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  浙江大学学报(工学版)  2017, Vol. 51 Issue (5): 976-983  DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2017.05.018
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张心怡, 杨家强, 张晓军. 基于机会约束的含多风电场动态经济调度[J]. 浙江大学学报(工学版), 2017, 51(5): 976-983.
dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-973X.2017.05.018
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ZHANG Xin-yi, YANG Jia-qiang, ZHANG Xiao-jun. Dynamic economic dispatch incorporating multiple wind farms based on FFT simplified chance constrained programming[J]. Journal of Zhejiang University(Engineering Science), 2017, 51(5): 976-983.
dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-973X.2017.05.018
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作者简介

张心怡(1991—), 女, 硕士, 从事含风电电力系统优化调度等研究.
orcid.org/0000-0001-8510-3997.
E-mail: zxyniji@zju.edu.cn

通信联系人

杨家强, 男, 副教授.
orcid.org/0000-0002-3822-3301.
E-mail: yjq1998@163.com

文章历史

收稿日期:2016-12-15
基于机会约束的含多风电场动态经济调度
张心怡 , 杨家强 , 张晓军     
浙江大学 电气工程学院, 浙江 杭州 310027
摘要: 为了解决风电出力的不确定性给电网安全运行带来的威胁, 提出基于快速傅里叶变换(FFT)快速计算卷积化简机会约束规划的动态经济调度算法.针对多个风电场同时接入系统的复杂情况, 在风电出力概率和负荷预测的基础上, 保证正、负旋转备用能满足负荷和风电实际出力的波动, 应用机会约束规划建立了考虑失负荷和弃风风险的含风电场电力系统动态经济调度模型;利用FFT快速计算卷积求取联合变量的概率分布以将机会约束转化为确定性约束简化得到确定性模型, 并用CPLEX进行求解, 该方法大大减少了算法的运算时间.以修改的10机39节点系统为算例验证了所提调度模型的正确性及化简方法的有效性.
关键词: 风力发电    动态经济调度    概率预测    机会约束规划    卷积    快速傅里叶变换(FFT)    失负荷风险    弃风    
Dynamic economic dispatch incorporating multiple wind farms based on FFT simplified chance constrained programming
ZHANG Xin-yi , YANG Jia-qiang , ZHANG Xiao-jun     
College of Electrical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China
Abstract: The uncertainty of wind power may threaten the safety operation of power system with the increase of wind power in the system, especially in the complex case of multiple wind farms are simultaneously incorporated. A dynamic economic dispatch algorithm incorporating multiple wind farms was proposed based on FFT simplified chance constrained programming. On the base of wind power and load probabilistic forecasting, a stochastic dynamic economic dispatch model was proposed based on chance constrained programming, ensuring that the uncertainty caused by wind power and load can be offset by spinning reserve under given confidence interval. Then FFT was used to convert chance constraints into deterministic constraints by computing the probability distribution of joint variables, and the final deterministic model was solved by CPLEX. The simulation results based on modified IEEE-39 system with multiple wind farms demonstrated the feasibility and effectiveness of the proposed method.
Key words: wind power    dynamic economic dispatch    probability distribution forecast    chance constrained programming    convolution    fast Fourier transform (FFT)    risk of load losing    wind power curtailment    

近年来, 由于传统化石能源储量有限且会带来较大的污染, 而风力发电具有无污染、零排放等特点, 得到了世界各国的广泛关注.但风力发电具有较大的波动性和随机性, 大规模的风电并网会对电网安全运行带来威胁.

动态经济调度(dynamic economic dispatch, DED)是在已知机组启停状态基础上, 根据未来若干时段的负荷预测信息, 考虑各时段间的爬坡率约束及每个时段的有功平衡等约束, 以总的发电成本最小为目标优化各机组的出力[1-2].对于含大规模风电场并网的动态经济调度问题, 风电不确定性的引入和处理是研究重点.鲁棒优化(robust optimization, RO)针对于最坏的情况做出决策, 优化结果具有保守性[3-5].随机规划(stochastic programming, SP)以概率分布模型表示风电不确定性, 被广泛用于求解包含风电的动态经济调度[6].

随机规划包含场景分析法和机会约束规划等方法.场景分析法(scenarios analysis)没有明确的风险指标[6-9].而机会约束规划(chance constrained programming)包含明确的可靠性以及风险指标, 以概率的形式保证电力系统DED的安全[10-19].Wang等[12]保证风电出力的利用率;也有学者以降低系统运行风险为目标, 保证所有时段的发电出力总和以不低于置信区间的概率大于负荷总量[13].

基于机会约束的随机规划模型一般不能直接求解, 需要进行简化处理.常见的处理方法有:1) 将机会约束转化为确定性约束[11, 13-16];2) 采用随机模拟近似机会约束成立的概率[12, 18-19], 随机生成大量确定性场景.当场景总数足够多时, 以优化结果满足机会约束的场景数占总场景数的比例近似表示机会约束成立的概率[12], 计算量大.因此, 本文采纳将机会约束转化为确定性约束的方法, 难点在于联合变量的累积分布函数(Cumulative distribution function, CDF)及其反函数的快速求解;目前, 多应用于含单风电场的动态经济调度[15].王豹等[15]采用通用分布表示风电出力, 具有解析形式的累积分布函数, 便于将机会约束转化为确定性约束, 但不适用于对应的CDF没有解析表达式的概率分布, 且只考虑了单个风电场.若仅考虑单风电场和负荷的不确定性, 联合变量的累积分布函数可由二重积分得到[22];但包含多风电场时, 联合变量的CDF须由多重数值积分得到, 耗费大量运算时间.刘德伟等[17]运用离散卷积求解线路潮流和系统所需备用的概率密度函数(Probability density function, PDF), 当离散序列很长时运算效率低.快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)能加快概率密度函数的求解[20-21], 采用FFT求离散卷积获得联合变量的概率分布.

本文基于机会约束规划建立了含风电场电力系统的动态经济调度模型, 计入负荷和风电出力的不确定性, 考虑机组爬坡率、线路安全、旋转备用等约束, 以机会约束的形式保证正、负旋转备用满足负荷和风电实际出力的波动, 确保系统失负荷和弃风的风险低于槛值;采用FFT快速计算卷积获得联合变量的概率分布, 以将机会约束转化为确定性约束, 使得模型转化为确定性模型, 大大提高运算效率, 且能有效地应对多个风电场同时接入, 适用于不同风电出力概率模型;最后, 以修改IEEE39节点系统为算例, 验证算法可行性.

1 含多风电场的动态经济调度模型

本文考虑负荷及风电出力的不确定性对动态经济调度带来的影响, 首先建立了负荷及风电出力不确定性的概率分布模型;接着建立了基于机会约束规划的含风电场电力系统动态经济调度模型, 给出了模型的目标函数和约束条件.

1.1 负荷及风电出力不确定性的建模

负荷的不确定性通常用正态分布[22]或多元正态分布[13]表示.本文中, 负荷模型采用正态分布表示.负荷的概率模型为

$ \Delta {{P}_{\text{load, }t}}\tilde{\ }{{N}_{1}}\left( 0, {{\sigma }^{2}}_{\text{load, }t} \right), t=1, 2, \ldots, T. $ (1)
$ {{P}_{\text{load}, t}}={{\bar{P}}_{\text{load, }t}}+\Delta {{P}_{\text{load}, t}}, t=1, 2, \ldots, T. $ (2)

式中:ΔPload, t为负荷预测误差;Pload, t为各个时段的实际负荷值;$ {{\bar{P}}_{\text{load}, t}} $t时段的负荷预测值;σload, tt时段的负荷预测误差标准差;T为调度周期总时段数,N1为正态分布符号.

对于风电出力的不确定性, 本文先获得风速的概率分布, 借由风速-风功率的关系曲线得到风电出力的不确定性概率模型.

1) 风速的概率分布

利用均值为$ {{\bar{v}}_{t}} $、标准差为σv, t的正态分布表示风速随机变量V.t时段风速概率模型为

$ {{v}_{t}}\text{ }\!\!\tilde{\ }\!\!\text{ }{{N}_{1}}\left( {{{\bar{v}}}_{t}}, {{\sigma }_{v, t}}^{2} \right). $ (3)

2) 风速-风功率关系曲线

风速-风功率关系曲线与风机类型有关, 可以由下式的分段函数[23]近似.

$ {{P}_{\text{w}}}=\left\{ \begin{align} &\ \ \ \ \ 0, \ \ \ \ \ {{v}_{t}}\le {{v}_{\text{in}}}\text{或}{{v}_{t}}\ge {{v}_{\text{out}}}; \\ &a+b{{v}_{t}}^{3}, \ \ \ \ \ {{v}_{\text{in}}}<{{v}_{t}}<{{v}_\text{r}}; \\ &{{P}_{\text{R}}}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{v}_{\text{r}}}\le {{v}_{t}}<{{v}_{\text{out}}}. \\ \end{align} \right. $ (4)
$ a=-\frac{{{P}_{\text{R}}}{{v}_{\text{in}}}^{3}}{{{v}_{\text{r}}}^{3}-{{v}_{\text{in}}}^{3}}, \ \ \ \ \ \ \ b=\frac{{{P}_{\text{R}}}}{{{v}_{\text{r}}}^{3}-{{v}_{\text{in}}}^{3}}. $

式中:Pw为单台风电机的出力(MW);vin为切入风速(m/s);vr为额定风速;vout为切出风速;PR为单台风机额定装机容量(MW).为了简化模型, 假设风电场中每台风机是完全一样的, 忽略尾流效应, 每一风电场的总风电功率为单台风机出力乘以一个风电场内风机总数, 记为wav.

3) 风电场出力的概率模型

得到风速的概率分布以及风速-风电出力关系曲线后, 风电场可用风电功率是一个混合型随机变量, 采用Wav来表示.其离散部分和连续部分的概率分布率可在文献[22]中找到计算公式.

1.2 目标函数

考虑多个风电场同时接入, 每个风电场出力的不确定性模型由风电场各自的风速预测值、预测误差、装机容量与风机数量计算得到.

目标函数由4部分组成, 表达式如下:

$ \begin{align} &{{F}_{\text{obj}}}=\text{min}\sum\limits_{t=1}^{T}{[\sum\limits_{i=1}^{N}{{{C}_{i, t}}\left( {{P}_{i, t}} \right)+}\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{C}_{w, j, t}}\left( {{w}_{j, t}} \right)+}} \\ &\sum\limits_{i=1}^{N}{{{C}_{p}}\left( {{r}_{i, t}}^{d} \right)+}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{C}_{r}}\left( {{r}_{i, t}}^{u} \right)}]. \\ \end{align} $ (5)

式中:Fobj表示目标函数总和;N为常规火电机组数目;Nw为风电场数目, wj, t为风电场jt时段的计划出力.

式(5) 中, 第1项为传统火电机组的燃料成本, 用二次函数表示.第2项为风电场的直接发电成本, 选用风电计划出力的线性函数表示;也可忽略风力发电成本, 将风力发电成本系数设为0即可.第3项为系统负旋转备用成本, 是风电实际出力大于风电计划出力时对风电功率浪费的惩罚成本.第4项为系统正旋转备用成本, 是风电实际出力小于风电计划出力时的风险备用成本.4项表达式如下

$ \left. \begin{align} &{{C}_{i, t}}\left( {{P}_{i, t}} \right)={{a}_{i}}{{P}_{i, t}}^{2}+{{b}_{i}}{{P}_{i, t}}+{{c}_{i}}, \\ &{{C}_{w, j, t}}\left( {{w}_{j, t}} \right)={{d}_{w, j}}{{w}_{j, t}}, \\ &{{C}_{p}}\left( {{r}_{i, t}}^{d} \right)={{k}_{p}}{{r}_{i, t}}^{d}, \\ &{{C}_{r}}\left( {{r}_{i, t}}^{u} \right)={{k}_{r}}{{r}_{i, t}}^{u}. \\ \end{align} \right\} $ (6)

式中:aibici分别为燃料成本系数;Pi, t为火电机组it时段的有功功率.dw, j为风电场j的发电成本系数;kp为负旋转备用的成本系数;ri, td为第i台常规机组在t时段的向下旋转备用需求量.kr为正旋转备用的成本系数;ri, tu为第i台常规机组在t时段的向上旋转备用需求量.

1.3 约束条件

本文基于机会约束规划建模, 其约束条件中包含不确定变量的不等式约束在一定置信水平上成立.为简化计算, 包含不确定变量的等式约束选取计划值.约束条件包含有功功率平衡约束、常规发电机的出力上下限约束、机组爬坡率约束、线路安全约束等.

1) 有功平衡约束

$ \sum\limits_{i=1}^{N}{{{P}_{i, t}}+}\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{w}_{j, t}}={{{\bar{P}}}_{\text{load}, t}}, \ \ \ \ \ \ \ \ \forall t\in T.} $ (7)

式中:风电出力总和记为$ {{P}_{w, t}}=\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{w}_{j, t}}} $.

2) 出力上下限约束

$ {{P}_{i}}^{\text{min}}\le {{P}_{i, t}}\le {{P}_{i}}^{\text{max}}\ \ \ \ \ \ \ \ \forall i\in N, t\in T. $ (8)
$ 0\le {{w}_{j, t}}\le {{w}_{r, j}}\ \ \ \ \ \ \ \ \forall j\in {{N}_{w}}, t\in T. $ (9)

式中:PiminPimax分别为常规机组i的有功出力最小、最大值;wr, j为风电场j的额定装机容量(由单机容量乘以装机台数可得).

3) 机组爬坡率约束

$ -{{R}_{i}}^{\text{down}}\le {{P}_{i, t}}-{{P}_{i, t-1}}\le {{R}_{i}}^{\text{up}}, \text{ }t=2, 3, \ldots, T. $ (10)
$ -{{R}_{i}}^{\text{down}}\le {{P}_{i, t}}-{{P}_{i, 0}}\le {{R}_{i}}^{\text{up}}, \ \ \ \ \ \ \ \ t=1. $ (11)

式中:RidownRiup分别表示调度周期内每个时段(1 h)的最大向下、向上爬坡率(MW/h);Pi, t-1为火电机组i在(t-1) 时段的有功功率;Pi, 0为优化调度前的传统机组出力初始值.

4) 线路潮流安全约束

选取直流潮流计算线路的潮流, 其计算精度能满足动态经济调度的要求, 且计算速度快, 其中转移矩阵的计算参考文献[24].

$ \begin{align} &\left( 1-\mu \right){{\underline{L}}_{k, t}}\le \sum\limits_{i=1}^{N}{{{G}_{k, i}}{{P}_{i, t}}+}\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{G}_{k, j}}{{w}_{j, t}}-} \\ &\sum\limits_{q=1}^{D}{{{G}_{k, q}}{{d}_{q, t}}}\le \left( 1-\mu \right){{\overline{L}}_{k, t}}, \\ &\forall k\in {{I}_{k}}, t\in \left\{ 1, 2, \ldots, T \right\}. \\ \end{align} $ (12)

式中:Ik为传输断面下标集合;Gk, i为第k个传输断面潮流对第i台常规发电机组的转移分布因子;Gk, jGk, q分别为第k个传输断面潮流对第j个风电场和第q个节点负荷的转移分布因子;D为带有负荷的节点集合.$ {\overline L _{k,t}} $$ {\underline L _{k,t}} $分别为传输断面k的潮流上下限;μ为传输线路为风电波动预留的传输容量占各支路最大传输容量的比例.

5) 旋转备用约束

$ 0\le {{r}_{i, t}}^{u}\le \text{min}\left( {{P}_{i}}^{\text{max}}-{{P}_{i, t}}, \text{ }{{r}_{i}}^{u, \text{max}} \right). $ (13)
$ 0\le {{r}_{i, t}}^{d}\le \text{min}\left( {{P}_{i, t}}-{{P}_{i}}^{\text{min}}, \text{ }{{r}_{i}}^{d, \text{max}} \right). $ (14)

式中:riu, maxrid, max分别为第i台常规机组在t时段能提供的最大正、负旋转备用容量.式(13) 和(14) 是针对于单台火电机组的旋转备用容量的约束.所有常规机组的总正旋转备用记为$ {{\operatorname{P}}_{\text{ru}, t}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{i, t}}^{u}} $, 总负旋转备用记为$ {{\operatorname{P}}_{\text{rd}, t}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{i, t}}^{d}} $.

6) 系统失负荷风险与风电功率浪费风险

保证正、负旋转备用容量以一定的置信区间大于等于风电实际出力的波动与负荷误差波动总和.当风电实际出力小于计划出力、负荷实际值大于预测值时, 需要传统机组提供正旋转备用, 以保证系统安全运行;若正旋转备用容量不够, 则会出现失负荷的情况.当风电实际出力大于计划出力、负荷实际值小于预测值时, 需提供负旋转备用, 否则, 可能会出现风电功率被浪费的风险.备用容量的机会约束如下式所示.

$ \text{Pr}\left\{ \sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{i, t}}^{u}\ge }\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{\left( {{w}_{j, t}}-{{w}_{\text{av}, j, t}} \right)+\Delta {{P}_{\text{load}, t}}} \right\}\ge {{c}_{\text{u}}}. $ (15)
$ \text{Pr}\left\{ \sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{i, t}}^{d}\ge }\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{\left( {{w}_{\text{av}, j, t}}-{{w}_{j, t}} \right)-\Delta {{P}_{\text{load}, t}}} \right\}\ge {{c}_{\text{d}}}. $ (16)

式中:cucd分别表示正、负旋转备用满足要求的置信区间;wav, j, t为风电场jt时段的实际可用风电出力, 即可用风电出力.定义系统失负荷风险为正旋转备用不能满足有功功率缺额的概率, 取值为1减去式(15) 左侧的概率;风电功率浪费风险定义为实际风电出力未完全利用而出现弃风的概率, 取值为1减去式(16) 左侧的概率.

本文所提出的含多风电场电力系统动态经济调度随机模型如式(5)-(16) 所示, 系统失负荷风险与风电功率被浪费风险采用机会约束表示.本文提出的动态经济调度问题属于非线性规划.

2 基于FFT求卷积化简机会约束

在建立了动态经济调度模型后, 本节采用FFT快速求解卷积获得联合变量的概率密度分布, 将机会约束(Chance constraints)转化为确定性的不等式约束, 随机优化模型转化为确定性的优化模型.

2.1 机会约束的化简

将式(15) 和(16) 转化为线性、确定性约束, 化简步骤如下.

$ \begin{align} &\text{Pr}\left\{ \sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{i, t}}^{u}}\ge \sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{\left( {{w}_{j, t}}-{{w}_{\text{av}, j, t}} \right)+\Delta {{P}_{\text{load}, t}}} \right\}= \\ &1-\text{Pr}\left\{ \sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{w}_{\text{av}, j, t}}-\Delta {{P}_{\text{load}, t}}\le }\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{w}_{j, t}}}-\sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{i, t}}^{u}} \right\}\ge {{c}_\text{u}}. \\ \end{align} $ (17)
$ \begin{align} &\text{Pr}\left\{ \sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{i, t}}^{d}}\ge \sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{\left( {{w}_{\text{av}, j, t}}-{{w}_{j, t}} \right)-\Delta {{P}_{\text{load}, t}}} \right\}= \\ &\text{Pr}\left\{ \sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{w}_{\text{av}, j, t}}-\Delta {{P}_{\text{load}, t}}\le }\sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{i, t}}^{d}}+\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{w}_{j, t}}} \right\}\ge {{c}_{\text{d}}}. \\ \end{align} $ (18)

式(17) 和(18) 中将不确定变量移到概率约束的左侧, 为了方便化简, 定义新的随机变量Zt满足

$ {{Z}_{t}}\underline{\underline{\Delta }}\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{W}_{\text{av}, j, t}}-\Delta {{P}_{\text{load}, t}}, \ \ \ \ t=1, 2, \ldots, T.} $ (19)

随机变量Zt是由风电场实际出力、负荷预测误差随机变量组成的联合随机变量.进一步化简得

$ \sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{w}_{j, t}}-}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{i, t}}^{u}\le {{F}_{{{Z}_{t}}}}^{-1}\left( 1-{{c}_{u}} \right).} $ (20)
$ \sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{i, t}}^{d}+}\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{w}_{j, t}}\ge {{F}_{{{Z}_{t}}}}^{-1}\left( {{c}_{d}} \right).} $ (21)

式中:FZt-1(·)表示随机变量Zt的累积分布函数的反函数, 其值的计算在下一部分中介绍.式(20) 和(21) 即是化简机会约束得到的线性、确定性约束.

2.2 用FFT快速求联合变量Zt的概率分布

假设各个风电场的实际出力wav, j, t和负荷预测误差ΔPload, t相互独立, 随机变量Zt概率密度函数可由各个独立变量连续卷积得到, 如下式所示

$ \begin{align} &{{f}_{{{Z}_{t}}}}\left( {{z}_{t}} \right)={{f}_{{{W}_{\text{av}, 1, t}}}}\left( {{z}_{t}} \right)*{{f}_{{{W}_{\text{av}, 2, t}}}}\left( {{z}_{t}} \right)*\ldots \\ &*{{f}_{{{W}_{\text{av}, {{N}_{w}}, t}}}}\left( {{z}_{t}} \right)*{{f}_{-\Delta {{P}_{\text{load}, t}}}}\left( {{z}_{t}} \right). \\ \end{align} $ (22)

式中:右式的前Nw项为t时段各风电场的概率密度函数;最后一项是t时段-ΔPload, t的概率密度函数.

概率卷积与信号分析中的卷积定义在数学定义上完全相同.由于风电出力是混合型随机变量, 将各随机变量离散化后, 再进行离散卷积, 但当离散卷积的序列很长时, 也将消耗大量时间.依据时域的卷积相当于频域的乘积, 文中引入FFT快速计算卷积以获得联合变量的PDF、CDF及其反函数.利用FFT快速获得联合变量的概率分布可概括为首先将各随机变量的离散PDF数组经FFT转换到频域, 将得到的频域数组连续相乘后, 再由IFFT反变换得到卷积的结果, 步骤如下:

1) 将各风电场出力和负荷预测误差的概率密度函数离散化.负荷预测误差取[-3σload, t, +3σload, t]区间, 可保证负荷误差在此区间内的概率达99.74%.离散化的原理见图 1, 得(Nw+1) 个离散概率分布数组.

$ \left. \begin{align} &\text{p}{{\text{w}}_{j}}\left( 1 \right)=P\left\{ {{W}_{\text{av}, j, t}}={{w}_{j, \text{min}}}=0 \right\}, \\ &\text{p}{{\text{w}}_{j}}\left( {{N}_{j}} \right)=P\left\{ {{W}_{\text{av}, j, t}}={{w}_{j, \text{max}}} \right\}, \\ &\text{p}{{\text{w}}_{j}}\left( i \right)=f\left( {{w}_{\text{av}, j, t}} \right)\cdot \text{d}w, i=2, 3, \ldots, {{N}_{j}}-1 \\ &j=1, 2, \ldots, {{N}_{w}}. \\ \end{align} \right\} $ (23)
$ \begin{align} &\text{pload}\left( i \right)=f\left( -\Delta {{P}_{\text{load}, t}} \right)\cdot \text{d}{{P}_{\text{load}, t}} \\ &\left( i=1, 2, \ldots, {{N}_{{{N}_{w}}+1}} \right). \\ \end{align} $ (24)
图 1 离散化的原理 Fig. 1 Principle of discretization

式中:pwj为风电场j离散化后的数组, Nj为数组j的长度;wj, minwj, max分别表示风电场j的最小出力、最大出力;pload表示离散化后的负荷预测误差数组;dw和dPload, t表示离散步长(取0.01 MW), NNw+1表示负荷预测误差数组的长度.

2) 根据卷积的定义, 最终卷积结果的长度为

$ {{L}_{\text{conv}}}=\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{\text{len}\left( {{w}_{\text{av}, j, t}} \right)+\text{len}\left( -\Delta {{P}_{\text{load}, t}} \right)-{{N}_{\text{w}}}.} $ (25)

式中:len ( )为各离散数组的长度.

3) 对每个数组进行FFT运算.为保证FFT计算具有最高效率, 将每个数组的长度扩展到比Lconv大的最小的2的整数次幂, 没有值的位置补0;补全后再进行FFT变换.

4) 将变换到频域后的所有数组每个对应的元素相乘(即相同下标的元素相乘), 将相乘得到的数组进行傅里叶反变换(IFFT)运算, 取前Lconv项即为卷积的结果(记为pZt), 得到每个元素对应的联合变量Zt的大小后, 可得随机变量Zt的概率分布.

5) 得到联合变量Zt的取值范围.其最小值Zt, min为所有风电场的最小出力加上负荷预测误差的最小值;最大值Zt, max为所有随机变量的最大值之和;离散步长取dZt=0.01 MW.

$ {{Z}_{t, \text{min}}}=\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{w}_{j, \text{min}}}-3{{\sigma }_{\text{load}, t}}.} $ (26)
$ {{Z}_{t, \text{max}}}=\sum\limits_{j=1}^{{{N}_{w}}}{{{w}_{j, \text{max}}}+3{{\sigma }_{\text{load}, t}}.} $ (27)

6) 卷积结果pZt是各个离散点的概率, 所有元素的总和为1.对下标为i的离散点, 对应的变量Zt的CDF取下标不大于i的离散点的概率求和.

$ {{F}_{{{Z}_{t}}}}\left( i \right)=\sum\limits_{m=1}^{i}{\text{p}{{\text{Z}}_{t}}\left( m \right), \ \ \ \ \ \ \ i=1, 2, \ldots, {{L}_{\text{conv}}}.} $ (28)

联合变量Zt与离散概率分布、累积分布函数FZt的对应关系如图 2所示.

图 2 联合变量与概率分布的对应关系 Fig. 2 Correlation between discrete joint variable Zt and its probability distribution

7) 利用二分法对应随机变量Zt的CDF数组和Zt的离散数组, 可得到其CDF的反函数FZt-1(·).

以上计算能快速、准确地获得随机变量Zt的累积分布函数及其反函数, 式(20) 和(21) 右侧的值即可求得.利用FFT求卷积获得联合变量的PDF和CDF不仅适用于文中提出的概率分布, 也能用于其他分布(比如Beta分布、Gaussian分布等);亦适用于不同风电场满足不同的分布, 具有通用性.利用FFT求卷积得到联合变量概率分布的流程如图 3所示.

图 3 利用FFT快速求卷积得联合变量的概率分布的流程 Fig. 3 Joint variable's probability distribution computation
3 算例验证及分析 3.1 模型参数设置

本节采用修正IEEE39节点系统验证上述模型和算法的正确性.各常规发电机组有功出力上下限、发电成本系数及爬坡率约束均参考文献[1].各常规机组能提供的最大总正、负旋转备用容量为230 MW.正、负旋转备用系数:kr=30 $/(MW·h), kp=20 $/(MW·h).正、负旋转备用满足要求的置信区间:cu=cd=0.95.风电场的发电成本系数dw, j均为12 $/(MW·h).算法运行环境为Matlab R2014a, 采用CPLEX 12.5进行求解.计算机主频为2.53 GHz、内存为3 GB.

节点11、17、28分别接入装机容量45、60、90 MW的风电场.风电机组的参数分别为:vin=4 m/s, vr=12.5 m/s, vout=20 m/s[22].系统研究周期T设定为6 h, 每个时段为1 h.负荷预测值取Basu[1]所用的前6个时段的负荷预测值, 负荷服从正态分布, 假定标准差取为负荷预测值的7%.线路潮流的上下限$ {\underline L _{k,t}} $$ {\overline L _{k,t}} $取-260和260 MW;所有线路为风电波动预留的传输容量占对应线路最大传输容量的比例取μ=5%.各常规机组在初始有功出力随机生成.各风电场在各个时段的风速预测值按其概率分布模型随机生成, 风速预测值的方差取为风速预测值的0.08倍.

3.2 调度优化结果

模型中对于风电计划出力的约束更针对于总的风电计划出力, 为了更好地将总风电计划出力分配到各个风电场, 将风电计划出力高于风电预测出力值的偏差作为惩罚加入到目标函数中, 以平方项的形式加入到目标函数中, 系数取2.经优化求解后, 得到目标函数的最优值为471 670 $.如表 1所示对应最优解的常规机组和风电场各时段的有功功率, 对比各时段总发电量与负荷预测值, 优化结果满足有功平衡约束和出力上下限约束;计算相邻时段的有功差额, 机组爬坡率约束满足.表 2给出了各个时段常规发电机预留的总正、负旋转备用容量, 满足失负荷风险与风电功率浪费风险约束.各时段线路潮流绝对值的最大值及最大潮流对应的线路如表 3所示, 仅第6时段线路16-19潮流达到限值, 其他时段各线路都未越限, 能保证网络潮流安全, 记各时段线路的最大潮流绝对值为PLmax, t.

表 1 常规机组及风电场各时段的有功出力 Table 1 Active power outputs of conventional generators and wind farms corresponding to optimal solution
表 2 各个时段常规发电机预留的总正、负旋转备用容量 Table 2 Total amount of spinning reserve corresponding to optimal solution
表 3 各时段最大潮流及其所在线路 Table 3 Maximum power flow and its corresponding line
3.3 置信区间对调度优化结果的影响

在不同的置信水平下对算例进行了仿真, 保持cu=cd不变;省去目标函数中对于风电计划出力高于风电预测出力的惩罚.运行成本随置信区间的变化如表 4所示.表中,Fobj为运行成本.从表 4中可以看出, 随着置信水平的升高, 系统总运行成本增加.风电计划出力和总旋转备用量随置信区间的变化趋势如图 4~6所示.第4和5时段的风电出力都保持最大, 其余时段的总风电计划出力随着置信区间的增加而减小.除去正旋转备用达到上限的时段, 其余时段总正旋转备用随置信区间的增加而增加;负旋转备用容量随置信区间的增加而增加.随着置信区间的增加, 为降低系统运行风险, 预留了更多的旋转备用来保证系统的运行安全.

表 4 运行成本随置信区间的变化 Table 4 Operation cost under different confidence levels
图 4 总风电计划出力随置信区间的变化趋势 Fig. 4 Variation trend of total scheduled wind power with change of confidence interval
图 5 总正旋转备用随置信区间的变化趋势 Fig. 5 Variance trend of total positive reserve with change of confidence interval
图 6 总负旋转备用随置信区间的变化趋势 Fig. 6 Variance trend of total negative reserve with change of confidence interval
3.4 3种转化方法运行时间比较

为验证采用FFT快速将机会约束转化为确定性约束的正确性和快速性, 将结果与直接用卷积化简以及采用数值积分的求解方法相比较, 目标函数中计入风电计划出力高于风电预测出力的惩罚, 不同转化方法运算时间的比较如表 5所示, 算法的运行时间记为t2.

表 5 不同转化方法运算时间的比较 Table 5 Computation time of different methods

表 5可知, 采用FFT求卷积的计算效率要高于根据卷积定义化简, 并远远高于数值积分求解方法;3种方法得到的成本函数相近.由于用FFT求卷积的计算复杂度小于直接根据卷积定义化简;涉及多个风电场时, 采用数值积分求解涉及到多重积分, 计算效率低.随着系统规模增大以及风电场接入的增加, 动态经济调度的求解规模会更大, 采用FFT快速求卷积的优势会更明显.

4 结语

本文基于机会约束规划建立了含风电场电力系统的动态经济调度模型, 采用FFT快速计算卷积以将机会约束转化为确定性约束, 大大减少运算时间, 能快速应对多个风电场同时接入电力系统的情况;该方法具有通用性, 适用于用其他概率分布模型(如Beta分布等)表示风电不确定性.以修改的IEEE39节点系统为算例, 验证调度优化结果与风险置信区间的关系.最后, 验证了采用FFT化简的正确性和快速性, 为调度人员权衡动态经济调度中运行成本与风险提供参考, 也为合理安排常规机组和风电场出力、设置旋转备用容量提供理论依据.

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