表1(Table 1)
2. 兰州交通大学 自动化与电气工程学院, 甘肃 兰州 730070
2. Department of Automation and Electrical Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China
永磁同步电机(PMSM)具有转矩惯量比高、高功率因数等优点, 在工业、交通、军事、航空等重要领域得到了广泛应用.近些年, 在电机控制领域出现了一种引起广泛重视的控制方式——有限控制集模型预测控制(FCS-MPC)[1-4].FCS-MPC在每个采样周期内预测逆变器所有开关组合状态下的电机状态, 通过评价所定义的目标函数来选择电压控制矢量, 实现对电机驱动系统的控制.该方法无需复杂的PWM调制器, 具有良好的动态和稳态性能[1].但是常规FCS-MPC方法需要计算出每个采样周期内VSI全部开关组合状态下系统的预测值, 从而增加了系统控制过程的计算量, 而庞大的计算量是MPC进入工业应用领域的主要瓶颈[5].为了克服常规FCS-MPC上述缺点, Xia等[6]提出了改进型FCS-MPC, 该方法无须计算每个采样周期内VSI所有开关组合状态下的预测电流值, 减小了控制过程的计算量.由于该方法目标函数中的电压参考值由定子电流方程直接推导得到, 外界干扰势必会对电压参考值的准确获取产生不利影响, 从而降低系统的控制性能.
滑模变结构控制对系统参数的变化具有强鲁棒性, 但是由于符号函数sign(s)的缘故, 系统易出现抖振问题[7-8], 通常采用饱和函数sat(s)代替符号函数解决该问题.当系统进入稳态后, 依然会有高频抖振现象出现, 而自抗扰控制中的幂次函数fal (s, α, δ)能够使系统无抖振、单调地收敛[9].
常规的三相六开关逆变器在众多领域得到了普遍应用.在一些特定领域, 为了进一步降低系统成本、提高性价比, 三相四开关逆变器得到越来越多研究者的重视[10-14], 并且三相四开关逆变器可作为三相六开关逆变器短路和开路故障的容错结构[15-17], 对提高系统运行的可靠性具有重要意义.
为了提高FCS-MPC方法的鲁棒性, 本文针对三相四开关逆变器驱动的PMSM系统, 提出基于滑模控制的FCS-MPC策略.为了使电机运行转速快速、准确地跟随参考转速, 设计可以无抖振、单调收敛的滑模转速调节器.
1 三相四开关逆变器PMSM拓扑及数学模型驱动PMSM所采用的三相四开关逆变器拓扑结构如图 1所示, 三相四开关逆变器具有4个开关状态, 可以形成4个电压矢量.如图 2所示, 4个电压矢量的幅值并非完全相等.
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图 1 由三相四开关逆变器驱动的PMSM系统等效结构图 Fig. 1 Equivalent structure of PMSM system fed by three-phase four-switch inverter |
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图 2 三相四开关逆变器的电压矢量分布 Fig. 2 Voltage vector distribution of three-phase four-switch inverter |
对于如图 1所示的系统, 开关状态所对应的定子绕组各相电压[16]为：
| $ \left. \begin{array}{l} {u_{\rm{a}}} = \frac{1}{3}{u_{d{\rm{c}}}}\left( { - {S_{\rm{b}}} - {S_{\rm{c}}} + 1} \right),\\ {u_{\rm{b}}} = \frac{1}{3}{u_{d{\rm{c}}}}\left( { - \frac{1}{2} + 2{S_{\rm{b}}} - {S_{\rm{c}}}} \right),\\ {u_{\rm{c}}} = \frac{1}{3}{u_{d{\rm{c}}}}\left( { - \frac{1}{2} - {S_{\rm{b}}} + 2{S_{\rm{c}}}} \right) \end{array} \right\} $ | (1) |
式中：udc为直流母线电压值, Si(i=b, c)为第i相桥臂的开关状态.桥臂上管导通下管关断时Si=1, 桥臂上管关断下管导通时Si=0.(Sb, Sc)具有(0, 0)、(0, 1)、(1, 0)、(1, 1) 四种开关组合状态.
dq两相旋转坐标系下的PMSM绕组定子电流方程可表示为
| $ \left. \begin{array}{l} L\frac{{{\rm{d}}{i_d}}}{{{\rm{d}}t}} = - {R_{\rm{s}}}{i_d} + {\omega _{\rm{e}}}L{i_d} + {u_d},\\ L\frac{{{\rm{d}}{i_q}}}{{{\rm{d}}t}} = - {R_{\rm{s}}}{i_q} - {\psi _{\rm{f}}}{\omega _{\rm{e}}} - {\omega _{\rm{e}}}L{i_d} + {u_q}. \end{array} \right\} $ | (2) |
式中：id、iq和ud、uq分别为定子电流、电压的d、q轴分量, ψf为永磁体磁链, Rs为定子电阻, L为绕组电感, ωe为转子电气角速度.
电机机械转动方程为
| $ J\frac{{{\rm{d}}{\omega _m}}}{{{\rm{d}}t}} = {T_{\rm{e}}} - {T_{\rm{L}}} - {B_{\rm{m}}}{\omega _{\rm{m}}} - {T_{\rm{f}}}. $ | (3) |
式中：ωm为转子机械角速度；J为转动惯量；TL为负载转矩；Bm为阻力摩擦系数；Tf为库伦摩擦转矩；Te为电磁转矩：
| $ {T_{\rm{e}}} = \frac{3}{2}p\left[ {{\psi _{\rm{f}}}{i_q} + \left( {{L_d} - {L_q}} \right){i_d}{i_q}} \right]. $ | (4) |
其中, p为极对数, Ld、Lq分别为PMSM的d、q轴电感.
对于隐极式永磁同步电机而言, Ld=Lq, 故
| $ {T_{\rm{e}}} = \frac{3}{2}p{\psi _{\rm{f}}}{i_q}. $ | (5) |
控制系统的拓扑结构如图 3所示.针对电机系统的常规FCS-MPC方法转速环采用PI调节器, 本文通过设计滑模转速调节器使电机转速快速、准确地跟踪参考值.
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图 3 基于滑模控制的三相四开关逆变器PMSM的FCS-MPC系统框图 Fig. 3 Block diagram of FCS-MPC for PMSM system driven by three-phase four-switch inverter using sliding mode control |
定义ωr*为转速参考值, 则转速误差定义为
| $ {e_\omega } = \omega _{\rm{r}}^ * - {\omega _{\rm{r}}}. $ | (6) |
式中：ωr为电机转速.
滑模切换面设计为
| $ {S_\omega } = {e_\omega }. $ | (7) |
进一步可得
| $ \frac{{{\rm{d}}{S_\omega }}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{\omega _{\rm{r}}^ * }}{{{\rm{d}}t}} - \frac{{3{p^2}}}{{2J}}{\psi _{\rm{f}}}{i_q} + \frac{p}{J}{B_{\rm{m}}}{\omega _{\rm{r}}} + \frac{p}{J}{T_{\rm{L}}}. $ | (8) |
为了避免滑模控制中sign(·)函数引起的高频颤振, 通常采用饱和函数sat(·)代替sign(·)函数解决该问题, 但当系统进入稳态后, 依然会有高频抖振现象出现, 而自抗扰控制中的连续幂次函数fal (s, α, δ)能够使系统无抖振、单调地收敛[9].
通过引入fal (s, α, δ)函数将滑模趋近率设计为
| $ \frac{{{\rm{d}}{S_\omega }}}{{{\rm{d}}t}} = - {\varepsilon _1}{\rm{fal}}\left( {{S_\omega },{\alpha _1},{\delta _1}} \right). $ | (9) |
式中：ε1>0为滑模增益.其中,
| $ {\rm{fal}}\left( {x,\alpha ,\delta } \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{{{\delta ^{1 - \alpha }}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| x \right| \le \delta ;\\ {\rm{sign}}\left( x \right) \cdot {\left| x \right|^\alpha },\;\;\;\;\;\;\left| x \right| > \delta . \end{array} \right. $ | (10) |
式(10) 中的fal (·)函数为原点附近具有线性段的连续幂次函数, δ>0, 该函数当0 < α < 1时具有小误差大增益、大增益小误差的特性[18].
设计滑模转速控制器输出为
| $ \begin{array}{l} i_q^ * = \frac{{2J}}{{3{\psi _{\rm{f}}}{p^2}}}\left( {\frac{{{\rm{d}}\omega _{\rm{r}}^ * }}{{{\rm{d}}t}} + \frac{p}{J}{B_{\rm{m}}}{\omega _{\rm{r}}} + \frac{p}{J}{T_{\rm{L}}} + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {{\varepsilon _1}{\rm{fal}}\left( {{S_\omega },{\alpha _1},{\delta _1}} \right)} \right). \end{array} $ | (11) |
定义Lyapunov函数为
| $ V = \frac{1}{2}S_\omega ^2. $ | (12) |
由此可得
| $ \dot V = {S_\omega }\frac{{{\rm{d}}{S_\omega }}}{{{\rm{d}}t}} = - {\varepsilon _1}{S_\omega }{\rm{fal}}\left( {{S_\omega },{\alpha _1},{\delta _1}} \right). $ |
当δ1>0、0 < α1 < 1时,
采用一阶欧拉方法对式(2) 进行离散, 可得d-q坐标系下定子电流在下一采样时刻的预测值表达式为：
| $ \left. \begin{array}{l} i_d^{k + 1} = i_d^k + \frac{{{T_{\rm{s}}}}}{L}\left( {u_d^k - {R_{\rm{s}}}i_d^k + \omega _{\rm{e}}^kLi_q^k} \right),\\ i_q^{k + 1} = i_q^k + \frac{{{T_{\rm{s}}}}}{L}\left( {u_q^k - {R_{\rm{s}}}i_q^k + \omega _{\rm{e}}^kLi_q^k - {\psi _{\rm{m}}}\omega _{\rm{e}}^k} \right). \end{array} \right\} $ | (13) |
式中：Ts为采样周期, idk和iqk分别为kTs时刻的α、β轴电流分量, idk+1和iqk+1分别为(k+1)Ts时刻的d、q轴电流分量.
常规FCS-MPC通过定义如下的目标函数来确定出最优开关状态作用于逆变器[19-20]：
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {\min .g = \left| {i_d^ * - i_d^{k + 1}} \right| + \left| {i_q^ * - i_q^{k + 1}} \right|.}\\ {{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\;u_{\rm{s}}^k \in \left\{ {{V_1},{V_2},{V_3},{V_4}} \right\}.} \end{array} $ | (14) |
该方法需要在每个采样周期计算所有开关状态所对应的定子电流预测值idk+1、iqk+1, 通过目标函数式(14) 选择出一组开关状态作用于逆变器, 该方法虽然可以保证系统可靠稳定运行, 但算法实现的计算量较大.
以定子电流参考值id*、iq*代替idk+1、iqk+1, 那么可以获得定子电压参考值ud*、uq*, 由于id*=0, 从而可得定子电压参考值计算式：
| $ \left. \begin{array}{l} u_d^ * = {R_{\rm{s}}}i_d^k - \omega _{\rm{e}}^kLi_q^k - \frac{{Li_d^k}}{{{T_{\rm{s}}}}},\\ u_q^ * = {R_{\rm{s}}}i_q^k + \omega _{\rm{e}}^k{\psi _{\rm{f}}} + \omega _{\rm{e}}^kLi_d^k + \frac{{L\left( {i_q^ * - i_q^k} \right)}}{{{T_{\rm{s}}}}}. \end{array} \right\} $ | (15) |
d、q两相旋转坐标系转换到α、β两相静止坐标系的变换矩阵为
| $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {u_\alpha ^ * }\\ {u_\beta ^ * } \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\theta _{\rm{r}}}}&{ - \sin {\theta _{\rm{r}}}}\\ {\sin \theta }&{\cos {\theta _{\rm{r}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {u_d^ * }\\ {u_q^ * } \end{array}} \right]. $ |
定义目标函数为：
| $ \begin{array}{l} \min .g = \left| {u_\alpha ^ * - u_\alpha ^{k + 1}} \right| + \left| {u_\beta ^ * - u_\beta ^{k + 1}} \right|.\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\;u_{\rm{s}}^k \in \left\{ {{V_1},{V_2},{V_3},{V_4}} \right\}. \end{array} $ | (16) |
通过式(16) 判断出最接近定子参考电压的电压矢量, 并将其所对应的开关状态作用于逆变器.
该方法只需要将4种开关状态下逆变器产生的电压矢量在两相静止坐标系下给出.然后在每个采样周期依次与参考电压uα*、uβ*通过式(16) 进行评估, 选择一组最优的开关状态作用于逆变器, 无须在每个采样周期内反复对定子电流进行预测.因此该方法相比常规FCS-MPC可以明显降低控制实现过程的计算量.但由式(15) 可知, ud*、uq*的准确获取依赖于精确的电机数学模型, 外界干扰或参数变化势必会对电压参考值的准确获取产生不利影响, 为了提高系统的鲁棒性, 本文采用引入fal (·)函数的滑模控制作进一步的改进.
定义两相旋转dq坐标系下的电流误差分别为
| $ {e_d} = i_d^ * - {i_d},\;\;\;\;{e_q} = i_q^ * - {i_q}. $ | (17) |
式中：id*、iq*分别为两相旋转d-q坐标系下的定子参考电流, 其中id*=0.
设置滑模函数如下：
| $ {S_d} = {e_d},\;\;\;\;\;{S_q} = {e_q}. $ | (18) |
则其导数为
| $ \left. \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}{S_d}}}{{{\rm{d}}t}} = - \frac{1}{L}\left( {{u_d} + {\omega _{\rm{e}}}L{i_q} - {R_{\rm{s}}}{i_d}} \right),\\ \frac{{{\rm{d}}{S_q}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{\rm{d}}i_q^ * }}{{{\rm{d}}t}} - \frac{1}{L}\left( {{u_q} - {R_{\rm{s}}}{i_q} - {\omega _{\rm{e}}}L{i_d} - {\omega _{\rm{e}}}{\psi _{\rm{f}}}} \right). \end{array} \right\} $ | (19) |
将滑模趋近率设计为
| $ \left. \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}{S_d}}}{{{\rm{d}}t}} = - {\varepsilon _2}{\rm{fal}}\left( {{S_d},{\alpha _2},{\delta _2}} \right),\\ \frac{{{\rm{d}}{S_q}}}{{{\rm{d}}t}} = - {\varepsilon _3}{\rm{fal}}\left( {{S_q},{\alpha _3},{\delta _3}} \right). \end{array} \right\} $ | (20) |
式中, ε2, ε3>0为滑模增益.
滑模控制器设计为
| $ \left. \begin{array}{l} u_d^ * = {R_{\rm{s}}}{i_d} - {\omega _{\rm{e}}}L{i_q} - {k_2}fal\left( {{S_d},{\alpha _2},{\delta _2}} \right),\\ u_q^ * = L\frac{{{\rm{d}}i_q^ * }}{{{\rm{d}}t}} + {R_{\rm{s}}}{i_q} + {\omega _{\rm{e}}}L{i_d} + {\omega _{\rm{e}}}{\psi _{\rm{f}}} + \\ \;\;\;\;\;\;{k_3}fal\left( {{S_q},{\alpha _3},{\delta _3}} \right). \end{array} \right\} $ | (21) |
式中:k2=Lε2, k3=Lε3.
定义Lyapunov函数为
| $ V = \frac{1}{2}S_d^2 + \frac{1}{2}S_q^2. $ | (22) |
此时可得
| $ \begin{array}{l} \dot V = {S_d}\frac{{{\rm{d}}{S_d}}}{{{\rm{d}}t}} + {S_q}\frac{{{\rm{d}}{S_q}}}{{{\rm{d}}t}} = \\ \;\;\;\;\;\; - {\varepsilon _2}{S_d}fal\left( {{S_d},{\alpha _2},{\delta _2}} \right) - {\varepsilon _3}{S_q}5\left( {{S_q},{\alpha _3},{\delta _3}} \right). \end{array} $ |
式中：当δi>0(i=2, 3), 0 < αi < 1时, ≤0, 即满足Lyapunov稳定性条件.参数取值规则与滑模转速调节器参数选取相似.
3 仿真研究在Matlab/Simulink平台下搭建图 3所示的仿真模型.电机参数如表 1所示[21].为验证基于四开关容错逆变器的PMSM驱动系统FCS-MPC方法的有效性和正确性, 将采用式(14) 的常规FCS-MPC方法(系统Ⅰ), 仅包含基于滑模控制的FCS-MPC策略的系统(系统Ⅱ)与同时包含滑模转速调节器与基于滑模控制的FCS-MPC策略的系统(系统Ⅲ)分别就负载变化时的系统性能和定子电感发生变化时的系统鲁棒性进行了比较.系统采样周期设置为10 μs.为了进行公平的比较, 将各个系统的参数取值如下, 使得3个系统具有相同的启动响应效果.
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表 1 永磁同步电机系统参数 Table 1 Parameters for permanent magnet synchronousmotor system |
常规FCS-MPC系统中的PI转速调节器参数设计为kp=0.5, ki=0.35.滑模转速调节器参数设置为ε1=1 300, α1=0.5, δ1=0.5.基于滑模控制的FCS-MPC控制器参数设计为ε2=ε3=500, δ2=δ3=0.01, α2=α3=0.5.
3.1 负载变化时系统性能系统给定转速ω*设置为1 000 r/min, 为了验证负载发生变化时的系统性能, PMSM带载(1 N·m)启动, 在0.2 s时加载至2 N·m.如图 4~6所示为系统Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的转速N、电磁转矩和三相定子电流响应曲线.
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图 4 负载变化时系统Ⅰ响应 Fig. 4 Response of system Ⅰ with respect to loadvariation |
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图 5 负载变化时系统Ⅱ响应 Fig. 5 Response of system Ⅱ with respect to loadvariation |
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图 6 负载变化时系统Ⅲ响应 Fig. 6 Response of system Ⅲ with respect to loadvariation |
图 4(a)、5(a)和6(a)表明, 在0.2 s突加负载后, 相比系统Ⅰ和系统Ⅱ, 具有滑模转速调节器的系统Ⅲ具有更小的转速跌落, 转速能更快地恢复至参考值, 具有更好的转速跟随性能.由图 4(b)、5(b)和6(b)可知, 采用基于滑模控制的FCS-MPC策略的系统Ⅱ和系统Ⅲ比系统Ⅰ具有更小的转矩脉动.三相定子电流响应如图 4(c)、5(c)和6(c)所示, 其总谐波失真(total harmonic distortion, THD)值经测取后列于表 2中, 由表 2可知, 相比系统Ⅰ、系统Ⅱ和系统Ⅲ可明显地降低三相电流的THD值.
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表 2 负载发生变化时的定子电流THD值 Table 2 THD values of stator currents with respect to load variation |
定子电感值的变化对预测电流型的FCS-MPC具有显著的影响[22].为了验证参数变化时控制系统的鲁棒性, 给定转速ω*仍然设置为1 000 r/min, PMSM带载(2 N·m)启动, 将定子电感值由最初的0.008 5 H降为0.004 5 H, 如图 7~9所示为系统Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的转速、转矩及三相定子电流响应.
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图 7 定子电感发生变化时系统Ⅰ响应 Fig. 7 Response of system Ⅰ with respect to statorinductance variation |
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图 8 定子电感发生变化时系统Ⅱ响应 Fig. 8 Response of system Ⅱ with respect to the stator inductance variation |
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图 9 定子电感发生变化时系统Ⅲ响应 Fig. 9 Response of system Ⅲ with respect to the stator inductance variation |
仿真结果表明, 当电感参数发生变化后, 系统Ⅰ的转速将会产生抖动, 转矩波动明显, 并且三相电流将会产生畸变, 而采用基于滑模控制FCS-MPC控制器的系统Ⅱ和系统Ⅲ能够使PMSM系统连续平稳运行, 三相定子电流平衡性保持良好.系统Ⅰ~Ⅲ的三相定子电流THD值如表 3所示.由表 3可知, 由于系统Ⅰ电流产生畸变导致电流THD值相比表 2大幅增大, 系统Ⅱ、系统Ⅲ的转矩脉动和三相定子电流THD值虽然也有所增加, 但幅度较小.
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表 3 定子电感发生变化时的定子电流THD值 Table 3 THD values of stator currents with respect to stator inductance variation |
综上所述, 本文所设计的滑模转速调节器能够保证系统在加载时具有更小的转速跌落, 并且能够更快速地恢复至参考转速.所设计的基于滑模控制的FCS-MPC策略可以减小PMSM系统的转矩脉动, 降低三相定子电流的THD值, 其原因在于滑模控制的引入使得系统在一定特性下沿所设计的滑动模态运动, 而滑动模态本身的设计是与系统的参数和扰动无关的, 因此所设计的控制方法能够使系统更准确地获得电压参考值, 在定子电感发生变化时系统仍能连续平稳运行, 三相定子电流平衡性保持良好.
4 结语本文对三相四开关逆变器驱动的PMSM系统进行了数学建模分析, 所设计的无抖振、单调收敛的滑模转速调节器可使系统具有更优的转速跟随性能.所提出的基于滑模控制的FCS-MPC策略可以明显改善PMSM三相定子电流波形, 减小PMSM的电磁转矩脉动, 并且降低参数变化对系统运行性能造成的不利影响.
在本研究基础上, 可以通过在目标函数中添加约束项来处理一些系统固有的约束问题, 如：开关频率的降低、过电流保护等.
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