对算法性能的影响, 选择5个无约束测试函数进行寻优测试.各函数的全局最小值均为fmin(0, 0, …, 0)=0, 测试函数如下.
1) Sphere函数.
| $ {f_1}\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^D {x_i^2} ;\;\;\;D = 30,{x_i} \in \left[ { - 1.5,1.5} \right]. $ | (8) |
2) Matyas函数.
| $ \left. \begin{array}{l} {f_2}\left( x \right) = 0.26\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 0.48{x_1}{x_2};\\ D = 2,{x_i} \in \left[ { - 10,10} \right]. \end{array} \right\} $ | (9) |
3) Rastrigin函数.
| $ \left. \begin{array}{l} {f_3}\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^D {\left[ {x_i^2 - 10\cos \left( {2{\rm{\pi }}{x_i}} \right) + 10} \right]} ;\\ D = 10,{x_i} \in \left[ { - 10,10} \right]. \end{array} \right\} $ | (10) |
4) Schaffer函数.
| $ \left. \begin{array}{l} {f_4}\left( x \right) = 0.5 + \frac{{{{\sin }^2}\sqrt {x_1^2 + x_2^2} - 0.5}}{{{{\left[ {1 + 0.001\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)} \right]}^2}}};\\ D = 2,\;\;{x_1},{x_2} \in \left[ { - 100,100} \right]. \end{array} \right\} $ | (11) |
5) Ackley函数.
| $ \begin{array}{l} {f_5}\left( x \right) = 20 + e - 20\exp \left[ { - 0.2 \times \sqrt {\frac{1}{D}\sum\limits_{i = 1}^D {x_i^2} } } \right] - \\ \exp \left[ {\frac{1}{D}\sum\limits_{i = 1}^D {\cos \left( {2{\rm{\pi }}{x_i}} \right)} } \right];D = 200,{x_i} \in \left[ { - 32,32} \right]. \end{array} $ | (12) |
在寻优实验中, 分别采用cRNA-CS算法和CS算法对以上的测试函数进行寻优测试, 并与文献[16]的自适应布谷鸟搜索算法ACS(self-adaptive cuckoo search)算法进行对比.为了实现公平比较, CS算法的参数设置与文献[16]相同.为了保持cRNA-CS算法与CS算法具有相同的函数评价次数, 取鸟巢数目n=15, 另外L=20, a1=1, b1=1, c1=20/Gmax, g0=Gmax/2, 其余参数与CS算法相同(注：在进行RNA茎环交叉操作的时候, RNA链的长度为L×D).测试用的计算机环境如下：Windows 7, Intel双核处理器, 编译环境为：Matlab 2013 a.对每个测试函数独立运行100次, 并记录最优解、最差解、平均值和方差.实验结果如表 1所示, 其中, ACS算法的测试结果来源于文献[16](ACS算法的计算结果精度＜10-16时, 记为0；cRNA-CS算法和CS算法的精度＜10-20时, 记为0).
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表 1 寻优结果比较 Table 1 Comparison of optimization results |
由表 1可知, 对于f1, 3种优化算法的解均接近于最优值, 但是cRNA-CS算法接近程度更好；对于f2和f4, cRNA-CS算法和ACS算法均能找到最优解, cRNA-CS算法的解稳定性优于ACS算法；对于f3和f5, 虽然cRNA-CS算法的解稳定性改进不显著或有所下降, 但是解精度显著优于ACS.综上所述, 在寻优精度上, cRNA-CS算法的改进效果更明显.
4.2 搜索能力比较图 5(a)~(e)给出cRNA-CS算法和CS算法求解5个测试函数时的收敛过程.图中, G为进化代数, F为运行100次的平均误差的自然对数值.
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图 5 函数f1~f5的收敛曲线 Fig. 5 Convergence curves for f1-f5 functions |
图 5(a)~(c)显示, 对于f1~f3, cRNA-CS算法和CS算法均具有持续的收敛趋势, 但是cRNA-CS算法的收敛性更好；图 5(d)显示, 对于f4, CS算法前期的收敛趋势较好, 但是后期出现了明显的早熟现象, cRNA-CS算法具有更好的收敛性能；图 5(e)表明, 对于f5, 和cRNA-CS算法相比, CS算法出现了很明显的收敛缓慢的现象.
综上所述, cRNA-CS算法具有更好的搜索能力, 而且解的精度更高.
5 PID控制器参数优化及结果分析为了检验由cRNA-CS算法优化得到的PID控制器的性能, 在桥式吊车系统控制仿真实验中, 分别采用cRNA-CS算法、CS算法和单纯形算法对PID控制器参数进行优化整定, 并将仿真控制结果与文献[10]的PSO-PID仿真结果进行比较.
实验条件[10]如下：台车质量M=5 kg, 负载重量m=1 kg, 绳长l=0.75 m, 初始状态为X0=[0, 0, 0, 0], 目标状态为Xd=[1, 0, 0, 0].
cRNA-CS算法和CS算法的最大进化代数设置为Gmax=50, 其余参数的取值与4章相同, 控制器的参数范围均为[0, 200], 单纯形算法的初始值为
| $ {K_{{\rm{p}}x}} = 50,{K_{{\rm{i}}x}} = 0,{K_{{\rm{d}}x}} = 50,{K_{{\rm{p}}\theta }} = 50,{K_{{\rm{d}}\theta }} = 50. $ |
采用式(13) 的目标函数, 其中t=40 s：
| $ J = \int_0^t {\left( {t\left| x \right| + t\left| \theta \right|} \right){\rm{d}}t} . $ | (13) |
如图 6所示为cRNA-CS算法和CS算法优化PID控制器参数时对应的目标函数寻优过程.可以看出, cRNA-CS算法具有更快的收敛性能, 在20代时已经收敛.
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图 6 两种算法的目标函数寻优过程 Fig. 6 Optimization process of two algorithm |
所用的4种优化算法得到的控制器参数(Kpx, Kix, Kdx, Kpθ, Kdθ)寻优结果如表 2所示.
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表 2 PID控制器参数 Table 2 PID parameters |
图 7、8分别给出使用表 2参数的PID控制器获得的桥式吊车位置和摆角曲线.如表 3、4所示为具体的控制性能指标.
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图 7 位置曲线 Fig. 7 Curve of trolley position |
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图 8 摆角曲线 Fig. 8 Curve of swing angle |
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表 3 位置性能指标 Table 3 Trolley position performance |
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表 4 摆角性能指标 Table 4 Swing angle performance |
cRNA-CS算法优化的PID控制器在位置控制和摆角抑制上都明显优于CS算法和PSO算法优化的PID控制器.虽然与单纯形算法优化的PID控制器相比, 位置控制效果改进不明显, 超调量有所减少, 但是调节时间略有增加；在摆角抑制效果上, cRNA-CS的效果显著, 调节时间减少4.8%, 最大幅值减少了31.4%.从总体上看, cRNA-CS-PID控制器的消摆和定位性能优于单纯形PID控制器、CS-PID控制器和PSO-PID控制器.
5.2 鲁棒性实验为了验证cRNA-CS优化的PID控制器对桥式吊车系统参数变化具有的鲁棒性, 选取3组不同的系统参数进行鲁棒性仿真实验.第1组参数为m=1 kg, l=1 m；第2组参数为m=0.5 kg, l=1 m；第3组参数为m=0.5 kg, l=0.75 m.将实验结果与5.1节参数的实验结果比较, 如图 9、10所示.
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图 9 位置曲线 Fig. 9 Curve of trolley position |
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图 10 摆角曲线 Fig. 10 Curve of swing angle |
从图 9可以看出, 不论是负载质量变化还是吊车绳长的改变, 小车位置响应曲线都没有明显的变化.从图 10的曲线变化情况可以看出, 随着负载质量的增加, 摆角会小幅度减小；随着绳长的增加, 负载摆角和摆动时间均有小幅增加.由此可以得出结论, 对于不同的系统参数, cRNA-CS-PID控制器都能够表现出较好的鲁棒性.
6 结语本文提出具有RNA茎环交叉操作的布谷鸟搜索算法(cRNA-CS).对5个典型测试函数的数值寻优结果表明, 利用RNA茎环交叉操作和基于进化代数的自适应步长策略显著提高了算法的搜索能力和解的精度.将cRNA-CS用于桥式吊车系统PID控制器参数的优化整定.仿真实验结果表明, cRNA-CS优化的PID控制器的消摆和定位效果更好, 对桥式吊车系统的参数变化具有一定的鲁棒性.
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